Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002 - перейти до змісту підручника

4. Логіка другого порядку

Таким чином, представляє інтерес питання про те, чи може логіка другого порядку служити в якості підстави математики. Питання це особливо цікавий в тому зв'язку, що одне з найважливіших сьогодні напрямків в підставах математики - структуралізм - прямо пов'язане з логікою другого порядку, і грунтовність претензій структуралізму на те, щоб бути адекватною філософією математики, безпосередньо залежить від того, чи є логіка другого порядку адекватним знаряддям дослідження підстав математики (див. з цього приводу роботу С. Шапіро Підстави без обоснованія21).

Перш за все слід зазначити, що різниця між екстенсіональності і интенсиональное сутностями не є вирішальним для розділення мов на порядки. Хоча інтерпретований мова називається «второпорядковим» або «вищого порядку», якщо його змінні пробігають над відносинами, пропозіціональнимі функціями, властивостями, класами чи множинами сутностей, над якими пробігають змінні логіки першого порядку, природа сутностей не має значення для характеристики логіки другого порядку.

Відмінною характеристикою порядку мови є розмір області квантифікації. Мова другого порядку може бути отриманий додаванням до дедуктивної системі першого порядку розширення аксіом з кванторами типу [Х {Ф {Х)) -> Ф (У)) і аксіомной схеми згортання БХ Ух (Хх = Ф (х)) для кожної формули Ф , яка не містить ^ "вільно. Але основна відмінність мов першого і другого порядків полягає в семантиці. Областю змінних першого порядку можуть бути натуральні числа.

У стандартній семантиці логіки другого порядку змінні пробігають над сукупністю всіх підмножин області . Хоча для такої семантики все доказові твердження є істинними, в ній не проходять повнота і компактність. Всі нескінченні структури категоричні. Перевагами логіки другого порядку зі стандартною семантикою є ясність, відповідність інтуїції. При фіксації області квантификации змінних першого порядку поняття «всі властивості» або «все підмножини», граю-щие вирішальну роль в підставах математики, знаходять твердий зміст. З цієї причини багато хто вважає, що логіка другого порядку є більш підходящим кандидатом для підстав математики, ніж традиційний базис - логіка першого порядку плюс теорія множин. А от прихильники логіки першого порядку стверджують, що поняття змінної, що пробігає над усіма властивостями фіксованою області, найвищою мірою неясно і з цієї причини логіка другого порядку навряд чи може вважатися хорошим базисом. Для вирішення цього спору потрібно розгляд додаткових аргументів на користь логіки другого порядку.

По-перше, потрібно зрозуміти, в якому сенсі логіка другого порядку є логікою. У загальноприйнятому сенсі слова логіка абстрагується від специфіки розглянутого предмета, і являє собою теорію про те, що істинно і що помилково. Якщо керуватися саме таким критерієм, тоді під рубрику логіки виразно потрапляють істиннісні функції. Але от запровадження кванторів ускладнює критерій логіки. Дійсно, вже логіка першого порядку вимагає крім істини і брехні два додаткових поняття - істинності предиката про об'єкт і самого об'єкта. У цьому відношенні логіка другого порядку здається навіть більш економною, оскільки там потрібно тільки ще одне додаткове поняття - значення предикатной змінної. Таким чином, з точки зору наведеного критерію логіка другого порядку безумовно є логікою не в меншій мірі, ніж логіка першого порядку. Дійсно, раз вже в логіці першого порядку допущено якийсь додаток, немає ніяких апріорних заперечень проти подальших припущень і ускладнень.

Однак в якості головного заперечення проти логіки другого порядку висувається звинувачення в тому, що згадане вище ДОПОЛг ня виводить цю саму логіку з сімейства логік взагалі. Знаменитий (як і всі афоризми Куайна) афоризм «Логіка другого порядку є вовк (теорія множин) в овечій (логіка) шкурі» 183является швидше метафоричним, ніж точним вираженням ситуації, що склалася щодо логіки другого порядку. І тому буквальне тлумачення афоризму попросту невірно. Як зазначає, серед інших, Дж. Аззуні184, логіка другого порядку не є »строго кажучи, теорією множин, якщо під останньою маючи на увазі-ється теорія множин першого порядку, оскільки моделі для цих систем не збігаються.

