| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
1. Функції логіки |
||
|
У Principia Mathematica (1911-1913) Рассела і Уайтхеда в підстави математики була покладена логіка другого і вищих порядків. Наприкінці 20-х і початку 30-х років логічним підставою математики стала логіка першого порядку. Ця обставина іноді приймає форму майже історичного наративу, наприклад, як підведення підсумків розвитку цілого пласта науки - «історичний тріумф логіки першого порядку над логікою другого порядку» 164. Просте технічне розрізнення двох видів логіки полягає в тому, що в логіці першого порядку квантори пробігають над індивідуальна змінними, в той час як в логіці другого порядку квантори пробігають не тільки над індивідуальна, але також і над предикативними змінними. Однак при ближчому розгляді виявляється, що два види логіки володіють різною ідеологією щодо фундаментальних цілей як логіки, так і підстав математики. Оскільки обидві логіки претендують на те, щоб бути справжніми основами математики, слід мати більш точне уявлення про співвідношення логіки і математики, тому що багатозначність терміна «логіка» робить багато уявлення про її природу кілька розпливчастими. Знаменитий логіцістскій тезу Фреге і Рассела, згідно з яким математика зводиться до логіці (афористичний вислів Расселом тези - «логіка є юність математики, а математика - зрілість логіки»), вважається застарілим, хоча останнім часом логіцизм переживає другу моло-дость165. Але твердження, що математика є логіка, має і розширювальний сенс, який не має прямого відношення до логіцізма. У певному сенсі кожна мова має властиву йому логіку, яка характеризує поняття слідування в цій мові. У такому розширювальному сенсі будь-яка математична теорія може розглядатися як логіка деякої мови, якщо при цьому розглядати терміни цієї теорії як логічні частки мови. Така ситуація вже розглядалася нами в попередньому розділі, коща обговорювалося питання про те, чи вважати відношення приналежності в теорії множин логічної часткою. При такому розумінні логіки її концепції несуть в собі зміст відповідної теоріі166. Відносно змісту логічної або математичної теорії існує кілька точок зору. Рассел, звівши математику до логіки, проголосив до того ж і відсутність змісту в логіці, що автоматично переносилося і на математику. Обидві дисципліни були оголошені позбавленими змісту, в тому сенсі, що твердження в цих науках є тавтологіями. Ця ідеологія була прийнята Віденським Кружком, але відкинута, як і належить, більшістю філософів математики як вкрай неправдоподібна точка зренія167. Однак постановка проблеми відсутності вмісту в логіці виявилася вкрай корисною при розробці та обгрунтуванні концепції логіки першого порядку як підстав математики. Логіка не має змісту в тому сенсі, що в аксіоматичної теорії логіка не вводить з чорного ходу в математичну теорію ніяких додаткових припущень, чим досягається повна ясність щодо того, які саме об'єкти приймаються даної аксіоматичної теоріей168. Логіка першого порядку не має змісту, принаймні в тому сенсі, що вона служить лише забезпеченню правильного переходу від посилки до ув'язнення в математичному міркуванні, і цей перехід відбувається за цілком ясним правилам, які належать до використання логічних констант. У цьому відношенні логіка другого порядку набагато менш зрозуміла, бо немає такого безлічі правил, які б дали всі її правильні результати. Іншими словами, логіка першого порядку володіє повнотою, в той час як логіка другого порядку неповна. Виразні можливості логіки другого порядку в якості підстав математики набагато багатше виражальних можливостей логіки першого порядку. Проте, за існуючими нині канонам, підстави математики являють собою логіку першого порядку плюс аксіоматична теорія множин. Для того щоб зрозуміти парадоксальність становища, слід розглянути більш ретельно, які відмінності цих двох видів логіки. Фундаментальним поняттям логіки є поняття слідування, яке покликане експлікувати наші інтуїтивні уявлення про те, як слід здійснювати перехід від одного твердження до іншого. Неявній посилкою інтуїтивних уявлень виступає впевненість у тому, що поняття слідування повинно бути універсальним, відображаючи структуру людського мислення в самих різних дискурсах, від математики до філософії. Однак це подання невірно вже тому, що логіка як така може розумітися по-різному. Значною мірою це пов'язано і з різним розумінням аксіоматичного методу. Останнім часом прийнято враховувати і та обставина, що поширене розуміння логіки як математичної логіки не бере до уваги, що остання є кодифікацією математичного теоретизування, де в силу багатьох тонких