| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
Б. Ріман |
||
|
Короткий нагадування про ідеї деяких філософських попередників Рімана в якості історичного тла буде корисною передумовою докладного розгляду його доктрини про конгруентності, притаманною континууму простору і часу. У середні століття Роберт Гроссетест та інші учасники Оксфордської школи натурфілософії розглядали спроби вивести теорему Піфагора з гіпотези про можливу дискретності фізичного простору або, висловлюючись сучасною мовою, виходячи з того, що простір квантоване. Згідно з їх поглядами, несумірні просторові інтервали, висновок про існування яких випливає з цієї теореми, переконливо свідчать проти квантування простору. Несумірність наводить на думку про те, що (i) лінійні інтервали являють собою нескінченні безлічі непротяжних фізичних точок, а не кінцеві безлічі мінімальних елементів простору, що володіють позитивною протяжністю (атомів простору), і (ii) оскільки всі фізичні просторові інтервали є нескінченними системами точок , то їхні заходи (довжини) не можуть бути задані кардинальним числом їх точкових елементів і, отже, не можуть бути встановлені шляхом перерахунку цих елементів. З іншого боку, якби фізичний простір було гранульованим (дискретним, атомарним, квантованим), міра будь-якого даного інтервалу могла б бути виражена за допомогою кардинального числа складових його квантів і, таким чином, міра протяжності містилося б всередині самих просторових інтервалів. Уолтер Берлі зробив висновок, що, отже, «в континуумі (непротяжних точок) по самій природі, а не тільки по встановленню людей немає ніякої первинної та єдиної міри (тобто ніякої міри,« що міститься всередині просторової протяжності »)» 1 (1 Цитується за книгою: Д ж. У і т р о у, Природна філософія часу, М., УРСС, 2003, стор 219.). До подібного ж висновку прийшов і Давид Юм2 (2 Д. Ю м, Трактат про людську природу, «Твори в двох томах», т. I, «Думка», М., стор 131 -147.). З міркувань, висунутих цими мислителями, ясно, що якщо один атом простору або будь-яке ціле їх безліч складають одиницю виміру, яка міститься всередині кожного інтервалу дискретного простору, то всередині інтервалів безперервного простору фізичних точок не міститься ніякої одиниці виміру. Таким чином, безперервність фізичного простору передбачає необмежений конвенціональний вибір одиниці довжини. Навпаки, в атомарному просторі подібний необмежений конвенціональний вибір не допускається; наприклад, передбачувана одиниця виміру, рівна половині атома цього простору, не допускала б ніякої фізичної реалізації. Відповідно до цього вже роздуми філософських попередників Рімана наводять на такі міркування: широта конвенційного вибору при визначенні метрики простору залежить від фактів, які самі не є предметом конвенції. Розглянемо тепер інтервал АВ в математично безперервному фізичному просторі, скажімо, даної (класної) дошки, а також інтервал Т0Т1 в континуумі миттєвостей, утвореному, наприклад, рухом класичної частинки. На відміну від ситуації з атомарним простором ні кардинальне число інтервалу АВ, ні будь-яке інше властивість, внутрішньо властиве інтервалу, не забезпечує заходи його власної просторової протяжності точно так само, як і тимчасової протяжності Т0T1. Бо інтервал Л В характеризується тим же самим кардинальним числом, як і будь-який з його власних подинтервалов і, отже, як і будь-який інший невироджений інтервал CD. Подібні ж зауваження мають відповідно силу і для тимчасового інтервалу T0T1. Якби інтервали фізичного простору або часу володіли внутрішньою мірою або «внутрішньо властивою метрикою», відносини конгруентності (так само як і неконгруентності) виходили б для непересічних просторових інтервалів АВ і CD саме в силу цієї внутрішньо властивою їм метрики. Ів цьому гіпотетичному випадку ні