2. Ментальний характер безлічі

Якщо думки підлягають рахунком, то вони суть предмети в деякому світі. Виникає питання з тому, що це за світ. Перша і до цих пір найбільш впливова спроба відповісти на це питання називається платонізму. Платон висунув ідею про існування світу ідей, ідеального царства сутностей, де і поміщаються математичні об'єкти (оскільки теорЛя ідей Платона була інспірована Пифагором). У сучасній філософії платонізм не знаходить особливо гарячого відгуку, оскільки твердження про існування ще одного світу, крім матеріального, ставить перед теорією пізнання найскладніші питання. Дійсно, якщо існує світ ідеальних об'єктів, то як ми Дізнаємося про них, і більше того, робимо вельми осмислені і навіть істинні твердження? Ця проблема так званого епістеміческого доступу вирішується по-різному. Є тут справжні крайності. Наприклад, X. Філд, сучасний філософ математики (згаданий в гол. 1), стверджує, що математичні пропозиції помилкові, оскільки немає об'єктів, про які робляться математичні твердження. ДрЗтая крайність полягає в тому, що математичні об'єкти таки існують в ідеальному світі, і доступ до них здійснюється за допомогою математичної інтуїції. Такої точки зору дотримувався знаменитий логік К. Гедель. При цьому він вбачав аналогію Між відчуттями предметів матеріального світу і інтуїцією математичних об'єктів. Між двома цими крайнощами можна знайти багато проміжних, частково задовільних, теорій про Природу математичних об'єктів. Справжній теоретичний парадокс полягає в тому, що з точки зору підстав класичної математики платонізм є найбільш адекватною позицією, в той час як інші позиції не можуть привести до обгрунтування всієї математики. Платонізм є твердження, що математичні об'єкти існують поза і незалежно від людського розуму. Інший напрям - інтуіціонізм - говорить про те, що математичні об'єкти суть розумові конструкції, і в цьому сенсі суб'єктивні. Так от інтуіціонізм не дозволяє отримати деяких ключових теорем математичного аналізу, тим самим обмежуючи математику істотно. Парадоксальність тут вбачається в тому, що для математики адекватна найбільш спірна, якщо не сказати, неправдоподібна філософськи концепція.

Отже, приймемо поки припущення про те, що думки існують в деякому просторі, загальному для всіх людей. Це, звичайно, дуже спірне припущення, але саме воно, судячи з усього, критично важливо для обгрунтування математики. З точки зору математика, ці думки існують об'єктивно, і відкриваються мислителями точно так само, як це роблять, скажімо фізики або зоологи щодо речей матеріальних. Ця позиція крайнього платонізму, або, в іншій термінології, реалізму, була прекрасно виражена математиком і філософом Б. Расселом. Це часто цитована фраза нами вже згадувалася: «Логіка має справу з реальним світом в тій же мірі, що і зоологія, хоча з його найбільш абстрактними і загальними рисами» 60. Правда, як зазначає К. Гедель у своїй знаменитій статті про логіку Рассела, в пізніших виданнях ця фраза була убрана61. Очевидно, треба стримати такий крайній платонізм, і розглядати таке подання як аналогію, хоча і найвищою мірою корисну.

Найбільш підходящим прикладом у зв'язку з ідеальними об'єктами є поняття нескінченної кількості. Безліч зазвичай задається парою дужок, усередині яких міститься опис змісту множини. Р. Рукер пропонує уподібнювати пару дужок уявному надутим шаріку62. Суть аналогії в тому, що безліч являє собою деяку єдність. Так, безліч {1,2} являє собою єдність, що утворюється з множинності 1 і 2. Іншими словами, ми уявляємо собі безліч {1,2} як уявний надута кулька, в якому міститься 1 і міститься 2. Найбільш інтригуючою для нематематика річчю в теорії множин є концепція порожнього безлічі, яке традиційно позначається через 0. Пусте безліч виходить збиранням разом ніщо.

Тут доречний філософський коментар.

