| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
ТЕОРІЯ МНОЖИН КАНТОРА І ІНТУЇЦІЯ АКТУАЛЬНО БЕЗКІНЕЧНОЇ |
||
|
^ ажним стимулом в ході обгрунтування математики стало розвинене Георгом Кантором (1845-1918) ученіео множинах; (Mengenlehre). Введені Кантором в математику нові поняття: потужність множини, цілком упорядкований безліч і т. д., - розрізнення потенційної та актуальної нескінченності, вчення про класи чисел і т. д. стали приводом для ще невідомої в такій мірі потреби у строгій логічній виробленні основних понять математики. Особливе значення мало те, що при цьому в математиці були виявлені суперечності, що виникли у зв'язку з канторовской вченням про множини. Основоположним поняттям математики Кантора стало поняття «безлічі» (Menge) і відповідно основним вченням - «теорія множин». Може бути, після розробки античними математиками поняття про число (виниклого ще раніше - в цивілізаціях стародавнього Вавилона, Єгипту, Індії, Китаю), а математиками нового часу - поняття про функції введення поняття «безлічі» було найбільш значним новим етапом в історії цієї науки. «Під ... безліччю, - роз'яснював Георг Кантор, - я розумію взагалі всяке багато чого, яке можна мислити як єдине, тобто яку сукупність певних елементів, яка може бути пов'язана в одне ціле за допомогою деякого закону ... »(16, 69). Саме розробка цього поняття про множини привела Кантора до вчення про потенційну і актуальної нескінченності. У сучасній Кантору і в найближчій до нього за часом математики панував (хоча і не виключно) погляд, що визнавав тільки один вид нескінченних величин - величину, здатну до безмежного збільшення. Це так звана «потенційна нескінченність». Мислити нескінченність як завершене в собі постійну кількість або як «актуальну нескінченність» сучасники Кантора і багато його попередники відмовлялися. Вже великий німецький математик К-Ф. Гаусс (1777-1855) рішуче заперечував проти залучення в математику в якому б то не було вигляді актуальної нескінченності. Відкидали актуальну нескінченність математики Жерділь (Gerdil), Коші (Cauchy), Муаньо (Moigno), а з філософів - Зігварт, Куно Фішер (у своїй "« System der Logik und Metaphysik oder Wis-senschaftslehre », Heidelberg, 1865), французький кантіанец Шарль Ренувье (Ch. Renouvier - в «Esquisse d'une classification systematique des doctrines philoso-phiques», v. I, Paris, 1885) і позитивісти. Врозріз з поглядом всіх цих вчених Г. Кантор визнав, що поряд з «потенційною нескінченністю» існує і повинна досліджуватися в математиці також нескінченність «актуальна» 13. Згідно з визначенням Кантора, потенційно нескінченне «означає змінну кінцеву величину, зростаючу понад всякі кінцевих кордонів. .. »(16, 85). Математичне потенційно нескінченне Кантор називає« невласне-нескінченним ». Воно виступає в математиці у формі диференціалів першого або вищих порядків, або у вигляді сум нескінченних рядів, або у вигляді інших граничних процесів. За роз'ясненням Кантора, «потенційно нескінченне» є просте допоміжне поняття нашого мислення. Це - «поняття відношення, яке, згідно своїм визначенням, укладає в собі ідею мінливості і про який, таким чином, ніколи не можна сказати у власному розумінні слова:« datur »(« дано » . - В. А.) »(16, 28). Воно« не означає саме по собі ніякої ідеї »(16, 84). Кантор тут же обмовляється, що і в цьому своєму значенні - як поняття відносини-потенційно нескінченне« завдяки відкритого Лейбніцем і Ньютоном диференціального й інтегрального числення виявило своє величезне значення як засіб пізнання ... »(16, 84). Будучи лише допоміжним поняттям, поняттям відносини, воно« завжди вказує на деякий лежить в основі transfinitum («сверхконечное». - У . А), без якого воно не може ні бути, ні бути мислимим »(16, 111). Кантор визнавав повною мірою плідність для науки цього давно утвердився в ній поняття« потенційної нескінченності ». Він заперечував проти презирливого іменування потенційної (невласною) нескінченності «поганою нескінченністю» і знаходив, що нескінченно малі величини, що застосовувалися дотоле в математиці