особливостей математики фундаментальні поняття, що мають ходіння в філософії (зважаючи традиційного зв'язку філософії та логіки) , можуть зазнати значну модифікацію в математичних контекстах. Іншими словами, треба розрізняти застосування логіки в математиці і застосування логіки в звичайному дискурсі. Дійсно, при використанні аксіоматичного методу аксіоми часто мають нелогічних характер, будучи систематизації-цією певній галузі математики, або ж будь-якої наукової галузі. Якщо в природних чи гуманітарних науках подібного роду систематизація - чи досяжний ідеал, то в математиці вона знаходить плоть. Це справді ідеал, тому що, маючи повну аксіоматичну систему у викладеному вище сенсі, для отримання нового знання потрібно лише витяг логічних наслідків з аксіом. У певному сенсі така програма є втіленням раціоналізму у філософському сенсі, оскільки, обмежуючись логічними наслідками з аксіом, можна забути про реальність. Тут є одне протиріччя, яке стосується природи аксіом. Якщо говорити в дусі раціоналізму про природжений знанні, то аксіоми повинні бути прості в деякому сенсі. Однак важко очікувати, що повна система аксіом, що представляє якийсь фрагмент реальності у всьому його багатстві, складатиметься з простих істин. У науковій практиці такого не трапляється, хоча і продовжує залишатися недосяжним ідеалом. Так, рівняння Максвелла, з яких випливає вся класична електродинаміка, безумовно непрості. Подання в чотиривимірному формалізмі Мінков-ського спрощує їх, але навряд чи це отриманий результат більш інтуїтивно зрозумілий і ясний. Змістовні або емпіричні істини, що знайшли відображення в аксіомах, можуть там бути присутнім явно або ж приховано. Явна присутність має місце при інтерпретованих аксіомах, а неявне - в неінтерпретірованних. Якщо всі теореми виводяться з аксіом чисто логічними засобами, тоді ми маємо справу з чисто логічною системою аксіом, незалежно від того чи є аксіоми інтерпретованими чи ні. Вся справа в значенні логічних констант, яке повинно залишатися постійним при будь-яких інтерпретаціях нелогічних констант. Ясно, що такий стан справ пов'язаний з бажанням, щоб правила висновку були рекурсивними або вичіслімих. Таке розуміння функцій логіки є результатом погляду, за яким логіка представляє формальний каркас, що містить відносини (прямування) між змістовними твердженнями. «Тут ми маємо приклад ролі логіки, яка з цілком зрозумілих причин вкоренилася в умах більшості моїх співтоваришів філософів, логіків і математиків. Логіка є вивчення відносин логічного проходження, тобто відносин імплікації. Її конкретний прояв полягає в здатності виконувати логічні висновки, тобто виводити дедуктів-ні ув'язнення. Я буду називати це дедуктивної функцією логіки »169. Тепер слід розрізнити аксіоматизації нелогічних систем, в якій аксіоми являють собою змістовні твердження, з яких виводяться інші змістовні твердження, і аксіоматизації логічних систем, в яких мають справу з логічними істинами. Незважаючи на використання одного і того ж слова (що часто трапляється у розвитку науки і філософії), між двома його смислами мається фундаментальна відмінність. Аксіоматизації логіки була винайдена спеціально як кодифікація формальних правил, які бажані при формалізації математичного дискурсу. Це метод рекурсивного перерахування всіх логічних істин, які тільки можна отримати з певних (логічних) аксіом в деякій формальній мові. Розрізнення має сенс і в зв'язку з поняттям навмисної інтерпретації - нелогічні аксіоматики мають практично завжди навмисні інтерпретації, в той час як питання про інтерпретації подібного роду для логічних аксіоматикою кілька искусствен. Зазвичай вважається, що мета логічного висновку полягає в тому, щоб при переході від затвердження до утвердження зберігалася істинність тверджень. Але одна справа - зберігати логічні істини і зовсім інша - зберігати змістовні істини. Змістовні істини являють собою емпіричні істини про світ, тобто фактичні істини, в той час як логічні істини мають зовсім інше концептуальне походження. Логіка, будучи протягом багатьох століть пов'язаної з метафізикою, легко благословляє висновок від матеріальної імплікації р з> q (де р і q - змістовні затвердження) до модальному твердженням про необхідність N (pD q), висновок, який не проходить в разі змістовних тверджень . У цьому випадку логічний висновок не гарантуватиме збереження істини. У певному сенсі висновок в нелогічних системі є справжнім висновком, в той час як логічний висновок - «сегментом рекурсивного перерахування істин». Однак історія логіки і математики склалася так, що це найважливіше відмінність було змазане, якщо можна так висловитися, контингентні