МАЙКЛ МАККИНСИ ФРЕГЕ, РАССЕЛА І ПРОБЛЕМА, ПОВ'ЯЗАНИЙ З ПОНЯТТЯМ «ПЕРЕКОНАННЯ» 59

Прихильність інтерналізм зробила сильний вплив на погляди Фреге і Рассела на логіку, семантику і філософію мови, привівши їх до думки, що пропозиції, висловлені в повсякденній мові, подібно картезіанському ментальному, суто якісні і концептуальні. І хоча Рассел відзначав деякі важливі винятки, все ж він, як і Фреге, вважав це думка загалом істинним [см. Frege G. (1892), Russell В. (1912)].

Одним з найбільш важливих подій в аналітичній філософії за останні двадцять п'ять років є безперервна атака, яка ведеться на традиційну дескріптівістскую і менталістскій орієнтацію семантики. І це, зрештою, призвело до виникнення нового - екстерналістского, соціально орієнтованого та антікартезіанского погляду на природу мови та ментального. Семантичні аргументи, що стосуються власних назв, індексальних займенників і термінів, що позначають природні види, висунуті такими філософами, як Сол Крипкая (1972), Дейвід Каплан (1979) і Хіларі Патнем (1975), привели багатьох до висновку, що мовна референція і значення - насамперед зовнішні, соціальні феномени, що протистоять внутрішнім, ментальним феноменам.

Нещодавно екстерналістского семантичний підхід був застосований і до самого поняття ментального. Це, зокрема, зробили Тайлер

Бердж (1979, 1982) іТарет Еванс (1982), після чого багато філософів просто відмовилися від традиційного картезіанського погляду на природу ментального. Замість цього філософи тепер вважають, що наші думки, переконання, наміри і бажання, по суті, характеризуються ставленням до зовнішніх, контингентні 3 об'єктам; а не завдяки своєму чисто концептуальним змістом.

Роботи Крипке, Каплана і Патнема в області семантики зміцнили «теорію * Прямий референції» власних назв, индексального і вказівних займенників, а також термінів, що позначають «природні види». Відповідно до даної теорією, пропозиції, що містять всі перераховані терміни, володіють «широким» значенням, тобто висловлюють пропозиції, які істотно припускають наявність контингентних об'єктів і субстанцій. Коли даний семантичний результат застосовується для інтерпретації предикатів типу «переконаний, що 5» 61, що позначають когнітивні установки (причому 5 тут володіє широким змістом), ми нріхо-дим до нового результату, а саме, що переконання, приписувані подібними предикатами, самі також повинні володіти широким змістом. З цього деякі філософи, начебто Бердж і Еванса, роблять висновок, ніби переконання, думки та інші когнітивні акти і стани, які традиційно розглядалися як логічно незалежні від зовнішнього світу, в основному характеризуються за їх відносинам до контингентні зовнішніх об'єктів і субстанцій 62.

На противагу цьому мої останні дослідження являють собою спробу захисту картезіанської, інтерналістского точки зору на мову і ментальне: на відміну від загальноприйнятого зараз серед аналітичних філософів мови думки, я доводжу, Що семантичні факти, отримані в ході недавніх досліджень проблеми референції * цілком узгоджуються з традиційною точкою зору *. Тут же я хотів би коротко описати один з головних результа-тов новітніх досліджень з проблеми референції, а такрке показати, як це створює проблему для традиційного картезіанського погляду на мислення і переконання, якого дотримувалися Фреге н Рассел. А потім я вкажу, як можна подолати дану проблему, якщо відмовитися від деяких загальноприйнятих, але доказово помилкових припущень щодо природи, мислення і значення тих пропозицій, за допомогою яких ми приписуємо [людям] думки і переконання.

Спочатку я повинен пояснити значення поняття сингулярна про-позиція і пов'язаного з ним поняття справжній термін. Ці поняття Насправді вже давно вживаються в логіці та філософії мови, але їх значимість вперше відкрив і підкреслив саме Рассел, Проте зазначені вище роботи Крипке, Канлана і Патнема з проблеми референції продемонстрували, що дані поняття грають значно важливішу роль у семантиці природної мови, . чим це був готовий допустити сам Рассел.