існування відносин конгруентності між пересічними інтервалами, ні встановлення їх пізнавального значення логічно не передбачало б повторюване накладення і переміщення будь-якого стандарту довжини. Однак інтервали математично безперервного фізичного простору і часу позбавлені внутрішньої метрики. І за відсутності такої внутрішньо властивою метрики основа для вимірювання протяжності фізичного простору або часу повинна бути забезпечена за допомогою порівняння інтервалу з тілом чи процесом, який зіставляється з ними ззовні і є тим самим «зовнішнім» по відношенню до інтервалу. Отже, саме існування, а не тільки епістемологічної встановлення відносин конгруентності (так само як і неконгруентності) між непересічними інтервалами АВ і CD безперервного фізичного простору буде залежати від відповідних відносин, які встановлюються між такими інтервалами і зовнішнім метричним стандартом, зіставляти з ними. Таким чином, питання про те, чи є взагалі два непересічних інтервалу конгруентними чи ні, залежатиме від приватних збігів зовнішнього метричного стандарту при його переміщенні, а не тільки від приватних інтервалів AB і CD. To ж має силу й стосовно ролі годин для випадку непересічних тимчасових інтервалів T0T1 і Т2Т3. Більше того, відсутність у інтервалів фізичного простору внутрішньо властивою їм метрики - відсутність, які насамперед і змушує вдаватися до допомоги зовнішнього переміщуваного метричного стандарту, - має своїм наслідком те, що безперервна структура фізичного простору не може засвідчити самоконгруентность (жорсткість) будь-якого зовнішнього стандарту в процесі його переміщення. Це ж має силу і для фізичного часу і рівномірного ходу (ізохронізма) годин. Саме з цієї причини виявляються неспроможними наступні два твердження, які явно чи неявно містяться в першому схолії «Почав» Ньютона: 1) критерієм адекватності зовнішнього стандарту довжини є фактично його просторова самоконгруентность (жорсткість) при переміщенні, 2) якщо кожен з двох зовнішніх стандартів довжини призводить до несумісних даними щодо конгруентності непересічних інтервалів, то тільки один з них залишається при переміщенні воістину просторово самоконгруентним (жорстким). Тому не слід помилково виносити вирок про неспроможність цих двох тверджень в такому формулюванні: зовнішній метричний стандарт є самоконгруентним чинності конвенції, а не в силу фактичних властивостей простору, хоча будь-яке відповідність між отриманими з його допомогою даними щодо конгруентності і даними, забезпечуваними іншим таким стандартом , є, звичайно, питанням факту. Тепер зіставимо це укладення з нашим колишнім висновком про те, що наявність конгруентності між непересічними інтервалами залежить саме від встановлюваних емпіричним шляхом відносин цих інтервалів до переміщуваному стандарту, самоконгруентность якого встановлюється конвенцією. Тоді стає очевидним, що наявність відносин конгруентності між непересічними інтервалами є: 1) питанням конвенції саме в тому сенсі, що конвенційної виявляється самоконгруентность зовнішнього метричного стандарту при його переміщенні, і 2) питанням факту саме в тому сенсі, до якої міри відповідні відносини інтервалів до Порівнювати з ними зовнішньому метрическому стандарту є справою факту. Тому було б неправильно вважати разом з Патнем, що, якщо існує група фізичних законів (наприклад, Ньютонови закони руху, закон Гука і т. д.), яка встановлює, що всі члени певного класу С стандартів просторової конгруентності повинні показувати при переміщенні одні й ті ж дані щодо конгруентності, тоді вирішення питання самоконгруентності при переміщенні точно так само стає справою просторового факту. Таким чином, наявність дуже важливого конвенційного інгредієнта в проблемі конгруентності непересічних інтервалів зовсім не суперечить тому, що дана конгруентність
