8. Великий питання: філософія чи математика

Але чи слід філософії грати настільки істотну роль в математичних питаннях? Бути може, більш радикальним вирішенням питання про континуум-гіпотези є натуралізм в математиці, який відводить філософії набагато більш скромне місце в такого роду питаннях, чим вона традиційно займала. Ось як приблизно виглядає зведення результатів з приводу континуум-гіпотези у М. Балагера75 в рецензії на книгу П. Медді, філософа математики, яка зовсім недавно сповідувала реалізм, а зараз посилено «просуває» натуралізм у філософію математікі76.

По-перше, незважаючи на наявний як у деяких математиків, так і у деяких філософів скепсис, питання про те, чи слід шукати підтвердження (або спростування) континуум-гіпотези, слід вказати, що такі зусилля цілком значимі і гідні математичного дослідження. По-друге, філософські розгляду щодо реальності математичних об'єктів є повністю несуттєвими і нерелевантними як до суперечок щодо значущості континуум-гіпотези, так і до питання про допустимість в математичному дискурсі. Взагалі, математичний натуралізм виключає точку зору так званої першої філософії, що в історії філософії означає первинність філософських розглядів в будь-якій науці. На цьому питанні ми зупинимося нижче. Що стосується наслідків натуралізму для континуум-гіпотези, то слід підкреслити, що в питанні про допустимість її ніякі спо-ри про реалізм та антиреалізм в математиці не грають ролі. Важливі математичні аргументи. Натуралістичний аргумент про допустимість континуум-гіпотези повинен включати такі інгредієнти: а) пояснення природи цілей математики, її методології та практики; б) пояснення того, як методологія, практика і цілі математики можуть бути раціонально обгрунтовані згідно з внутрішніми критеріями математики, а не виходячи з філософських уявлень; в) пояснення того, як при прийнятті методології, цілей і практики математики стає ясно, що континуум-гіпотеза цілком допустимий і гідний дослідження питання.

Одним із способів вирішення цієї проблеми є пошук нових теоретико-множинних аксіом. Але як аргументи на користь кандидатів на нові аксіоми повинні виступати тільки математичні аргументи, і ніяк не філософські. Такого роду аргументи слід шукати в історії та практиці математики. Серед критеріїв для прийняття нових аксіом ми повинні враховувати: а) інтуїтивну правдоподібність аксіоми, б) прагматичні розгляду щодо привабливості в цілому получающейся теорії; в) розгляду з приводу того, якою мірою нова аксіома сумісна з математичними максимами або установками в дослідженні.

У тому випадку, якщо всі наведені вище математичні розгляду не дозволять питання про континуум-гіпотези, слід прийняти дві теорії - так звані канторовской і неканторовскую теорії множин, з твердженням і запереченням відповідно континуум-гіпотези. Але розгляду подібного роду не повинні бути філософськими, і повинні грунтуватися на привабливості обох теорій. Кінцевою метою дослідження повинна бути уніфікація цих теорій в одне бачення.

При розгляді цих рекомендацій натураліста закрадається маса сумнівів щодо того, чи достатньо буде історії та практики математики, щоб здійснити всі зазначені маневри. Багато хто з них, наприклад, рекомендації з використання методології, виглядають як використання філософії з чорного ходу. Всі подібні розгляду піднімають більш загальне питання про роль філософії в математичному дослідженні.

В історії взаємин математики та філософії чітко позначений етап, коли багато філософів і деякі математики вважали, що онтологія і інші філософські питання визначають практику математики. Так, Платон висловлює обурення з приводу «обмеженості» геометрів: «вони [геометри] виражаються як-то дуже забавно і змушено. Немов вони зайняті практичною справою і мають на увазі інтереси цієї справи, вони вживають вирази "побудуємо" чотирикутник, "проведемо" лінію, "зробимо накладення" і так далі: все це так і сиплеться з їхніх вуст. А тим часом це все наука, якою займаються заради пізнання ... заради пізнання вічного буття, а не того, що виникає і гине ... Значить, вона тягне душу до істини і впливає на філософську думку, стремено її вгору, тим часом як тепер вона у нас низинна всупереч належному »77.

Не менш вражаючою з точки зору примату філософії в математичних дослідженнях була філософська мотивація Бра-Уера при обгрунтуванні ним інтуїционізма. У цьому відношенні цікава доля обох атак на математичну практику. Геометрія не послухалися Платона, а філософські погляди Брауера незабаром розчинилися в аксіоматиці А. Гейтінга. У ранній період дискусій з підстав математики на початку XX в. одним із способів боротьби з парадоксами вважався заборону на непредикативні визначення. Рассел і Пуанкаре висунули «принцип порочного кола», згідно з яким не можна визначати сутність за допомогою посилання на сукупність, що містить обумовлену сутність. Тут питання співвідносився з допустимостью актуальної нескінченності, згідно з якою безлічі існували реально, поза і незалежно від людської свідомості. Іншими словами, в центр уваги потрапили типово онтологічні питання, що відносяться до метафізики. Показово, що Гедель, виходячи з того, що непредикативні визначення є неодмінною частиною класичної математики, апелював для виправдання цієї практики до онтологічних міркувань: «... видається, що принцип порочного кола ... докладемо тільки при прийнятті конструктивістській (або номіналістіческой) точки зору по відношенню до об'єктів математики і логіки, зокрема, по відношенню до суджень, класам або поняттям ... Класи і концепції можуть, однак, розглядатися так само як і реальні об'єкти, а саме, класи - "як множинності речей", або як структури, які з множинності речей, а концепції - як властивості і відносини речей, що існують незалежно від наших визначень і конструкцій. Мені здається, що припущення про такі об'єкти настільки ж допустимі, як і припущення про фізичні об'єкти, і є так само багато причин вірити в їх існування. Вони в тому ж самому сенсі необхідні для отримання задовільною системи математики, як фізичні тіла необхідні для отримання задовільної теорії наших чуттєвих сприйнять »78.