Якщо ми здійснимо операцію збирання, що символізується замиканням парою дужок змісту безлічі, то в даному випадку ми отримаємо порожній уявний надута кулька {}. Повторення операції замикання дужок, тобто освіти множин, призводить до більш складних множинам. Так, із {} ми можемо отримати {{}}, або ж {{}, {{}}, {{}, {{}}}}. Заздалегідь скажімо, що останнє освіту є уявлення числа 3 в термінах множин. Коли ми говорили про проблематичність «і т.д.» у разі думки про думки про думки ... то мали на увазі властивість рефлексивності мислення. У більш технічному викладі це властивість виглядає так:

Нехай ми починаємо з деякої безлічі Мтакого, що єдиним членом його є воно саме, тобто М = {М}. А тепер, замінимо справа Мна {М} і отримаємо М-{{М}} '. Якщо ми Моган б виробляти цю заміну нескінченно, тоді ми роздули б М до розміру

{{{{{}}}}} - Це було б визначенням М, чиїм єдиним

членом є воно саме, оскільки замиканням дужок {} ми нічого не змінюємо. Безліч Помста безліч, чиїм єдиним членом є безліч, чиїм єдиним членом є безліч ... Але якщо єдиний член безлічі Помста саме це безліч, тоді М в реальності має один елемент. І якщо ми намагаємося описати цей елемент за допомогою дужок, ми отримуємо нескінченне опис. Об'єкти, подібні М, називаються саморепрезентатівнимі. Тепер виникає питання про те, яка природа. Ясно, що навряд чи воно може бути матеріальним об'єктом, оскільки описане вище примноження сутностей не властиво фізичного простору. Стало бути природно припустити, що М існує об'єктивно в уявному просторі. Коль скоро описана процедура породження об'єктів через дужки дає безлічі, сама теорія множин може бути представлена як наука, що досліджує цей простір. Підкреслимо, що таке подання про безліч вимагає передумови про об'єктивність існування уявного простору. Як відомо, ця наївна посилка веде до парадоксів. Проте подібна метафізика необхідна для теорії множин, і значна частина труднощів і проблем у філософії математики пов'язана з вражаючим контрастом між ясністю техніки теорії множин і туманними метафізичними її передумовами. Спираючись на цю метафізику (наприклад, рефлексивність розуму, далі ми побачимо не менш метафізичні передумови теорії), математики стверджують, що існують нескінченні множини.

Насправді, в поясненні природи безлічі з'являються речі, які навіть не вимагають «високої метафізики», але які, тим не менш, спантеличують, і більше того, призводять до парадоксів. Знамените визначення Кантора звучить досить просто: «Безліч є Множинність, яка мислиться як Єдине» 63. Так, безліч натуральних чисел розглядається Кантором як одне число, для якого він ввів символ Х0 (Алеф-нуль).

Хоча питання про сприйняття множин як про одну з найбільш фундаментальних людських здібностей, є досить спірним, треба визнати, що саме ця здатність представляється очевідной64. Розглянемо приклад. Нехай ми маємо набір точок на площині, з вигляду зовсім випадково розташованих. Наша звичка до організації чуттєвих відчуттів призводить до того, що у випадковій картині безладно розташованих точок ми можемо побачити осмислені контури. Точки, що утворюють кожен контур, складають безліч. Оскільки один і той же набір точок може дати невизначене число осмислених контурів, ми можемо мати саме різне число множин. Якщо відволіктися від суто перцептуального аспекту освіти множин, то ясно, що концептуальна організація досвіду призводить до утворення множин. Так, сукупність людей може дати безлічі любителів тварин, алкоголіків, садівників, батьків і т.д.

Але якщо утворення множин зобов'язане перцептуальной та концептуальної діяльності людської свідомості, тоді виникає типово філософське питання про статус множини. Так, чи існує безліч, якщо ніхто не мислить про нього? Кантор вирішує це питання досить радикально, вважаючи, що множини вже існують, незалежно від того, чи є вони предметом чиїй-небудь думки. Платонізм піднімає величезна безліч проблем і питань. У певному, цілком певному сенсі в кожному шматку породи вже існує скульптура, яку можна зробити з нього. Слід звернути увагу на слово «можливо»: при такому розумінні безліч є форма можливої думки. Більш наближений до математики приклад такий: є такі числа, які в силу своєї величезної величини не можуть бути осягнути людським розумом, і проте, прихильник Кантора впевнений в тому, що множини таких чисел існують.

Більше того, згідно Кантору, існує нескінченна ієрархія нескінченних множин. Не всі згодні з такого роду уявленнями, і багато хто вважає, що існують лише кінцеві множини. Як бачимо, існування бесконечностей не може бути доведено і з'являється в математиці як деякий постулат, часто виражається у вигляді аксіоми нескінченності. Цей постулат приймається платоністов на противагу фінітістам, згідно з якими нескінченність не існує. Ми не будемо описувати цю стала традиційною для викладу філософії математики дискусію.