виходить по відношенню до кожного з усієї групи зовнішніх стандартів, а не по відношенню до одного-єдиного стандарту , представленому необуреним жорстким тілом. Ось з яких причин будь-який стандарт конгруентності є зовнішнім, а самоконгруентность будь-якого з них, як і всіх їх разом, при переміщенні є конвенційної. Відносини конгруентності між інтервалами простору, часу і простору-часу відповідно визначаються рівними заходами ds3, ds1 і ds4. І оскільки ці відповідні інтервали не володіють внутрішньо притаманними їм метриками ds3, ds1 і ds4, конгруентність, що встановлюється між ними, є зовнішньою. Таким чином, метрика і конгруентність є зовнішніми для інтервалів безперервних різноманіть простору, часу і простору-часу, але не для самих цих різноманіть. Проте, для стислості, торкаючись цього питання, ми будемо говорити, що дані різноманіття (безперервності) позбавлені внутрішньої метрики. Концепція конгруентності висуває тут допустиму альтернативу метризації безперервності одних і тих же точкових елементів, яка грунтується на несумісності відносин конгруентності. Однак ніщо в цій концепції не забороняє використовувати критерій описової простоти і дозволяє користуватися приватним видом метризації і тим самим відібрати унікальний клас з класів конгруентних інтервалів, виключаючи в певних теоретичних ситуаціях інші. Таким чином, ніщо в цій концепції не наказує нам не звертатися до конгруентності, запозиченої з фізики нашого повсякденного життя як основі геометрії класної дошки або письмового столу. До того ж наша точка зору на конгруентність цілком допускає, що існують переконливі підстави описової простоти (як це буде пояснено нижче у другому розділі) для формулювання емпіричного змісту ньютоновой механіки за допомогою стандарту астрономічної тимчасової конгруентності, а не стандарту тимчасової конгруентності, що спирається на нерівномірний обертальний рух Землі. Знову ж ніщо з цієї точки зору на конгруентність не змушувала Ейнштейна надмірно ускладнювати рівняння загальної теорії відносності, використовуючи просторово-часову конгруентність, відмінну від тієї, яку він використовував насправді. Однак у той же час наша точка зору вважає законними в філософському відношенні ті випадки, коли в науці реально використовуються альтернативні критерії конгруентності того чи іншого виду, як це було пояснено вище. Наші критичні зауваження на адресу точки зору Ньютона на статус конгруентності в безперервному фізичному просторі та часі стосуються тільки їх безперервності в тому вигляді, як він її розумів, а не змісту законів фізики, яке було запропоновано подальшими теоріями . І та оцінка конгруентності, яку ми пропонуємо на противагу ньютоновой, являє собою більш ясний виклад того, що було досить туманно викладено Ріманом в наступних висловлюваннях його «інавгураційна лекції» щодо простору і часу: Окремі частини різноманіть можуть бути виділені за допомогою деяких ознак або кількісних (квантитативних) відмінностей. З кількісної точки зору порівняння здійснюється у разі дискретних різноманіть допомогою рахунку, в разі безперервних - за допомогою вимірювання. Вимірювання полягає в послідовному прикладанні порівнюваних величин; тому можливість вимірювань обумовлена наявністю деякого способу переносити одну величину, прийняту за одиницю масштабу, за іншою величиною. Питання ... тісно пов'язаний з питанням про внутрішню причину виникнення метричних відносин у просторі. Це питання, звичайно, також відноситься до області вчення про простір, і при розгляді його слід взяти до уваги зроблене вище зауваження про те, що в разі дискретного різноманіття принцип метричних відносин міститься вже в самому понятті цього різноманіття, тоді як у випадку безперервного різноманіття його слід шукати десь в іншому місці. Звідси