подією створення логіки першого порядку. Насамперед, слід зазначити, що аксіоматичної системою, з приводу якої виникли дискусії, які, в кінцевому рахунку привели до виділення в логіці мови першого порядку, була аксіоматична система теорії множин Е. Цермело. Оскільки зусиллями Фреге і Рассела теорія множин розглядалася як частина логіки, змістовна аксіоматична система Цермело як підстава теорії множин (і всієї математики) багато в чому була подібна аксіоматичної логічній системі. Офіційно логіка першого порядку народилася в 1928 р., коли вийшла книга Д. Гільберта і В. Аккермана Основи теоретичної логікі1, де цей фрагмент логіки був сформульований явним чином. Ряд обставин зробив логіку першого порядку засобом логічного висновку в математиці. По-перше, як видно з усіх підручників, де викладається предикатна логіка або кванторная логіка (інші назви логіки першого порядку), кванторние формули використовуються як формалізація буденної мови. В. Куайн у ряді своїх работ170 назвав цей процес «регламентацією повсякденного мови», що втім не дивно, оскільки для нього, як уже говорилося раніше, «first-order logic is logic enough». Коль скоро буденний мова піддається щодо задовільною формалізації, логіка першого порядку стала вважатися природним інструментом не тільки математичного, а й повсякденного мислення. Далі, «легко бачити, чому логіка першого порядку здається мрією логіка. Насамперед ця логіка допускає повну аксіоматизації. З першого погляду це здається ефективним виконанням надій Гільберта та інших на непроблематично і повністю аксіоматізіруемую базисну логіку. Існування такої логіки було насправді однією з передумов того, що нині відомо під ім'ям програми Гільберта - тобто, програми доказу несуперечності деяких математичних теорій, в першу чергу арифметики та аналізу, шляхом демонстрації того, що з їх аксіом неможливо формально вивести протиріччя. Якби використовується при цьому логіка була неповна, тоді весь проект втрачав свій сенс, тому що могло б існувати недовідне протиріччя серед логічних наслідків цих аксіом. На щастя, Геделем в 1930 році була показана повна аксіоматізіруемость логіки першого порядку. Більше того, було показано, що логіка першого порядку допускає всі види приємних металогіческіх результатів, таких як компактність (нескінченна безліч пропозицій несуперечливо, якщо і тільки якщо, несуперечливими є всі його кінцеві підмножини), спрямована знизу вгору теорема Левенгейма - Сколема (несуперечливе кінцеве безліч пропозицій має лічильну модель), теорема отделимости (якщо а і т - несуперечливі безлічі формул, носить суперечливо, тоді для деякої «віддільною формули» в 5 в стандартному словнику а і т ми маємо а => 5, т-i 5), інтерполяційна теорема (якщо => (SI е 52) нетривіально, тоді для деякої формули I в загальному словнику 51 і 52, (51 е. I), => (IZ) 52)), теорема Бета (неявна визначність тягне точну визначність), і так далі. Коротше, логіка першого порядку здається не тільки базисної, а й справжнім раєм логіків »171. Однак цей «рай» виявився недосконалим, оскільки значне число математичних концепцій не може бути виражене в мові першого порядку. До таких концепціям відносяться математична індукція, цілком-впорядкування, кінцівку, кардинальність, потужність множини та ін Відразу ж слід зауважити, що всі ці поняття виразіми на мові другого порядку. Тим часом подібна функція є прерогативою логіки, і в цьому сенсі логіка другого порядку більш краща для математичного теоретизування. Хінтікка називає таку функцію логіки дескриптивной, і вважає, що «багато цікаві феномени в підставах математики стають більш зрозумілими в світлі непорозумінь, які часто очевидні між дескриптивної і дедуктивної функціями логіки в математиці». Дедуктивна функція логіки реалізується в теорії доказів, а дескриптивна - в теорії моделей. Розгляд умо- вий істинності в теорії моделей, або логічній семантиці, є більш фундаментальним кроком в осмисленні природи логіки, ніж розгляд чисто дедуктивної структури. Дійсно, логічні висновки засновані на значенні входять до них символів. Але трактування логічних зв'язок на цьому шляху не дає нам знову-таки фундаментального розуміння їх природи. А ось в теорії моделей ми можемо отримати таку трактовку, розглянувши відношення пропозиції р до безлічі М (р) його моделей. Передбачуваний висновок від р \ КР2 в цьому випадку общезначім, якщо і тільки якщо, М (р 1) з М (р2). У цьому сенсі реальна логіка, використовувана в формалізованому представленні мислення, заснована на теоретико-модельному значенні логічних констант.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "1. Функції логіки" |
||
|
||