лише у вигляді «невласне-нескінченного», принесли вельми велику користь, оскільки вони «доступні всім тим відмінностям, видозмінам і відносин, якими користуються в обчисленні нескінченно малих і в теорії функцій і за допомогою яких там збирають багату жнива аналітичних істин »(16, 15). Більше того. Він знаходив, що всі спроби насильно перетворити ці нескінченно малі в якісь власне- нескінченно малі «мали б бути залишені, як безцільні» (16; 15). Але як би не була велика цінність для науки «потенційної нескінченності», ця нескінченність залишалася по суті тільки деякої змінної - то зростаючої понад всякі кордонів, то спадної до довільної малості, завжди кінцевою величиною. У новітній час в геометрії і особливо в теорії функцій стало застосовуватися нове поняття про нескінченність. При дослідженні, наприклад, аналітичної функції та комплексної змінної величини стало необхідним і загальновживаним уявляти собі в площині (що являє комплексну змінну) деяку, і притому єдину, точку, що лежить в нескінченності, тобто нескінченно віддалену, але певну. Виявилося необхідним дослідити поведінку функції поблизу цієї точки, як поблизу будь-який інший точки. При цьому з'ясувалося, що поведінка функції поблизу нескінченно віддаленої точки дає абсолютно таку ж картину, яку дає її поведінку поблизу всякої іншої точки, що знаходиться на кінцевій відстані. Звідси Кантор зробив висновок великий принципової важливості. Це був висновок про те, що в даному і в подібних йому випадках цілком правомірно «мислити. .. нескінченне, як розташоване в деякій цілком певній точці »(16, 4). Таке нескінченне, яке на відміну від потенційно нескінченного в подібній цілком певній формі, Кантор став називати« власне-нескінченним »(Eigentlich-Unen-dliches), або «актуально нескінченним». Під актуально нескінченним на відміну від потенційно нескінченного Кантор розуміє (у роботі «Теорія асамблей» 14) «деяке замкнутий у собі постійне, але що лежить по той бік усіх кінцевих величин, кількість ... »(16, 85). Ще повніше і ясніше визначення актуально нескінченного в роботі« До вчення про трансфинитное ». Тут актуально нескінченним Кантор називає« таку кількість, яка, з одного боку, НЕ мінливе, але безумовно і незмінно в усіх своїх частинах і представляє справжню постійну величину, а з іншого - в той же час перевершує за своєю величиною всяку кінцеву величину того ж виду »(16, 122). Приклад актуально нескінченного - сукупність всіх точок, лежать на даній окружності. Це безліч є, за висловом Кантора, «деяка річ для себе і утворює-: відволікаючись від натурального ряду стосуються сюди чисел - деякий незмінне у всіх частинах і певну кількість .., яке, очевидно, доводиться назвати великим, ніж всяке кінцеве кількість »(1'6, 122 - 123). У свою чергу всередині сфери актуально нескінченного Кантор розрізнив дві його форми. Це -« трансфинитное »актуально нескінченне й абсолютне. За думки Кантора, ці форми актуально нескінченного різко відрізняються один від одного. трансфинитное слід мислити «нескінченним, але в той же час доступним ще збільшенню». Навпаки, абсолютна «слід мислити недоступним збільшенню і тому математично невизначеним» (16, 86). Згідно Кантору, предмет математики - тільки трансфинитное нескінченне. Як ідеального межі кінцевого можна мислити не абсолютне, а лише трансфинитное, «і притому як мінімум всього трансфинитное (відповідний найменшому сверхконечному числу ...)» (16, 87). Число це Кантор позначив допомогою грецької букви « омега »(зі). Кантор зробив спостереження, що нескінченні реальні цілі числа не відносяться до« потенційної нескінченності », до« невласне-нескінченного ». Виявилося, що їм притаманний той же характер визначеності, з яким ми маємо справу при розгляді нескінченно віддаленої точки (в теорії аналітичних функцій), і що, отже, вони також належать до видів «власне-нескінченного», або до «актуальної нескінченності». Але в той час як нескінченно віддалена точка комплексної числової площини протистоїть, самотня, всім розташованим на кінцевих відстанях точкам, при розгляді