випливає, що або те реальне, що створює ідею простору, утворює дискретне різноманіття, або ж потрібно намагатися пояснити виникнення метричних відносин чимось зовнішнім - силами зв'язку, діючими на це реальне 1 (1 Б. Р і м а н, Про гіпотези , лежать в основі геометрії. СБ «Про підстави геометрії», М., 1956, стор ЗП, 323-324.). Нижче ми побачимо, що хоча Ріман помилявся, припускаючи, що перша частина цього твердження витримає критичну перевірку в якості характеристики безперервного різноманіття взагалі, він виклав тут фундаментальна властивість безперервності фізичних простору і часу, які суть різноманіття, де всі елементи, взяті окремо, мають нульове вимір. Це основна властивість просторово-часового континууму, як вже зараз видно, позбавляє сили ньютоново твердження про те, що порожньому простору і часу внутрішньо притаманна певна метрика. Продовжуючи обговорення ріманової трактування просторово-часової конгруентності, ми можемо не, стосуватися обмеженості доканторовской трактування Ріманом дискретного і безперервного типів порядку як взаімоісчерпивающіх понять. Ми відкладемо це обговорення до тих пір, поки в чотирнадцятому і п'ятнадцятий главах не буде розглянута значення ідеї Рімана про те, що «підстави для метричних відносин простору повинні бути знайдені ззовні ... у розгляді сил, які впливають на нього », для первісної спроби Ейнштейна використовувати принцип Маха в загальній теорії относітельності1 (1А. Ейнштейн, Принципове зміст загальної тео рії відносності, «Збори наукових праць», вид-во «Наука», М., 1965, т. I, стор 613.). Вважаючи, що затвердження Рімана застосовується не тільки до довжин, але також mutatis mutandis до площ і обсягами більшого числа вимірів, він дає наступне достатню (але не необхідне) умова внутрішньої определяемости і неопределяемо метрики: у разі дискретно упорядкованого безлічі «відстані» між двома елементами можуть бути внутрішньо визначені досить природним шляхом за допомогою кардинального (найменшого) числа проміжних елементов2 (2Здесь не розглядається підставу для перериваного упо рядоченія; воно може бути конвенціональним, як у випадку букв алфавіту, або обумовлено особливими властивостями і відносинами об'єктів, що володіють специфічним порядком.). На противагу цьому при зіставленні протяжних безперервних різноманіть простору і часу (їх безперервність у сучасної фізичної теорії постулюється, якщо не вважати програми квантування простору і часу) ні кардинальність інтервалів, ні будь-яке інше топологічний властивість їх не дають підстав для внутрішньо обумовленою метрікі3 (3Ета точка зору робить у філософському відношенні законними ті випадки, дійсно мають місце в науці, коли вико валися альтернативні критерії просторової (або часів ної) конгруентності. Приклад такого використання можна при вести за допомогою диска, що обертається зі змінною кутовою швидкістю в плоскому просторі-часі Мінковського. Детальний обговорення цього прикладу див в: A. G г ї nbaum, Geometry and Chronometry in Philosophical Perspective (University of Minnesota Press, Minneapolis, 1968), Ch. Ill, § 2.). Метрична аморфність, внутрішньо притаманна просторової безперервності, стає надалі очевидною завдяки аксіомам просторової конгруентності, після того як було встановлено, що їм має бути дана просторова інтерпретація за допомогою інтервалів фізичного простору 1 (1См. про ЦИХ аксіомах: А. N. W hitehead, The Principle of Relativity, Cambridge: Cambridge University Press, 1922, Chap, iii, pp.42-50.). Ці аксіоми зумовлюють, що конгруентність (для інтервалів) повинна бути предикатом просторового рівності, приписуючи рефлективність, симетрію і транзитивність відношенню конгруентності в класі просторових інтервалів. Однак, хоча і є таке попереднє використання поняття «конгруентний» і система аксіом тим самим вже