Дійсно, як відомо, теорія множин першого порядку має нестандартні моделі, в яких «є» не є ставленням членства. Різниця між логікою першого порядку і логікою другого порядку проявляється, якщо вдатися до термінології Куайна, в онтологічному плані, маючи на увазі його критерій існування «Бути означає бути значенням змінної». У випадку однієї змінної предикация Ра властивості Р сингулярного терміну а не припускає, що вираз Ра має в якості онтологічних припущень обсяг предиката Р. Онтологічні допущення, як випливає з критерію існування, визначаються областю квантифікації. Саме з цієї причини ставлення членства «є" не передбачається у використанні нотації «Ра». Але як тільки ми переходимо до квантифікації предиката, предикация стає равносильной відношенню членства, і більше того, по суті стає логічної константою. У певному сенсі логіка другого порядку дійсно стає равносильной теорії множеств185.

Справа в тому, що поняття стандартної моделі для мови другого порядку припускає, що змінні для одномісного предиката повинні пробігати над усіма сукупностями об'єктів в універсумі індивідів. Це припущення істотно, оскільки логіка другого порядку не є рекурсивно аксіоматізіруемой. Що стосується рекурсивно аксіоматізіруемих фрагментів, вони будуть являти собою клас узагальнених моделей Генкина таких, що теореми фрагмента і тільки вони істинні для всіх моделей цього класу. Але ці моделі не є стандартними. Якби ми були обмежені рекурсивно аксіоматізіруемимі системами, ми не могли б сказати, що моделі для оцінки логічної істини є стандартними. Але це можна зробити, якщо синтаксичну операцію предикации представити у вигляді відношення членства (у вигляді логічної константи) і дозволити предикатной змінної пробігати над усіма підмножинами універсуму індивідів. Таким чином, вираз 3F ( Fa) змушує нас вважати одним і тим же значення, які приймає предикат, і вказівка ??сингулярним терміном а. Суть аргументації Аззуні полягає в тому, що логіка другого порядку виявляється якщо не теорією множин, то двухсортной первопорядковой теорією об'єктів та їх класів. Тео-Ретик -множинні моделі мов другого порядку і інтерпретації цих мов приписують значенням предикатних змінних сутності одного сорта186.

Так де ж лежить відмінність між логіками першого порядку і другого порядку? Д. Схід зауважує, що сам по собі факт, що в одній теорії пишеться Fa, а в іншої теорії - а є F, означає лише відмінність в нотації, що має місце, скажімо, у випадку стандартної і польської нотації. Дві логіки могли б різнитися стосовно того, що вважати правильно побудованої формулой187. Дійсно, в логіці другого порядку таке з'єднання символів як ab або FG не вважалося б правильно побудованої формулою, в той час як в первопорядковой теорії множин b є а або G є F є правильно побудованими формулами. Правда, щоб уникнути парадоксів такі формули можна визнати помилковими, а то й зовсім відмовити їм у статусі правильно побудованих формул. Так що різниця між логікою першого порядку і логікою другого порядку лежить в їх семантики.

Зокрема, у двох цих випадках по- різному працює поняття общезначимости. Формальне визначення общезначимости звучить однаково для обох логік: формула общезначима, якщо і тільки якщо, вона істинна при всіх інтерпретаціях входять до неї символів. В це визначення входить навмисна інтерпретація логічних зв'язок. У логіці першого порядку вводиться спеціальна інтерпретація кванторів, при якій вони пробігають над усіма об'єктами. У логіці другого порядку на додаток постулюється спеціальна інтерпретація для кванторів другого рівня, тобто предикатних кванторів, яка узагальнює всі способи, якими предикат може бути правдивий для одних об'єктів, і хибна для інших. Саме це додаткова умова і створює відмінність між двома логіками. Воно відповідально за те, що в той час як логіка першого порядку може бути забезпечена повним безліччю аксіом і правил, логіка другого порядку позбавлена ??цього. Крім того, цей же факт відповідальний за те, що багато важливих поняття в логіці першого порядку не определіми, і в той же час определіми в логіці другого порядку.

Наведемо ілюстрацію цієї обставини.

Відомо, що тотожність визначити неможливо в мові першого порядку, тобто якщо ця мова має нормальні моделі, в яких «=» інтерпретується як тож-дестве, тоді він також має і «ненормальні» моделі, в яких «=» інтерпретується іншим чином. У логіці другого порядку ми маємо визначення а = b <-> VF (Fa <-> Fb), яке інтуїтивно правдоподібно. Таким чином, додатковий вид квантифікації в логіці другого порядку надає їй великі виразні можливості, але в той же час позбавляє її компактності або кінцевої аксіоматізіруемості. Як вже було сказано, ті ж виразні можливості рівносильні теорії класів, представленої двухсортной теорією. Різниця тільки лише в онтологічних припущеннях, оскільки багато хто вважає логіку другого порядку нейтральною стосовно онтології, вважаючи, що вона уникає допущення класів як сутностей.

При зіставленні логік першого порядку і другого порядку слід звернути увагу на те, в якій мірі вони природні. Вже говорилося про те, що прихильники «регламентації буденної мови» логікою першого порядку (наприклад, Куайн) вважають, що вона покриває величезну область структур буденної мови. І тільки деякі «тонкощі», які не по плечу логіці першого порядку, вимагають логіки другого порядку. Але от подібного роду «тонкощі» відіграють величезну роль, скажімо, в математиці. Дедекінд показав, що постулати елементарної арифметики натуральних чисел дають категоричні структури (всі моделі цих постулатів мають одну і ту ж структуру, тобто структуру натуральних чисел). Те ж зробив Кантор для дійсних чисел. Але обидва цих докази спираються на второпорядковое розуміння цих постулатів, тому що відомо, що ніяке безліч первопорядкових постулатів, які мають нескінченні моделі, не може бути категоричним. Так що прийнятність цих доказів веде до визнання необхідності логіки другого порядку.

Інший приклад необхідності логіки другого порядку таков188. Нехай є нескінченне число посилок типу

А не їсти батько В

А не їсти батько батька В

А не їсти батько батька батька В

З цих посилок слід висновок А не їсти предок В.

Такий висновок цілком значущий для тих, хто розуміє зміст поняття «предок». У логіці першого порядку цей висновок не є значимим, оскільки логіка першого порядку компактна . Компактність означає, що якщо твердження випливає з нескінченної кількості посилок, тоді воно має слідувати з кінцевого підмножини множини цих посилок.

Одна з головних причин спору між прихильниками логіки першого порядку і логіки другого порядку полягає в тому , чи можливе досягнення категоричності, оскільки саме ця властивість є головною ознакою відповідності інтуїції: формальна система повинна описувати об'єктивний світ математичних сутностей. Логіка другого порядку категорична, але, як уже було зазначено, багато хто вважає поняття змінної над усіма властивостями формально неточним. Однак цілком можливо зробити поняття змінної над усіма властивостями формальним, оскільки можлива побудова деякої версії аксіоматичної теорії, достатньої для формулювання стандартної семантики логіки другого порядку. У такій версії можна довести категоричність теорії та багато суттєві результати теорії множин. Але формальна метатеорія, в якій виходить категоричність, сама може вважатися теорією першого порядку. Отже, в ній проходить теорема Левенгейма-Сколема про нестандартні моделях, і категоричності більше немає. На користь цього погляду можна привести всі ті аргументи, які зазвичай наводяться при розгляді релятивізму в теорії множин, згідно з яким один і той же безліч може мати різну потужність в різних формальних системах.

Проти цього прихильники логіки другого порядку висловлюють тверде переконання, що метатеорія, про яку йде мова, не може розглядатися як неінтерпретірованная теорія з різними можливими моделями. Навмисна інтерпретація цієї метатеоріі - інтуїтивна семантика природних мов, в яких формулюються змістовні істини математики. На перший план виступає область таких мов, а не поняття моделі. Категоричність відноситься до природної мови, а не до ізоморфізму моделей в кожній інтерпретації.

