| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
«ІНТУЇЦИОНІЗМА» І ПРОБЛЕМА ІНТУЇЦІЇ У МАТЕМАТИКИ |
||
|
Подальшим - після Пуанкаре - етапом у ^ розробці вчення про інтуїцію в математиці стало напрямок, який одержав назву «інтуїционізма». Видатні діячі цього напрямку - голландський математик Брауер (L. Е. J. Brouwer) і швейцарський математик Герман Вейль (Hermann Weyl). Подібно «логіцізма» Рассела і «формалізму» Гільберта «інтуіціонізм» виник і розвинувся на впливове протягом не в якості філософського чи гносеологічного напряму, а як напрям математичне. Принаймні частково його виникнення було спробою подолати труднощі, котрі виникли при обгрунтуванні математики засобами «логіцізма» і «формалізму». Але так як питання було поставлено саме про обгрунтування математики, то при його розробці представники всіх трьох напрямків - «логіцізма», «формалізму», «інтуїционізма» - незалежно від своїх намірів постійно входили в обговорення «прикордонних» проблем математики, логіки і філософії. Вже у Кантора, чиї погляди склалися до виникнення цих трьох течій, філософія вторгається в математичні дослі-нання. Питання про «траісфііітном» Кантор сам визнав відносяться «до ведення головним чином метафізики і математики». У роботах, викладають погляди на актуально нескінченне, Кантор найретельнішим чином досліджує погляди з цього питання найбільших філософів - античних, середньовічних, мислителів XVII-XVIII і XIX ст. - Починаючи від Демокріта і Платона аж до Больцано, Зігварта і Вундта. Те ж відношення до філософії властиве і математичному «інтуїционізма». Це не різновид філософського інтуїтивізму - начебто інтуїтивізму, характерного для феноменології Гуссерля, - а особливий напрямок в обгрунтуванні математики і особлива розробка низки спеціально математичних дисциплін та навчань, таких, як математична логіка, теорія континууму, диференціальне та інтегральне числення, теорія множин, топологія, теорія функцій і т. д. Абсолютно неприпустимо тому ототожнення математичного «інтуїционізма» з інтуїтивізмом у філософії. Однак ідеї, на яких грунтуються у «интуи-ціоністов» поняття і вчення математики, були такі, що вимагали ясного розуміння відносин, наприклад, між «інтуїцією» в математичному і «інтуїцією» у філософському сенсі цього поняття або між «становленням» в спеціально математичному, прийнятому «інтуіціоністи» сенсі, і «становленням» у філософському значенні. Не дивно тому, що Г. Вейль, закінчуючи свій огляд стану проблеми пізнання в математиці від вчення Анаксагора до символічної математики Гільберта, підкреслює, «як тісно сплітається в своїх основах математика із загальними проблемами пізнання» (5, 33). Цілком чітке усвідомлення своїх власних філософських принципів «інтуіціоністи» досягнуто не було. Водночас логіка розвитку школи вела до того, що увага до філософських питань математики безперервно наростало. У 1913 р. в бюлетені Американського математичного товариства з'явилася важлива робота лідера «інтуїционізма» Брауера «Інтуіціонізм ц формалізм». За нею послідували опубліковані в журналі «Mathematische Annalen» статті Брауера, присвячені обгрунтуванню интуиционистской математики: «Zur Begriindung der intuitionistischen Mathematik» (N 93, 95, 96). У наступних працях Брауер переходить до більш широкої розробці питання про ставлення математики до філософії («Consciousness, Philosophy and Mathematics», 1948). Звертався до питань філософії та Г. Вейль. У 1919 р. він опублікував роботу «Про новий кризі основ математики» в журналі «Mathematische Zeit-schrift». У другій половині 20-х років вийшла його філософська робота «Філософія математики і природознавства» (перекладена англійською мовою в 1948 р.). У роботах «інтуіціоністи» необхідно відрізняти то поняття про інтуїцію, до якого вони прийшли, виходячи з власне математичних проблем, і яке було необхідно їм для освітлення і поясненні шляхів математичного творчості, від поняття про інтуїцію, частково почерпнутого ними з ідеалістичної філософії і не пов'язаного необхідної зв'язком з вмістом наукових теорій. Не все, що писали «інтуіціоністи» про інтуїцію, - «інтуїтивізм» в ідеалістичному сенсі слова. Дослідження «інтуіціоністи» і їх поняття про інтуїцію пов'язані з важливими для математики, що мають позитивне значення і надзвичайно цінними для науки питаннями про роль побудови («конструювання») в доказах математичної науки. Визначення «інтуїционізма» ми знаходимо в книзі А. Гейтінга «Огляд досліджень з підстав математики. Інтуіціонізм. Теорія докази »(російське видання, М. - Л., 1936). Згідно з визначенням Гейтінга, до «інтуіціоністи» належать математики, які беруть два наступних принципу: 1) «Математика володіє не тільки чисто формальним, але і змістовним значенням», 2) «Математичні предмети безпосередньо осягаються мислячим духом; отже, математичне пізнання не залежить від досвіду »(7, 9), Математичне зміст цього визначення змішане з філософським. Перше положення - полемічне. Воно спрямоване проти «логіцізма», котрий сподівався побудувати всю будівлю математики з одних формальних логічних елементів. Друге положення поєднує логічну характеристику математичного пізнання - як базується на безпосередньому інтелектуальному розсуді основних істин математики - з філософським висновком, згідно з яким математичне пізнання як пізнання безпосереднє, інтуїтивне, нібито апріорно, незалежно від досвіду. 