не є неінтерпретірованной, аксіоми конгруентності допускають ще нескінченне число взаємно виключають класів конгруентності просторових інтервалів, і потрібно ясно давати собі звіт, що будь-який визначений клас конгруентності є деякий клас з класів конгруентних інтервалів, довжини яких задаються певною функцією відстані . Ми тільки що бачили, що не існує метричних атрибутів, внутрішньо властивих інтервалах, на які можна було б послатися при виборі одного з цих класів конгруентності в якості унікального. Як же тоді ми можемо говорити про те, що передбачуване безперервним фізичний простір має якусь метрику, або mutatis mutandis припускати, що фізичний тимчасової континуум володіє унікальною метрикою? Відповідь може бути тільки таким 2 (2Такое висновок, мабуть, здавалося необгрунтованим тим, хто, подібно Уайтхедом, відкидав «біфуркації природи», є передумовами цього висновку. Далі в цій главі читач знайде докладні заперечення проти затвердження Уайтхеда про те, що сприймаються простір і час володіють внутрішньо притаманними метриками, так що відмінність між фізичним і сприйманим простором (або часом) відкидається як незаконне і метрика, внутрішньо притаманна фізичному простору і часу, може бути введена в них розумним чином): саме вибір якогось приватного стандарту конгруентності, який є зовнішнім по відношенню до самого континууму, може визначити унікальний клас конгруентності, жорсткість, або самоконгруентность, стандарту якого при переміщенні декретується конвенцією; те ж має силу для періодичних пристроїв, що представляють синхронізм (рівномірність) ходу годинника. Таким чином, роль просторового або тимчасового стандарту конгруентності не може бути витлумачена разом з Ньютоном і Расселом тільки як встановлення іншим способом рівності, яке внутрішньо властиво інтервалах, що належить до класу конгруентності, що встановлюється цим рівністю. Якщо один з двох відрізків не є підмножиною іншого, то отримання відносини конгруентності між двома відрізками є питання угоди, умови або діфініціі, а не питання фактуальную, щодо якого емпіричні дані могли б показати, що ми помиляємося. Отже, до отримання фізичного умови конгруентності взагалі не може бути й мови про емпірично або фактуально обумовленою метричної геометрії або хронометріі2 (2 Д'Абро (A. d'A b г о, The Evolution of Scientific Thought from Newton to Einstein, New York: Dover Publications, Inc., 1950, p. 27) помилково ілюструє тезу про конвенціональному характері метрики в континуумі таким чином: він розглядає потік звуків, що змінюються по висоті тону, і показує, що критерій конгруентності, заснований на послідовних слухових окта вах даної музичної ноти , знаходиться в протиріччі з конгруентністю, яка визначається рівними різницями між пов'язаними частотами вібрації, оскільки різниці частот між послідовними октавами не рівні. Однак ілюстрація Д'Абро є не прикладом альтернативної метризації одного і того ж математично безперервного різноманіття елементів, а прикладом метризації двох різних різноманіть, причому тільки одне з них безперервно в математичному сенсі. Бо зміст слухових сприйнять, що становить відношення наступних один за одним октав, являє собою елементи тільки сенсорного «континууму». Крім того, ми побачимо далі в цьому розділі, що, будучи вірним для математичного континууму фізичного простору і часу, елементи яких (точки і відстані) відповідно однакові як в якісному, так і в кількісному відносинах, теза про конвенціональному характері метрики не можна поширювати всупереч Ріманом і Д'Абро на всі види математичного континууму.). У разі геометрії завдання інтервалів, які за угодою повинні бути конгруентними, здійснюється за допомогою функції відстані; конгруентними будуть ті інтервали, які, згідно цієї функції, будуть характеризуватися рівними