| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
ОБМЕЖЕННЯ ЗАСТОСУВАННЯ ІНТУЇЦІЇ У МАТЕМАТИКИ XIX в. |
||
|
Вже розгляд раціоналістичних теорій інтуїції, що виникли в XVII ст., Показує, що питання про існування інтуїції як пізнавальної функції і про її роль у пізнанні виникав не тільки в філософії, а й в точній науці, перш всього в математиці. Класики філософського раціоналізму XVII в. Декарт і Лейбніц розвинули своє вчення про безпосередній, інтуїтивному, знанні, спираючись на міркування про логічною природою достовірних істин - аксіом, що лежать в основі математичної дедукції. У «Правилах для керівництва розуму» Декарта достовірне знання розглядається як знання, що відправляється від інтуїтивно очевидних положень і розгортається в довгі ланцюги дедуктивних побудов, або кроків. І хоча кожне вхідне в ланцюг дедукції стан, саме по собі узяте, взагалі кажучи, не володіє інтуїтивною очевидністю, проте перехід від першого, інтуїтивно збагненої істини до істини, на ній грунтується, з неї наступної, вбачається з інтуїтивною ясністю і достовірністю, нітрохи не меншими, ніж ясність і достовірність вихідної аксіоми. Те ж затверджується і щодо всіх наступних переходів і висновків. Таким чином, всі побудова дедуктивної науки, зразком якої в очах раціоналіста є математика, виявляється, незважаючи на всі більше віддалення в ході дедукції від початкових інтуїцій - від аксіом, наскрізь пронизаним і як би цементувати серією послідовних актів інтуїтивного розсуду. У цьому саме сенсі Декарт роз'яснював, що очевидність і достовірність інтуїції потрібні не тільки для окремих тверджень, а й у всякого роду міркуваннях. Візьмемо, наприклад, стан: «2 і 2 складають те ж, що 3 і 1»; в ньому необхідно «інтуїтивно осягати (intuendum est) не тільки те, що 2 і 2 складають 4 і що 3 і 1 складають також 4, але, крім того, ще й те, що з перших двох положень необхідно втекти це третє »(33, 369; 87). І хоча багато положень науки не є самоочевидними, вони все ж доступні достовірного пізнання, «якщо тільки вони виводяться з вірних і зрозумілих принципів шляхом послідовного і ніде не переривається руху думки при наявності гострозорою інтуїції кожного окремого положення» (33, 369; 87). Таким чином, в системі достовірного математичного знання, як би не були довгі ланцюги дедукції, «всі положення, безпосередньо виведені нами одне з іншого, якщо укладання ясно, вже зведені до справжньої інтуїції» (33, 389; 103). Не менш значною вважав роль інтуїції для математики і для інших видів достовірного знання Лейбніц. Правда, на відміну від Декарта Лейбніц визнавав аксіоми доказовими і тому подібно Гоббсом началами дедуктивних наук вважав визначення. Однак визначення науки, по Лейбніца, можуть бути вихідними принципами лише в силу того, що вони в свою, чергу володіють інтуїтивною ясністю і достовірністю. «Інтуїтивне пізнання, - роз'яснює Лейбніц, - полягає у визначеннях, коли їх можливість відразу зрозуміла» (72, 347). І далі: всі адекватні визначення містять в собі первинні раціональні істини і, «отже, інтуїтивні пізнання». І взагалі, на думку Лейбніца, всі первинні раціональні істини «безпосередні безпосередністю ідей» (72, 347). Так зване демонстративне знання є «лише зчеплення інтуїтивних пізнань у всіх зв'язках посередніх ідей» (72, 348). Саме тому, стверджує Лейбніц, посилюючи тут відповідну думка Декарта (повторену також Локком), демонстративне знання «менш ясно, ніж інтуїтивне, подібно до того як зображення, відбите декількома дзеркалами один від одного, дедалі більше тьмяніє з кожним відображенням, і його вже не так легко відразу дізнатися »(72, 348). Важливо з'ясувати підстави, спираючись на які Декарт, Лейбніц та інші раціоналісти визнали вихідні положення дедуктивної доказової науки положеннями інтуїтивними, тобто прямими, безпосередніми розсудом розуму. Спільним для них підставою цього визнання були два міркування: 1) повна впевненість у тому, що в аксіомах (а також, по Лейбніца, і у визначеннях) відношення між логічним суб'єктом (S) і предикатом (Р) мислиться як відношення безумовно загальне і безумовно необходімое2) така ж повна їх впевненість у тому, що безумовний характер загальності і необхідності не може бути почерпнуть ні з якого досвіду, ні з якої емпіричної індукції, а може бути знайдений тільки в розумі - в його прямому і безпосередньому розсуді. Раціоналізм, що характеризує погляд Лейбніца, аж ніяк не вів до протиставлення математичних інтуїцій логічному аналізу. Інтелектуальна природа математичної інтуїції