нескінченних цілих чисел ми отримуємо «не просто одне-єдине нескінченне ціле число, але нескінченний ряд подібних чисел, які різко відмінні один від одного і знаходяться в закономірних числових відносинах один до одного і до кінцевих цілим числам» (16, 5). Дослідження абсолютно нескінченного ряду реальних цілих чисел привело Кантора до розсуду в цьому ряду так званих числових класів. Перший числовий клас є безліч кінцевих цілих чисел: 1, 2, 3, .., v. .. За ним слідує другий числовий клас. Він складається з деяких нескінченних цілих чисел, наступних одне за іншим в певній послідовності. Потім йдуть 3-й, 4-й числові класи і т. д. (див. 16, 6). Введення нових цілих чисел дозволило Кантору, згідно з його власною заявою, чітко сформулювати важливе нове поняття його математики - поняття потужності (Machtigkeit). Під «потужністю», або «кількісним числом» якого-небудь безлічі М (яке складається з строго відмінних, абстрактно-логічно роздільних елементів ш, ш1 ... і яке остільки визначено і відмежоване), Кантор розуміє «загальне або родове поняття (universale), получающееся, якщо абстрагувати як від складу елементів множини, так і від усіх відносин цих елементів один до одного і до інших речей, а зокрема і від порядку, який може панувати між цими елементами, і якщо мати на увазі лише те, що загально всім множинам, еквівалентним М »(16, 104-105). Про двох множинах говорять, що вони володіють однією і тією ж потужністю, «якщо між ними можна встановити взаємно однозначну сполучення елемента з елементом» (16, 6). Кожному суворо визначеному безлічі властива і певна потужність. Але потужність кінцевих і нескінченних множин різного роду. Потужність кінцевих множин співпадає з кількістю їх елементів. У разі нескінченних множин питання про точно певній кількості елементів не має значення; в цьому випадку безліч характеризується потужністю, абсолютно не залежить від їхнього порядку (див. Дослідження показали, що числові класи виразно нескінченних реальних цілих чисел представляють строго певні множини з зростаючими в закономірною послідовності потужностями. Між кінцевими і нескінченними множинами виявилося істотна відмінність. Кінцеве безліч для будь-якій послідовності, яку можна повідомити його елементам, представляє одне і те ж кількість. Але якщо безліч складається з нескінченно багатьох елементів, то такому безлічі притаманні, взагалі кажучи, різні кількості залежно від послідовності, яка повідомляється елементам. Тоді як потужність множини не залежить від його розташування, кількість нескінченної кількості залежить від деякої даної послідовності його елементів (див. 16, 9). Фундаментальним поняттям для розвиненої Кантором теорії множин стало поняття «цілком упорядкованої множини». Під такою безліччю Кантор розуміє всяке строго певну безліч, елементи якого «пов'язані між собою деякої певної, даної наперед, послідовністю» (16, 8). Згідно цієї послідовності: 1) існує перший елемент множини і за кожним окремим елементом (крім випадку, якщо він останній в ряду) слід певний елемент; 2) до будь-якого - кінцевому або нескінченному - безлічі елементів належить деякий певний елемент-найближчий, наступний за всіма ними елемент в послідовності (крім випадку, коли взагалі не існує елемента, наступного за всіма ними в послідовності) (див. 16, 8). 225 8 В. Ф, Асмус За допомогою цього поняття «цілком упорядкованої; безлічі» виходять, по-перше, основні дейст-і вия для цілих чисел - як для кінцевих, так і для виразно нескінченних-і, по-друге, закони цих чисел. Кантор підкреслює, що і дії і закони вбачаються при цьому інтуїтивно - «з безпосереднього внутрішнього споглядання з аподиктической достовірністю» (16, 11. Курсив мій. - В. Л.). До цих своїм новим поняттям Кантор прийшов після довгих років роздуми, протягом яких він перебував у владі традиційних поглядів на нескінченність. Аналіз заперечень, що висувалися починаючи з Аристотеля і потім схоластиків проти поняття «актуальної нескінченності», вселив Кантору думка, ніби в основі всіх цих заперечень криється помилкова передумова