7. Цілком-впорядковані множини

Дійсно, ординальне числова послідовність для кінцевих сукупностей збігається з низкою натуральних чисел. Потім вона розширюється до нескінченної послідовності, імітуючи звичайну числову. Тоді можна очікувати, що застосування ординальних чисел дозволить визначити кількість точок на лінії. Якщо це можна було б зробити, тоді легко відповісти на питання про кардинальності континууму, тому що нам достатньо знати, в якій числовий клас потрапляють ці ординальні числа. Таким чином, потрібно лише приписати безлічі ординальне число.

Але для того, щоб зробити це, потрібно впорядкувати елементи множини точно таким же чином, як це має місце в ординальне послідовності. Що таке ординальне послідовність? Вона починається з деякого елемента, триває нескінченно, аж до наступного ординальне числа, з якого починається нова послідовність, хоча в ординальне послідовності немає останнього (найбільшого) елемента, завжди є перший (найменший) елемент. Це означає, що безліч, елементи якого «вважаються», має бути цілком-впорядкованим. Це поняття означає, що елементи множини можна побудувати в лінійному порядку, при якому кожне непорожнє підмножина має найменший елемент.

Концепція цілком-впорядкованих множин була неявній частиною теорії Кантора, оскільки натуральні числа служили прототипом цілком-впорядкованих чисел. Породження чисел першого класу, а також чисел другого і наступних класів було зроблено так, щоб вся послідовність трансфінітних чисел була автоматично цілком-впорядкованою. Цілком-впорядковані множини були досить корисні в проведенні відмінностей між кінцевим і нескінченним. Сам Кантор вважав, що головною перевагою введення трансфінітних чисел було створення концепції перерахування елементів цілком-упорядкованого нескінченної кількості.

Але проблема полягає в тому, що точки на лінії, або дійсні числа в інтервалі (0, 1), не є цілком-впорядкований-ними. Доказ цього важливого факту легко отримати за допомогою діагонального аргументу. А це означає, що точкам на лінії не можна приписати ординальні числа. Однак є ще одна можливість обійти це утруднення і спробувати отримати оцінку потужності континууму через ординальні послідовності. Числа послідовності числових класів являють собою послідовність нескінченних кардинальних чисел. Тому послідовність ординальних чисел дає шкалу і кардинальних чисел. Потужність континууму дорівнює 2К0, і є надія, що десь 7. ЦІЛКОМ-впорядкованих множин

на цій шкалі можна буде виявити і це безліч. Але тут слід зазначити факт надзвичайної важливості, який дозволяє по-новому поглянути на шляху створення математичних теорій. Кантор прибув до концепції кардинального числа двома різними способами, які в значній мірі незалежні один від одного! 74 Тому немає ніякої гарантії, що кожне кардинальне число як міра потужності множини буде мати представників серед кардинальних чисел числових класів, тобто класів ординальних чисел, які породжуються трьома принципами породження Кантора.

Кантор припускав, що кожне безліч може бути впол-ні-впорядковано, і тому кожне безліч має принаймні одне ординальне число. Без цієї передумови немає кореляції між двома видами кардинальних чисел. Точніше, є істотна асиметрія між кардинальними і ординальне числами. Справа в тому, що при введенні трансфінітних чисел Кантор, як уже говорилося, вірив у об'єктивну реальність, яка описується його теорією. Так що кардинальні числа як міра потужності множин «об'єктивні», і можна вважати, разом з Кантором, що «на небесах» існує послідовність Алеф. Однак побудова за допомогою трьох породжують принципів ординальних послідовностей є «довільним» актом. Кантор вводить визначення, які представляються чисто ментальної конструкцією.

Якщо переходити на більш філософський мова, то можна сказати, що кардинальні числа «відкриваються», в той час як ординальні числа «конструюються». Якщо це дійсно так, тоді континуум-гіпотеза належить до такого кола питань, відповідь на які просто неможливий.

Ясно, що подібний опис ситуації навряд чи можна визнати задовільним. Насамперед, таке питання, який поставлений в континуум-гіпотези, не народилася в результаті чистого вимислу, обмеженого самодостатньою областю нескінченних мно-дружність. Сама постановка питання народилася в ході чергової спроби математиків відповісти на питання про точках на прямій. Теорія Кантора з'явилася спробою вирішити проблеми, пов'язані з характеристикою безперервних просторів і функцій, визначених на них. Самі ці проблеми виникли в ході спроб дати підставу для теорії нескінченно малих, і тому теорію множин можна охарактеризувати як винахід, що допомагає вирішити реально існуючу задачу. У цьому сенсі континуум-гіпотеза може розглядатися в чисто прагматичному плані. Якщо її твердження корисно при вирішенні ряду задач математики, тоді слід визнати гіпотезу істинною. Якщо більш корисно її заперечення, тоді континуум-гіпотеза просто помилкова. Теорія множин постає тоді у вигляді інструменту.