для Лейбніца поза всяким сумнівом. Більше того. Математична інтуїція Лейбніца нерозривно пов'язана з аналітичною логічної теорією математичних суджень. Безумовно необхідне відношення між суб'єктом і предикатом аксіоматичного судження 5 - Р є, згідно думки Лейбніца, не тільки інтелектуальне споглядання (погляд, розсуд), або інтуїція, але також і ставлення аналітичного прямування: предикат Р логічно випливає з свого суб'єкта 5, так як зміст Р є частина змісту 5 і тому може бути аналітично виведено з S: S->-Р. У цьому розумінні полягав прообраз погляду на математику як на систему доказуваних положень, між якими є необхідна логічна - аналітична - зв'язок. У них можна назвати інтуїтивним, тобто безпосередньо споглядала, що не стільки зміст, скільки самий логічний перехід від розсуду необхідності попередніх положень до розсуду необхідності подальших, логічно ними обумовлених. На перший план висувається розсуд, або урозуміння, відносини логічного тотожності, що зв'язує всі ланки математичної дедукції. Можливість представити в спогляданні зміст пропозицій, що утворюють елементи математичної дедукції, втрачає значення, яке вона мала для античних математиків, зокрема геометрів. Аналітична теорія судження, розвинена Лейбніцем, вказувала шлях розвитку математики в якусь вельми загальну логіку, в строгу дедуктивну систему, рушійну силу і принцип якої складають логічний зв'язок прямування, логічні переходи від положень, прийнятих за вихідні, до положень, виведеним з них на основі одних лише логічних операцій. Таким чином, у засновників математики нового часу чітко виступає двояка тенденція в розумінні ролі інтуїції. Інтуїтивне, безпосереднє, розсуд відносин між математичними об'єктами розглядається, з одного боку, як запорука математичної достовірності, а самі інтуїції - як вихідні будівельні елементи математики. Як сказано вище, погляд цей ми знаходимо не тільки у Декарта, а й у творця диференціального числення Лейбніца До Але, з іншого боку, той же Лейбніц намітив вже ідею чисто логічної розробки математики - розробки, які не залежною від інтуїції. В одному з листів до Християнові Гюйгенсу Лейбніц повідомляє: «Я знайшов деякі початку нового, абсолютно відмінного від алгебри символічної мови, завдяки якому можна буде представити з великою користю, точно і згідно з ділом, без фігур, в думках, все те, що залежить від інтуїції »(70, 570. Курсив мій. - В. Л.). І в тому ж листі він намічає ще більш широке застосування описаного ним способу побудови математики. Однак розвиток математики після Лейбніца не відразу пішло в предуказанном їм напрямку. У самій школі послідовників Лейбніца, очолюваній Християном Вольфом, ідея чисто аналітичного розуміння математики по суті не отримала подальшого розвитку. У цій школі не було скільки-небудь великого математичного або логічного розуму, який міг би розвинути тенденцію, намічену Лейбніцем. Навпаки, незабаром в Німеччині з'явився найбільший мислитель, ідеї якого виявилися певною опозиції до інтелектуалізму Лейбніца і до його аналітичному розумінню математики. Цей мислитель - Кант. У главі третій цієї роботи було вже роз'яснено, що Кант відкинув інтелектуальну інтуїцію раціоналістів. Але в цьому розділі позиція Канта була висвітлена головним чином з одного - філософської - сторони. У ній показано, що заперечення інтелектуальної інтуїції у Канта було обумовлено його гносеологічним агностицизмом, невизнанням здатності розуму осягати речі, як вони існують самі по собі. Однак у вченні Канта про інтуїцію було ще й інший зміст. Воно звернуло на себе увагу і стало впливати на розвиток математики тільки в XIX, власне, навіть у XX ст. Вихований у філософській атмосфері Вольфа-анства, Кант по досягненні філософської самостійності вийшов з кола його ідей. Він дійшов висновку, що інтелектуалізм Лейбніца не в змозі пояснити природу математичного знання. Кант зберігає з поглядів раціоналізму переконання в тому, що математика має безумовно загальними і необхідними істинами і що ця загальність і необхідність не може відбуватися з досвіду. Однак на відміну від раціоналістів Кант вважає, ніби незалежні від досвіду, тобто апріорні, істини математики мають своїм джерелом НЕ розсуду інтелекту, або розуму, а апріорні споглядання, наочні уявлення чуттєвості. Аксіоми геометрії та арифметики, за Кантом, - апріорні синтетичні судження, що грунтуються на формах інтуїції, але ця інтуїція не інтелектуальне, а чуттєва. Визнаючи чуттєвий характер форм інтуїцій, на яких грунтуються загальні