про існування одних тільки кінцевих чисел. Не маючи поняттям «цілком упорядкованої множини», не можна було зрозуміти, що якщо множинам повідомлений певний закон, в силу якого вони стають «цілком впорядкованими» множинами, то за такої умови і з нескінченними множинами можна виробляти настільки ж певні дії рахунку, як і зі множинами кінцевими. Тому нескінченно велике розглядали тільки у формі сходяться нескінченних рядів, введених вже в XVII в. Кантор розглядає заперечення проти актуальної нескінченності, висунуті філософами - Декартом, Спінозою, Лейбніцем, Локком. Говорячи про «кінцівки розуму», ці філософи мовчазно припускали, ніби розум людини здатний мислити тільки кінцеві числа. Цьому погляду, обмежуючому здатність людського розуму до пізнання, Кантор протиставляє свій, що грунтується на гордої вірі в міць людського пізнання. «Якщо виявиться, - говорить Кантор, - що розум в стані також у відомому сенсі визначити і відрізняти один від одного нескінченні, тобто сверхконечние (« трансфінітні ». - В. Л.), числа, то ... доведеться приписати людському розуму у відомих відносинах предикат «нескінченний», що, на мою думку, єдино правильно »(16, 22). І Кантор заявляє, що він захисник погляди, згідно з яким людський розум «володіє безмежними задатками до поступового утворення цілих числових класів, які знаходяться в певному відношенні до нескінченних модусам і потужності яких все більше і більше» (16, 22-23). Погляд це наповнювало Кантора почуттям найбільшого задоволення: «Коли я розглядаю нескінченне так, як я це зробив тут .., мене охоплює справжня радість ... при вигляді того, як поняття цілого числа, що має в області кінцевого під собою лише поняття кількості, як би розколюється, коли ми підіймаємося в область нескінченного, на два поняття - на поняття потужності, незалежне від притаманного деякому безлічі порядку, і поняття кількості,, необхідним чином пов'язане з деяким закономірним порядком безлічі, завдяки якому останнє стає цілком упорядкованим безліччю. А коли я назад спускаюся з області нескінченного в область кінцевого, то я так само ясно й прекрасно бачу, як обидва поняття знову стають одним і з'єднуються в поняття кінцевого цілого числа »(16, 29-30). 8 * 227 У наведених рядках не тільки звучить найбільший пізнавальний оптимізм. У них Кантор, крім того, говорить про «ясному вйденіі». Це «ясне вйденіе» актуально нескінченного і його відносини до кінцевого є теж інтуїція. Але яка? Чи не чуттєва і не інтуїція розуму, про яку говорили Дж. Бруно, Шеллінг, Гегель. Розрізнення формально мислячого «розуму» і діалектично мислячого «розуму», настільки характерне для античних неоплатоніків, для Дж. Бруно, для німецьких романтиків і для Гегеля, абсолютно чуже Кантору. Він виходить з інтуїції Парменідовськая «буття», а не гераклітовского становлення. Коли він говорить про «ясному вйденіі» актуально нескінченного, він має на увазі не інтуїцію розуму, а «інтуїцію розуму» (правда, самим терміном «інтуїція» Кантор майже не користується). Тим самим Кантор повертається до думки раціоналістів XVII в. в питанні про «органі» інтуїтивного «вйденія». Чи не «розум» романтиків і Гегеля, а «інтелект», «розум» «бачить», по Кантору, актуально нескінченне. Можливо, що цим пояснюється нещадно негативне ставлення Кантора до Канту. Адже саме Кант, як було показано вище, стверджував, що наш «розум» (Verstand), або «інте- лект », начисто позбавлений здатності інтуїтивного вй-дення. У кантовской теорії пізнання Кантор бачив неприпустиме применшення могутності людського розуму, погляд самого нігілістичного скептицизму. Говорячи про кантовских антиномії чистого розуму, Кантор знаходить, що навряд чи що-небудь ще - «не виключаючи скепсису пірронізма та Академії, з яким у Канта настільки багато спільного, - так сприяло дискредитування людського розуму і його здібностей» (16, 87). У якому ж відношенні до реальності знаходиться, по Кантору, нове поняття актуальної нескінченності? Відповідь Кантора на це питання надзвичайно цікавий. Він пропонує розрізняти два види реальності математичних