| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
1. Мотивація і історія питання |
||
|
Розгляд аксіом теорії множин в даній книзі має лише одну мету - показати значимість епістемологічних розглядів в сучасній філософії математики. Оскільки аксіоматичний метод в сучасній математиці має найширше ходіння, питання про обгрунтування аксіом не представляється цікавим, і введення нових аксіом робиться з міркувань математичної практики. Однак у випадку теорії множин ситуація з аксіомами інша; оскільки теорія множин постає у вигляді підстав всієї математики, аксіоми теорії множин мають особливий статус, що не зводиться до одним лише міркувань математичної практики. По-перше, аксіоми теорії множин жодним чином не очевидні, і прийняття тієї чи іншої аксіоми робиться на підставі багатьох розглядів як методологічного (і навіть філософського), так і міркувань, які є результатом проб і помилок. По-друге, найважливішою обставиною при обгрунтуванні аксіом є те, що пошук нових аксіом в теорії множин служить вирішення проблеми визначення розміру континууму, однією з найбільш фундаментальних завдань як математики, так і філософії математики. Теорії про світ грунтуються на свідченнях; фізичні теорії - на емпіричних свідченнях, а математичні - на доказах. В історії філософії значні зусилля були витрачені на суперечки з приводу того, які із свідчень більш надійні. Домінувала майже в усі часи філософська традиція вважала математичні свідоцтва достовірними, а емпіричні - контингентні, і стало бути, по всіх епістемоло-гическим критеріям перші є кращими. Звідси, вікове прагнення філософії бути схожою на математику, - тенденція, яка засуджувалася і засуджується багатьма мислітелямі84. Але як би то не було, саме доказ виходить з аксіом, і тоді достовірність математичного знання грунтується на аксіомах. Тому будь-яка розмова про природу математичних істин повинен починатися з обговорення природи математичних аксіом. Реалізм у філософії математики, в найпростішій формулюванні, стверджує, що математика описує математичну реальність, яка існує поза і незалежно від людського розуму. Правильно описують цю реальність твердження є математичними істинами, які доказові, виходячи з аксіом. Якщо припустити, що вся математика у вельми певному сенсі зводиться до теорії множин, тоді аксіоми цієї теорії повинні мати статус виділених тверджень, обгрунтування істинності яких має представляти собою спеціальну задачу. Аксіоматизації як науковий метод (якщо «дедуктивні науки» вважати наукою) припускає, перш за все, змістовно сформульовані положення, отримані або інтуїтивним чином, або ж складним процесом виведення з даних. У кожному разі, мається сукупність тверджень, яка виступає в якості теорії, що описує деякий фрагмент реальності. Взаємовідносини тверджень всередині теорії зазвичай найвищою мірою заплутані і складні. Завдання аксіоматизації (точніше, одна з задач) полягає у систематизації цих взаємин, тобто у встановленні деякого порядку серед них, деякою ієрархії тверджень (одні є більш фундаментальними, інші - похідними і т.д.). Природно, що при цьому до аксіом - найбільш фундаментальним припущеннями - пред'являються особливі вимоги з точки зору їх ясності, базисного характеру, істинності. Розмова про самоочевидності аксіом у разі теорії множин втрачає сенс майже на самих ранніх етапах розвитку цієї теорії. Так, найбільш очевидне положення про те, що кожне властивість визначає безліч, призводить до парадоксів. Більше того, практично всі аксіоми не уявляють собою ясних положень, і для кожної потрібно значне обгрунтування, або, принаймні, мотивація. Інша особливість теорії аксиоматизации теорії множин полягає в наступному. Зазвичай спершу ми маємо істини, а потім намагаємося встановити серед них порядок через формалізацію, найважливішим елементом якої є аксиоматизация. Теорія множин в значній мірі відходить від цього сформованого ідеалу аксиоматизации, і її аксіоми мають особливий