Як вже було сказано, метафізичні, або попросту філософські, розгляду грають в підставах математики особливу роль. Зокрема, мова йде про Принципі рефлексивних. При міркуванні про нескінченність чисто спекулятивно можна прийти до такого поняття як Абсолютна Нескінченність, правіше якої нічого помислити не можна. Якщо всі елементи уявного простору зібрати разом, ми отримуємо клас всіх множин, звичайно позначається через V. З цим поняттям пов'язані багато парадоксальні ув'язнення. Якщо V є безліч, тоді воно може бути членом іншого (більшого) безлічі, що суперечить умові, що ми маємо клас всіх множин. Тоді, щоб уникнути парадоксів ми змушені ввести обмеження - клас всіх множин Уне може бути множиною. Так що ^ являє собою таке зібрання речей (думок), яке ніколи не може мислитися як щось єдине.

 Принцип рефлексивної (в метафізичному варіанті) формулюється так: кожне збагненне властивість Абсолютного (саме так можна розуміти клас всіх множин) властиве також некото- рій меншою сутності. У математичному варіанті цей принцип такий: кожне збагненне властивість, властиве V, властиве також деякому безлічі. Природно, що при обговоренні такого роду принципів, як Принцип рефлексивних, можуть мати місце самі різні інтерпретації, аж до містичних, що не дивно, оскільки йдеться про нескінченність, та ще й абсолютної (що б це не означало). Тут же ми ведемо мову про раціональної реконструкції ідеї нескінченного. 

 Якщо вже йдеться про Абсолютному, всієї метафізичної традицією передбачається його незбагненність. Так от Принцип рефлексивної запобігає його збагненними. Дійсно, припустимо зворотне, а саме, що Абсолют має таке збагненне властивість .4, яке належить тільки йому, і не належить ніякої меншою сутності. Але якщо А взагалі збагненно, тоді сутність, яка володіє цією властивістю, не може бути Абсолютом, який сам по собі незбагненний, і значить, ця сутність відображає лише одну із сторін Абсолюту. Принцип рефлексивної в такому формулюванні здається туманним, і не дуже зрозуміло, в чому полягає його користь в математиці. Але виявляється, що цей принцип служить містком між метафізикою і ідеєю нескінченних множин. Нехай ми маємо уявне простір, про який говорили вище. Елементом цього простору є можлива думка В. Далі, думка «В є можлива думка» також належить уявному простору. Тоді, згідно Принципу рефлексивних, повинна бути деяка думка С така, що для кожної думки В в С, думка «В є можлива думка» також входить в С, тобто ми маємо деяке властивість, специфіковану пропозицією в лапках. Тоді С має це згадане вище властивість уявного простору. Дійсно, ми можемо будувати ієрархію можливих думок, які не можуть вичерпати уявного простору. Залишається зробити висновок, що С повинно бути нескінченним. Це і є доказ того, що нескінченна думка існує. Пізніше, цей Принцип рефлексивної знайде більш технічне звучання, а поки можна просто укласти, що якщо приймається існування нескінченного Абсолюту, тоді допустимо прийняття існування нескінченних думок і множин. 

 Можна підійти до пояснення цього принципу по-іншому. Універсум множин настільки складний, що не може бути повністю описаний. Звідси випливає, що щось істинне про всім универсуме вже повинно бути істинно про деяке вихідному сегменті універсуму. Значить, будь-яка спроба однозначно описати V застосовна до його мен- шей частини, яка «відбиває» (reflect) властивість, приписуване V. П. Медді при цьому додає, що рефлексія (відображення) тягне невичерпність. 

 Всі ці міркування піднімають проблеми, пов'язані з концепцією множини. Безліч є щось, що утворюється уявної операцією, яка організовує безлічі згідно деякому властивості або принципом. З одного і того ж набору предметів можна сформувати кілька множин (в кінцевому випадку з набору п елементів можна сформувати 2 "множин). При цьому зовсім не обов'язково, щоб зібрані в безліч елементи мали між собою щось спільне. Важливий акт думки, який робить з Багато чого Єдине. Тоді виникає питання про те, чи існує безліч, якщо ніхто не мислить його? 

 Це дуже складне питання, який є точним аналогом традиційних дискусій у філософії, які поділяють ідеалізм і матеріалізм, реалізм і концептуалізм та багатьох інших. Якщо не входити в усі ці подробиці, можна вважати спрощенням ситуації переконання Кантора в тому, що множини існують незалежно від того, мислить будь-хто їх чи ні. Це явно реалістична посилка, яка ще буде обговорюватися нами пізніше. Як вже було сказано, «безліч є форма можливої думки». У зв'язку з цим виникає питання, чи є «неможливі думки», які не дають безлічі? 