положення в геометрії і в арифметиці, Кант одночасно зберіг у своїй теорії математики раціоналістичний теза априоризма. У результаті теорія математичного пізнання виявилася у Канта в чому не ясною, буяє суперечностями 10. Наявність цих протиріч призвело до того, що ставлення до кантівської теорії математики у представників різних напрямків, що виникли в самій математиці в кінці XIX - початку XX в., Було глибоко різним. На рубежі XIX-XX ст. в логічній літературі майже одночасно з'явилися дослідження французького вченого Луї Кутюра та англійської - Бертрана Рассела, присвячені логіці Лейбніца. У самому виборі предмета дослідження, а ще більше в його трактуванні позначилося нове розуміння характеру математики і відносини математики до логіки. Все це відбилося на уявленнях про роль інтуїції в математичному знанні. Розробка математики протягом XIX в. виявила відсутність необхідної строгості в дедукції античної науки і, зокрема, античної геометрії. Ця недостатня строгість була історично неминуча і в той час не була недоліком або помилкою. Вона була обумовлена довірою до наочного поданням, до інтуїтивно споглядаю образам геометричних об'єктів. Евклід, що дав дивовижну для свого часу (III століття до н. Е..) Систему математики і чудові зразки дедуктивних побудов, при здійсненні їх у ряді випадків звертається до інтуїціям, до наочним уявленням. Так, при доказі перший теореми про конгруентність він вдається до інтуїції: Евклід виходить з того, що якщо переміщувати у просторі трикутник, не змінюючи його форми і величини, то він може бути накладено на інший трикутник. Приклад цей - типовий для Евкліда і для всієї взагалі античної математики (і математики нового часу). Ця наука зверталася при побудові доказів до інтуїціям і розглядала інтуїтивні передумови дедукцій як аксіоматичні. Інтуїція здавалася античним геометрам багатообіцяючим засобом докази - як по своїй видимій простоті, так, особливо, по безпосередності розсуду. Вже в індійській математиці були зроблені спроби розвинути геометрію як систему безпосередньо очевидних істин. Для кожної теореми придумували відповідний креслення і замість докази писали тільки одне слово: «дивися». Але і для ряду мислителів нового часу безпосередність розсуду здавалася ідеалом, до якого має прагнути всі знання. Навіть Фейєрбаху безпосередність споглядання представлялася метою знання, до якої йде вся нова філософія. «Новітня філософія, - писав він у« Основах філософії майбутнього », - домагалася чогось непосредст-венно достовірного» (19, 186). «Істинно .., - пояснював він, - тільки те, що не потребує ніякого доказі, що безпосередньо достовірно через саме себе, що безпосередньо говорить за себе і до себе в своєму розпорядженні, безпосередньо супроводжується твердженням, що воно є це щось беззастережно певне, беззастережно безсумнівну, ясне, як сонце »(19, 187). З цієї точки зору, явно перебільшує достовірність безпосередньо очевидного, Фейєрбах відкидав положення Гегеля, згідно з яким всі опосередковано. Перетворювати, "як Гегель, опосередкування в божественну необхідність і найважливіша ознака істинності, за Фейербахом, схоластично.« Опосередковують себе істина, - стверджує він, - є істина, наділена своєю протилежністю »(19, 187). Не тільки у філософії нового часу, але і в математиці - античної і нової починаючи з XVII в. - логічним ознакою інтуїції вважалася безпосередність виражається в них знання, а гносеологічним умовою самої безпосередності - очевидність і досконала ясність. Декарт, один із засновників математики нового часу, бачив у ясності і виразності критерій істинності знань. І точно так само Лейбніц вважав, що ясність і очевидність є достовірність і що вона тягнеться за межі готівки відчуттів (див. 72, 426). І в розвиток цієї думки Лейбніц говорив, що очевидність є виступаюча з ясністю достовірність, тобто «така достовірність, в якій не сумніваються в силу зв'язку, вбачаємо між ідеями». Відповідно до цього Лейбніц знаходив, що інтуїція як опора становить необхідну умову науки і що наукове свідомість не має права вимагати, щоб кожна наукова істина доводилася. «Було б божевіллям, - пояснював він, - очікувати логічного доказу з кожного питання і не діяти згідно ясним і очевидним істинам, якщо вони не удостоверяеми доказами» (72, 426). Однак той же Лейбніц вже добре розумів, що в математиці інтуїтивна очевидність аж ніяк не є підстава для відмови від строго логічного виведення істин, які представляються розуму як ясні й очевидні. За словами Лейбніца, вже