понять. Їм властива, по-перше, реальність, яку Кантор називає «іманентною», або «інтрасуб'ектівной». Це реальність математичних понять у вільному породженні нашого мислення. Це - виявлення тієї свободи математики, яку Кантор вважає винятковою і найбільш характерною рисою математики як науки. У цьому сенсі, згідно з роз'ясненням Кантора, «ми можемо вважати цілі числа дійсними остільки, оскільки вони займають на основі визначень цілком певне місце в нашому розумі, цілком ясно відрізняються (курсив мій. - В. А.) від інших складових частин нашого мислення, стоять до них у певних відносинах ... »(16, 30). Цю сторону своїх роздумів Кантор називає «ідеалістичної» (16, 31). Але в основі «іманентною» реальності цілих чисел лежить, по Кантору, реальність іншого виду. Числах «можна приписати реальність також остільки, оскільки їх слід розглядати як вираження або відображення процесів і відносин у зовнішньому світі, протистоїть інтелекту, оскільки, далі, різні числові класи ... є представниками потужностей, що мають дійсне місце в тілесної чи духовної природі »(16, 30. Курсив мій. - В. А.). Цю сторону своїх роздумів Кантор характеризує як «цілком реалістичний-ську», а саме реальність цього типу називає «трап-зіентной реальністю цілих чисел» (16, 30). При цьому Кантор не просто ставить обидва ці види «реальності» цілих чисел один поруч з іншим. Правда, він вважає, що математика в своєму розвитку зовсім вільна і пов'язана тільки однією умовою: її поняття повинні бути вільні від внутрішніх протиріч і повинні знаходитися в незмінних, встановлених визначеннями відносинах до понять, утвореним раніше і вже-готівковим. Розвиваючи ці думки, Кантор укладає, що при розробці своїх ідей математика «повинна вважатися єдино лише з іманентною реальністю своїх понять і тому не зобов'язана зовсім перевірити також їх транзієнтної реальність» (16, 31). І все ж «свобода» математики - свобода, в якій Кантор навіть бачить її «сутність» (див. 16, 32), зовсім не означає, за його запевненням, свавілля або спонтанності математично мислячої розуму. Обидва види реальності, властиві поняттям математики, - реальність «іманентна» і «транзієнтної», - на його переконання, «завжди збігаються в тому сенсі, що яке-небудь поняття, що приймається за існуюче в першому відношенні, володіє у відомих, навіть нескінченно багатьох відносинах і транзієнтної реальністю »(16, 31). І Кантор підкреслює згоду цього свого положення з поглядами Спінози («порядок і зв'язок ідей ті ж, що порядок і зв'язок речей»), а також Платона: «Те, що можна пізнати, є; того, чого не можна пізнати, немає, і в тій же мірі, в якій щось є, воно також і пізнаванності »(думки Платона Кантор викладає по Едуарду Целлеру, см. 95, 541-602). А в одному зі своїх листів (з приводу різних точок зору на актуально нескінченна) Кантор, говорячи про протилежності нескінченних чисел числах кінцевим, підкреслює, що властивості виду нескінченних чисел «цілком залежать від природи речей і утворюють предмет дослідження, а не нашого свавілля або наших забобонів »(16, 81). Тому заперечення багатьма найбільшими математиками актуально нескінченного представляється Кантору «чималим злочином проти природи речей, які слід брати такими, які вони насправді» (16, 86. Курсив мій. - В. А.). Глибоке переконання Кантора в «транзієнтної» реальності математичних понять зумовило його різко негативне ставлення до «теорії знаків» Гельмгольца і до психологізму близькою до неї за духом теорії Кронекера. Кантор сам чітко висунув основний пункт розбіжності між ним і обома цими видатними вченими. Пункт цей - суб'єктивізм «знаковою» теорії. Але визнання залежності поняття про актуально нескінченному «від природи речей» ще не означає, звичайно, що Кантор варто у філософському осмисленні основ математики на матеріалістичної точки зору. Визнання незалежного від особистої свідомості існування об'єктів науки може бути вираженням матеріалізму, а об'єктивного ідеалізму. Саме така позиція Кантора. Для нього поняття про множини, незважаючи на те, що він їх називає «відображенням