2 61 9 В. Ф. Асмус Це філософський зміст виведення абсолютно ідеалістично. Більше того. «Висновок» зовсім не випливає з посилки. З визнання безпосереднього (інтуїтивного) характеру основних поглядів математики аж ніяк не випливає висновок про апріорність математичних аксіом, а слід тільки питання: на чому грунтується та безпосередність, з якою високорозвиненому математичному свідомості представляються ці аксіоми? А вирішити це цілком законний і необхідний питання можна тільки на основі діалектичного розуміння процесу пізнання і матеріалістичного розуміння досвіду. І Брауер, і Вейлю таке розуміння залишилося чужим і невідомим. Тому розглянутий у філософському розрізі «інтуіціонізм» в кращому випадку тільки ще раз підтверджує важливий для теорії знання факт, що існують положення та принципи математичного знання, які для сучасної свідомості представляються безпосередніми. При цьому «інтуіціонізм» відмовляється (як математичне протягом, він має право так чинити) від подальшого філософського дослідження генези самої цієї безпосередності. Але, відмовляючись від такого дослідження, «інтуіціонізм» Брауера проте віддається керівництву упереджених і перекручених ідеалістичних теорій і навчань про абсолютну спонтанності мислячого духу. Тому у філософському відношенні він топчеться на місці. Він не йде по суті далі того поняття про інтуїцію, яке було вироблено рационалистами XVII сторіччя. Зовсім іншим буде погляд на значення, яке принцип «інтуїционізма» отримав для обгрунтування та розвитку математики як спеціальної науки, оскільки він вільний від передумов ідеалістичної філософії. У сфері математики, під тиском її завдань і в рамках понять цієї спеціальної, незважаючи на всю її велику загальність, науки в поняття інтуїції та інтуїтивного обгрунтування математичного знання були внесені важливі зміни та уточнення. Уточнення ці звільняли математичну думку від навіювань ідеалістичної філософії та виявилися надзвичайно плідними і перспективними для розвитку математики і цілого комплексу її спеціальних дисциплін. Позиція і устремління математичного «інтуїционізма» мають передумовою негативне ставлення «інтуіціоністи» до абсолютизації логічних і формальних основ математики. «Інтуіціонізм», звичайно, користується і математичною логікою і методами формалізації. Тому ставлення «інтуїционізма» до «логіцізма» у дусі Рассела або до «формалізму» в сенсі Гільберта ні в якому разі не є заперечення найцінніших для науки результатів їх досліджень. У «інтуіціоністи» предметом критики стало переконання «логицистами» в тому, ніби все будинок математики може бути зведено на основі однієї лише логіки. «Інтуіціонізм» простежує виникнення і розробку цього переконання. Вейль нагадує, що вже Ганкель в 1867 р. в теорії комплексних чисел заявляв: «Умовою побудови загальної арифметики є ... очищена від всього інтуїтивного чисто інтелектуальна математика, чисте вчення про форми, в якій досліджуються кількості або їх образи, числа, а інтелектуальні об'єкти, яким можуть, але зовсім не повинні відповідати дійсні об'єкти або відносини між ними »(див. 5, 56. курсив мій. - В. А.). У цій «логізірованной» до кінця математики її «аксіоми перетворюються на приховані визначення містяться в них основних понять» (5, 56). «Чиста», як називає її Вейль, математика «визнає тільки одне, але зате зовсім обов'язкова умова істини - саме несуперечність» (5, 56). Згодом завдання, намічена Ганкель з метою побудови загальної арифметики, отримала повне і всеосяжне розвиток у дослідженнях Дедекинда, Фреге і Рассела. За словами Вейля, ці дослідники «якраз і мали на меті повністю логізіровать математику» (5, 74). Автори цього напрямку вважали, що настільки важливий для математики принцип повної індукції може бути обгрунтований логічно - «на трансфинитное застосуванні понять« все »і« існує », при цьому в теорії множин стирається демаркаційна лінія між математикою і логікою» (5, 74). Спочатку загальна арифметика так званих Гіперкомплексні чисел, а потім дослідження, присвячені питанням аксіоматики, розвиток теорії множин і логістики призводять до того, що "відмінність між математикою і логікою поступово стирається» (5, 87). У 1870 р. Б. Пірс (В. Peirce. Не змішувати з засновником прагматизму Чарльзом Пірсом!) Визначає математику як науку «про виробництво необхідних умовиводів» (5, 87). У своїй книзі «Введення в математичну філософію» Бертран Рассел писав: «Логіка стала більш математичної, математика-більш логічною ... Насправді вони складають одне »(80, 194). А в першому томі «Логічних досліджень» Гуссерль вказував, що значна частина теорій, що належать до «чистої», або «формальний», логіці, «вже давно складалася у вигляді чистої (особливо« формальної ») математики і обробляється математиками ... »(61, 252). Ідея «формалізації» математики була розвинена також у «формалізмі» Гільберта. У його системі поняття математики звільняються від будь-якого змісту, в тбм числі навіть від чисто логічного. У Гільберта теореми (згідно характеристиці Вейля) «перетворюються в позбавлені всякого сенсу фігури, складені з комбінацій декількох символів, і математика виявляється вже не зйаніем, а керованої деякими умовними 'правилами грою в формули, цілком подібній грі в шахи. Шаховим фігурам в математиці відповідає обмежений запас символів, розташуванню фігур на дошці - об'єднання символів у формулу. Одна або кілька формул приймаються за аксіоми; їм відповідає відоме розташування фігур на початку шахової партії. І подібно до того як у шахах з якої-небудь конфігурації після підлеглого відомими правилами пересування фігур ходу виходить нове розташування фігур на дошці, так і в математиці діють формальні правила виводу, згідно з якими з одних формул можуть бути отримані, «виведені» нові формули »(5, 27). Розміщення фігур на дошці, отримане з їх початкового розташування в шаховій партії, розіграної за всіма правилами гри, може бути названо «правильним розміщенням». У математиці аналогічну роль грає доведена формула, получающаяся з аксіом на основі правил умовиводу. Можна уявити собі у шаховій грі ситуації, що суперечать її правилами. Таким протиріччям було б, наприклад, наявність в одній грі на дошці 10 ферзів одного і того ж кольору. Аналогічно і в математиці деякі формули визначеного накреслення кваліфікуються як протиріччя. Нарешті, є аналогія між метою шахової гри, якою є мат, і деякими формулами математики: формули ці «викликають в що грає в математику бажання отримати їх як результуючої формули з відповідним чином підібраною ланцюга ходів в правильно розіграної партії докази» (5, 27) . Аналогія з шаховою грою дуже добре ілюструє устремління «формалізму». Але навіть у настільки радикальному своєму виді математичний «формалізм» не може вичерпати всі завдання і весь метод математики. Той же Гільберт визнав вже в роботах 1922 р., що, крім формалізованої математики, яка виключає всяке звернення до інтуїції і всяке змістовне мислення, необхідно існує ще інша математика, іменована за почином того ж Гільберта «метаматематиці». У ній розвивається дедукція, яка веде до висновку, що кінцева формула якого-небудь докази ніколи не може