Евклід «відмінно зрозумів це, доводячи за допомогою розуму те, що досить ясно на підставі досвіду і чуттєвих образів» (72, 43). За Лейбніца, недоказові тільки «первинні», або «безпосередні», аксіоми (axiomes primi-tifs ou immediats). Вони «тотожні пропозиції» (les identiques) (див. 72, 388). Навпаки, так звані «вторинні аксіоми» (axiomes secondai-res) не тільки можуть бути доведеними, але доказ їх найвищою мірою бажано. «Було б важливо, - говорить Лейбніц, - довести всі наші вторинні аксіоми, якими зазвичай користуються, зводячи їх до первинних, Цлі безпосереднім, і недоказовим аксіомам» (72, 388). Проникливому уму Лейбніца математика представлялася наукою майбутнього, в якій всі істини строго доводяться: вони виводяться за правилами формальної логіки з невеликої групи первинних тотожних аксіом. У цій математиці фонд вихідних положень, що приймаються як інтуїтивно істинних, повинен бути зведений до можливого мінімуму, а вся наука в цілому повинна отримати логічну форму дедуктивної системи. Але на шляху до зазначеного побудови математики стояли чималі перешкоди і труднощі. Необхідно було усвідомити недостатність і ненадійність інтуїції, на якій грунтувалася антична математика і математика нового часу. Свідомість це прийшло не відразу. Бертран Рассел в статті «Новітні роботи про початки математики» («International Monthly», July, 1901, російський переклад (1917 р.) в «Нових ідеях в математиці», Збірник перший, см. 14, 82-103) показав, що на початкових стадіях розвитку математики інтуїтивна ясність і очевидність здатна була призводити і часом приводила до помилок. На ранній стадії науки «кожна пропозиція здається самоочевидним, і тому важко бачити, чи слід одне самоочевидне пропозицію з іншого чи ні» (14,85). Виникає нетерпиме у своїй парадоксальності стан: очевидність вступає у ворожнечу з точністю (див. 14, 85). І справді: часто «аніскільки не є! самоочевидним, що одне очевидне пропозицію випливає з іншого очевидного пропозиції »(14, 85). - Тому доказ такого положення зовсім не пусте і бездіяльне заняття. Навпаки, доводячи очевидне, математика тим самим відкриває «дійсно нові істини» (14, 85). Тому виникнення математики нового часу (аналітична геометрія, диференціальне та інтегральне числення) повинне було з часом привести не тільки до розширення області предметів науки, а й до більшої строгості у вимогах, пропонованих доказовості, логічного побудови, логічної бездоганності дедукцій. Тільки на перших порах розвитку науки важливість і необхідність розширення області відкритих істин і обумовлена цією необхідністю енергія дослідження брали гору над турботою про логічного виробленні нової математики. «Великі винаходи сімнадцятого століття - аналітична геометрія та обчислення нескінченно малих, - пояснює Рассел, - були так багаті плідними результатами, що математики не мали ні часу, ні бажання для точного обгрунтування цих доктрин» 11 (14, 102). Однак занадто довго такий стан речей тривати не могло. Розвиток аналізу і геометрії вимагало суворого логічного обгрунтування. Це обгрунтування було здійснено в XIX в. в працях великих математиків починаючи від Гауса і Кош і і кінчаючи Вейерштрасом (див. 10, 7 і сл.). Успіхи логічного обгрунтування математики XIX в. зменшували значення інтуїції у розвитку математичного знання. Інтуїція виявлялася не тільки недостатньою підставою науки. Було з'ясовано, що довіра, з яким ставилася до інтуїції антична математика, призвело до визнання положень, які виявилися просто помилковими. Очевидність вступала в протиріччя не тільки з точністю, але і з самою істиною. Фатальним у справі розвінчання ролі інтуїції, точніше, у розвінчанні погляду, приписувану їй безумовне значення, виявилося, по-перше, розвиток теорії паралельних в геометрії, по-друге, відкриття кватерніонів. У першій книзі «Почав Евкліда» вводиться визначення паралельних (опр. 23): «Паралельні суть прямі, які, перебуваючи в одній площині і будучи продовжені в обидві сторони необмежено, ні з тією ні з іншого« сторони »між собою не зустрічаються». Слідом за цим визначенням Евклід формулює знаменитий п'ятий постулат (інакше - одинадцяту аксіому). Постулат цей говорить: «Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні і по одну сторону кути, менші двох прямих, то продовжені ці дві прямі необмежено зустрінуться з тієї сторони, де кути менші двох прямих» (13, 15). З визначення і постулату видно, що через точку паралельно прямій в одній з нею площини можна провести деяку лінію, і притому тільки одну. Евклідові