 Інформація, релевантна "2. Ментальний характер безлічі"

1. Посмертна оцінка
     ментальності. Сама вона розуміє ментальність як загальний тип поведінки, властивий індивідам і соціальним групам, в якому виражено їх розуміння світу членами групи в цілому і власного місця в ньому. На думку С. С. Неретін, ментальність (а не буття і свідомість) - фундаментальна онтологічна посилка, визначальна людське існування. Вона може бути пізнана наукою. Для цього треба
   
2. 8.4 Менталітет культури
     ментальність »). Кажуть про ментальність різних епох, різних народів, різних культур. Що ж означає це поняття? Менталітет (від латинського mentalis - розумовий, духовний, психічний) - це духовне обличчя, спосіб мислення, сукупність психологічних і поведінкових установок, що визначають своєрідність і самобутність світосприйняття, способу життя людей даної культури. За визначенням П.С.
   
3. МНОЖИНИ
     ментальних конструкцій, настільки абстрактних, що викликало вигук одного з математиків - сучасника Кантора: «Це вже не математика, а теологія якась!». Філософія математики концентрується навколо невеликого числа вибраних прикладів, обговорення яких стосується найважчих і невирішених проблем теорії множин. Безумовно, мова йде в першу чергу про континуум-гіпотези Кантора і
   
4. Аксіома безлічі-ступеня
     безліч, тоді є безліч Р (а), безліч-ступінь від а, чиї елементи - це все підмножини множини а \ / х Еу Vz [z є у Vw (we z => w є *)]. У певному сенсі ця аксіома «вибивається» з ряду попередніх аксіом, які призначені обмежити розмір одержуваних множин, щоб уникнути парадоксів. Саме це міркування, з нашої точки зору, було покладено в основу
   
5. МЕНТАЛЬНА Трансмутація
     ментальна трансмутація (душевне перетворення) повинна бути мистецтвом зміни умов Всесвіту по аспектам матерії сили і розуму. Отже, ви бачите, що душевний перетворення є дійсно магічним, про який стародавні автори могли так багато сказати у своїх містичних роботах, і за якими вони дали так мало практичних настанов. Якщо ВСЕ духовно, тоді мистецтво, яке дає
   
6. X. ФІЛОСОФІЯ ВО ВЗАІМОДЕІСТВІІ З релігії та її інституцій в західноєвропейського середньовіччя
     ментальності першочергово тотальне переважання колективного, корпоративного начала над індивідуально-особистісним - від селянської громади до спільнот ремісників у містах, феодально-рицарських васальних відносин, дворів монархів, не кажучи вже про церкви, пов'язаної найбільш жорсткою і беззаперечної ієрархією. Християнське, як і будь-яке інше релігійне і тим більше монотеистическое
   
7. ПОКАЖЧИК
     ментальний стан 252,254,256 - умов істинності 141 Значення 7-9, 124-125, 129 - 131, 137, 211 - буквальне 220-221 - истинностное 249 - та інтерпретації 266, 269 - як вживання 15 - звичайне двісті сорок третій розуміння 256-257 - і сенс 133 - 134,137 - і референція 135-136 Иллокутивная сила 101 Іллокутівний акт 126 Ім'я власне 28-29 інтенсіонал 275 Інтенціональне зміст
   
8. Зв'язки: інтеграція соціальної психології 257
     ментальних одному з економії евристиці та інших найкоротших ментальних шляхах (глава 3) тенденції розділяти соціальний світ на «своїх» і «чужих» і її вплив Інших впливах приналежності групі (глава 10) орієнтації на соціальний перевага, в різній мерс властивої чоловікам і жінкам статевих відмінностях у прояві жіночності, мужності та інших показниках
   
9. 77I. СВІДОМІСТЬ І НАУКА
     ментальні явища, а з іншого - тіла і фізичні явища, тоді ці сфери або взаємодіють, або ні. Первісне резонне припущення, що вони взаємодіють, призводить, проте, до глухого кута такий труднощі, що можна заявляти про reductio ad absurdum 78 дуалізму, принаймні в картезіанському його варіанті. Якщо ex hypothesis 79 ментальні події є нефізичними, то вони не можуть
   
10. Аксіома заміщення
      ментальних результатів теорії множин, наприклад, для доведення твердження Кантора, що «кожне множе-ство може бути поставлено в одно-однозначна відповідність з деяким ордіналов». Крім того, за допомогою цієї аксіоми Нейман довів фундаментальний принцип трансфинитное рекурсією. Відносно недавно Мартін довів теорему, яка демонструє центральну роль аксіоми заміщення в