бути суперечливою. Однак для виправдання цього висновку, єдиного непіддатливого зусиллям «формалізму», Гільберт, як констатує Вейль, «змушений вдатися до володіє змістом і сенсом мисленню» (5, 28), змушений побудувати «інтуїтивно-кінцеве умовивід, спираючись на принцип повної індукції» (5, 28). І Вейль ілюструє це положення знову-таки за допомогою аналогії з шаховою грою. Ця гра може перетворитися на знання, якщо ми доведемо, що в шаховій партії при правильній розстановці фігур на дошці не можуть виявитися десять ферзів одного кольору. Крім ферзя, що стоїть на своєму місці на початку партії, на дошці можуть виявитися ферзі того ж кольору, наприклад, білого, що утворилися в результаті проходження білих пішаків на останню - восьму лінію клітин. Правила гри такі, що жоден хід не дає можливості збільшити число пішаків і ферзів одного і того ж кольору. Якщо всі пішаки одного кольору пройшли в ферзі, то сума ця дорівнює 9. Будемо тепер розглядати цю суму як початкову. Ні при якому розташуванні фігур на дошці вона не може стати більшою. Умовивід, за допомогою якого ми приходимо до цього знання, є інтуїтивне умовивід, що спирається на принцип повної індукції. Аналогія тут точна, проте точність її поширюється тільки на хід докази, але аж ніяк не на ступінь його складності. У математиці доказ несуперечності кінцевої формули надзвичайно складно. Вейль нагадує,. що Гільберт виклав свою теорію докази, що склалася у нього близько 1922 р., в роботах «Нове обгрунтування математики» і «Логічні основи математики». У першій з цих робіт він формулює розщеплення математики на формальну математику і «метаматематику». Розвиток загальної математичної науки, пояснює Гільберт, здійснюється, з одного боку, за допомогою одержання (за допомогою формального виводу) нових доказових формул з аксіом, а з іншого боку (за допомогою змістовного виводу), за допомогою приєднання нових аксіом і доказу несуперечності. При цьому Гільберт звертає увагу на те, що аксіоми і доказові пропозиції не є істинами в абсолютному значенні. Абсолютними істинами, на його думку, слід скоріше вважати погляди на довідність і несуперечність систем формул, породжувані його теорією докази (тобто «метаматематиці»). Таким чином, у Гільберта - лідера крайнього «формалізму» - математика розчленувати на математику формальну («формальну теорію») і «метаматематику» («теорію докази»). Математика вивчає формальну систему в цілому. Метаматематику, що відноситься до якої-небудь конкретної формальної системі, американський дослідник Кліні згодом назвав «метатеоріей» (див. 9, 60). На відміну від формальної теорії «метатеорія», за словами Кліні, «належить інтуїтивної, неформальній математики ... Твердження метатеоріі повинні бути зрозумілі. Її висновки мають переконувати. Вони повинні складатися в інтуїтивних умовиводах, а не в застосуванні встановлених правил, як висновки у формальній теорії »(9, 61). Для неї неможлива повна абстракція від сенсу, складова умова суворої формалізації теорії. Застосовувані в ній методи «використовують тільки інтуїтивно подаються предмети і здійсненних процеси» (9, 61). Для самого визначення формальної математики необхідна математика інтуїтивна (див. 9,61). Але метаматематика не збігається повністю з «интуиционистской» математикою. Історично першою виникла в результаті досліджень як «інту * іціоністов», так і «логицистами», У даний роботі розглядається тільки те, що було зроблено для підготовки сучасної метаматематики «інтуїционізма». У питанні про основи математики «інтуіціонізм» виходив з того, що жодна наука, в тому числі філософія і логіка, не може бути передумовою або основою математики. Математика не їсти частина логіки, не їсти, як висловився одного разу Рассел, «зрілий вік логіки» (80, 194). За Брауер, застосування в математиці докази будь-яких філософських чи логічних положень в якості засобів її обгрунтування було б порочним колом, так як при самій своїм формулюванням ці положення вже припускають математичну освіту понять (див. 7, 20). Таким чином, у Брауера виходить висновок, що математика як наука вільна від логічних передумов. Але в такому випадку єдиним джерелом математики - таке твердження Брауера - може бути інтуїція. Саме інтуїція, і тільки вона одна, дає з безпосередньою ясністю поняття і висновки математики. Але що являє собою математична інтуїція, згідно розумінню Брауера? По правді кажучи, було б важко знайти у Брауера позитивне визначення сутності інтуїції. Швидше він пропонує лише негативні характеристики. Так, за Брауер, інтуїція не їсти, по-перше, інтуїція «чуттєва». Вона не спирається на уяву. Вона не є, по-друге, «надчуттєвий» і «сверхразумная» інтуїція містиків. Про це добре говорить Рейтинг в уже цитованому огляді: «Не слід розуміти Вгоітег'овскую інтуїцію в тому сенсі, що вона доставляє нам якимось« містичним »чином узреніе (Einsicht) світу» (7, 20). Інтуїція Брауера не їсти, по-третє, інтуїція Декарта, Лейбніца, кажучи взагалі, чи не є інтуїція старих раціоналістів. На відміну від чуттєвої інтуїції математична, або теоретична, інтуїція «інтуіціоністи» да зводиться до узренію чуттєвих явищ. На відміну від інтуїції містичної інтуїція ма-тематика-«інтуіціоністи» не їсти вйденіе трансцендентного - в сенсі потойбічного, позамежного по відношенню до явищ, принципово відокремленого від явищ. «Інтуіціонізм» несумісний не тільки з розумінням інтуїції в дусі Н. О. Jloc-ського 16 або С. Л. Франка 17, а й з поглядами на інтуїцію, які розвивав, наприклад, Фіхте в останній період своєї діяльності. Саме про Фіхте Вейль говорить як про філософа, який став жертвою «містичної помилки, згідно з якою трансцендентне може бути нами в кінцевому рахунку включено в коло інтуїтивного узренія» (5, 32). «Інтуіціоністи» згодні з класичним раціоналізмом в тому, що відокремлює їх погляд від розуміння інтуїції як «чуттєвої» і як «містичної». Так само як і для раціоналістів, для них органом інтуїтивного розсуду є розум. У цьому риса їх схожості з Кантором, який, як було показано, вважав, що основні поняття його математики покояться на визначеннях розуму і володіють безпосередньою достовірністю, що досягається за допомогою «внутрішнього вйденія». Але, погоджуючись в питанні про інтелектуальний характер математичного вйденія