Під пропозицією розуміється те, що говориться або затверджується даною пропозицією в розповідному способі, причому зазвичай вважають, що пропозиції і є основними носіями истинностного значення. Сингулярна. пропозиція є пропозиція найпростішого типу, що припускає твердження про наявність у об'єкта певного властивості, або ж що припускає твердження про те, що два або більше об'єкта знаходяться в певному відношенні один до одного 7. (За традицією подібні пропозиції також називають атомарними пропозиціями). Так, розглянемо будь довільно вибраний об'єкт, наприклад Аристотеля, великого давньогрецького філософа. Для любрго довільно обраного властивості можна розглянути сингулярна пропозіцию, що складається з Аристотеля і цієї властивості. Наприклад, сингулярна пропозиція, що складається з Аристотеля і властивості бути любителем собак, є пропозиція, яка просто стверджує про об'єкт «Аристотель», що він володіє цією властивістю. Видається цілком природним, що розглянута сингулярна пропозиція зводиться до того, що Аристотель любив собак, і що ця пропозиція виражається пропозицією «Аристотель любив собак». Але дозвольте, при цьому підкреслити головну теоретичну особливість даної сингулярною пропозиції, вона не просто містить поняття Аристотеля, скоріше вона містить самої людини по імені Аристотель 63. Вважається, що сингулярна пропозиція, при-ня записують деякий властивість об'єкту, істотно припускає об'єкт, тобто що розглянута пропозиція почасти ідентифікується з допомогою самого об'єкта і без цього об'єкта просто не існує.

Згадаю знаменитий приклад Фреге: сингулярна пропозиція про те, що Монблан має висоту більше 4000 метрів, включає саму цю гору «з усіма її сніговими просторами». Фреге сичав ідею подібної пропозиції досить неправдоподібною, однак Рассел поклав даний тип пропозиції в основу своєї філософії 64.

Справжній термін, або те, що Рассел назвав «логічно власним ім'ям», є термін, використовуваний в реченні для вираження сингулярною пропозиції щодо референта даного терміну. Ідея тут у тому, що семантичний внесок подібного терміну просто обмежується його референтом, тобто тим об'єктом у світі, на який вказує термін. Єдиною функцією або метою такого терміна, коли він фігурує в реченні, є введення об'єкта, про який все інше пропозицію небудь говорить. Наприклад, якщо припустити, що ім'я власне «Монблан» є справжнім терміном, тоді пропозиція «Монблан має висоту більше 4000 метрів» затверджуватиме сингулярна пропозіцию щодо певного об'єкта, а саме гори, на яку вказують за допомогою імені «Монблан», тобто що висота цього об'єкта більше 4000 метрів.

Звідси представляється інтуїтивно очевидним, що просте речення, яке містить звичайне ім'я власне, типическим чином висловлює сингулярна пропозіцию щодо референта даного імені. У світлі сказаного виявиться, що згадуване пропозиція «Аристотель любив собак» висловлює сингулярна пропозіцию, що приписують властивість «любити собак» людині по імені Аристотель. А це, в свою чергу, передбачає, Що звичайні власні імена типу імені «Аристотель» є справжніми термінами. Проте? і Фреге, і Рассел - обидва наполегливо заперечували здатність звичайних імен власних бути справжніми термінами.

Фреге і Рассел дотримувалися цілком правдоподібного погляду, за яким переконання з необхідністю характеризується тією пропозицією *-в якій ми переконані Вони, крім того, вважали, що ми приписуємо переконання, використовуючи пропозиції, що виражають пропозиції, в яких переконані. Так, розглянемо пропозицію:

(1) Джон переконаний, Що Аристотель любив собак.

Подобвое пропозицію, лист про переконання, має форму «х переконаний, що р *. Воно приписує деякої особистості переконання і характеризує це переконання в термінах пропозиції, яка виражається зазначеним пропозицією «р». А зараз уявіть собі, що пропозиція «Аристотель любив собак» висловлює сингулярна пропозіцию щодо Аристотеля. Тоді пропозиція (1) буде характеризувати переконання Джона як припускає цю сингулярна пропозицію. Але якщо переконання з необхідністю характеризується тією пропозицією, в якій переконані, тоді переконання, приписуване в (1), істотно передбачає сингулярна пропозіцию про людину на ім'я Аристотель і, отже, з необхідністю передбачає самого цієї людини. Проте сама ідея про Том, що може бути переконання подібного роду, вразила Фреге і Рассела (як і багатьох інших філософів) своєю абсурдністю. Але чому ж?