процесів і відносин у зовнішньому світі», представляють «ейдоси», «універсалії» якщо не в прямому сенсі Платона, думку якого вони, втім, дуже близькі, то під Принаймні в сенсі помірного аристотелизма. Кантор сам недвозначно характеризує - і в цьому він правий - власну позицію як ідеалістичну. Більше того. Поширену в його час «боязнь нескінченності» (horror infiniti), як він її називає. Кантор пояснює ... «Впливом сучасного епікурейська-матеріалістичного духу часу» (16, 86). На противагу цьому матеріалізму Кантор бачить в своєму понятті про безліч «щось, споріднене платоновскому е! 8о <;, iSsa, а також тому, що-Платон у своєму діалозі« Філеб, або найвищу благо »називає | mxtov (« змішане »: із «межі» і «безмежного». - В. А.) »(16, 69). Філософська слабкість і неспроможність поглядів Кантора - великого математика - не тільки в тому, що «реальність» актуально нескінченного він розуміє не в змісті матеріалізму, а в сенсі об'єктивного ідеалізму. Філософська слабкість його полягає і в тому, що, надзвичайно ясно охарактеризував поняття про актуально нескінченному як своєрідне інтелектуальне вйденіе (інтелектуальну інтуїцію в сенсі Декарта, Спінози, Лейбніца), Кантор абсолютно не задається питанням про генезис, про походження цього поняття (цієї інтуїції) з досвіду, з практики. Він обмежується тільки тим, що показує залежність між інтуїтивною ясністю і чіткістю поняття про актуальну нескінченності і ясністю і чіткістю вводяться їм визначень, на яких це поняття грунтується. Усюди, де у Кантора йдеться про інтуїтивної ясності і виразності понять математики, мається на увазі Інтуїція не чуттєва, а інтелектуальна, що припускає при цьому точну логічну вироблення понять за допомогою визначень, вільних від протиріч. Навпаки, форми чуттєвої інтуїції Кантор вважає абсолютно нездатними до утворення понять математики і до вирішення її спеціальних проблем. Так, проблема континууму, по Кантору, не може бути задовільно вирішена за допомогою кантовских апріорних форм чуттєвої інтуїції - простору і часу, «так як і простір і мислимі в ньому образи отримують лише за допомогою вже логічно готового континууму то зміст, завдяки якому вони можуть стати не тільки предметом естетичного розгляду, філософського дотепності, або неточних порівнянь, а й предметом тверезих точно-математичних досліджень »(16, 48). Кантор обмежується сказаним. Він не ставить питання про походження тих визначень, на основі яких він вводить свої поняття про нескінченність. Генетична точка зору йому абсолютно чужа. Подібно великим раціоналістам XVII в. він визнає наявність інтелектуальної інтуїції (понять безлічі, актуальної нескінченності), але на відміну від них відмовляється від філософського пояснення цього наявності. Як математик, він вважає себе (і разом з тим всю математику) вільним від обов'язку такого пояснення. Він навіть вважає, що саме «свобода» математики, зокрема свобода від зобов'язання дати філософське пояснення математичних понять, була умовою успіху спеціальних математичних теорій. «Якби, - стверджує він, - Гаусс, Коші, Абель, Якобі, Діріхле, Вейер-Штрасс, Ерміт і Ріманн були зобов'язані піддавати завжди свої нові ідеї метафізичного контролю (тобто філософського ісследованію.-В. Л.), то ми б, право, не змогли насолоджуватися грандіозної системою сучасної теорії функцій ... Ми не бачили б перед собою чудового розквіту теорії диференціальних рівнянь в руках Фукса, Пуанкаре і багатьох інших ... »(16, 33). Безперечно, математик не зобов'язаний бути філософом. Ніхто не має права поставити Кантору в обов'язок вступати в обговорення «метафізичних», як він їх називає, питань про ставлення математичних понять до дійсності і до практики. Але важливо розуміти, що ці питання як питання філософії виникають з непорушною необхідністю і що рішення їх може бути знайдено лише на шляхах діалектики. ' Втім, не вирішуючи і навіть не ставлячи скільки-докладно питання про генезис визначень і понять математики, які мисляться з інтуїтивною виразністю, Кантор бачить, що поняття ці - якщо вони істинні-мають коріння в