зі старими рационалистами і з Георгом Кантором, «інтуіціоністи» рішуче відкинули метафізичне розуміння інтуїції як статичного, нерухомого розсуду. Вже Брауер зауважив, що математика є «бо-леї діяння (Тип), ніж вчення» (див. 5, 106). І Вейль в повній згоді з Брауером пояснює, що інтуїція, або споглядання, про який говорять «Інтуїція-ність», «зовсім не представляє собою стану блаженного спокою, з якого воно не може ніколи вийти» (5,55). Інтуїція математичного «інтуїционізма" не є інтуїція що став, даного, завершеного, замкнутого, готівкового у своїй завершеності. Поняття про математичному об'єкті є, згідно з поглядами «інтуіціоністи», поняття про об'єкт становящемся, що з'являється не як цілком або цілком дане, а як дане лише за допомогою побудови. Така побудова «інтуіціоністи» часто називають «конструкцією», а свою логіку і свій метод - «конструктивними». Відповідно з цим «інтуіціоністи» по-своєму розуміють роль теорем в математиці. Вони роз'яснюють, що в математичних так званих теоремах про існування «головну цінність представляє собою не сама теорема, а використовуване при ее.доказательстве побудова»; без побудови теорема «виявляється позбавленої якої б то не було цінності тінню» (5, 23). Припустимо, що ми розглядаємо питання про те, чи існує деяка послідовність чисел чи ні. Стверджувати, що вона існує, ми маємо право, згідно з «інтуїционізма», тільки тоді, коли нам вдасться побудувати закон, що визначає цю послідовність до нескінченності (див. 5, 23). Який сенс може при такій постановці питання мати стверджувальне і який зміст - негативне судження? Щоб отримати ствердну відповідь, наприклад, з питання про існування певної властивості Е у натуральних чисел, необхідно вказати цілком конкретне число, що володіє властивістю Е. Не дослідження окремих чисел, а тільки дослідження сутності числа, як такої, може бути підставою для негативного загального судження: адже ніхто не може досліджувати всі без винятку окремі числа. Але якщо «душа» докази, як це стверджує «інтуіціонізм», в построенііf то який сенс може мати негативне судження, висловлюється думка, що натуральний ряд чисел не має властивість Е? Яким способом в цьому випадку може бути досягнуто побудова? Очевидно, тут негативне судження «позбавляється будь-якого сенсу» (5, 23). Але ж загальному негативному судженню можна повідомити форму ствердної: «Всяка послідовність володіє властивістю не-Е». Поставимо питання: який сенс при такому вираженні може мати саме поняття «послідовності»? Очевидно, в цьому випадку послідовність розуміється вже не як послідовність, відразу визначається якимось законом, а як послідовність становящаяся і тільки становящаяся, тобто виникає, як стверджує Вейль, «раз за разом, в результаті актів вільного вибору» (5,24). Наприклад, за допомогою актів вільного вибору я отримую послідовність чисел: 2, 12, 18, 31, 8. Я можу поставити питання, чи знаходиться на 4-му місці цієї послідовності просте число. Очевидно, відповідь на це питання буде ствердна, так як 31 - число просте. Тепер я право сказати, що визначається моїм питанням властивість властива даній послідовності. Справедливість цього твердження вже не може бути змінена, яким би чином не відбувалося подальше розгортання послідовності, будуть чи не будуть простими числами подальші члени цієї послідовності, що вийшли в результаті вільного вибору. У роботі «Про нову кризу основ математики» Вейль висловив ідею вільно що стає послідовності так: якщо послідовність «виникає поступово, за допомогою вільних актів вибору, то її слід розглядати як що стає, а що стає вільної послідовності (Wahlfolge) можна розумним чином приписувати тільки такі властивості, для яких диз'юнкція «так чи ні» (притаманне чи дана властивість послідовності чи ні) дозволяється на якомусь певному, досягнутому нами місці послідовності, дозволяється при цьому так, що, як би не проіаад-діло подальше розгортання послідовності, за межами цього пункту її становлення воно не змінює вже результату диз'юнкції »(5, 101). Яке значення має ця точка зору для математики? Її значення в тому, що ні обмежена ніяким законом, вільна у своєму розгортанні послідовність являє математичні властивості континууму. Виявилося, що над вільними послідовностями можна здійснювати математичні операції. Цей «континуум» містить, правда, окремі речові числа, але не розкладається на суму «готових», «передлежачих» дійсних чисел: він представляє, за висловом Вейля, «середу вільного становлення». Інтуїціоністське поняття «вільного становлення» характеризує погляд інтуїционізма на значення для математики логічного закону виключеного третього. Згідно з цим законом, затвердження А і його заперечення (Л) не можуть бути обидва одночасно істинними і не можуть бути обидва одночасно хибними. Відповідно до цього питання, чи існує послідовність чисел з властивістю Е або не існує, може бути вирішено в класичній логіці і в спиралася на неї доінтуіціоністской математики тільки згідно з формулою: «так» чи «ні», третього не дано. Поки ми маємо справу з кінцевими множинами, таке рішення видається незаперечною. Але як тільки ми вступаємо в область нескінченних множин, положення радикально змінюється. До Брауера вважали, що і для нескінченних множин закон виключеного третього зберігає срою силу. У своїх ранніх роботах Вейль, до того як він приєднався до погляду Брауера, міркував таким чином. У разі нескінченних множин ми, зрозуміло, не в силах знайти кошти, за допомогою яких ми могли б дати певну відповідь на поставлене питання про належність чи неналежність властивості Е нескінченної послідовності. Але і в цьому випадку справа не в тому, що доступно (або не доступно) для нашого пізнання. Абсолютно незалежно від того, що може бути встановлено нами, натуральний ряд чисел сам по собі такий, що «для всякого властивості Е, що має сенс в області чисел, завжди визначено, чи існують числа виду Е або не існує» (5, 105). Хоча б я не був здатний - зважаючи нескінченності ряду - вирішити, як саме йде справа, воно у всякому разі обстоит або так, або не так (див. 5, 106). Виходило, що закон виключеного третього все ж зберігає своє значення. Під впливом Брауера Вейль згодом відмовився від цієї своєї точки зору. Саме тому, що неможливо розглянути всі числа нескінченного ряду для отримання загального судження про числа, необхідно досліджувати не окремі числа, а саме сутність числа. Якщо побудова виконано, якщо доказ проведено, то ми маємо право сказати, що закон, що володіє властивістю існує (див. 5, 103). ІПрі цьому негативне судження, ніби такого закону немає, стає безглуздим. Якщо, далі, негативне судження ми висловимо в позитивної формі і відповідно скажімо, _що всяка послідовність має властивість Е, то в цьому випадку під послідовністю ми будемо розуміти вже послідовність, що утворюється за допомогою вільних актів вибору. Тоді можна приписувати що стає послідовності і властивість Е, і властивість Е. Тоді можливий випадок, що в самій сутності послідовності, де кожен акт вибору вільний, полягає те, що вона має властивість Е. Тоді ми вправі, якщо отримано деякий закон, стверджувати вже без перевірки, що послідовність, яка визначається цим законом, не має властивість Е. Але сукупність випадків, в яких має силу або твердження, що існує послідовність, що володіє властивістю Е, або твердження, що кожна послідовність має властивість Е, сама по собі невизначена. Тому повна диз'юнкція тут не застосовна, тобто закон виключеного третього не має сили. Тоді обидві розглянуті можливості вже не стоять одна проти іншої як твердження і заперечення: заперечення першого так само безглуздо, як й заперечення іншої. Тут не може бути ствердної (або негативного) відповіді ні в тому випадку, коли питання поставлене щодо повторюваного (як завгодно часто) застосування конструктивних принципів, ні в тому, коли питання поставлене про процес переходу (теж як завгодно частого) від одного числа до найближчого , за ним наступного (див. 5, 107). «Інтуіціонізм» змінює погляд на природу загальних суджень в математиці. Заперечення загального судження виявляється неможливим. Заперечувати загальне судження-значить довести деяку теорему про існування. Але таке судження про існування (наприклад, «існує парне число»), за запевненням Вейля, нічого не виражає. Це не справжнє судження, а то, що Вейль називає «абстракцією судження». Справжнім судженням буде, наприклад, судження: «2 - парне число». Властивість «бути парним числом» може бути визначено тільки за допомогою повної індукції, на основі умовиводи від п до я +1. Загальне судження є судження гіпотетичне, а не судження про те, яка деяка сама по собі існуюча об'єктивна ситуація. Певне судження виходить із загального лише в застосуванні до одиничного, визначеному заданому числу. Основою загальності є саме визначення, і вже виходячи з загальності рухаються далі при посередництві повної індукції. Саме принцип повної індукції служить для визначення і виведення. Цю роль він виконує не тоді, коли він застосовується як формули, а тоді, коли послідовно застосовується в конкретних випадках. І саме принцип повної індукції, за висловом Вейля, «представляє собою власну і єдину силу математики» (5, 77). Висловлений вперше в явному вигляді Блез Паскаль в 1654 р. і Яковом Бернуллі 1686 р. принцип повної індукції «приносить із собою в математичні докази абсолютно новий і своєрідний момент, чужий аристотелевой логіці, і він-то і становить справжню душу мистецтва математичного докази» (5, 61). Або, як говорить про це Вейль в іншому місці, «узренйе сутності (Wesenseinsicht)», з якого виникають всі загальні судження, спирається завжди на так звану повну індукцію. Вона не потребує подальшого обгрунтуванні, та й не здатна до нього, бо вона є не що інше, як математична первоінтуі-ція ітерації (правило дії «ще один раз») (див. 5, 109). «Ми не в змозі .., - стверджує Вейль, - звести визначення на основі повної індукції до чогось більш споконвічного. Ряд натуральних чисел і що міститься в ньому інтуїція ітерації складає остання підстава математичного мислення »(5, 98). Згідно думку «інтуїционізма», саме повна індукція убезпечує математику від перетворення на жахливу тавтологію і повідомляє її положенням не аналітичний, а синтетичний характер. Метод повної індукції не тільки основна риса математичного мислення. Він пронизує собою всю математику, починаючи від елементарної і проективної геометрії. Його роль в цих частинах математики маскується лише наївністю, з якою в них застосовуються до точок терміни «все» (квантор спільності) і «існує» (квантор існування) (див. 5, 88). Погляд «інтуїционізма» мало стати і стало в опозицію до поняття Кантора про актуальну нескінченності. І це зрозуміло. Теорія безлічі - в її канторовской формі - цілком спочиває на понятті актуально нескінченного. Величезна привабливість цієї концепції полягала в тому, що вона здавалася здатної остаточно й непорушно обгрунтувати математичний аналіз у всіх його частинах. Більше того. Теоретико-множинний метод переможно опанував не тільки всією областю аналізу, але також і вченням про натуральних числах - початковою частиною математики. «Інтуіціонізм» виключав поняття про нескінченність як про завершеною, замкнутої і самодостатньою сукупності об'єктів. Згідно з «інтуїционізма» (другий і третій принципи так званого конструктивного пізнання Вейля), поняття математики певною мірою самостійні стосовно дійсності і допускають вільне оперування. Вони не витягуються кожне окремо, а відносяться до «фону» різноманіття можливостей. Це різноманіття, що розвертається в нескінченність, може бути впорядкованим по деякому певним принципом. Зовсім інакше мислить Кантор. Для нього закономірно виникла послідовність чисел, що розгортається в нескінченність, перетворюється в замкнуту сукупність що не стають, а нерухомо перебувають предметів. Теорія множин розглядає як замкнутої сукупності існуючих самих по собі предметів не тільки числовий ряд, але і сукупність його підмножин. Саме тому вона, за словами Вейля, «цілком базується на грунті актуально нескінченного» (5, 73). Якщо безліч звичайно і складається з окремих заданих предметів, то ми ще можемо шляхом послідовних актів вибору скласти і переглянути всі можливі його підмножини. Принцип «інтуїционізма» залишиться непошкодженими. Але якщо безліч нескінченно, то абсолютизує концепція існування не може бути застосована до підмножини. Таке застосування ще менш можливо, ніж застосування її до елементів. Математика може мати справу тільки з такими підмножинами, які визначені закономірним чином на підставі якого-небудь властивості, характерного для їх елементів. Абсолютизує математична думка вчиняє, згідно погляду Вейля, перехід до «трансцендентному». Тому Вейль вважає, що теоретико-множинне обгрунтування являє собою «стадію наївного реалізму, не усвідомлює скоєного їм переходу від даного до трансцендентного» (5, 90). Але навіть якщо б цей перехід був усвідомлений, він і в цьому випадку був би неможливий. Згідно з «інтуїционізма», «трансцендентне» ніколи не може потрапити в сферу дії нашої споглядає інтуїції. Уявлення, ніби інтуїція здатна опанувати областю «трансцендентного», Вейль нази-кість «містичним». Тому теорія множин «жодним чином не є підставою математики» \ (5, 120). Воістину відвічна в математиці загальність арифметики та аналізу. І ця загальність, стверджує Вейль, «спирається на свій власний інтуїтивний фундамент і тому заповнена самостійним інтуїтивним змістом» (5, 120). На відміну від «інтуїционізма» аксіоматичний формалізм Гільберта намагається «залишити позаду себе» зміст, безпосередньо дане в інтуїції, і представити засобами математики «трансцендентне». Але він може представити його тільки за допомогою системи символів. Сказаним визначається ставлення «інтуїционізма» до аксиоматическому формалізму Гільберта. Цей формалізм зводить математичне мислення до пошуків наслідків, логічно випливають з прийнятих посилок. Але «інтуіціонізм» відкидає таку теорію математичного дослідження. «Математика, - говорить Вейль, - зовсім не полягає в тому, щоб розвивати в усіх напрямках логічні висновки з даних передумов, нема, її проблеми ставляться інтуїцією, життям наукового духу, і ці проблеми не можна дозволяти за встановленою схемою на зразок арифметичних шкільних завдань. Дедуктивний шлях, що веде до їх розв'язання, що не предуказан, його потрібно відкрити, і в допомогу при цьому нам служать звернення до миттєво прозріває різноманітні зв'язки інтуїції, до аналогії, до досвіду »(5, 53). У математиці неможливо дати описову характеристику всього нескінченного різноманіття окремих структур - характеристику, яка була б незалежна від способу конструктивного породження цих структур. За висловом Вейля, ми «ні володіємо істиною, ми завойовуємо її шляхом активної дії» (5, 46). Або, кажучи інакше, не існує жодного визначається описом (дескриптивного) ознаки для пропозицій, доказових з даних передумов, - математика неминуче повинна користуватися побудовою. Розглянутий погляд на роль інтуїції в обгрунтуванні і побудові математики не їсти тільки гносеологічне переконання (або думка) деяких математиків, іменованих «інтуіціоністи». Крім гносеологічного сенсу він має сенс спеціально математичний. В якості математичного принцип «інтуїционізма»: 1) полягає по суті в погляді, що в математиці доведеними можуть вважатися тільки такі положення, до яких приходять в результаті здійсненого побудови, або принаймні на основі погляди, що вказує принципову можливість такої побудови, 2) стверджує, що підставою і найбільш специфічним для математики принципом є принцип повної індукції, не виведені логічно і відкривається тільки в безпосередньому інтелектуальному розсуді. Фундаментальне значення побудови для интуиционистской математики спонукає деяких великих математиків цього напрямку віддавати перевагу для його логіки найменування не «интуиционистской», а «конструктивною». Термін «конструктивна» логіка воліють математики та математичні логіки радянської школи - академік А. Н. Колмогоров та інші. Це перевагу мотивується бажанням відмежувати математичний «інтуіціонізм» від напрямку, яке вони називають філософським інтуїционізма (краще було б назвати його «філософським інтуїтивізмом»). Брауер і Вейль тлумачать це поняття ідеалістично. Більш того, їх філософське вчення про інтуїцію відрізняється ідеалістичної войовничістю. Але уче-ніє Брауера і Вейля тільки перший етап в інтерпретації математичного поняття про інтуїцію. Іншу інтерпретацію це поняття отримало в радянській школі «конструктивізму», яка свідчить про те, що істинно наукової філософською основою математичного інтуїционізма може і повинен бути матеріалізм. Це найважливіше обставина необхідно мати-на увазі при читанні наступних сторінок нашої роботи, хронологічні рамки якої дозволяють нам розглянути лише ранню стадію інтуїционізма. Філософський ідеалізм цій стадії-особливість, тільки їй властива. Як явище філософії цей інтуіціонізм залишився тісно пов'язаний з кризою, який породили в капіталістичних країнах самі успіхи науки на початку XX в. Розглядати «інтуїцію» Брауера, Вейля та їхніх прихильників як чисто математичне поняття можна було б - та й то лише у відомому сенсі - тільки за умови, якщо б, констатувавши інтуїтивний характер, наприклад, принципу повної індукції, вони начисто відмовилися від яких би то ні було філософських, гносеологічних висновків, пов'язаних з цим поняттям. У цьому випадку математики-«интуи-ціоністи» міркували б приблизно так: «Ми не знаємо, і, по правді, нас не цікавить, яким чином в результаті еволюції людського інтелекту і в якій залежності від розвитку матеріальної практики виникли, могли виникнути безпосередні розсуду математично мислячої розуму, іменовані «інтуїціями». Ми знаємо, що такі розсуду існують, і, знаючи це, досліджуємо, яким чином вони діють при обгрунтуванні і побудові математики і її спеціальних дисциплін. Обмежуючи математику тим, що може бути видобуто в результаті первинної інтуїції повної індукції, а також у результаті здійсненних і здійснених побудов, ми даємо математики обгрунтування більш суворе, ніж в доінтуіціоністской математики. Ми звільняємо математику від парадоксів і від логічних антиномій, які увійшли до неї після того як була зроблена спроба розвинути всю математику на основі кантува-ської теорії множин з центральним для неї поняттям актуально нескінченного ». Однак Брауер і Вейль так не надійшли. У розвинутій ними концепції інтуїції математичний зміст виявилося змішаним з вмістом філософським. Поняття інтуїції в математичному сенсі поєднувалося у них з точкою зору гносеологічного ідеалізму. Задумана як реформа математики математичними ж засобами, їх теорія «інтуїционізма» виявилася наскрізь просоченої идеалистическимипредрассудками. Ці дві сторони «інтуїционізма» необхідно відрізнити і відокремити один від одного. Таке розмежування виявить незаперечну значну цінність, яку «інтуіціонізм» представляє для наукового обгрунтування математики. Разом з тим розмежування математичного та філософського аспектів «інтуїционізма» виявить філософську слабкість ідей Брауера і Вейля, неспроможність їх гносеологічної інтерпретації «інтуїционізма». Поняття «інтуїції» - невід'ємний елемент математики «інтуїционізма»; воно має свої математичні результати. Обмеження математичного мислення тим, що йому дає здійснене побудова («конструкція»), вихідна інтуїція повної, індукції, відмова від канторівської актуально нескінченного і від принципу виключеного третього класичної арістотелівської логіки, по-перше, сприяє звільненню математики від кризового стану, що настав після розвитку теорії множин і канторовской доктрини актуальної нескінченності. По-друге, це обмеження не перешкоджає розвитку - на «интуиционистской» основі - багато в чому більш суворих, ніж до Брауера, і по-новому розроблених теорій. У спеціальній галузі математики «інтуіціонізм» дав важливі конструктивні результати. Обмеження математики положеннями, які можуть бути здобуті за допомогою побудови, що спирається на «праінтуіцію» принципу повної індукції, відмову (при переході зі сфери кінцевих множин в область нескінченних множин) від принципу виключеного третього, правда, звузили частина математики, яка допускає строге обгрунтування. Але зате математики перестали погрожувати парадокси (антиномії), неминуче виникають в ній при теоретико-множині обгрунтуванні її навчань. «Вигнання» актуально нескінченного призвело до нової розробки теорії множин. Заново була вирішена важка проблема континууму - на основі відмови від уявлення про континуумі як про щось готовому, що складається з окремих (атомарних) елементів. У поняття про континуумі був введений принцип «становлення». У ньому кожну з його частин стали розглядати як необмежено подільну, а поняття точки - як поняття про межу продолжаемого до нескінченності поділу. Фундаментальне значення для теорії континууму придбало поняття «володіння частинами». Інтуїционістськая критика проникла в область арифметики і алгебри, удосконалила докази існування кореня алгебраїчного рівняння: внесла уточнення в класичне поняття збіжності рядів і розробила різні частини теорії рядів; обробці (в плані «інтуїционізма») піддалася теорія функцій комплексного змінного; уточнення були досягнуті в понятті про безлічі, що дало можливість розробити важливі розділи теорії множин, зокрема радикально уточнена була теорія «потужностей»; в теорії «повної впорядкованості» і в дослідженнях «точкових видів» були отримані результати, що дозволили Брауер приступити до дослідження (на основі принципів «інтуїционізма») теорії функцій, і т. д. і т. п. 281 10 в. Ф. Асмус За час, що минув з початку виникнення математичного «інтуїционізма» до результату 20-х років, дослідження частин і навчань математики, що допускають застосування «інтуїционістському» методів, значно просунулися і розширилися. У «Запровадження в метаматематику» (яка, втім, не збігається з «интуиционистской» математикою) Кліні широко і докладно висвітлює наступне проникнення «інтуїционізма» в математику і її теорії, а також досягнуті при цьому цінні результати. Безперечно успішною і плідною була в «інтуїционізма» критика «формалізму». «Інтуіціонізм» представив переконливі докази неможливості чисто формалістичного обгрунтування математики, довів необхідність змістовної математики. Принципове значення отримало запропоноване «інтуіціоністи» рішення питання про можливість доказу несуперечності. Довідність ця - наріжне умова формалістичного обгрунтування математики. Однак «інтуіціоністи» показали, що для доказу несуперечності необхідно застосування повної індукції, повна ж індукція спирається на інтуїцію. Фундаментальним подією стало доказ австрійським математиком Геделем відомої теореми,, названої «теоремою Геделя». Відповідно до цієї теореми, в кожній математичної системі, для якої мається доказ її несуперечності і яка містить теорію чисел, фігурують положення, в цій системі недоведені, але доступні доказу по принципам «інтуїционізма». Особливо важливо врахувати при оцінці математичного змісту «інтуїционізма», що «интуиционистская» критика і теорія розвивалися аж ніяк не з позицій боротьби проти логіки, а, навпаки, в ім'я більш суворого в логічному відносин обгрунтування математики. «Інтуїція» «ін-туіціоністов» - це не алогічний інтуїція Бергсона, а метод безпосереднього інтелектуального розсуду в математиці. По суті те, що Брауер розуміє під «інтуїцією», є, за висловом Гейтінга, тільки «здатність роздільного розгляду певних понять і висновків, регулярно зустрічаються в повсякденному мисленні» (7, 20). Але, як було вже зазначено, ні Брауер, ні Вейль не залишилися в межах «інтуїционізма» як тільки математичного вчення. У їхніх роботах «інтуіціонізм», звичайно, не тільки вчення про роль побудови в математичному доказі. У їх математичні поняття «інтуїції», «вільного становлення» і т. д. вторгається певне філософський зміст. Не можна сказати, що воно вторгається мимоволі і що Брауер і Вейль самі не розуміли, що означала їх позиція в філософському сенсі. У тій мірі, в якій вони спиралися на філософію, вони свідомі ідеалісти. Вейль прямо визнає, що він брав участь у боротьбі протилежних сторін - не тільки протилежних математичних шкіл, а й протилежних філософських напрямків. Він роз'яснив, що в боротьбі математичних сторін криється не тільки математичний зміст: «Тут у новій і найвищою мірою загостреній формі знаходить своє вираження издревне протилежність між реалізмом (матеріалізмом. - В. А.) і ідеалізмом» (5, 33). При цьому сам Вейль цілком на стороні ідеалізму. І не тільки «на стороні». У сам зміст математичних навчань «інтуїционізма» він вносить активну ідеалістичну філософську інтерпретацію. Він підкреслює ідеалістичний сенс поглядів Брауера, засновника «інтуїционізма». «У викладі Брауера, - пише Вейль, - математика набуває максимальної інтуїтивну ясність, вчення його є продуманим до самого кінця математичним (слід було б сказати« філософським ». - В. А.) ідеалізмом» (5, 26). 10 * 288 Ідеалізм тут не в тому, що основою принципу повної індукції «інтуіціоністи» вважають інтуїцію, тобто безпосереднє, логічно не виведене розсуд розуму. «Безпосередність» деяких істин можуть визнавати і визнавали також і матеріалісти. Вище ми вказали як на приклад на Фейєрбаха. У первинній математичної інтуїції Брауер і його послідовники бачать не результат розвитку попередньої («доматематіческой») практики, що відбивається у свідомості і відбиває корінні відносини і властивості речей, а абсолютно спонтанне дію і прояв початкової свободи людського духу. Теза ця проголошувався і повторювався в різних поєднаннях бездоказово. Він не випливає з-погляду Брауера, згідно з яким математика є «діяння», а не «теорія» 18. У редукції математичних доказів Брауер і Вейль доходять до інтуїтивного фундаменту повної індукції і розглядають її як математичну «праінтуіцію». Як математики, вони мають право вступати таким чином. Математики не зобов'язані досліджувати питання про те, як виходять поняття, які вони кладуть в основу доказів математичної науки як вихідних і недовідних. Але як філософськи мислячі математики (а вони самі себе вважають такими) «інтуіціоністи» не мають права на цьому зупинятися. Вони зобов'язані, дійшовши до «праінтуіціі» математики, вести свою редукцію далі «назад». Вони зобов'язані відповісти на питання про генезис самої цієї «праінтуіціі». Вони зобов'язані точно і докладно роз'яснити, в чому полягають ознаки «інтуїтивної ясності», на яку вони постійно посилаються, але яка без відповідних роз'яснень легко може бути змішана з суб'єктивної «оцінкою» свідомості, позбавленої загальнозначущого і, отже, наукового змісту. Що «інтуїционістському» поняттю інтуїтивної ясності можна пред'явити цей закид, видно з тієї критики, який самі «інтуіціоністи» піддали кан-торовскую актуальну нескінченність. Підставою цієї критики стало для них положення, ніби в математиці неможливо здійснити побудову, яке зробило б нас володарями інтуїтивно ясного поняття про нескінченність як про нескінченність завершеною, сповна даної, предлежащей розуму. Ми показали вище, що, вводячи у вчення про множини поняття актуальної нескінченності, Кантор, далекий від «інтуїционізма» і навіть уникає прямих посилань на інтуїцію, не обмежується роз'ясненням, що поняття про актуально нескінченному він вводить за допомогою точного визначення. Він вказує, що поняття це представляється його розуму у своєму об'єктивному змісті абсолютно безпосередньо і з повною внутрішньою ясністю. Але ця характеристика збігається з «интуиционистской» характеристикою інтуїції. Актуально нескінченне Кантора - об'єкт інтелектуальної інтуїції нітрохи не менше. ніж конструктивні результати «інтуіціоністи». Чому ж у такому випадку це канторовской поняття відкидається, визнається нездійсненним в думки? Канторовской інтуїція актуальної нескінченності позбавлена обов'язковості в очах «інтуіціоністи». Вони відмовилися визнати за нею безпосередність і досконалу ясність внутрішнього бачення, на які посилався, як ми бачили, Георг Кантор. Ця розбіжність істотно не тільки для математики, але і для. Гносеології. Воно показує, що в самому понятті інтелектуальної інтуїції не було безумовної ясності і існувала можливість, а отже, і небезпека суб'єктивної ілюзії. І це не дивно. Посилання на безпосередність інтелектуальної інтуїції використовується в редукції математичного обгрунтування. Але вона не може бути останньою інстанцією у філософській редукції походження знання. Для гносеологічного пояснення інтелектуальна інтуїція НЕ беспредпосилоч-ве абсолютний початок знання, а його середня ланка. Його подальші ланки - положення, що обгрунтовують на інтелектуальній інтуїції. Його первинна ланка, що становить предмет дослідження вже не математики і взагалі не спеціальних наук, а теорії пізнання, - матеріальна практика суспільної людини в її історичному розвитку. Інтуїція як функція людського пізнання має свою історію. Коріння цієї історії глибоко йдуть у грунт практики. За вірному роз'ясненню італійського математика і логіка Енрікеса, початкові математичні інтуїції, наприклад в геометрії, «виникли шляхом ідеалізованого досвіду, який неодноразово повторювався при стані інтелекту, що передував повному розвитку свідомості» (6, 16). Без звернення до гносеологічного критерію практики вихідне для «інтуїционізма» Брауера і Вейля поняття інтуїції стає непевним. На ньому можуть бути засновані тільки суб'єктивні побудови, а не система об'єктивного наукового знання. Виникає виправдане сумнів у здатності «інтуіціоністи» переконати нас у тому, що результати їх побудов - щось більше, ніж суб'єктивне творчість, що вони складають науку. Виходить, що відмова «інтуіціоністи» визнати правомірність надзвичайно великих і добре розроблених частин математики як що не допускають «інтуїционістського» («конструктивного») обгрунтування - відмову, мотивовану строгістю логічних вимог, поєднується з далеко не суворою і не ясною виробленням центрального для всієї цієї школи поняття - поняття самої інтуїції. Поле досліджень, які волають до точності і бездоганною логічної строгості, обволікається туманом суб'єктивістської невизначеності. Перші «інтуіціоністи» залишилися в полоні свого ідеалізму - цілком догматичного і метафізичного. Їх ідеалізм був не тільки догматичним і не тільки метафізичний за методом, нездатному застосувати генетичну точку зору до самого явища інтуїції в людському мисленні. Він, крім того, був агресивний за своєю спрямованістю і нетерпимий. Правильно стверджуючи, що побудова в математиці підпорядковується логіці вирішення проблем, відмінної від класичної, «інтуіціоністи» типу Брауера і Вейля вважали, ніби тільки ця логіка має право на визнання в математиці. Врозріз з цією точкою зору академік А. Н. Колмогоров показав, що між принципами класичної логіки і принципами «конструктивною» логіки «інтуїционізма» не існує відносини виключає протиріччя: «интуиционистская» логіка є логіка нової і особливої галузі дослідження, нею не виключаються принципи доінтуі - ціоністской логіки; вони лише піддаються обмеженню там, і тільки там, де це обмеження викликається своєрідністю досліджуваної області об'ектов19.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "« інтуїционізма »І ПРОБЛЕМА ІНТУЇЦІЇ У МАТЕМАТИКИ " |
||
|
||