Безумовно, такий підхід до теорії множин не збігається з тим, що думав сам Кантор. Для нього теорія представляла опис реальності, універсуму множин, настільки ж об'єктивних, як і фізичні предмети. І тому будь-яке її твердження має бути або істинним, або хибним. Континуум-гіпотеза, яку намагався довести Кантор, може не мати істінностного значення тільки в силу того, що ми не маємо достатнього знання про множини, і як тільки необхідне знання буде у нас в розпорядженні, ми зможемо встановити істинність або хибність гіпотези.

Як видно, чисто математичний питання про істинність або хибність континуум-гіпотези стає філософським питанням про те, в якому сенсі математична теорія є описом реальності. Тоді постає питання про те, чи слід прийняти математичну практику як вона є, і не намагатися ревізією-ровать математику, виходячи з філософських міркувань про природу нескінченного, або ж взяти до уваги ті філософські посилки, які турбували Кантора і до цих пір турбують його послідовників .

Інформація, релевантна " 7. Цілком-впорядковані множини "

1. Аксіома вибору
   цілком-впорядкування. За допомогою аксіоми вибору можливо довести, що кожне безліч може бути цілком-впорядковано, а також довести, що будь-які дві множини Л і В можна порівняти щодо їх кардинального числа. Генетично аксіома вибору в значній мірі «відповідальна» за виникнення всієї програми аксиоматизации теорії множин. Дійсно, прагнення до аксиоматизации було
   
2. 3. Перехід до трансфинитное
   цілком можливо, що нездатність мислити нескінченні множини без якоїсь породжує ідеї виявиться просто контингентні людським обмеженням, що ніяк не обмежує ідеї існування множин в деякому уявному просторі. Контингентні явно не місце в платонівському царстві сутностей. Якщо нескінченні безлічі трактуються як кінцеві, то їм можна приписати числа, і вони
   
3. 9. Право в системі соціального регулювання. Нормативне та індивідуальне регулювання.
   Впорядкування, регулювання. Для цього в суспільстві складається система соціального чи нормативного регулювання. Соціальне (нормативне) регулювання - це впорядкування відносин між людьми, їх поведінки за допомогою створення та реалізації соціальних норм. Оскільки суспільне життя складна й різноманітна, соціальні норми (правила поведінки загального характеру, що встановлюються і
   
4. VI. Предикативно АБО непредикативне КОНЦЕПЦІЇ «МНОЖИНИ»
   впорядкованої парою х і у. На основі невпорядкованих пар можна різними способами визначити впорядковані пари. Найбільш природний, хоча і не самим звичний, спосіб полягає в наступному: Візьмемо як «маркерів» два об'єкти а і Ь. Визначимо впорядковану пару х і у як безліч {{х, а }, {у, 6}}, тобто як невпорядковану пару, елементами якої є невпорядковані пари {х, а} і
   
5. ЗА. Включення або формальна редукція
   впорядкованими л-кратними творами множин (див. $ 3.1). Дещо спрощуючи, можна сказати, що 7а буде субтеоріей 7 * 1, якщо, і тільки якщо (і), первинний оазис теорії 7 * 2 міститься в первинному базисі теорії Tt і (ІІ) кожна аксіома теорії Г2 є справедливою як формула теорії 7V Більш точно, Т2 називається субтеоріей Ті тільки у випадку (І), коли В (^) еВ (Т |) (див. формулу [6]) і (і)
   
6. 3.1. Можливі формальні відносини
   впорядкованої л-ки таких понять: безлічі 2 і п - 1 основних специфічних і взаємонезалежних (взаємно неопреде-шемих) предикатів Pi. Безліч 2, яке іноді іредставляет собою топологічний твір двох їлі більш множин, являє собою клас референ-ів теорії 7 \ тобто сукупність систем, щодо соторих передбачається, що вони описуються тео-> ией Т, І
   
7. 3. «Просунуті» аксіоми
   цілком-обгрунтовані »102, тобто не впираються в базис. Але саме останнє твердження викликає у багатьох дослідників сумніви в істинності аксіоми фундування, оскільки залишається відкритим питання про те , чи є всі безлічі «цілком-обгрунтованими». Приймати чи не приймати в якості «законних» множин не цілком обгрунтовані безлічі, питання складне. Якщо ми хочемо отримати
   