визначення і постулат паралельних цілком відповідали інтуїтивно-логічного характеру античної геометрії і в той же час виводили за її межі. З одного боку, п'ятий постулат ніби спирався на інтуїтивну очевидність. З іншого боку, визначення паралельних вказувало ознак відсутності якого можливо упевнитися тільки при продовженні прямих у нескінченність. Це розсуд було вже недоступно інтуїції. Так як античному свідомості було чуже поняття про нескінченність, то вже античні математики стали шукати докази п'ятого постулату. Вони шукали їх не тому, що інтуїтивна очевидність самого постулату здавалася їм сумнівною, а тому що вони не могли прийняти його формулювання, що передбачала чужі їм поняття (про це див примітки до I-VI книгам «Почав Евкліда», складені Д. Д. Мордухай-Болтовский, стор 236 і сл.). Але як би то не було, одного разу почавшись, дослідження п'ятого постулату Евкліда зіграло важливу роль. Воно виявило недостатність інтуїтивної очевидності як засобу побудови геометрії і взагалі математики. Воно виявило, що в розчленуванні античного математичного доказу тільки одна із складових частин представляє логічну операцію, всі інші відносяться або до креслення, тобто інтуїтивно акредитуючій образу, або до словесному способу вираження (див. 13, 255). Звільнення від некритичного довіри до чуттєвої інтуїції було важливою умовою успіху у важкій справі суворого обгрунтування математики. Особливо в математиці XIX в. збільшилася кількість строго доведених (аналітично) положень, які представлялися суперечать безпосереднім даними інтуїції і тому що підривають її значення для обгрунтування науки. «Відкриття безперервних функцій, які не мають похідних, яким в аналітичній геометрії відповідають безперервні криві, що не мають дотичних, доказ можливості зобразити криву на суцільний майданчику, що стає все більш ясною недостатність старого погляду на числа, особливо на ірраціональні числа, розвиток поняття про безперервність і вчення про збіжність рядів, а також цілий ряд інших обставин, - писав І. Вельштейн в «Підставах геометрії», - привели до того, що підірвали в корені сліпу віру у надійність наших чуттєвих уявлень і створили в математиці критичне напрямок »(20, 9). З виникненням математики нового часу в логічному обгрунтуванні математичних істин був досягнутий великий прогрес. Інтуїції, як уже сказано, зіграли важливу роль при первісному виникненні деяких математичних понять. Наприклад, інтуїтивно подаються образи кривої з дотичній до неї в кожній її точці, а також руху точки з певною швидкістю в кожен момент призвели до виникнення важливих понять безперервності і похідної. Коли ж ці поняття виникли і отримали суворе логічне обгрунтування, виявилося, що вони ведуть до наслідків, логічно необхідним, але вже зовсім недоступним для інтуїції. Так, Вейерштрасс вказав рівняння деякої кривої: оо у = 2 Іоп - cos (ап тих), про де про <6 <1 і а - число непарне. У цьому рівнянні функція від х визначається нескінченною низкою, що стоять в її правій частині. Ця функція характеризується такою властивістю, що вона неперервна, але не має похідної ні для одного значення аргументу. Геометрично це означає, що крива Вейерштраса неперервна, але ні в якій своїй точці не має дотичній: на будь-якому кінцевому проміжку вона має нескінченно велике число нескінченно малих коливань. Дослідження Вейерштраса мало принципове значення. Воно виявило, що для функції зазначеного виду неможливо інтуїтивно уявити криву лінію, що володіє охарактеризованих властивістю. Водночас стало ясно, що за допомогою логічних визначень і операцій аналізу математика може систематично досліджувати і точно уявити властивості такої кривої. У чому ж полягала - в цьому випадку, як і в інших, - причина неспроможності інтуїції? Згідно з роз'ясненням видатного німецького математика Фелікса Клейна, інтуїтивний образ лінії тобто не абстрактно геометрична «довжина без ширини», а деяка вузька смужка. Якою б вона не була вузькою, але її кінцева, інтуїтивно сприймається ширина поглинає невловимі для споглядання тонкощі будови ідеалізованого абстрактного геометричного образу. Особливо багато неточностей, зумовлених недостатньою логічною строгістю доказів і надмірним довірою до інтуїтивної очевидності, є як раз в перші теоремах (реченнях) «Почав Евкліда». Вже перше речення вводиться без достатнього логічного обгрунтування. Тут для побудови рівностороннього трикутника на даному підставі з обох кінців прямої проводяться окружності двох кіл з радіусом, рівним даній