Відповідно до картезіанської традицією допускається можливість мати ту чи іншу думку або переконання без визнання існування деякої зовнішньої реальності. Так, як це описує Декарт у своєму знаменитому прикладі зі злим демоном: по украй мірі, логічно можливо, що вся історія мого духовного життя буде абсолютно такий же, який вона є фактично, навіть якщо жодна на моїх думок або ні одне з моїх воснріятій ие буде вказувати ні на який об'єкт у зовнішньому світі. Однак ця умова порушується переконанням, приписуваним в (1), у разі, якщо пропозиція «Аристотель любив собак» висловлює сингулярна нропозіцню про Аристотель. Бо наявність у Джона даного переконання логічно спричинить існування людини на ім'я Аристотель, і тому, на противагу наприклад Декарта, наявність у Джона переконання не буде логічно незалежним від зовнішнього світу.

Також відповідно до картезіанської традицією завжди передбачається можливість для будь-якої особистості з достовірністю знати зміст своїх думок і переконань, і робити це за допомогою інтроспекції, не вдаючись до емпіричного дослідження зовнішнього світу. Але знову ж дана умова не задовольняється переконанням, приписуваним в (1) у разі, якщо пропозиція «Аристотель любив собак» висловлює сингулярна пропозицію. Бо в даному випадку переконання з необхідністю передбачає людини Аристотеля, і ніхто, грунтуючись на інтроспекції, не може знати про наявність у не * го подібного переконання, оскільки тільки за допомогою інтроснекціі своїх ментальних станів не можна дізнатися про те, що людина Аристотель дійсно існував.

Я думаю, Фреге і Рассел саме тому заперечували можливість використання припущень типу (1) для приписування переконань, що припускають сингулярна пропозіцию, що обидва взяли картезианскую установку щодо природи думок і переконань. Внаслідок цього їм також довелося заперечувати те, що імена власні в подібних пропозиціях суть справжні терміни. І оскільки подібні пропозиції, що приписують можливі переконання, можуть бути сконструйовані з пропозицій, що містять будь довільне ім'я власне, Фреге і Рассел вважали, ніби ні одне звичайне ім'я власне не є справжнім терміном. Тоді як Фреге повністю виключив поняття сингулярною пропозиції і справжнього терміна зі своєї семантичної теорії, у Рассела дані терміни продовжували відігравати важливу теоретичну роль. Але останній при цьому допускав тільки твердження і переконання, що виражаються сингулярними пропозиціями щодо об'єктів безпосереднього пізнавального знайомства - типу нас самих, універсалій і чуттєвих даних "Рассел міг дозволити собі таке, бо існування об'єктів« знання-знайомства »може бути з достовірністю відомо завдяки інтроспекції. Так що існування думок і переконань, що передбачає сингулярні пропозиції щодо подібних об'єктів, що не порушує вищеописану картезианскую установку 65.

Але якщо звичайні власні імена не є справжніми термінами, то як же вони функціонують? Згідно і Фреге, і Расселу, звичайні власні імена прямо не вказують на об'єкти - швидше вони є скороченнями певних дескрипций, тобто термінів, що мають форму «те-то і те-то» (the so »and-so). Наприклад, відповідно до даної гіпотезою, ім'я «Аристотель» могло б бути скороченням дескрипції «останній великий філософ античності». За цією гіпотезою звичайні імена не суть справжні терміни, а пропозиції, що містять імена, виражають не сингулярні, але загальні пропозиції. Так, якщо ім'я «Аристотель» є скорочення дескрипції «останній великий філософ античності», Тоді пропозиція «Аристотель любив собак» означає те ж саме, що і пропозиція «Останній великий філософ античності любив собак». Згідно расселовского теорії певних дескрипций, остання пропозиція аж ніяк не виражає сингулярна пропозіцию, яка передбачає людини по імені Аристотель. Швидше воно висловлює загальну пропозіцию про те, що існував один і тільки один останній великий філософ античності, і ои любив собак.

 Гіпотеза, ніби імена є скороченнями дескрипций, дозволила Фреге і Расселу зберегти як свою теорію про те, що переконання з Необхідністю характеризуються тією пропозицією, в якій оіі переконані, так і свій картезіанський погляд, згідно з яким переконання є внутрішніми і логічно незалежними від зовнішнього світу. Дана гіпотеза також дозволяла дозволити інші важливі семантичні проблеми пропозицій з іменами, виявлені Фреге і Расселом а. Так що більше п'ятдесяти років гіпотеза залишалася переважаючим поглядом в логічній семантиці власних назв. Однак згодом у своїй знаменитій, що потрясла самі основи серії лекцій під назвою «Іменування і необхідність» (1972) Сол Крипкая висунув деякі знищують заперечення проти Фреге-расселовского погляду на імена. Ці запереченн- 

 венним чином характеризуються тією пропозицією, в якій ми переконані. Знову ж ця мотивація в явному вигляді сформульована в кн.: МасКШеу М. (1992). 