8. Аксіома безлічі-суми (аксіома об'єднання)
   безліч, тоді існує безліч иа, об'єднання всіх елементів множини а; елементами нового безлічі є всі елементи елементів а (\ / х) (Зу) (Vz) [z є у о (3 w) (w є а & w є w)]. Аксіома стверджує існування множин, що містять будь-яке число елементів. Наприклад, об'єднання пар множин, що не мають спільних елементів, - одне безліч містить два елементи, а друге - один
   
9. Аксіома заміщення
   цілком певне безліч в мові Цермело - Френкеля, яке асоціює з кожним елементом х безлічі а єдиний елемент х *, тоді є безліч а *, чиї елементи є якраз ті безлічі х *, які асоціюються формулою F (х, j>) з елементами а: Vx \ Уу [у є х => 3z (F (y, z) & Vw (F (y, w) w = z))] => = »Vv VM [u Є v 3t {t є x & F {t, і))]]. Будь-яка нова аксіома
   
10. Аксіома безлічі-ступеня
    безліч, тоді є безліч Р (а), безліч-ступінь від а, чиї елементи - це все підмножини множини а \ / г Еу Vz [z є у Vw (we z => w є *)]. У певному сенсі ця аксіома «вибивається» з ряду попередніх аксіом, які призначені обмежити розмір одержуваних множин, щоб уникнути парадоксів. Саме це міркування, з нашої точки зору, було покладено в основу
    
11. 79. Держава в політичній системі суспільства. Гос-во і групи тиску (лобі).
    Упорядкована на основі права система всіх політичних явищ, що функціонують і взаємодіють у суспільстві з метою завоювання, утримання або участі у політичній владі. Елементи ПСО: - суб'єкти політики - держава, політичні партії, політичні рухи, громадські об'єднання. - Політичні норми і принципи; - політичні відносини; - політична ідеологія,
    
12. Область дії логічного союзу і квантора
    упорядкованих пар елементів універсуму, виконую-щих дане відношення. Розширенням предиката Рху = «х менше у на одиницю» в універсумі U ~ {1, 2, 3, 4, 5} буде підмножина впорядкованих пар чисел {,,,} таких, що кожне ліве з них менше правого рівно на одиницю. Щоб утворити безліч впорядкованих пар, необхідно побудувати твір U n U = if. Якщо розширення предиката,
    
13. 4.5, Роз'яснення поняття зміни значення
      упорядковану пару: (с, С0 = df {6S (с, з% bR (с, з% де перша координата є зміна сенсу bs (ct c ') = * d1S {c) & S (c% а друга координата - зміна в класі референтів С) ДЖО, до де трикутник позначає операцію симетричною різниці, яка визначається в теорії множин. Нехай, далі, Г буде теорією, замінної теорією Г '. Тоді «чисте» зміна значення буде лише Ї тих
    
14. Аксіома пари
      цілком можливо, що вже безліч натуральних чисел зі опиниться на цьому шляху «неприпустимим» 93. Тому, говорить він, потрібні подальші аксіоми до того, як можна буде сказати, коли ряд стає неприпустимо великим. Якщо розмір множини не може бути критерієм того, чи є це безліч занадто великим або досить малим, тоді існування деякої сукупності об'єктів
    
15. 5. Формальні передумови
      впорядковану пару (якщо, звичайно, порядок має значення), так що розглянута характеристика буде формалізована як деяка функція від топологічного * твори двох множин (тому, на * приклад, показник заломлення буде об'єднаним властивістю світла і оптичного середовища і може розглядатися як дійсна функція на безлічі пар: промінь світла і точка в оптичному середовищі). Але в
    
16. Підклас (підмножина)
      безліч, кожен елемент якого водночас є елементом більш широкого безлічі. З двох і більше класів за допомогою певних операцій можна утворити новий клас. Основними операціями над класами є об'єднання класів (додавання), перетин класів (множення), освіта доповнення до класу (заперечення) і віднімання класу (різницю). {Foto7}
    
17. IV. ЛОГІКА АБО МАТЕМАТИКА
      множин множин множин ... множин індивідуальних об'єктів) до логіки. Це рішення рівнозначно твердженню, що не існує межі «між» математикою і логікою; математика складає частину логіки. Якщо комусь до душі «проміжна» позиція, то, можливо, розглянуту «кордон» слід провести між логікою другого порядку і логікою третього порядку. Однак, ми не будемо особливо
    
18. 16. Поняття та ознаки права.
      цілком певних правил поведінки, це - сис-ма. У числі об'єктивних факторів норм поведінки виділяються однотипні ек-кі, політичні, соціальні, ідеологічні та інші умови, що сприяють створення та функціонування сис-ми правових норм в тій чи іншій країні. Суб'єктивні чинники: розробка та осущ в тій чи іншій країні науково-обгрунтованої правової політики, підготовка та реалізація