довжинами. У всякому разі, інтервали, які визначаються збігами перемещающегося стрижня, який не зазнає «деформирующих впливів», або є такими, яким функція відстані приписує рівні довжини ds, або вони зовсім не залежать від нашого вибору функції gik. Таким чином, якщо компоненти метричного тензора gik підібрані відповідним чином у будь заданій системі координат, то що переміщається стрижень, за припущенням, має бути усюди конгруентна самому собі незалежно від свого становища і орієнтації. З іншого боку, при відповідному виборі інших функцій gik довжина ds перемещающегося стрижня може не бути постійною, а змінюватися зі зміною положення та орієнтації. Коль скоро допомогою функції відстані ds встановлена конгруентність, тим самим визначаються та геодезичні (прямі лінії), пов'язані з даним вибором конгруентності1 (1 Геодезичні називаються «прямими лініями», коли їх відносини розглядаються в рамках синтетичної геометрії. Проте з цього ототожнення не випливає, що на поверхні, відмінної від евклідової площини, будь-яка геодезична зв'язок між будь-якими двома точками є лінією, що виражає найкоротша відстань між ними. Оскільки ми не збираємося обмежуватися евклідової геометрією, наявність геодезичної зв'язності є тільки необхідна, але не достатня умова існування найкоротшої відстані; «вірно, що найкоротша відстань між двома точками P і Q на сфері задається з геодезичної, представленої дугою великого кола. Але існують дві дуги великого кола між двома точками,, і тільки одна з них є кривою найменшої довжини, виключаючи той випадок, коли Р і Q є кінцями діаметру і обидві дуги мають однакову довжину. Цей приклад зі сферою показує також, що не завжди вірно, що через дві точки проходить тільки одна геодезична: якщо Р і Q є кінцями діаметра, то будь-який великий круг, що проходить через Р і Q, є геодезичної і дає вирішення проблеми знаходження найкоротшого відстані між цими двома точками »(див.: DJ S truik, Classical Differential Geometry, Cambridge: Addison-Wesley Publishing Co., 1950, p. 140). Проте в тому випадку,« якщо дві точки на поверхні такі, що через них проходить тільки одна геодезична, довжина відрізка геодезичної є найкоротшим відстанню на поверхні між цими двома точками »(LP Eisenhart, An Introduction to Differential Geometry, Princeton University Press, 1947, Sec. 32, p. 175). Про достатніх умовах того, щоб геодезична зв'язок висловлювала мінімальне або найкоротша відстань, см.: О. В о 1-za, Lectures on the Calculus of Variations (New York: GE Ste chert, 1946), Chap. Необхідною умовою існування екстремуму в точці є в точці. Далі, в нашому випадку варіаційне числення має справу з подібною, але більш складною проблемою: знайти функцію яка є рівнянням сімейства геодезичних ліній, таку, що визначений інтеграл, узятий по функції, буде мінімальним або щодо мінімальним, тобто екстремальним для малих варіацій, які звертаються в нуль на кордонах інтегрування. Ми розглядаємо як функцію функції, так як перший залежить від контуру по якому береться інтеграл. За аналогією з умовою для екстремуму в диференціальному численні умова для сімейства геодезичних у варіаційному численні є. Представляючи ds як I dx, можна показати у варіаційному численні (див.: Н. М а г genau and GM Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry, New York: D. Van Nostrand Co., 1943, pp. 193-195) , що ця умова виражається диференціальним рівнянням, відомим під назвою рівняння Ейлера
де символ позначає приватну похідну на відміну від символу варіації. В якості простої ілюстрації розглянемо проблему знаходження геодезичних евклідової площині. Метрика задана:. Її можна переписати у вигляді. Якщо мінімальний, то рівняння Ейлера має задовольнятися для випадку . Отже, ми маємо, де m є константа, або. Як і очікувалося, це є рівняння сімейства прямих.).