Зазначені приклади є демонстрацією цілком певної тенденції в розумінні співвідношення математики і філософії. Вона полягає в тому, що спочатку потрібно визначити (природно, за допомогою філософії) природу математичних сутностей, більш точно відкрити цю природу, оскільки сутності об'єктивні, або описати її, якщо сутності конструюються людьми, і тільки після цього допустима деяка математична практика.

Фактично натуралізація епістемології та філософії в цілому є вираз тієї її самої тенденції «філософія є остання справа для математики». З соціологічної точки зору все це представляє собою загальну тенденцію низведения філософів до рівня «підмайстрів». С. Фуллер багатозначно назвав один і параграфів своєї книги з філософії науки Як глибоко ми впали: філософи як підмайстри. Суть процесу, який описується Фуллером, полягає в тому, що «філософи науки поступово приймають як належне ослаблення свого нормативного статусу і остаточно змиряються з роллю підмайстрів» 81.

Якщо ця тенденція візьме гору остаточно, то слід з жалем згадати про ті часи, коли не було інтелектуальної стіни між математиками і філософами. Хрестоматійний приклад великих математиків, які були одночасно філософами, - Декарт, Лейбніц, Паскаль, Больцано, Рассел, Гільберт, Фреге - може не дуже переконати математиків, але от твердження Геделя про те, що прийнята ним позиція реалізму в філософії математики допомогла йому істотно в доказі повноти логіки першого порядку і неповноти арифметики, може бути більш переконливим прикладом впливу філософії на математіку82.

Інформація, релевантна " 8. Великий питання: філософія чи математика "

1. Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002
   
   
2. Асмус В.Ф.. Проблема інтуїції у філософії та математики. (Нарис історії: XVII - початок XX в.) М.: Думка - 315 с., 1965
   
   
3. IV. ЛОГІКА АБО МАТЕМАТИКА
   питання зачіпають як філософію математики, так і філософію логіки, і ми не будемо намагатися розвести ці дві дисципліни
   
4. Передмова
   питання, що стосуються обгрунтування математики як науки. XX століття було унікальним часом, коли проблема обгрунтування математики вважалася однією з найбільш пріоритетних, і кращі математичні уми витратили чимало часу на пошуки її адекватного рішення. У результаті були отримані фундаментальні результати, що мають видатне філософське значення. У посібнику подано докладний аналіз чотирьох провідних
   
5. Поняття завершеною аксіоматики
   філософії науки. Його можна назвати також системним, оскільки математика розглядатиметься тут як історично розвивається і самоорганізується. Від аналізу структури математичної теорії ми переходимо до аналізу історичних стадій її розвитку, до дослідження логіки її становлення. Ідея онтологічної істинності при такому підході стає несуттєвою. В основі нашого
   
6. Рекомендована література 1.
     філософії в короткому викладі. Пер. з чеського Богута І.І. - М., 1991. 2. Історія сучасної зарубіжної філософії. -СПб, 1997. 3. Дж. Реалі, Д.Антісері. Західна філософія від витоків до наших днів. -СПб, 1994. 4. Курбатов В.І. історія філософії. -Р / Д, 1997. 5. Переведенцев С.В. Практикум з історії західноєвропейської філософії (античність, середньовіччя, епоха Відродження). -М., 1999.
   
7. 42. Предполаганіе і передування
     математики в слабкому сенсі, оскільки вона за «* ає лінгвістичні рамки для математичних рассу-кденій і контролює математичні висновки. Однак-раси (з дозволу) логіцізма-логіка не передує математики в сильному сенсі, тобто її недостатньо для побудови математики. Справді, кожна, навіть найбідніша математична теорія (наприклад, теорія часткового упорядкування) має по
   
8. Передмова
     питання вимагає систематичного розгляду інтуїтивних підстав математичного докази, природи логічних норм, основних програм обгрунтування математики, а також загальної логіки розвитку математичних теорій. Ці питання становлять основний зміст книги. Порушені також і деякі більш загальні питання сучасної філософії математики. Закінчуючи передмову, хотів би висловити
   
9. ПЕРЕДМОВА
     великих мислителів, як Б. Рассел, Д. Гільберт, Я. Брау-ер по вирішенню протиріч в підставах математики поставили в центр уваги філософії. Певні підсумки цього величезного інтелектуального підприємства були підведені в 1930-му році на знаменитому симпозіумі в Кенігсберзі, де логіцизм був представлений у доповіді Р. Карнапа, інтуіціонізм - в доповіді А. Гей-тингу, а формалізм - в доповіді
   
10. Несуперечливість логістичних систем
      питання, що відносяться до обгрунтування надійності принципів і методів математики, до питання про надійність простих логічних числень. Мається область математичних суджень, сводімость яких до логіки не підлягає сумніву. Сюди відносяться всі арифметичні твердження, які фіксують зв'язки між числами і числовими формулами. Але як показує аналіз, ця область не є достатньою
    
11. JHSS: ru IIRSSInu Шановні читачі! Шановні автори! URSS
      питань Ви можете звернутися до нас: тел. / факс (495) 135-42-16, 135-42-46 або електронною поштою URSS@URSS.ru Повний каталог видань представлений в Інтернет-магазині: