| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
ПРОБЛЕМА ІНТУЇЦІЇ У ФІЛОСОФІЇ МАТЕМАТИКИ ПУАНКАРЕ |
||
|
Л віслюку виникнення в XVII столітті нової математики і особливо після того як першокласні вчені приступили до строго логічної виробленні аналізу і протягом XIX в. домоглися в цьому цінних результатів, в математиці (і в логіці) виникла тенденція, багато в чому змінила колишнє - полулогіческое, полуінтуітівное - розуміння математики. Відтепер стали прагнути до того, щоб не тільки довести до щонайможливої мінімуму коло основних положень математики, придбаних за допомогою інтуїції, а й начисто звести математику до логіки, розглядати систему положень математики як результат суворої розробки навчань логіки. Підготовкою до обгрунтування і вираженню понять математики поняттями логіки була розробка мови логічних символів, розпочата Булем і виконана в останньому десятилітті XIX в. і в першому десятилітті XX в. італійським вченим Пеано і його послідовниками (Падоа та іншими). Виявом важливих математичних понять на мові понять логіки займалися німецькі математики Фреге і Дедекінд. Систематично цей напрям був розвинене анг-лічане Расселом і Уайтхед в капітальної тритомної роботі «Principia mathematica» (перше видання в 1910-1913 рр..). Для них математика є не що інше, як логіка. Інтуїтивні елементи математики виключаються. Зміст науки виводиться з дуже невеликого кола визначень і положень, прийнятих без доказу. Слова мови, за допомогою яких в звичайному житті виражаються логічні відносини, замінюються точно фіксованими символами. Виведення нових положень з прийнятих визначень і вихідних положень проводиться згідно строгим правилам логіки. Талановитість вчених, що створили цей напрямок, з'єднувалася з їх найбільшим одушевлением, з твердим переконанням у тому, що напрямок це (що отримало згодом назву «логіцізма») ніби вперше відкриває математики її справжню сутність. У вже цитованій статті Рассел писав: «Один з головних тріумфів новітньої математики полягає у відкритті, в чому, дійсно, складається математика» (14,83). Захоплення новим розумінням предмета математики і її логічного характеру йшло у «логицистами» рука об руку з енергійним запереченням інтуїтивного обгрунтування математики. Цьому заперечення піддалися не тільки грубо інтуїтивна трактування математики і, зокрема, геометрії, запропонована Шопенгауер але і вчення Канта про простір і час як апріорних формах інтуїції, на які, згідно Канту, спираються апріорні синтетичні судження в геометрії та арифметики. Кант прямо стверджував в «Критиці чистого розуму», ніби «все геометричні принципи, наприклад, те, що в трикутнику дві сторони більше третьою, завжди виводяться з інтуїції (aus der Anschauung) a priori з аподиктической достовірністю, але ніколи не витягуються з загальних понять лінії і трикутника »(65,39). Критика кантівського погляди була критикою недостатності раціоналізму в Кантова теорії математики. Критика ця виявила протиріччя в поглядах Канта на логічну природу математики. З деяких місць другого видання «Критики чистого розуму» ясно, що Кант допускав розсудливе походження геометричних істин і що в синтетичній єдності простору він бачив результат функції розуму (див. 65, 160). Однак це визнання ролі інтелекту і логіки в математичних дослідженнях і доказах пригнічується у Канта основним для нього поглядом, згідно з яким апріорні синтетичні судження мають основу в інтуїції-в наочному спогляданні. Вже Фреге, високо оцінивши проведене Кантом розрізнення синтетичних і аналітичних суджень, проте піддав глибокій критиці кантовську теорію арифметики у своїй праці «Основи арифметики» («Grundla-gen der Arithmetik», Breslau, 1884; друге видання німецькою і паралельно англійською мовами - «Die Grundlagen der Arithmetik» - «The Foundations of Arithmetic», Oxford, 1953). Таким чином, розробка «логіцістіческого» вчення, що зводить математику до чистої логіки, виявилася пов'язаною з суперечкою філософських напрямів. Одне з них сходило до Лейбніца з його аналітичної теорією судження і з його задумом «Загальної характеристики» (алгебри), приложимой до всіх можливих форм дедукції і формалізує всю будівлю науки. Інша мало опору в теорії пізнання Канта - у його класифікації суджень на аналітичні та синтетичні і в «трансцендентальної естетики» з її апріорними формами простору і часу, що дають початок різним формам математичного споглядання. Однак, незважаючи на всю важливість зв'язку між напрямками математики і різними напрям-нями теорії пізнання, що намітилися всередині математики відмінності і розбіжності з питання про інтуїцію мали в числі своїх рушійних сил потужні мотиви, що виникали в ході розвитку самої математичної науки і іманентні її специфічного змістом і специфічної проблематики. У ході цього розвитку неухильно зміцнювалася і оформлялася думка, що математика не пов'язана з приватними пологами предметів, які можуть бути дані нашої інтуїції. З науки про числа і величинах математика все більше перетворювалася на загальний метод докази і відкриття. Процес цей відбувся не раптом, а розбивався шляхом ряду послідовних досягнень. До думки, що математика не їсти наука про числа і величинах і що. вона не необхідно обумовлена інтуїтивно сприймаються властивостями об'єктів, дійшли, як вказує Кутюра, «лише помалу, слідом за відкриттям барицентрична обчислення Мебіуса, обчислення еквіполлентних Беллавітіса, геометричного обчислення Грассмана, кватернионов Гамільтона, проективної геометрії Штаудта, теорії ансамблів (множеств. - У . Л.), теорії субституцию і груп, нарешті, логічного числення Буля »(12, 258). Саме Буль першим висловив положення, що заняття ідеями числа і кількості «не складає суті математики» (29, 12). Отже, оформилася в новітній математики критика інтуїції як опори і джерела математичного пізнання зовсім не була почерпнута математиками у філософів. Розпочата в математиці «тяжба» з питання про роль інтуїції в математиці, як правильно-зазначив Кутюра, була не тільки тяганиною «між Кантом і Лейбніцем» (див. 18, 114), а й суперечкою точок зору, кожна з яких черпала аргументи на свою користь з міркувань спеціально математичного характеру. Особливо напрямок, сводившее математику до логіки («логістика», «логіцизм»), прагнуло підкреслити свою незалежність від філософії і довести чисто математичне походження своєї точки зору. Така була позиція Рассела в епоху створення ним основних тру-дов з математичної логіки і, зокрема, позиція пропагандиста і захисника його ідей Луї Кутюра. Напрямок * математичного «логіцізма» представляло рід позитивізму у філософії математики. Декларації про повну незалежність «логіцізма» від філософії, що супроводжувалися у Кутюра зарозумілими і презирливими насмішками за адресою філософів, висловлювали дуже відносну істину і дуже велике принципове оману. Відносна істина полягала в тому, що «логицистами» справді ставили свої завдання як завдання суто математичні і прагнули вирішувати їх тільки математичними засобами. Їх негативне ставлення до філософії по суті була не стільки запереченням всієї філософії, філософії взагалі, скільки однієї певної філософії-філософії Канта; це була критика інтуїтивізму його «трансцендентальної естетики», критика його консервативної, цілком традиційної логіки, його теорії синтетичних суджень. Навпаки, «логіцизм» дуже шанобливо поставився до Лейбніца - до його аналітичної теорії судження і істини, до його задумом «Загальної характеристики», до його погляду на визначення та аксіоми. Зовсім не випадково тому, що саме Лейбніц були присвячені цінні дослідження Рассела («А Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz», 1900, 2-oe вид., 1937) і кутюр'є («La logique de Leibniz», 1901; «Opuscules et fragments inedits de Leibniz », 1903). Принципове оману «логіцізма» полягало в ілюзії, ніби критична позиція, зайнята «логицистами» щодо Канта, означала досягнення ними повної незалежності від будь-якої філософії. Насправді поряд з аргументами, які «логіцизм» черпав із змісту самої математики як спеціальної науки (у цьому своєму спеціальному змісті, що не обумовленому філософією і від неї незалежному), «логіцизм» сповідував, не віддаючи собі в цьому повного звіту, цілком певну філософію (гносеологію). Це була гносеологія особливої форми раціоналізму, передвістя кото-рій «логицистами» знайшли у філософії та математики Лейбніца. У цьому сенсі всупереч заяві Кутюра критика, здійснювана «логицистами», все ж залишалася «тяганиною» якщо не між Кантом і Лейбніцем, то принаймні між раціоналізмом «наполовину», признававшим величезну роль чуттєвої інтуїції в пізнанні, і раціоналізмом більш «інтеллектуалістіческі» , більш послідовним, ніж кантовский, який прагнув побудувати математику на чисто логічній основі, без опори або з мінімальною опорою в інтуїції. Спроба ця зустріла критику. Першим серйозним критиком «логіцістіче-ського» обгрунтування математики виявився найбільший французький математик Анрі Пуанкаре. Критичному розбору ідей «логіцізма» Пуанкаре присвятив роботу «Математика і логіка», друкувалася в XIII і XIV томах журналу «Revue de Methaphysique et de Morale» (p. 815-835 і 17-34, російський переклад їх з'явився в десятій збірці «Нових ідей в математиці », П., 1915, стор 1-52). Свої погляди він виклав також у главі «Інтуїція і логіка в математиці» в книзі «Цінність науки» («La valeur de la science», Paris, 1905, p. 11-34, російський переклад, M., 1906, стор 11 -42). На відміну від «логицистами» Пуанкаре НЕ відмежовується від філософії і не приховує зв'язку своїх ідей з ідеями філософів, зокрема з вченням Канта про апріорні синтетичних судженнях математики. Але, так само як і «логицистами», Пуанкаре у своїх міркуваннях з питання про інтуїцію в математиці не відокремлює ясно те, що в його аргументації викликане його філософськими упередженнями, від того, що в ній визначається спеціально математичними обгрунтуваннями і що має значення і цінність незалежно від його філософських позицій і незважаючи на характерний для них плутаний, непослідовний ідеалізм. Задачу цього розмежування Пуанкаре надає своїм читачам і критикам. Будучи виконано, це розмежування дає цікавий результат. Воно зайвий раз підтверджує, що проблема інтуїції має не тільки філософське, а й позитивне науковий зміст. Критика Пуанкаре показала, що зведення математики цілком до однієї лише логіці зустрічає значні труднощі. Ці труднощі не тимчасові і обумовлені не тільки недоліком винахідливості «логицистами», які намагалися звести математику до логіки. Основа труднощі тут у тому, що з математичних міркувань не можуть бути повністю видалені деякі їх елементи та принципи, що грунтуються вже не на логіці, а на інтуїції, тобто на безпосередньому інтелектуальному розсуді. На жаль, виразність в постановці питання про можливість зробити математику незалежною від інтуїцій ускладнюється у Пуанкаре багатозначністю його поняття про інтуїцію. У цьому понятті математика постійно змішується з філософією, математична інтуїція - з кантовскими апріорними синтетичними сужденіямі15. Змішання це сильно затемнює проблему. Кантовский априоризм і змішання його з питанням про інтуїцію сприяють виникненню помилкового погляду, ніби неспроможне і ідеалістично всяке вчення і всяке поняття про ін-інтуїції, ніби визнати, як це робить Пуанкаре, існування інтуїтивних елементів математики можна, тільки погоджуючись з вченням Канта про апріорно характері і чуттєвої природі інтуїцій простору і часу. В одних випадках «інтуїція» виступає у Пуанкаре як принцип математичного міркування, як підстава й умова математичної дедукції. В інших же випадках «інтуїція» тлумачиться як синонім математичної «здогади», математичного натхнення, як умова творчості в математиці: Особливо ясно цей останній сенс терміну «інтуїції» проглядає в третьому розділі книги «Наука і метод» з її знаменною назвою «Математичне творчість »(78, 43-63). Тут «інтуїцією» Пуанкаре називає просто почуття того порядку, в якому повинні розташовуватися елементи математичного міркування або докази. Це «інтуїція математичного порядку, що дає можливість вгадувати гармонію і приховані відносини» (78, 47). І Пуанкаре пояснює поняття інтуїції, розповідаючи про обставини, за яких їм була знайдена і розроблена теорія так званих фуксових функцій. У цьому оповіданні, який сам по собі надзвичайно цікавий і цінний для психології наукового відкриття, Пуанкаре особливо підкреслює раптовість інтуїтивного розсуду і безпосередність свідомості його безумовної істинності, почуття абсолютної впевненості, супутнє натхненню (див. 78, 53-55). З цим значенням інтуїції як здогадки і натхнення близько стикається іншого. Під «інтуїцією» Пуанкаре часто розуміє дар математичного творчості, здатність до математичного винаходу, до відкриття нових математичних ідей. Звичайно, марно сперечатися про слова. Не можна нікому заборонити називати «інтуїцією» здатність винаходу і попередню доказу здатність передбачення. Але треба точно обумовити цей сенс поняття «інтуїції» і відрізнити його від поняття про логічно невиводимість елементах докази. Пуанкаре не чинить цього застереження. У нього «інтуїція» виступає то як «нелогічних» елемент або основа докази, то як здатність винаходу. У першому сенсі вона належить все ж до апарату або системі докази, і тоді виникає питання про ставлення між інтуїтивними і логічними елементами докази. У другому сенсі вона дію розуму, що не входить в систему докази, і становить предмет дослідження не логіки, які не теорії пізнання, що не методології, а психології творчості, психології винаходи, евристики. У Пуанкаре обидва ці значення не розділені, а змішуються, утруднюючи розуміння і викликаючи справедливі нарікання в неясності зразок тих, які зробив Кутюра. Абсолютно ясно, що зовсім не ця зміст терміну «інтуїція» (чи не інтуїцію як «здогад») мали на увазі математики і логіки, що заперечують, як Рассел і кутюр'є, роль інтуїції в математичному доказі і міркуванні. У них йшлося не про здогаду, що не про натхнення, а про інтуїцію в її гносеологічно-логічному, якщо дозволено так висловитися, змісті. Вони не стосувалися питання про те, як приходить математику на розум його відкриття. Їх цікавив (як, втім, і самого Пуанкаре) питання, чи можна в логічному будові математичного доказу знайти такі елементи, які входять до нього не як ланки логічного зв'язку, а як інтуїтивні основи всієї ланцюга дедукцій і як інтуїтивні перед-посилки самих логічних зв'язків . «Логицистами» стверджували, що, ввівши без доказів невелике коло, визначень, математика у подальшому розвитку своїх дедукцій не потребує більше ні в яких інтуїтивних розсуд; все інше в ній - справа однієї логіки, завдання чисто логічного побудови. І до виникнення «логіцізма» все математики були згодні з тим, що дедукція припускає перші пропозиції, які наука змушена постулювати і які в цій науці не виводяться. І точно так само всі були згодні з тим, що джерело цих постулатів може бути різний. Новим в «логіцізма» було твердження, що на відміну від інших дедуктивних наук математика, строго кажучи, не потребує постулатах. Різні математичні теорії, доводив Рассел, спираються не на власні інтуїтивно спостережувані аксіоми, а тільки на визначення. Математика полягає (як висловився Кутюра, поправляючи Максима Бохера) в дедукції, вироблених «від логічних визначень по логічним принципам» (12, 186). Що стосується об'єктів математики, то на відміну від об'єктів інших дедуктивних наук вони «визначаються у функції одних тільки логічних констант» (12, 186). І якщо за формою математика - «ансамбль висновків, згідних з принципами логіки», то за змістом вона «ансамбль визначень, що містять тільки терміни логіки» (12, 186). Виступаючи проти «логіцізма», Пуанкаре мав на увазі не тільки евристичне розуміння інтуїції, а й логіко-гносеологічний предмет спору. Особливо в своїй полеміці з Кутюра він розуміє під «інтуїцією» вже не «натхнення», не «здогад», а прямі, що не спираються на логіку інтелектуальні розсуду. У статті «Математика і логіка» Пуанкаре сперечається з Расселом, Пеано і їх однодумцями вже не як психолог, який досліджує умови математичного відкриття, а як математик проти математиків по суті теорії математичного докази. Питання про інтуїтивних передумовах науки пов'язується у Пуанкаре з питанням про природу і видах аксіом. Він розглядає це питання в першій частині книги «Цінність науки». Характер аксіом з'ясовується тут шляхом розбору чотирьох прикладів. Це аксіоми: 1) «Дві величини, рівні третьої, рівні між собою»; 2) «Якщо теорема справедлива для 1 і якщо доводиться, що вона справедлива для n + 1, коли справедлива для п, то вона буде справедлива для всіх цілих чисел»; 3) «Якщо точка С лежить на прямій між Л і В, а точка D між Л і С, то точка D буде лежати між Л і В»; 4) «Через одну точку можна провести тільки одну паралельну даній прямій» (77, 20-21). Згідно твердженням Пуанкаре, всі ці чотири аксіоми «повинні бути приписані інтуїції» (77, 21). Проте пізнавальна функція їх, по Пуанкаре, не одна й та ж. Перша з них виражає одне з правил формальної логіки. Друга є справжнє апріорне синтетичне судження вкантовському сенсі і не може бути отримана шляхом логічного аналізу понять. У математичних міркуваннях вона відіграє надзвичайно важливу роль, так як на ній грунтується сувора математична індукція. Третя апелює до просторового поданням. Нарешті, четверта є приховане визначення. Це знаменитий постулат Евкліда, основа його теорії паралельних (див. 77, 21). З подальших роз'яснень Пуанкаре видно, що він відрізняє інтуїцію чуттєву від інтуїції інтелектуальної і що в основу строгих математичних міркувань він кладе НЕ чуттєву, а саме інтелектуальну інтуїцію. «Ми маємо, - пояснює він, - кілька пологів інтуїції; спочатку звернення до почуттів і уяві; потім узагальнення допомогою індукції, так сказати, змальоване з прийомів експериментальних наук; нарешті, ми маємо інтуїцію чистого числа - ту інтуїцію, з якої вийшла друга з тільки що наведених мною аксіом і ко-торая може дати початок справжньому математичному міркуванню »(77, 22). Це роз'яснення Пуанкаре доводить несправедливість критики Кутюра, який, мабуть, вирішив, що інтуїція, що визнається Пуанкаре, що не інтелектуальна, а звичайна інтуїція, яка грунтується на наочному чуттєвому поданні. «Я пожертвую строгістю заради ясності, - звертався Кутюра до Пуанкаре, - не заради тієї логічної ясності, яка невіддільна від строгості і яку можна отримати лише за допомогою логічного символізму, але заради тієї вульгарної ясності, яку називають інтуїцією і яку так прославляє р. Пуанкаре »(18, 54). В іншому місці Кутюра прямо звинувачує Пуанкаре в тому, що під інтуїцією він не розуміє інтуїцію інтелектуальну, яка одна лише прийнятна в математичному міркуванні. «Висування проти логіків (« логицистами ». - В. А.) ... невизначеного поняття інтуїції, - пише Кутюра, - є зловживанням, особливо, коли не вказують точно, про яку інтуїції йдеться. Про інтелектуальну чи інтуїції, яка стосується ставлення ідей, або про чуттєвої інтуїції, яка приймає неминуче просторову форму? Обидві ці інтуїції радикально відрізняються один від одного. Всі логіки (знову-таки «логицистами». - В. А.) готові визнати, що їх принципи випливають з інтелектуальної інтуїції, тобто є об'єктами безпосереднього пізнання розумом; але дуже деякі погодяться з тим, що вони випливають з чуттєвої інтуїції і грунтуються , наприклад .., на просторових схемах »(18, 68-69). Докір Кутюра несправедливий. У ньому вірно, що Пуанкаре не завжди точно характеризує свою інтуїцію як інтелектуальну. Але наведений вище розбір чотирьох видів аксіом доводить, що Пуанкаре чітко відрізняв інтуїцію інтелектуальну від чуттєвої. Коли він говорить про математичних міркуваннях, що спираються на принцип повної індукції, і коли він стверджує, що цей принцип передбачає звернення до інтуїції, він має на увазі саме інтелектуальну інтуїцію, як її розуміє Кутюра. У книзі «Цінність науки», у розділі «Інтуїція і логіка в математиці», підкреслюється інтелектуальна, чи не-чуттєва природа інтуїцій, які необхідні аналітикам для відкриттів в математиці. Щоб мати можливість бути винахідниками, аналітики, за твердженням Пуанкаре, «повинні без допомоги почуттів і уяви мати безпосереднє відчуття того, що створює єдність міркування ...» (77, 33). Пуанкаре наполягає на тому, що «інтуїція чистого числа - та, з якої може бути отримана сувора математична індукція, - відрізняється від чуттєвої інтуїції, для якої працює уява у власному розумінні» (77, 32). У інтуїції чуттєвої та інтуїції інтелектуальної «не один і той же об'єкт, і вони, мабуть, користуються двома різними здібностями нашої душі; можна сказати, що це два прожектори, наведені на два чужі один одному світу» (77, 33). Відмінності цих двох здібностей відповідає і відмінність предмета пізнання, пізнавальних завдань. Інтелектуальна інтуїція - орган пізнання і необхідна умова наукової творчості в сфері аналізу: «Інтуїція чистого числа, інтуїція чистих логічних форм якраз осяває і направляє тих, кого ми назвали аналітиками» (77, 33). Саме вона дозволяє їм «не тільки доводити, але ще і винаходити. Через неї ^ то вони помічають відразу загальний план логічного будівлі »(77, 33). На цей інтелектуальний характер інтуїції Пуанкаре не звернув уваги Кутюра у своїй полеміці проти нього. Він ніби не помічає, що Пуанкаре, як було тут показано, не тільки наполягає на існуванні інтелектуальної інтуїції, а й визнає за нею надзвичайно важливе значення. Чи не станемо занадто звинувачувати Кутюра в цій неуважності. Пуанкаре сам подав привід до непорозуміння; Як було вже зазначено, його судження про види інтуїції і про ставлення між ними досить непослідовні. В одних випадках у нього цілком ясно виступає поняття про і і т їв л е кту а л ьіо ї інтуїції, і вона чітко відділяється від інтуїції чуттєвої. Але він не дотримується строго цього розмежування. Точніше кажучи, він вважає, що інтелектуальна інтуїція - дуже рідкісний дар і властива дуже небагатьом умам. Чудово володів нею, на думку Пуанкаре, французький математик Ерміт (Hermite). 6 бесідах він «ніколи не вдавався до чуттєвого образу» (77, 32). І все ж співрозмовник скоро помічав, що самі абстрактні сутності були для нього як би живими істотами. Виділяючи інтелектуальну інтуїцію, Пуанкаре обмежує її застосування в математиці. Він бачить, що в науці нового часу сфера інтуїції помітно звужується. Сучасна свідомість вимагає у інтуїції все більше і більше поступок на користь логіки. Цей процес Пуанкаре вважає зрозумілим і навіть правомірним. «Інтуїція, - говорить він,-не може дати нам строгості, ні навіть достовірності - це помічається все більше і більше» (77, 17). Строго сформульовані, логічно доведені пропозиції підривають довіру до інтуїції. Наприклад, смутна ідея безперервності, якої математика спочатку була зобов'язана інтуїції, вирішилася в міру успіхів аналізу в складну систему нерівностей, що стосується цілих чисел. І все ж висновок «логицистами», ніби в математиці прийшла пора зовсім звільнитися від необхідності вдаватися у своїх міркуваннях до інтуїції, не може бути, на думку Пуанкаре, обгрунтовано: «Чиста логіка завжди привела б нас тільки до тавтології; вона не могла б створити нічого нового; сама по собі вона не може дати початок ніякої науці »(77, 20). Щоб створити арифметику, щоб створити геометрію або яку б то не було іншу науку, «необхідно щось інше, ніж чиста логіка» (77, 20). Це інше - інтуїція, але не грунтується на почуттях і уяві або на простому индуктивном узагальненні, а «інтуїція чистого числа» (77, 22). «У новітньому аналізі .., - говорить Пуанкаре, - знаходять місце лише силогізми і апеляція до цієї інтуїції чистого числа - єдиної інтуїції, яка не може обдурити нас» (77, 22-23). Саме тому можна сказати, що нині «досягнута абсолютна строгість» (77, 23). Таке розуміння інтуїції є «інтуіціз-мом» обмеженим. У процесі «арифметизации» геометрії і «логизации» математики в цілому Пуанкаре бачив процес правомірне і плідний для науки. Він готовий був погодитися з тим, що аксіоми геометрії НЕ інтуїтивно осягаються «самоочевидні істини», а приховані дефініції. Погоджуючись з тим, що в основі геометрії лежать «властивості твердих тіл» (76, 66), що метрична геометрія є вивчення твердих тіл, а проективна геометрія - вивчення світла, він, однак, не міг погодитися з твердженням, ніби геометрія - досвідчена наука , так як в такому випадку «вона не була б наукою точною і мала б піддаватися постійному перегляду» (76, 66). У цьому питанні він не антагоніст Рассела, Кутюра, а їх однодумець. Але він ніяк не міг погодитися з тим, що такими є ж аксіоми арифметики. «Я не кажу, - пояснював він тут же, - про аксіоми арифметики» (76, 67). Для «логизации» арифметики, на його думку, існує межа. Сказаним пояснюється непримиренність його полеміки з «логицистами», яких він називає "логіками". Розмірковуючи про геометричні аксіомах, Пуанкаре вважає, ніби вони (на відміну від аксіом аналізу) «не є ні апріорними синтетичними судженнями, ні експериментальними фактами. Вони суть умовні угоди (des conventions) ... Самий вибір залишається вільним і обмежений лише необхідністю уникати будь-якого протиріччя »(76, 66). Нарешті, такими ж «умовними угодами» він називає новий погляд теорії відносності на простір і час як на чотиривимірний континуум: «Ми засвоїли відоме умовну угоду, тому що воно здавалося нам зручним, і ми сказали, що ніщо не може змусити нас покинути його» (15, 90). Філософську плутанину і безпорадність Пуанкаре, його коливання то в бік ідеалізму, то в бік матеріалізму, релятивізм, змішання матеріалістичного і ідеалістичного понять про досвід, його приналежність до школи Маха в розумінні законів природи зазначав В. І. Ленін у роботі «Матеріалізм і емпіріокритицизм» . Пуанкаре, будучи математиком і фізиком, «не цікавиться, - пише В. І. Ленін, - скільки-небудь істотно філософської стороною питання (про ставлення наукових понять до реальності. - В. А)» (2, 240). Там же, де Пуанкаре таки вступає в сферу філософії, Ленін оцінює його філософські погляди (так само і погляди П. Дюгема) як «особливо плутані і непослідовні» (2, 41). «...« Філософію »Пуанкаре достатньо тільки відзначити і пройти повз ...» (2, 279). Але, будучи, за словами Леніна, «дрібним філософом» (2, 152), Пуанкаре часто в ході своїх спеціальних наукових робіт «оступається» в область філософії. У філософії він виявляє явний крен в конвенціоналізм. Ленін вказав, що Пуанкаре «цілком у дусі Маха виводить закони природи - аж до того, що простір має три виміри, - з« зручності »» (2, 283). Так йде справа в плані філософії, теорії пізнання. Однак у математичному суперечці про логічне характері математики Пуанкаре НЕ конвенції-наліст. У цій суперечці він, навпаки, нападає на «логицистами» саме за те, що в принципі повної індукції вони бачать тільки логічне визначення або, ще точніше, тільки умовне угоду. Свою критику Пуанкаре виклав особливо докладно в статті «Математика і логіка». За його роз'ясненню, «слово існувати в математиці може мати тільки один сенс, воно означає саме відсутність протиріччя ... Визначаючи небудь предмет, стверджують, що це визначення не містить в собі протиріччя »(18, 6-7). Якщо дана система постулатів і якщо ми можемо довести, що ці постулати не укладають в собі протиріччя, то, згідно Пуанкаре, ми дійсно маємо право сказати, що вони представляють визначення одного з фігурують у них понять. Але якщо ми не можемо довести цього, «то доводиться прийняти це положення без докази, і тоді воно є аксіомою» (18, 7). У цьому випадку, «якщо б ми захотіли шукати визначення в постулаті, ми б все ж знайшли аксіому у визначенні» (18, 7). Саме так є, згідно погляду Пуанкаре, з принципом повної індукції. Адже при дослідженні відсутності протиріччя доводиться посилатися «на той самий принцип повної індукції, який якраз і належить перевірити» (18, 8). Недовідні принципи, складові вихідні положення математики, стверджує Пуанкаре, «суть не що інше, як звернення до інтуїції ...» (18, 19). З дев'яти зазначених «логицистами» невизначених понять і з двадцяти недовідних положень (Пуан-каре навіть думає, що їх більше), що утворюють підвалини «логіцізма», «кожне передбачає новий і незалежний акт нашої інтуїції ...» (18, 20). Досі Пуанкаре заперечував Расселу як математик математику або як логік логіку, і з цим його запереченням не можна не рахуватися. Але, вірний своєму кантіанського забобону, він тут же додає: а чому не сказати прямо, що кожен такий новий і незалежний акт інтуїції є «справжнє синтетичне судження a priori» (18, 20)? Висуваючи цю пропозицію, Пуанкаре покидає грунт науки і стає на грунт помилкового ідеалістичного априоризма кантівського типу. Але проти «логицистами» Пуанкаре висуває й інше заперечення. «Логицистами» не лише вважають в основу математики чисто логічні визначення, позбавлені інтуїтивної безпосередності. Вони, крім того, стверджують, що якщо інтуїтивні елементи ще можна зустріти серед вихідних положень математичної дедукції, то вже у всякому разі вони ніде не можуть зустрітися в самій дедукції. Пуанкаре так зрозумів цю тезу «логицистами»: вони говорять, що, роблячи початкові посилання на інтуїтивно знайдені положення, вони звертаються до інтуїції востаннє; що більше їм до допомоги інтуїції звертатися не доведеться і що надалі можна буде будувати математику, не звертаючись до посередництвом якого нового елемента (див. 78, 176). Пуанкаре доводить, що це твердження «логицистами» залишилося у них необгрунтованим, так само як і твердження про чисто логічному характер вихідних визначень математики. Розбираючи докази Рассела (і попутно Гільберта, який, як визнає сам Пуанкаре, не був «логицистами» у дусі Рассела), Пуанкаре знаходить, що ще до того як «логицистами» обгрунтовують у своїх міркуваннях принцип повної індукції, вони застосовують - без докази - цей же принцип і, отже, самі того не помічаючи, звертаються до інтуїції. У книзі «Наука і гіпотеза» міркування, в якому застосована математична повна індукція, називається «рекурентним міркуванням» (le raison-nement par recurrence). І тут Пуанкаре спростовує думку тих, хто сподівається обгрунтувати принцип повної індукції допомогою аналітичної логіки і докази. Правда, стверджує Пуанкаре, можна легко переходити від одного виразу до іншого і створювати для себе таким чином ілюзію, ніби довели законність рекуррентного міркування (див. 76, 22). Але врешті-решт завжди доводиться зупинитися: ми завжди прийдемо до недовідної аксіомі, яка по суті буде не чим іншим, як пропозицією, підметом доведенню і лише переведеним на іншу мову. У результаті «не можна не дійти висновку, що спосіб рекуррентного міркування не зводяться до принципу суперечності» (76,23). В кінці дослідження, присвяченого питанню про інтелектуальну інтуїції в математиці, Пуанкаре приходить до висновку, що ця інтуїція, як факт математичного знання, як умова математичного міркування, існує. Висновок цей не повинен залишитися без подальшого розгляду. Тут природно і абсолютно неминуче виникають питання: яке реальне походження (генезис) цього факту? У якому відношенні стоїть безпосереднє розсуд (інтелектуальна інтуїція) до попереднього досвіду - до почуттів, до інтуїціям чуттєвим? Інакше, яким чином опосередкована в ході розвивається пізнання «безпосередність» математичної інтуїтивної «очевидності»? Який шлях практики, що приводить математичну науку на високих щаблях її розвитку до актів споглядання, або до розсуду, які на цих щаблях представляються вже як «безпосередні»? Пуанкаре розуміє, що такі питання правомірні. Він сам формулює їх (хоча далеко не точно) як питання про генетичну зв'язку між інтуїцією інтелектуальної та інтуїцією чуттєвої. «Не менш чи глибока, - запитує Пуанкаре, - ніж здається з першого погляду, прірву, яка розділяє їх? Чи не виявиться при невеликому уваги, що ця чиста інтуїція сама по собі не може обійтися без допомоги почуттів? »(77, 32), Але, поставивши« з гріхом навпіл »питання, Пуанкаре відмовляється скільки-небудь серйозно досліджувати його. «Це, - каже він, - справа психолога і метафізика (тобто філософа. - В. Л.), і я не стану розбирати це питання» (77, 32). Пуанкаре навіть не підозрює, що відповідь на сформульоване їм питання про зв'язок інтелектуальної інтуїції з практикою, з чуттєвим досвідом дан у філософії діалектичним матеріалізмом. «... Біда. Дюгема, Сталл, Маха, Пуанкаре», як показав В. І. Ленін, в тому, «що двері, відкритої діалектичним матеріалізмом, вони не бачать» (2, 297). Якби Пуанкаре обмежився одним лише твердженням про існування інтелектуальної інтуїції в математиці, то з філософської точки зору його теза не викликав би заперечень. Він був би «лише» недостатнім. Він підлягав би розгляду, оцінки та критиці, але тільки з точки зору математичної, «втручатися» в яку філософія не може. Якщо математика визнає, що принцип математичної повної індукції вводиться «не на основі закону протиріччя», тобто не за допомогою логічного доказу, а за допомогою «інтелектуальної інтуїції» (як стверджує Пуанкаре у вище процитованому нами місці), то філософське питання може полягати лише в Тохма , яким чином на основі практики, повторюваної в мільярдах випадків, могли скластися і кристалізуватися в математичному мисленні ці «інтуїції», або «безпосередні» розсуду розуму. Так ставить питання про інтуїтивний знанні діалектичний матеріалізм, і це єдино правильна його постановка. Але Пуанкаре сперечається з «логицистами» не тільки як математик однієї школи з математиками іншої школи. У свої математичні міркування він привносить свої філософські забобони. Правомірно доводячи (у якості математика), що виправдання принципу повної індукції не може бути досягнуто за допомогою одного лише логічного закону протиріччя, він пропонує невірне, ідеалістичне, пояснення цієї неможливості. Він правильно відкидає конвенціоналістское пояснення принципу повної індукції. «Не можна бачити в ньому,-пояснює він, - тільки умовне угоду» (76, 23). Але він помилково вважає, ніби цей принцип «є істинний зразок апріорного синтетичного судження» (76, 23). Пуанкаре погоджується, що не можна ввести принцип повної індукції, що не поставивши питання про те, «чому ж судження, що виражає цей принцип, виникає перед нами з непереборною очевидністю?» (76, 23). Але його відповідь на це питання не містить ні найменшої згадки про роль практики і тому звучить абстрактно і цілком ідеалістично: «Тут виявляється тільки (курсив мій. - В. А.) затвердження могутності розуму, який здатний осягнути нескінченне повторення одного і того ж акта , раз цей акт можливий хоча б одного разу »(76, 23-24). Таким чином, конвенціоналістское пояснення принципу повної індукції хоча і відкидається, проте не з позицій матеріалізму та матеріалістичного розуміння практики, а з позицій апріорістіческого ідеалізму. У роботах Пуанкаре необхідно чітко відокремлювати те, що в них ставиться до їх спеціальному - математичному-змістом, від того, що навіяно і вселено їх філософської - гносеологічної - тенденцією. Пуанкаре - найбільший математик і фізик. Постановка питання про інтуїцію виникла у нього з потреби з'ясувати, яку роль може грати логіка і, зокрема, логічний принцип суперечності при обгрунтуванні рекуррентного міркування - початку математичної повної індукції. Вирішення цього питання значною мірою зумовлено у Пуанкаре спеціально математичними міркуваннями. Такий же спеціальний зміст мала і його принципова полеміка з «логицистами». Це була суперечка між математиками про кордони формальнологических принципів в обгрунтуванні математики як науки. Але, розвиваючи свої погляди, Пуанкаре не залишився всередині меж математики і, вийшовши з них, перейшов на грунт філософії. Увійшовши в інтелектуальну атмосферу бур-жуазной філософії, що панувала в кінці XIX-початку XX в. в Європі, Пуанкаре некритично засвоїв ряд ідей, зближує його погляди з поглядами Канта (априоризм, теорія апріорних синтетичних суджень, погляд на простір і час як на інтуїтивні форми чуттєвості і т. п.), з поглядами Маха (принцип економії мислення), прагматистов («зручність» як підстава для вибору аксіом). Зриви, що ведуть до «конвенціоналізму» і противоречившие основної лінії Пуанкаре, - як математика, можуть бути пояснені цими впливами. / А9 в. Ф. Асмус
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "ПРОБЛЕМА ІНТУЇЦІЇ У ФІЛОСОФІЇ МАТЕМАТИКИ Пуанкаре " |
||
|
||