самій реальності. Так, наприклад, хоча сучасна теорія функцій була створена, по Кантору, «абсолютно вільно», вона «вже і тепер у своїх застосуваннях до механіки, астрономії та математичної фізики виявляє, як цього і слід було очікувати, своє транзієнтної значення» (16, 33). Тому теза про «свободу» математичного творчості Кантор піддає важливого обмеженню. «Якщо математика, - говорить він, - має повне право розвиватися зовсім незалежно від усіляких метафізичних впливів, то, з іншого боку, я не можу цього права ... визнати, наприклад, за аналітичної механікою і математичною фізикою. На мою думку, ці науки, як в своїх основах, так і в переслідуваних ними цілях, метафізічни »(16, 33). Мовою Кантора «метафізічность» математичної фізики (і аналітичної механіки) означає, що в цих науках непереборно пояснення відносин, що існують між їх поняттями і об'єктивною реальністю. «Якщо вони, - вказує Кантор, - намагаються звільнитися від цього, як це було запропоновано недавно одним знаменитим фізиком, то вони вироджуються в якесь« опис природи », яке за необхідності позбавлене свіжого дихання свободи математичної думки і здатності тлумачення і пояснення явищ природи »(16, 33-34). Ідеї Кантора справили величезний вплив на розвиток всієї новітньої математики. Багато найбільші математики приступили до переробки ряду основних розділів математики в поняттях теорії множин. Заснована Кантором теорія множин сприяла перебудові та обгрунтуванню математичного аналізу. Умовою цього обгрунтування була розробка теорії меж. Але теорія меж сама спирається на суворе визначення ірраціонального числа. Таке визначення було розроблено саме на фундаменті теорії множин Дедекін-дом, Вейерштрасом і Кантором. Розробка поняття про безліч сприяла виникненню нових частин математики. Це була сама теорія множин - загальна і спеціальна теорія «точкових» множин; теорія функцій дійсного змінного і її підрозділи (теорія інтегрування, теорія тригонометричних рядів, загальна теорія «розривних» функцій); теоретико-множинна топологія; функціональний аналіз. Але теорія множин не тільки стала основою ряду нових важливих частин математики. Поняття і методи цієї теорії стали виявляти потужний вплив на розвиток та розробку більшості математичних наук. У кожній галузі математики, за твердженням П. Александрова, все більше поширюється метод визначення предмета її досліджень «як деякого безлічі об'єктів, що задовольняють відомій системі співвідношень» (4, 15). Методи теорії множин проникли в усі галузі математики. Вони охопили найрізноманітніші частини математичного аналізу: теорію функцій комплексного змінного, теорію диференціальних рівнянь, варіаційне числення і т. д. (див. 4, 15). При цьому вплив зробили не тільки розроблені Кантором поняття про «потужності» множин, про «цілком впорядкованих множинах», про «числових класах», про «трансфінітних» числах і т. д. У працях Кантора можна знайти ідеї, не настільки детально розвинені, але проте отримали подальше життя і розвиток в роботах відомих математиків інших напрямів. Не маючи можливості зупинятися на цьому питанні в справжній роботі, відзначимо лише чотири ідеї. По-перше, у Кантора ми знаходимо думку, детально розвинену Пуанкаре, - думка про те, що під «існуванням» математичних об'єктів можна розуміти лише відсутність протиріч в поняттях про ці об'єкти. По-друге, Кантор відстоює «свободу» математичного творчості - погляд, який отримає подальший розвиток в математичному «інтуїционізма». По-третє, Кантор обмежує цю «свободу» можливістю плідної інтерпретації та застосування «вільно» створюваних математикою нових принципів і понять про її об'єктах. У цьому сенсі Кантор роз'яснював, що якщо, наприклад, що вводиться математикою нове число «неплідно або недоцільно, то це вельми скоро виявляється завдяки його повної непридатності, і тоді воно за відсутністю успіху відкидається» (16, 32). У більш різкій формі погляд цей був розвинений згодом Лузіним.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "ТЕОРІЯ МНОЖИН КАНТОРА І ІНТУЇЦІЯ АКТУАЛЬНО БЕЗКІНЕЧНОЇ " |
||
|
||