підставі, а потім точка перетину обох кіл з'єднується з кінцями прямій. У побудованому таким способом трикутнику всі його сторони рівні, так як точка перетину кіл є кінець їх радіусів, рівних основи. Бездоказовість цієї побудови в тому, що воно покоїться на інтуїтивно прийнятому допущенні, неначе кола, отримані обертанням підстави навколо обох його кінців, необхідно перетинаються. Але жодна з прийнятих Евклидом аксіом не містить докази цього допущення. До того ж подальший розвиток математики відкрило багато типів простору, таких, що кола, проведені в них зазначеним способом, аж ніяк не завжди перетинаються. Зрештою в перших восьми пропозиціях Евкліда виявилося стільки недоліків в логічному обгрунтуванні виведених положень, що, враховуючи їх, Рассел прийшов навіть до висновку, що Евклід «має тепер лише історичний інтерес» і що його велика книга, яка не володіє ні якістю легкої зрозумілості, ні якістю досконалої математичної точності, «не заслуговує того місця, яке займає Евклід в нашій освітній системі» (14, 101). Важливим чинником у справі «логизации» математики та обмеження в ній ролі інтуїції виявилася критика кантівської теорії пізнання і кантівської філософії математики. Критику цю розвинули Рассел і його послідовник Кутюра. Кант вважав, що теореми геометрії доводяться тільки за допомогою побудови фігур в інтуїтивно представляемом просторі і за допомогою проведення допоміжних ліній. Він думав також, ніби всяке необхідне для доказу побудова неодмінно спирається на інтуїцію, на наочне уявлення. Неокантіанців продовжували розвивати цей погляд Канта. Так, наприклад, кантіанец Леонард Нельсон в статті про інтуїцію в математиці (російський переклад в «Нових ідеях в математиці», Збірник восьмий, СПб., 1914), визнаючи правомірним і корисним для наукової строгості прагнення математики «вимкнути з систематичного розвитку доказів звернення до інтуїції і уникати, особливо при виведенні арифметичних положень, допомоги геометричних інтерпретацій »(17, 32), не погоджувався, проте, з тим, що метою« арифметизации »математики є« повне витіснення математичної інтуїції і заміна її логічним формалізмом »(17, 32-33). У того ж Нельсона ми знаходимо цікаве висловлювання, що оголює мотив, за яким кантіанці (як, втім, і раціоналісти XVII в.) Вважали саме інтуїцію джерелом загальності та необхідності математичного знання. За твердженням Нельсона, математичне знання має чудову і загадкову особливість: аподіктічность його нібито «забороняє нам шукати джерела пізнання його в емпірії, з іншого ж боку, дякувати не-евклідовій геометрії ми знаємо, що це джерело пізнання напевно не може полягати в логіці» (17, 48). Для вирішення цієї «загадкової» (як він її називає) особливості математичного пізнання Нельсон і посилається на кантовську «чисту» інтуїцію простору і часу. Така інтуїція «є пізнання не логічного роду, а як« чистого »наочного подання воно є пізнання не-емпіричного роду. З логічним пізнанням воно має загальним необхідність, з емпіричним-інтуїтивність ... »(17, 48). Затвердження Канта, ніби геометричне доказ черпає переконуючу силу тільки в просторовій інтуїції, в образах наочного уявлення, Кутюра відкидає як помилкове: по Кутюра, ніколи не слід посилатися на дані в інтуїції властивості фігур, так як часто властивості ці - лише гадані і при довірі до ним призводять до софізмів (див. 12, 239). Що стосується «допоміжних побудов», то вони прості метафори, почерпнуті зі сфери практики: накреслена в ході докази фігура завжди є вже результат деякої ідеалізації досвіду, і властивості її зумовлені дефініцією фігури. Сказати: «З'єднаємо точки А і В» означає не більше, ніж сказати: «Точки А і В визначають пряму в силу самого визначення прямій» (12, 239). На думку Кутюра, приклад цей типовий. Не можна побудувати - з вигодою для математики-ніякої такої фігури, властивості якої не були б вже наперед задані визначеннями, прийнятими в науці. Навіть якщо побудови необхідні, вони не містять в собі звернення до інтуїціям. Але побудови не завжди безумовно необхідні. Правда, докази Евкліда дійсно спираються на побудови допоміжних ліній, часто дуже складні. Але в багатьох-випадках шлях цих доказів неминучий і занадто искусствен, заплутаний. Як правило, вони можуть бути замінені набагато менш складними і прямими доказами. Там, де ця заміна здійснена, доказ грунтується на істотні властивості досліджуваної фігури і звичайно не вимагає введення ніяких допоміжних ліній. Ні непорушною необхідності «бачити», наприклад, площини, прямі