статус. З одного (можна сказати, наївною) точки зору, аксіоми теорії множин можуть розглядатися як істини про універсум об'єктів, існуючих незалежно від думок математика. Ця платоністская позиція, як відомо, веде до парадоксів. Будь-яка розмова про аксиоматизации теорії множин починається з першої точки зору, так як це вірно вже історично. Кантор, Дедекінд та інші математики зробили більш точними вже існували поняття безлічі, класу, сукупності. Але нові визначення цих понять зустрілися зі значними труднощами, крайнім вираженням яких з'явилися парадокси. Існують дві точки зору на мотиви аксиоматизации наївною теорії множин Кантора. Одна з них, яку воліють філософи математики, полягає в тому, що аксиоматизация була покликана усунути парадокси і гарантувати їх недопущення в майбутньому. Ця точка зору превалює і в літературі з підстав теорії множин. Інша точка зору, яка завойовує все більше прихильників серед тих, хто «навчального» піднесенню матеріалу воліє відкриття справді історичних обставин, полягає в тому, що аксиоматизация була зроблена, виходячи з внутрішніх потреб математики. Насправді, напевно істина лежить посередині. Адже можна вважати, що аксіоми Е. Цермело і теорія типів Б. Рассела, що з'явилися в одному і тому ж 1908 році, представляли собою різні відповіді на один і той же питання. Припущення про те, що філософськи орієнтована теорія Рассела і математично орієнтована теорія Цермело відповідали на різні питання, було б неприродним як історично, так і концептуально. А раз ці дві теорії відповідають на одне і те ж питання, навряд чи можна вважати аксіоматизації Цермело вмотивованою тільки лише математичними потребами. Однак мотивація аксиоматизации теорії множин внутріми-тематичними потребами вельми правдоподібна, якщо взяти до уваги особливий статус аксіом теорії множин. Реальна ситуація тут полягає не стільки в тому, що ми маємо істини теорії множин, і потім їх організовуємо в аксіоматичну систему, а скоріше в тому, що в теорії є такі питання, на які немає відповідей, і в пошуках їх постулируются нові аксіоми. У звичайному випадку аксиоматизация вважається виправданою, якщо з її допомогою доводяться нові правильні теореми. З теорією множин немає впевненості щодо багатьох тверджень, а саме, чи є вони правильними теоремами. Безумовно, існують непрямі підтвердження правильності теорем, та їх роль незвично велика, що і додає аксіомам теорії множин особливий статус. П. Медді розглядає в цьому зв'язку три різних свідчення «правильності» математичних тверджень - внутріматематіческіе (внутрішньо властиві системі), зовнішні і «правило правої руки». Значною мірою, аксіоми теорії множин мотивовані двома останніми свідченнями, що, з одного боку, надає їм особливий статус серед математичних аксіом, а з іншого - зближує теорію множин з емпіричними дисциплінами, де подібного роду підтвердження є звичайною справою. З епістемологічної точки зору такий стан справ видається надзвичайно важливим. Розрізнення зовнішніх і внутрішніх аспектів мотивації аксіом відображає більш загальну епістемологічну ситуацію в філософії науки. Пошук підстав математики, який превалював останню сотню років, поступово витісняється апеляцією до математичної практиці. Саме вона виявляється істотною при пошуку відповідей на такі питання, як адекватність аксіом. В даний час в літературі з філософії математики часто-густо розкидані зауваження про те, що вважалися раніше важливими для математики дослідницькі програми у філософії математики насправді не мали такого вже великого значення. Швидше, всі кардинальні питання підстав математики мотивувалися не так філософськими утрудненнями, скільки внут-ріматематіческімі потребами. Дж. Мур85 демонструє історичні свідчення, згідно з якими перші аксіоми теорії множин були мотивовані прагматичним бажанням довести деякі теореми, а не програмою убезпечити підстави мате-матики від парадоксів. Таке переписування історії науки - типове заняття