 м Проблемами, які виділяв Фреге, були проблема інформаційного тотожності пропозицій і проблема нездатності кореференціаль-них імен задовольняти принципом підстановки в контекстах переконання [см. Frege G. (1892)]. Рассел же прагнув виділити ту проблему, що пропозиції з іеобладающімі референцией власними іменами можуть, тим не менш, висловлювати пропозиції. Варто, ймовірно, підкреслити, що у своїх ранніх роботах єдиним обгрунтуванням для Рассела того, що звичайні імена суть скорочення дескрипций, був його Принцип Знайомства (див. виноску 12). 

 ня, зрештою, переконали більшість філософів мови в тому, що імена власні є не скорочення певних дескрипций, а справжніми термінами А це, в свою чергу, відродило інтерес до тих проблем, які Фреге і Рассел намагалися вирішувати за допомогою своєї гіпотези, ніби імена суть скорочення дескрипций. 

 Аргументи Крипке проти теорії імен як скорочень-для-дескрипций грунтуються на деяких вельми переконливих іітуі-ціях щодо модальних властивостей пропозицій, що містять звичайні імена. Розглянемо, наприклад, гіпотезу про те, що ім'я «Аристотель» є скороченням опису «останній великий філософ античності». Якби ця гіпотеза була правильною, тоді пропозиція (2)

 Аристотель був не філософом 

 виражало б ту ж саму пропозицію, що і пропозиція (3)

 Останній великий філософ античності ні філософом 

 Однак, на противагу даній гіпотезі, досить ясно, що (2) і (3) не виражають одну і ту ж пропозицію, бо (2) виражає можливу істину, а (3) з необхідністю висловлює брехня.

 Давайте ж розглянемо, чому відповідно до аргументом Крипкая пропозицію (2) виражає можливу істину. Вирішальним тут є той факт, що коли ми розглядаємо можливу ситуацію, в якій Аристотель не був би філософом, ми розглядаємо саме ту сітуацію, в якій певний індивід, а саме людина, яка і справді є референтом імені «Аристотель», не був філософом. Як пише Крипке, 

 ... ми таким чином вживаємо ім'я «Аристотель», що думаючи щодо контрфактичні ситуації, в якій Аристотель не мав би ніякого відношення до тих (науковим) областям та досягненням, які ми зазвичай приписуємо йому, ми як і раніше будемо говорити, що це була та ситуація , в якій Аристотель не робив нічого подібного. [Kripke S., (1972), р. 279] 

 Інтуїція Крипке, яку я і сам поділяю, полягає в тому, що якщо пропозиція, виражена простим пропозицією, що містить деяке ім'я, є істинною в даній можливої ситуації, то це залежить від того, володіє чи ні дійсний референт Імені властивістю, предицируемого іншою частиною пропозиції . Але це якраз те, що і слід було очікувати, якщо імена суть справжні терміни, чиї референти є єдиним семантичним внеском імен в пропозиції, виражені в пропозиціях з цими термінами. Таким чином, наші модальні інтуїції щодо того, що робить пропозиції, що містять імена, істинними або ложниці в контрфактіческіх ситуаціях, є надійними свідченнями на користь того, що звичайні власні імена суть справжні терміни та що пропозиції з такими іменами зазвичай висловлюють сингулярні пропозиції. 

 Але якщо звичайні імена виявилися-таки справжніми термінами, то адже тоді повертається наша рання проблема щодо переконання. Здається, що ми повинні відмовитися від традиційних картезіанських поглядів, тобто від того, що наші думки і переконання ніколи істотно не співвідносилися з зовнішнім світом, і що ми здатні впізнавати зміст своїх думок і переконань з допомогою інтроспекції. Але в той час? як багато сучасних філософи-аналітики вважають, ніби нам слід відкинути картезіанський підхід до ментальному, важливо все ж усвідомлювати, що ті семантичні результати, яких ми досягли, самі по собі ще не свідчать, що Декарт був неправий. Бо для того, щоб прийти до подібного висновку, ми також повинні прийняти теорію переконання Фреге-Рассела, відповідно до якої кожне переконання з необхідністю характеризується тією пропозицією, в якій переконані. Назвемо таку теорію «пропозіціональному теорією». У недавній серії своїх статей я розробив аргументацію проти пропозіціональному теорії і почав створювати альтернативну теорію переконання [см. MacKinsey М. (1986), (1992)]. 

 Відповідно з моєю точкою зору, яку я тут можу лише коротко охарактеризувати, пропозиції, що містять звичайні власні імена типу «Аристотель любив собак», і справді висловлюють сингулярні пропозиції, а пропозиція-переконання типу 

 (1) Джон переконаний, що Аристотель любив собак 

 приписує переконання, змістом якого є сингулярна пропозиція. Тим не менше, я заперечую, що в подібних випадках приписуване переконання повністю або істотно характеризується тієї сингулярною пропозицією, в якій ми переконані 66. І оскільки «Аристотель» є справжнім терміном, пропозиція (1) характеризує переконання Джона в термінах того об'єкта, в якому він переконаний. Однак, на мою думку, ніяке переконання не може бути повністю або істотно охарактеризовано в подібних термінах. Для того щоб повністю охарактеризувати переконання, яке (1) приписує Джону, нам слід згадати 

 Джонів спосіб мислення про Аристотель, а адже це та риса переконання Джона, яка не охоплюється простим згадуванням самого Аристотеля. 

 Припустимо, що Джон думає про Аристотель як про «останній великого філософа античності». Для того щоб охарактеризувати переконання Джона в тому, що Аристотель любив собак, я запропонував використовувати ту різновид приписування переконання, яку я назвав «ментальної анафорою»: 

 (4) Джон припускає, що є тільки один останній великий філософ античності, і Джон переконаний, що він любив собак. 

 З моєї точки зору, особисте займенник «ои» в (4) є справжнім терміном, чия референція фіксована або детермінована в сенсі Крипке (1972) описом «останній великий філософ античності», навіть незважаючи на те, що особисте займенник не є скороченням даної дескрипції . Якщо Аристотель і справді останній великий філософ античності, тоді пропозиція «ои любив собак» в (4) висловлює сингулярна пропозіцию про те, що Аристотель любив собак, а переконання, приписуване в (4), має цю пропозицію в якості свого змісту. Але дане переконання, по суті, не характеризується цій пропозицією, бо Джон міг би мати те ж саме переконання в можливому світі, в якому вже не Аристотель, а Платон був останнім великим філософом античності. У цьому випадку те ж саме переконання мало б в якості свого змісту іншу сингулярна пропозіцию, а саме, що Платон любив собак [докладніше про це див: MacKinseу М. (1986), (1992)]. 

 Оскільки звичайні власні імена суть справжні терміни, пропозиція-переконання типу (1) слід розуміти як характеризує переконання в термінах певного зовнішнього об'єкта. Але помилкова. Робити з цього висновок, ніби деякі наші переконання істотним чином ставляться до зовнішніх об'єктів, бо ще Декарт вчив, що ніяка думка чи переконання не відноситься таким чином до об'єкта зовнішнього світу. Замість цього ми повинні зробити висновок, що пропозиція-переконання типу (1) саме тому, що УІО характеризує переконання в термінах об'єкта цього самого переконання, не дає повної або сутнісної характеристики переконань особистості. Для того, щоб дати подібну характеристику, необхідно специфікувати спосіб иищлеші ОСОБИСТОСТІ в, відносно даного об'єкта, а зробити це можна лякаються використання ментальної анафори в пропозиціях типу (4). 

 Фреге і Рассел бачили протиріччя між ідеєю про те, що звичайні імена безпосередньо вказують на об'єкти, і традицій- вим картезіанським поглядом на природу мислення. Але якщо тільки я прав, даного протиріччя в реальності не існує. Видимість його зобов'язана виключно Фреге-расселовского теорії переконання або того, що я назвав пропозіціональному теорією. Відкидаючи пропозіціональному теорію, ми можемо примирити результати, отримані референциальной семантикою, з інтерналістского підходом до ментальному. 