Геометрія, що характеризує ставлення розглянутих геодезичних, визначається аналогічним чином за допомогою функції відстані ds, тому що гауссова кривизна До всякого елемента поверхні в будь-якій точці простору задається за допомогою функцій gik, які є складовою частиною функції відстані ds. Тому існують альтернативні метризації тих же самих фактуальних відносин збіги переміщуваного стрижня, і деякі з цих альтернативних визначень конгруентності призводять до різних метричних геометрії. Тому за допомогою відповідного визначення конгруентності ми вільні вибрати в якості опису даної сукупності просторових фактів будь-яку метричну геометрію, сумісну з існуючою топологією. Більш того, в розділі Б третього розділу ми побачимо, що існує нескінченно багато несумісних визначень конгруентності, які забезпечують вибір будь-який з метричних геометрій, евклідової або неевклідової. Ми говоримо про альтернативні «визначеннях» конгруентності. Зокрема, ми будемо посилатися на одне з цих визначень, яке задається за допомогою недефор-міруемого стрижня, як на «звичайне визначення» конгруентності. Однак можна заперечити, що такі поняття, як звичайне поняття просторової конгруентності, є поняттями «безлічі критеріїв» на противагу поняттям «одного критерію»: конгруентні просторові інтервали в інерціальній системі можна було б «визначити», наприклад, як інтервали, для проходження яких у один кінець або туди і назад світловому променю потрібно однакове час, і це визначення було б настільки ж можливим, як і визначення за допомогою поєднання недеформівних пересувних стрижнів. На це заперечували, що логічно невірно говорити про введення визначення конгруентності в дусі «координативного визначення» 2 (2 Згідно Рейхенбаха, на відміну від звичайних логічних визначень понять через інші поняття, у фізиці користуються іншими визначеннями, а саме, те чи інше поняття визначається через зіставлення з ним певного предмета чи процесу дійсності. Такі визначення він називає координату-ними. Див «The Philosophy of Space and Time», § 4. - Прим. перекл.) Рейхенбаха, оскільки ніякої фізичний критерій, такий, наприклад, як заснований на твердому стержні, не може забезпечити вичерпним чином дійсне і потенційне фізичне значення поняття просторової конгруентності у фізиці. Але при цьому запереченні втрачають не врахували, що наші посилання на те чи інше «визначення» конгруентності в межах безлічі взаємно виключають «визначень» конгруентності не приводить нас до грубо операціоналістскому твердженням, що будь-яка приватна «визначення», вибране вченим, вичерпним чином характеризує « дане значення »просторової конгруентності у фізичній теорії. Бо нас цікавить можливість альтернативної метризації просторового континууму, яку підкреслював Ріман, і витікаючий звідси конвенціональний характер конгруентності. І ми цілком віддаємо собі звіт в тому, що фізика надає нам клас сумісних критеріїв конгруентності, а не тільки один такий критерій. Отже, коли в даній ситуації ми говоримо про «визначенні» конгруентності, ми розуміємо під «визначенням» таку характеристику, яка використовує той чи інший критерій для вибору певного класу конгруентності з нескінченної кількості взаємовиключних класів конгруентності. Таким чином, всюди в цій книзі ми буде говорити про «визначенні» конгруентності, в суті не ставлячи під сумнів те, що просторова конгруентність у фізиці є відкрите поняття, що характеризується багатьма критеріями в наступному сенсі: існує потенційно зростаюче безліч сумісних фізичних критеріїв, а не тільки один-єдиний критерій, за допомогою якого будь-який клас просторової конгруентності (тобто клас, звичайний для елементарної фізики) може бути відділений від всякого іншого класу конгруентності. Вказуючи раніше, що питання про просторової і тимчасової конгруентності переконливо розглянуто в ріманової теорії безперервних різноманіть, ми говорили, що ця теорія не витримує пильної критичного аналізу як теорія, що характеризує безперервні різноманіття взагалі. Щоб підтвердити це звинувачення і зробити його більш вагомим, ми покажемо зараз, що безперервність не може розглядатися, слідуючи Ріманом, як достатня підстава метричної аморфності, внутрішньо властивою будь-якому різноманіттю незалежно від характеру його елементів. Бо, як вірно помітив Рассел, існують безперервні різноманіття, такі, як розмаїття кольорів (частот спектра у фізичному сенсі), де складові елементи