2. Надійність інтуїционістського обгрунтування

У сенсі строгості обгрунтування програма інтуїционізма (у доступній їй зоні дії) знаходиться поза критикою, бо самоочевидні конструкції розуму на основі аподиктичні самоочевидних предметів, якими є кінцеві числа натурального ряду, є його гранично надійними конструкціями і не можуть включати в себе суперечливих припущень. Теорія онтологічної істинності повністю виправдовує інтуїционістському математику в сенсі її надійності і визнає інтуїціоністське обгрунтування математичних теорій, там де воно можливо, в якості гранично надійного обгрунтування.

Недолік интуиционистской програми, як уже сказано, полягає в обмеженості її можливостей. Охоплюючи арифметику і алгебру, а також і геометричні теорії в тій мірі, в якій вони допускають арифметичну інтерпретацію, интуиционистская програма виявляється нездатною реконструювати основні твердження класичного аналізу і опиняється в принципі нездатною підійти до обгрунтування теорії множин. Брауер сам довів положення про те, що важлива для аналізу теорема Больцано-Вейєрштрасса не доказова в интуиционистской математіке32. Причина цієї обмеженості полягає насамперед у відмові від використання класичної логіки в повному обсязі. Фактично Брауер поставив завдання відтворити весь зміст математики, спираючись тільки на власне математичні очевидності, відмовившись від логіки як автономного засобу розширення області істинних математичних суджень. В даний час є добре обгрунтованим та обставина, що ні логіка, ні арифметика взяті порізно не достатні для того, щоб бути підставою математичного знання в цілому.

Незважаючи на цю обставину, було б неправильним повністю відмовитися від кола ідей, пов'язаних з інтуїционізма. Основна думка Брауера заснована на протиставленні змістовною і формальної математики, інтуїтивного і формального підходів до обгрунтування строгості математики.

Реабілітація математичного априоризма на праксеологічною основі дозволяє не тільки виправдати інтуїционістському програму в сенсі її надійності (у доступній їй області), але і намітити деякі шляхи її розширення, сумісні з надійністю обгрунтовуючих міркування. Так само, як і у випадку з логіцізма, ми повинні відвернутися тут від основної мети интуиционистской програми, тобто від завдання конструктивної редукції математики до вихідних уявленням арифметики, вважаючи, що її неспроможність у цьому сенсі повністю доведена, і зосередити свою увагу на проясненні питання, в якій мірі інтуїционістському ідеї при їх праксеологічною інтерпретації можуть бути використані у справі обгрунтування несуперечності основних теорій сучасної математики і в якій мірі програма інтуїционізма може бути посилена, виходячи з більш широкого трактування безпосередньої даності математичних об'єктів, наміченої в теорії праксеологіче-ського априоризма . Є підстави стверджувати, що праксеологіческая трактування самоочевидності первинних математичних об'єктів та операцій відкриває деякі нові можливості внутрішнього обгрунтування математики, істотно родинні інтуїционізма і достатні для обгрунтування несуперечності центральних теорій сучасної математики.

Інформація, релевантна " 2. Надійність інтуїционістського обгрунтування "

1. Конструктивна математика Маркова і Бішопа
   надійність алгоріфміческіх міркувань дозволяє підвести під математику міцний фундамент. Однак труднощі конструктивного аналізу, про які говорять все частіше і частіше, залишають питання про перспективи розвитку конструктивної математики, її відносин з класичної та интуиционистской, багато в чому відкритими. Нова версія конструктивізму, незалежна від інтуїционізма Брауера, конструктивізму
   
2. Інтуіціонізм і конструктивізм. Математика як створення інтутівно і алгоріфміческі очевидних конструкцій
   надійність математичних побудов гарантується тільки тоді, коли математика досліджує доступні нашій свідомості кінцеві об'єкти, що допускають кінцеві та ефективні операції над ними. Найвідомішим варіантом некласичної математики першої половини XX в. є интуиционистская математика Брауера. У другій половині цього століття з'явилися концепції некласичної математики, або
   
3. Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера
   интуиционистской філософії математики полягає в тому, що математика представляє повністю автономну і самодостатню діяльність . Вона не потребує ніяких зовнішніх гарантії; все, що їй необхідно, міститься в ній самій. Логицистами і формалісти бачили в парадокси класичної математики захворювання, яке вимагає лікування і яке можна вилікувати, якщо підібрати слушно логічне
   
4. 3. Кантовский інтуіціонізм
   надійності. Перше можливе її зміну відноситься до сфери логіки і пов'язане з відмовою від обмежень встановлених тут Брауером. Інтуїционістськая математика відкидає чисті докази існування і відмовляється від визнання об'єктів, про наявність яких ми укладаємо на основі такого роду доказів. Але якщо ми маємо суворе обгрунтування коректності закону виключеного третього і
   
5. 6. Сфера абсолютної надійності
   надійної лежить об'єктивний факт, який полягає в тому, що теорія знаходиться на тій стадії свого розвитку, коли можливі протиріччя на її периферії вже не зачіпають її центру. Ми підходимо тут до обгрунтування надійності математичної теорії не з аналізу її змісту або формальної структури, а виключно з логіки її становлення. Традиційна парадигма обгрунтування математики
   
6. Інтуїционістськая критика закону виключеного третього
   надійність самоочевидних принципів, що належать до сфери реальної логіки. Прийнято вважати, що Брауер показав ненадійність закону виключеного третього і пов'язаних з ним логічних принципів, таких, як правило зняття подвійного заперечення, правила де Моргана і т. п. Критика Брауера визнана математичним співтовариством в тому плані, що вимога конструктивності лежить в основі більшості
   
7. Раціоналізм і емпіризм в тлумаченні логіки
   надійним елементом математичного міркування. Однак тут також є труднощі. Щоб позбутися від парадоксів, Рассел мав ввести обмеження на логічну форму визначень і тим самим істотно обмежив буденну інтуїцію логіки, яка не містить такого роду обмежень. Інтуїционістському заборону на використання закону виключеного третього по відношенню до нескінченних
   
8. 1. Загальна характеристика програми
   надійним тільки через кінцеве »46, фінітізм Гільберта, однак, не настільки радикальний як фінітізм Брауера: якщо Брауер хотів усунути актуальну нескінченність з математики взагалі як поняття, що не має сенсу, то Гільберт вважав можливим зберегти його в тих межах, в яких воно допускає фінітного обгрунтування. Процедура обгрунтування математики, узгоджена з цими загальними установками,
   
9. 3. Перспективи надійного обгрунтування
   надійності. Визнання цих двох теорій в якості онтологічно істинних вирішує питання про абсолютне обгрунтуванні всієї сучасної
   
10. 4. Ідея геометричного обгрунтування
    надійно, ніж на базі арифметики або логіки. Брауер істотно обмежив свій підхід до обгрунтування математики відмовою від геометричної очевидності і завдання сучасного апріорізму полягає в тому, щоб виправити цю помилку. Ми повинні звернутися тут до історії розвитку математики, щоб зрозуміти причини цього настільки тривалого омани. Боротьба аналітиків XIX століття з геометричною
    
11. 3. Онтологічна істинність аксіоми нескінченності
    надійну, то актуальну нескінченність він розуміє тільки як штучної конструкції, що вимагає фінітного обгрунтування. «Ми бачили, що нескінченне не реалізується ніде, воно не присутній в природі, а без спеціальних застережних заходів воно неприпустимо і в якості основи нашого мислення. Вже цього я вбачаю певний важливий паралелізм природи і мислення, основоположну
    
12. 3. Онтологічне розуміння метатеорії
    надійність логічних засобів, як і та, що мається на звичайної елементарної арифметики, де ніхто не відчуває ні найменших сумнівів і де протиріччя і парадокси виникають лише в результаті нашої неуважності »60. Але чим пояснити, що в елементарній арифметиці існує такий рівень надійності? Не маючи ясної відповіді на це питання, ми маємо мало шансів вказати межі надійної