 Інформація, релевантна "Майкл Маккинси Фреге, Рассела і ПРОБЛЕМА, пов'язаний з поняттям «ПЕРЕКОНАННЯ» 59 "

1. Філософія математики Бертрана Рассела
     поняття «клас всіх класів» Джузеппе Пеано, і лише не отримавши від нього відповіді, почав листуватися з Фреге53. Це листування послужила початком інтенсивно-го вивчення робіт Фреге та співпраці з Альфредом Уайтхед (1861-1947) зі створення грандіозного проекту відомості математики до логіки під назвою "Principia Mathematica" 54. Згідно з цим проектом передбачалося зведення до логіці не тільки
   
2. Аналіз ставлення арифметики до логіки
     проблема бездоганного введення логічних об'єктів. Фреге вважає, що вводити логічні об'єкти можна, якщо сформульовані умови рівності (взаємно однозначної відповідності) для них. Для класів це ставлення визначається звичайним способом за допомогою співвіднесення елементів кожного з них з кожним елементом інших. Для понять воно формулюється як вимога тотожності: (x) (Fx = Gx). У
   
3. 1. Програма логіцізма
     проблемою типів. Ці труднощі зникають, якщо приймається аксіома нескінченності, хоча здається неприйнятним будувати теорію, яка, можливо, на дві третини залежить від допущення, що число об'єктів у Всесвіті не є кінцевим. Ми повинні привчити себе не вдаватися до цього допущенню, крім тих випадків, де воно є вкрай необхідним. Коли аксіома нескінченності дійсно необхідна,
   
4. Класи і парадокси
     проблеми логічного пояснення нескінченних (трансфінітних) чи-сів, а разом з ними і нескінченних классов78. Повне пояснення подібного роду, визнається Рассел, означало б синтез результатів, досягнутих Фреге і Георгом Кантором. Не можна бути впевненим ні в тому, що число реальних об'єктів і їх властивостей в універсумі, в якому ми живемо, звичайно, ні в тому, що воно нескінченно. Але оскільки
   
5. СВІТ ЯК ПОЕМА І ЯК РЕФЕРЕНТ 67
     фрегевского типу. На жаль, розвиток семантичних понять після Фреге пішло у двох різних напрямках і таким чином призвело до добре відомого глибокого розколу між логістичним і феноменологическим мисленням. Однак більш детальний розгляд сучасних поглядів привело мене до висновку про те, що логістична та феноменологічна семантики, хоча і рухаються в протилежних
   
6. План семінарського заняття 1.
     проблема свободи і відповідальності. Екзистенціалізм К.Ярперса: існування і екзистенція. Вчення про прикордонних ситуаціях. Поняття трансценденції. Філософія історії К. Ясперса. 4. Екзистенціалізм Ж.-П. Сартра: феноменологічна онтологія. Буття-в-собі і буття-для-себе. Буття і ніщо. Проблема міжлюдського спілкування. Соціально-політична програма Сартра. 5. З. Фрейд про структуру
   
7. 2. Зміна завдання
     проблеми малоймовірно. Найбільш перспективний і, по всій видимості, єдино можливий тут шлях - це шлях епістемологічного аналізу аксіом і прямого доказу їх несуперечності, що спирається на поняття онтологічної істинності. Викладені вище уявлення про природу аподиктической очевидності і про шляхи безпосереднього епістемологічного обгрунтування несуперечності дають
   
8. Аналітична філософія
     проблем засобами логічного аналізу мови. Ці дослідження дуже різноманітні (логіка, «граматика» природних мов, повсякденною мовою). ? ІПН Різниця між змістом і значенням Різниця між змістом і значенням, яке мало великий вплив на філософію і логіку в XX столітті, сформульовано математиком Готлоб Фреге (1848-1925) в 1891 р. У лінгвістичному вираженні слід розрізняти три
   
9. Оцінка програми логіцізма
     проблема. Ніякого єдиного надійного підстави для будівлі всієї математики не існує. Математика завжди починала з певних гіпотез, зводила їх рішення до вирішення відомих гіпотез і в результаті приходила до потреби висунення нових гіпотез. Дедукція її тверджень заснована здебільшого на їх семантичного зв'язку. Тому необхідність математичних суджень не тільки
   
10. Опрелеленія числа
      поняття числа. Трійка людей - приклад числа три, число три - приклад конкретного натурального числа, але трійка людей не є прикладом натурального числа. Конкретне число не ідентичне тому безлічі, елементи якого воно позначає. Число три не ідентичне трійці людей, що складається з Брауна, Джонса і Робінсона. Це число ідентично з тим властивістю, яке об'єднує всі трьохелементні безлічі