якісно відрізняються один від іншого і мають притаманну їм величину, що дозволяє проводити метричний порівняння самих елементів. Навпаки, в безперервних многообразиях простору і часу ні точки, ні відрізки не мають внутрішньо властивою їм величини, яка дозволяла б проводити індивідуальне метричний їх порівняння, так як всі точки і відрізки подібні. Отже, в таких многообразиях метрично можна порівнювати тільки інтервали між елементами, але не самі однорідні елементи. Щоб надалі виявити ставлення характеру елементів безперервного різноманіття до можливості існування в ньому внутрішньо зумовленої метрики, я зіставляю питання про метриці в 'просторі та часі з питанням про метриці як 1) в континуумі дійсних чисел, розташованих за величиною, так і 2) в квазіконтінууме мас; причому маса розглядається як властивість тіл в ньютоновом сенсі, уточненому визначенням Маха1 (1 Коротку оцінку цього визначення див: L. Page, Introduction to Theoretical Physics, New York: D. Van Nostrand Company, 1935, pp. 56-58 .). Приписування дійсних чисел точкам у фізичному просторі за допомогою введення узагальнених криволінійних координат виробляє тільки координацію, але не метрізацію різноманіття фізичного простору. Порівняння точок по величинам їх координат-знаків, виражених дійсними числами, не може мати ніякого інформативного значення в метричному відношенні. Проте в межах безперервного різноманіття, що складається з самих дійсних чисел, впорядкованих за величиною, кожне дійсне число відрізняється від іншого і метрично порівнянно з усяким іншим через посередництво внутрішньо властивою йому величини. І вимір маси можна розглядати як контраргумент проти метричної філософії Рімана на підставі таких міркувань. У визначенні Маха ньютонова маса (гравітаційна і інерційна) задається не як відношення маси частинки У масі стандартної частинки А, а як відношення величини прискорення частинки А, обумовленого часткою В, до прискорення частинки В, зумовленого часткою А. Коль скоро просторово-часова метрика і тим самим прискорення фіксуються звичайним шляхом, це відношення для будь-якого окремого тіла В не залежить, між іншим, від того, як далеко розташовані один від одного А і В при їх взаємодії. Таким чином, будь-яке підтвердження рівності (конгруентності мас) або нерівності мас двох тіл має місце незалежно від ступеня їх просторового видалення. Безліч проміжних тел утворює квазіконтінуум щодо двох відносин «володіти більшою масою» і «мати ту ж саму масу», тобто вони утворюють порядок, який являє собою континуум, за винятком того факту, що окремі тіла можуть зайняти одне і те ж місце в цьому порядку, підтверджуючи тим самим, що їх маси перебувають у відношенні конгруентності. Без такого ставлення рівності мас ab initio безліч тіл не утворює навіть квазіконтінуума. Ми завершуємо метрізацію цього квазіконтінуума допомогою вибору одиниці маси (тобто одного грама) і використовуючи самі числові вираження відносин мас, які виходять з експерименту. Тут немає сумніву в тому, що відсутня внутрішня метрика в сенсі можливості вирішення, дорівнює чи різниця мас пари тел різниці мас іншої пари чи ні. В отриманому континуумі дійсних чисел, що представляють маси, самі елементи мають внутрішньо притаманну їм величину, і, отже, їх можна порівнювати, індивідуально визначаючи тим самим внутрішньо притаманну їм метрику. На відміну від точкових елементів простору елементи безлічі тіл не зовсім подібні масі, і, отже, метрізація квазіконтінуума, яку вони визначають своїми відносинами «володіти більшою масою» і «мати ту ж саму масу», може прийняти форму прямого порівняння індивідуальних елементів цього квазіконтінуума, а не тільки інтервалів між ними. Якщо бажано провести просторову (або тимчасову) аналогію метризації мас, то слід взяти в якості множини, яке має бути метрізовано, не кон-іінуум точок (або відрізків), а квазіконтінуум всіх просторових (або тимчасових) інтервалів. Для того щоб використовувати такі інтервали в якості елементів множини, що підлягає метризації, ми повинні насамперед мати критерій просторової конгруентності і критерій ставлення «бути більше ніж», за допомогою яких можна було б об'єднати інтервали в квазіконтінуум, який у свою чергу може бути метрізован допомогою завдання числових величин. Ця метрізація буде просторової або тимчасової аналогією метризації мас.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "Б. Ріман" |
||
|
||