і т. п.; досить знати їх взаємні відносини і застосувати до них відповідні теореми. Зрештою геометричне доказ може бути однією лише формальною логічною дедукцією 12 (див. 12, 239-242). За Кантом, математика інтуїтивна, оскільки дає загальне в одиничному наочному поданні. Але практика математичного творчості, на думку Кутюра, суперечить цьому твердженню. При доказі математика посилається не так на інтуїтивно вбачається властивості досліджуваної одиничної фігури, а тільки на ті її властивості, що випливають з її визначення (або з її побудови). Геометрична інтуїція не їсти заставу ні істинності доказуваного положення, ні логічної строгості самого докази. Часто правильно роблять висновок по фігурі, приблизно накресленої або навіть невірною. Часто неправильно роблять висновок по фігурі, ретельно виконаним, якщо при цьому беруть до уваги властивість емпіричне, але не випливає з визначень. Кутюра згоден ще визнати, що інтуїція грає відому роль в синтетичної геометрії: тут вона застосовна як допоміжний засіб. Але роль інтуїції знижується до мінімуму, коли від синтетичної геометрії відбувається перехід до аналітичної геометрії, до проективної геометрії і до геометричних числення. Результати аналітичної геометрії виходять, відповідно до думки Кутюра, за допомогою рівнянь, що представляють все. фігури деякого виду безвідносно до їх приватним, інтуїтивно сприйманим властивостям. Якщо для написання цих рівнянь звертаються до інтуїціям, то при всіх подальших дедукції інтуїція виявляється зовсім не необхідною. У проективної геометрії дослідження відноситься прямо до самих фігурам. Однак і тут, нагадує Кутюра, фігури розглядаються в їх загальні властивості; все інтуїтивно вбачається особливі риси залишаються без уваги, від них просто відволікаються. Наприклад, досліджується конічний перетин взагалі. Воно досліджується незалежно від того, чи йде мова про еліпсі, про параболі або про гіперболі. У дослідженні цього роду відсутня навіть сама можливість відрізнити їх один від одного. У проективної геометрії не проводиться і відмінність між паралельними прямими (або площинами) і пересічними прямими (або площинами). Всі ці відмінності, повні значення для інтуїції, для наочного подання і для спирається на інтуїцію синтетичної геометрії Евкліда, розглядаються в дослідженнях проективної геометрії як не мають для неї істотного значення. Ще менше значення інтуїції в геометричних числення. У них навіть основні фігури визначаються як «алгебраїчні» сполучення точок, або невизначених елементів, а дослідження їх виконується за допомогою формальних алгоритмів. Не зважаючи на те, що алгоритми створювалися не тільки чисто формальним способом, але і за допомогою ін-інтуїції, а також за допомогою конструювання, Кутюра стверджує, що ці алгоритми мають аналогію скоріше з алгоритмом алгебри. У таких геометричних числення в ході докази вже ніколи не посилаються на інтуїтивно сприймаються властивості фігур і ніколи не спираються на так звані «допоміжні побудови». Серед досліджень цього роду є роботи, автори яких на всьому протязі міркування обходяться зовсім без геометричних фігур, а отже, і без підмоги інтуїції (див. 12, 245 -246). Наприклад, відома «Енциклопедія елементарної математики» Вебера, Вельштейна і Якобшталя ставить собі завданням «знищити глибоко вкорінилася забобон, ніби вид основних геометричних утворень грає яку-ні-будь роль, при встановленні істинності геометричних теорем» (20, 34). І в іншому місці: «Чуттєвий вид основних утворень, наприклад, переважання вимірювання в довжину у прямій, досконала форма кулі, настільки приваблива естетично форма еліпса - все це для геометрії, як такої, не має ніякого значення» (20, 84). Цим, однак, справа не обмежилася. Не тільки в геометрії інтуїція виявилася ненадійним і недостатнім засобом пізнання. Такий же вона виявилася і в інших гілках математики, зокрема у вченні про число. Так, наприклад, довгий час вважалося інтуїтивно очевидною аксіомою положення, що ціле більше своєї частини. Це означає, що якщо деяка сукупність об'єктів (А) є частина інший їх сукупності (В), то вона містить менше елементів, ніж сукупність В. Але інтуїція не "підводить» нас тільки доти, поки числа кінцеві: для них «аксіома »справедлива. Місяць - частина року, і в місяці днів менше, ніж у році. Але якщо А (частина нескінченної кількості елементів сукупності В) має нескінченну безліч елементів, то про сукупність У вже невірно сказати, що вона більше своєї частини А. «Немає ніякого протиріччя, - пояснював