| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
3. Логічне проходження |
||
|
Розглянемо фундаментальне поняття логічного слідування, яке зазвичай вважається універсальним для всіх логічних мов. Тим часом це поняття має дуже різні характеристики в логіці першого порядку і логіці другого порядку. У певному сенсі два ці логіки, або два логічних мови відрізняються один від одного як раз поняттям прямування, властивим кожному з мов. Глибинне відмінність полягає в різних цілях логічного ісследованія178. Насамперед відзначимо, що є два поняття прямування: семантичне, або модальне, і дедуктивний. Семантичне по-нятие прямування визначається таким чином: пропозиція Ф є логічний наслідок безлічі / "пропозицій, якщо неможливо, щоб при істинності кожного члена Г було помилковим Ф. Іншими словами, Ф істинно при кожній інтерпретації, при якій кожен член Г правдивий. Зазвичай таке поняття слідування покладається більш інтуїтивним і використовується в початкових курсах з логіки (див., наприклад, «канонічний» текст С. Кліні Математична J логіка, іде теорія доказів випереджається теорією моделей). Jj Дедуктивное поняття слідування визначається наступним обра-1 зом: Ф є наслідок Г, якщо є висновок Ф з посилок в Г. Тео-3 рема повноти полягає в тому, що пропозиція Ф першого по-1 рядка є теоретико-доказове наслідок множини. Гпредло-1 жений першого порядку, якщо і тільки якщо, Ф є теоретико-мо »Я слушна наслідок Г. Таким чином, для мови першого порядку се-і мантическое слідування збігається за обсягом з дедуктивним. | | Саме повнота логічного числення, яка вважаєте» ї деяким «ідеалом », є причиною ототожнення двох ПО * - I нятій логічного слідування. Тим часом семантична концепція прямування покликана виразити сенс, в якому теореми деякої математичної теорії представляють теорію про певний роді об'єктів, - скажімо, теореми арифметики - теорію про натуральних числах. Аксіоми теорії повинні при цьому характеризувати ту область математичних об'єктів, яка була цілі формалізації. Іншими словами, інтерпретація формальної Теог рії повинна бути навмисної, і, більше того, всі інтерпретацій J подібного роду повинні бути ізоморфними, оскільки вони гово-1 рят «про одне й те ж ». Тільки так гарантується збереження ис-^ твані, яке є метою логічного слідування. Що касает-'Ц ся дедуктивного поняття слідування, то воно покликане прояснить *), в якому випадку математики вважають той чи інший висновок« законним », і робиться це за рахунок виявлення посилок ув'язнення. Співвідношення двох видів логічного проходження, згідно Дж. Коркорану179, таке: якщо Ф є наслідок Г'семантичному сенсі, то укладання Ф «вже логічно неявно присутній» в посил *, ках . У певному сенсі висновок буде зайвим, тому що при цьому не виходить нової інформації. Це поняття різко контрастує з дедуктивним, тому що є можливість того? що Ф неявно міститься в Г, навіть якщо дедукція Ф з / "неможлива. Припустимо, що доведено, що Ф є семантичне наслідок Г, але доказ включає в себе деякий занурення структур Г в багатшу структуру. Така ситуація цілком звичайна для математики. У подібних випадках може бути показано, що теорема є семантичне наслідок відповідних аксіом другого порядку, але не дедуктивное слідство. У типовому випадку теорема є дедуктивное наслідок цих аксіом разом з деякими фактами щодо фонової теорії. Нехай? будуть принципами фонової теорії, використовуваної для встановлення Ф. Тоді математик встановлює (Г + Е) КФ, і це показує, що Г \ = Ф і, ймовірно, що Ф не виправдано на підставі тільки лише Г. Ймовірно навіть, що Г І- Ф. Наведений приклад показує, що відмінність двох концепцій логічного проходження тісно пов'язано з відмінностями логіки першого порядку і логіки другого порядку. Але останнє відмінність саме по собі важливо і має й інші корені. Дійсно, при розгляді проблем підстав математики чи не найбільш важливою обставиною є мова формалізації змістовних математичних тверджень. Йдеться про перевагу мови першого порядку у порівнянні з мовами вищих порядків, зокрема, мови другого порядку. Стандартний погляд з цього питання представлений знаменитим афоризмом В. Куайна: «Логіка другого порядку є теорією множин в овечій шкурі» (див., наприклад, його Філософію логікі180). Апеляція до «вовку в овечій шкурі» виправдана насамперед з точки зору онтологічних припущень: неясні онтологічні інтенсіональні сутності мови другого порядку менш кращі, ніж явні екстенсіональності онтологічні припущення теорії множин. Звичайно, такі переваги виправдані лише в тій мірі, в якій справедливий інший афоризм Куайна: «Ні сутності без тотожності» (англійський варіант ще більш афористичний: «No entity without identity»). Слід нагадати, що в Principia Mathematica Рассела і Уайтхеда підстави математики сформульовані в мовах вищих порядків, а чіткий поділ ролей мови першого порядку і мов вищих порядків можна виявити в роботі Основи теоретичної логіки Гільберта і Аккермана 1928 Остаточно важливість мови першого порядку як знаряддя побудови підстав математики стала ясна після докази Геделем в 1930 р. теореми повноти для логіки першого порядку. Повнота і справді є у вищій мірі бажаною властивістю формальної системи, в якій формулюються змістовні істини математики. Відсутність цієї властивості у мови другого порядку підірвало претензії цієї мови на те, щоб бути базисним мовою підстав математики. Сьогодні стандартний погляд полягає в тому, що підстави математики представлені логікою першого порядку і теорією множин. Цей погляд, як вже було сказано, пов'язаний з багатьма філософськими уявленнями. Одне з них знову-таки пов'язано зі стратегією поступового збільшення онтологічної тяжкості тверджень у математиці Куайна; Логіка першого порядку не має екзистенціальних тверджень ^ а теорія множин поступово вводить такі твердження в математику. У Теорії множин і її логікою Куайн спочатку навіть вводите віртуальні класи перед тим, як зробити справжні екзистенційні утвержденія181. Ці твердження про існування все більш обширних множин стають все більш далекими від стандартів виправдання екзистенціальних тверджень, так що сама куайновская стратегія поділу на «екзистенціальну частина" теорії множин і «неекзістенціальную частина» логіки першого порядку виявляється сомни -, тельной. Тому логіка другого порядку з її екзистенційними твердженнями інтенсіональних сутностей може виявитися не менш плідним підставою математики. До того ж з'являються досить цікаві мови, які не так-то легко класифікувати з точки зору дихотомії «перший порядок / другий поря-г док». Так, «дружня незалежна логіка», запропонована Я. Хінтіккі в якості плідної знаряддя побудови підстав математики, володіє виразними можливостями логіки другого порядку, представляючи в той же час по суті своїй логіку першого порядка182.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 3. Логічне слідування " |
||
|
||