переможців, які представлені дослідниками, апеллирующими до математичної практіке86. У літературі з теорії множин загальноприйнято обговорення однієї аксіоматичної системи, а саме системи Цермело - Френкеля. Вона є «стандартної» системою, а всі інші в якійсь мірі, якщо використовувати сильні вирази, - «екзотичними» (наприклад, такою є думка про систему «New Foundations» В. Куайна). Більше того, в силу цієї стандартності багато стали вважати, що саме ця аксіоматика відповідає внутрішнім властивостям множин, і аксіоми природно слідують з поняття множини. Як висловилася Медді, деякі математики вважають Цермело - Френкеля буквальною істиною, а інші додаткові аксіоми або кандидати на них вважають просто метафізикою. Тим часом статус стандартних аксіоми Цермело - Френкеля придбали в силу історичної випадковості, і тому вони не можуть займати якогось привілейованого становища порівняно з іншими аксіоматичними системами. І вже тим більше, аксіоми Цермело - Френкеля не мають переважного епістемологічного статусу в порівнянні з іншими аксіомами в двох сенсах. По-пер-вих, епістемологічних інтерес можуть представляти інші аксіоматичні системи, і по-друге, навіть в рамках системи Цермело - Френкеля деякі кандидати на аксіоми можуть епістемологічних виглядати не менш респектабельними. Вихідна система Е. Цермело містила сім аксіом і була задумів і побудована в дусі Підстав геометрії Д. Гільберта. Аксіоматична система, з точки зору Цермело, повинна була служити підставою для всієї математики. Історики математики стверджують, що парадокс, відкритий Расселом, був роком раніше відомий вже Цермело87. Аксіоматика повинна була в першу черга убезпечити математику від парадоксів, і важко сказати, чи є ця мотивація філософської або математичної. Як видно з попереднього зауваження про те, що Цермело знав парадокс, що став відомим під назвою «парадокс Рассела», питання про пріоритет є досить складним. І дійсно, в 1888 р. Дедекінд встановив факт тотожності множин з одними і тими ж елементами, а Кантор (у листі Дедекіндом в 1899 р.) встановив два твердження, що нагадують аксіому суми та аксіому виділення. При трактуванні порожнього безлічі як безлічі ідеї Шредера могли зіграти свою роль. Але навряд чи можна дорікнути Цермело у відсутності оригінальності, оскільки цього всього він міг і не знати. Цікаво, що сам Цермело відмовлявся коментувати історію походження своєї аксіоматичної системи. Більш цікава історія аксіоми нескінченності. Дедекінд вважав необхідною істиною (в 1888 р.), виходячи з психологічних міркувань, що повинна існувати нескінченна сукупність думок, оскільки думка про думки відмінна від самої думки. Це твердження Дедекінд прийняв за доказ існування нескінченної кількості. Більш чіткі форми аналог цього твердження знаходить в Принципі рефлексивних, який обговорювався вище. Пізніше Буран-Форті відкинув необхідний характер твердження Дедекинда, і надав йому статус гіпотези, використовуваної при необхідності. Б. Рассел вважав, що таке психологічне припущення є нелогічні за своїм змістом, і оскільки він слідував Фреге в логіцістской програмі, з його точки зору в чистій математиці не повинно було бути нелогічних елементів. Цермело зробив вирішальний крок, визнавши за твердженням статус постулату. Предметом суперечок між філософами математики і працюючими математиками є питання про мотивацію створення аксіоматичної теорій множин. Філософи в цілому говорять про спроби уникнути парадокси теорії множин, в той час як працюючі математики схильні до того, що система була народжена всередині-математичними потребами. На користь другого твердження говорить походження важливих аксіом Цермело - виділення, аксіоми вибору і безлічі-ступеня. Всі вони з'явилися частиною докази Е. Цермело теореми про цілком-впорядкованості множин, що було частиною великої математичної програми Кантора. |
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "1. Мотивація і історія питання" |
||
|
||