великий німецький математик Георг Кантор, - у тому, що - як це часто зустрічається у випадку нескінченних множин-два безлічі, з яких одне є частиною або складовою частиною іншого, мають зовсім однакове кількісне число» (16, 92). Вже старовину знала і часто повторювала положення: ціле більше своєї частини. Але, згідно Кантору, це положення можна застосовувати без доказу «лише до сутностей, що лежить в основі цілого і частини. Тоді і тільки тоді воно є безпосереднім наслідком з понять «totum» (целое. - В. А.) і «pars» (часть. - В. Л.). На жаль, ця «аксіома» застосовувалася незліченну кількість разів без будь-якого підстави і без необхідного розрізнення «реальності» і «величини або числа» якого-небудь безлічі »(16, 141). «Аксіома» ця вірна лише для кінцевих множин. І дійсно, сукупність парних чисел є частина сукупності натурального ряду чисел: 1, 2, 3, 4, 5 і т. д. до нескінченності. І все ж число елементів сукупності парних чисел не менше, а дорівнює числу елементів сукупності всіх натуральних чисел, так як у сукупності натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, 5 і т. д. - кожному елементу цієї сукупності буде відповідати один елемент сукупності парних чисел: 1,2,3,4, 5 і т. д. 2, 4, 6, 8, 10 і т. д. Тут число чисел другого ряду (число парних чисел) дорівнює числу чисел першого ряду (числу всієї сукупності натуральних чисел), оскільки кожному числу першого ряду може бути порівнювати одне число другого ряду. Однак все це «повстання» проти інтуїції, характерне для «чистого» логіцізма, само зайшло в глухий кут. Процес «витіснення» інтуїції з математики, що охопив як геометрію, так і арифметику, зустрівся з нездоланними труднощами. Не всі принципи математики піддавалися чисто логічному обгрунтуванню, з якого було б виключено всяке звернення до інтуїції. Що математика не може спиратися на інтуїцію в її вкантовському розумінні - на апріорні форми «чистого» наочного уявлення, - було доведено і стало абсолютно ясно. Але інтуїція не вичерпується тільки тим її видом, який був вказаний Кантом. Можна було відкинути як основи математики кантовську форму інтуїції і водночас визнати, що математика необхідно звертається до інтуїції іншого типу, наприклад до «інтелектуальної інтуїції» творців математики нового часу - Декарта і Лейбніца - або до якої-небудь її модифікації. Так і сталося. Паралельно з розвитком критики старої - кантовской - інтуїції в математиці йшов процес з'ясування інтуїції іншого типу - інтуїції, яка все ж може бути відкрита в підставах математичних наук. Вже на співбесідах математиків і філософів, що мали місце 14 жовтня 1905 і 19 січня 1906 р. в Віденському філософському суспільстві, були запропоновані увазі учасників тези з питання про роль інтуїції в математиці. Аналізуючи у своєму вступному слові основну тенденцію цих тез, австрійський логік Алоїз Гефлер (А. Hofler) вдало виявив двоїстий характер цієї тенденції. Виходячи з прикладів, наведених Ф. Клейном, Больцманом та іншими, автори другої тези стверджували, що не тільки деякі з геометричних уявлень неінтуітівнимі, але що «всяка геометрична очевидність грунтується на неінтуітівнимі» (17, 127). Але в той же час п'ята теза визнавав, що «поряд з геометричною НЕ-інтуїцією (Nicht-Anschauung) є також геометрична інтуїція форми (Gestaltan-schauung)». А в сьомому тезі на питання, «як ми осягаємо форми?», Була дана відповідь: «Не шляхом простого чуттєвого відчуття, але шляхом наочного уявлення (тобто інтуїції. - В. А.)» (17,127). У своєму виступі Гефлер розбив тези на дві групи. Висновок першої групи (I-IV тези) він сформулював так: «Інтуїція померла» (17, 136). Але друга група (V-IX тези) говорить: «Хай живе інтуїція!» (17, 136). Констатуючи парадоксальність виниклого становища, Гефлер пропонував, не дотримуючись неодмінно в ході дискусії зношеного, як він висловився, терміна «інтуїція», розібратися в суті проблеми. «Це спільне співіснування геометричній НЕ-інтуїції і геометричної інтуїції, - говорив Гефлер, - може представлятися однією з найсерйозніших і найактуальніших антиномій ...» (17, 137). Подальший хід математичних дискусій дійсно виявився спробою вирішити - для математики - антиномію, яку Гефлер сформулював-для філософії - в термінах своєї ідеалістичної «гештальтпсихології». У наступних розділах буде показано, як розвивалася боротьба між противниками і прихильниками інтуїції в математиці. |
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "ОБМЕЖЕННЯ ЗАСТОСУВАННЯ ІНТУЇЦІЇ У МАТЕМАТИКИ XIX в. " |
||
|
||