 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "4. Логіка другого порядку"
  1.  IV. ЛОГІКА АБО МАТЕМАТИКА
      логікою і математикою. На думку деяких мислителів, цей кордон слід провести між логікою першого порядку і логікоІ другого порядку. Однак, як ми тільки що бачили, це має те незручне наслідок, що поняття коректності і імплікації 52 виявляються що належать не до логіки, а до математики. Фреге, Рассел Я Уайтхед відносили не тільки логіку другого порядку, але навіть і ло "гіку більш
  2.  Список рекомендованої літератури
      логіці. - М.: Черо, 2000 - 304 с. Іванов Є.О. Логіка. - М.: Изд-во БЕК, 1996. - 309 с. Івлєв Ю.В. Логіка для юристів. - М.: Справа, 2000. - 264 с. Кирилов В.І., Старченко А.А. Логіка. Підручник для юридичних вузів. М, 1998. Кузьмін А.В., Очиров Д.-Д.Е. Логіка. - Улан-Уде: Вид-во ВСГТУ, 1999. - 72 с. Никифоров А.Л. Загальнодоступна і захоплююча книга про логіку. М,
  3.  1.1. Предмет логіки
      логіки є закони і форми правильного мислення. Специфіка логіки у вивченні людського мислення, на відміну від інших наук, полягає в наступному: У логіці мислення розглядається як інструмент пізнання навколишнього світу, як засіб отримання нового знання. Мислення цікавить логіку з боку його результативності, яка, в свою чергу, грунтується на
  4.  2. Виняток формальних узагальнень
      логіку від математичної логіки. Досить ясно, що обчислення математичної логіки - лише формальні розширення схем реальної логіки, що не мають відношення до логіки як нормативній основі мислення. Простим прикладом у цьому відношенні є багатозначні логіки. За аналогією з двозначної логікою ми можемо будувати формальні обчислення з будь-яким числом значень істинності, але ясно, що тут
  5.  ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 5
      логіки (або вона здавалася такою), так що кожен зустрічний відтоді брав її як само собою зрозуміле обставина. Це те, що тепер називається логікою першого порядку, кванторного теорією або предикативним обчисленням (нижчого порядку). Воно зазвичай представляється так, як ніби є незначною регламентацією виразів нашого повсякденного мови - все і деякий. Ця ідея була
  6.  СПИСОК рекомендованої літератури
      логіки про доказ і спростування. М., 1954. Бойко А.П. Логіка: Навчальний посібник. М., 1994. Бочаров В.А. Арістотель і традиційна логіка. М., 1984. Бочаров В.А., Маркін В.І. Основи логіки. М., 1998. Войшвилло Є.К. Предмет і значення логіки. М., 1960. Войшвилло Є.К. Поняття як форма мислення. М., 1989. Войшвилло Є.К., Дегтярьов М.Г. Логіка. М., 1998. Гетманова А.Д. Підручник з логіки. М.,
  7.  РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
      логіка. СПб.: Тит «Комета», 1995. Д о п ол н ите л ь ная Брюшінкін В.Н. Практичний курс логіки для гуманітаріїв. М.: Інтерпракс, 1994. Войшвшло Є.К. Поняття як форма мислення. М.: Изд-во МГУ, 1989. Волков В.А. Елементи теорії множин і розвиток поняття числа. Л.: Вид-во Ленінгр. ун-ту, 1978. Гетманова ДА. Підручник з логіки. М.: Владос, 1994. Зегет В. Елементарна логіка. М.: Вища школа,
  8.  Чому відповідає реальність?
      логіці захоплювався ще один філософ і логік, австрієць Людвіг Вітгенштейн (1889-1951). Він спробував показати, як логіка відображає структуру реальності, яка, в свою чергу, є основою для структури мови. Свої ідеї він представив у вигляді знаменитого трактату, названого автором «Логіко-філософським». Написання цієї роботи дало поштовх до розвитку логіки. Вона вплинула на мі-/ ^ Sy филосо-факт
  9.  А. АРНО, П. НИКОЛЬ. Логіка, або Мистецтво мислити / М.: Наука. - 417 с. - (Пам'ятки філософської думки)., 1991

  10.  3. Логічне проходження
      логіці першого порядку і логіці другого порядку. У певному сенсі два ці логіки, або два логічних мови відрізняються один від одного як раз поняттям прямування, властивим кожному з мов. Глибинне відмінність полягає в різних цілях логічного ісследованія178. Насамперед відзначимо, що є два поняття прямування: семантичне, або модальне, і дедуктивний. Семантичне по-
  11.  Логіка і математика
      логіки до математики. Основна складність полягає тут в багатозначності і невизначеності терміна «логіка». Онтологічна теорія природно приводить нас до поняття реальної лопіж. Як сукупності норм мовного мислення, мають онтологічне. Обгрунтування. Наше завдання полягає в тому, щоб визначити склад реальної логіки і прояснити її місце в структурі математичного мислення. Цю
  12.  Основне завдання логіки
      логіки полягає в тому, щоб навчити людину свідомо застосовувати правила і закони побудови міркувань і на цій основі мислити більш послідовно, доказово,
  13.  Заміна неналежного відповідача
      другого відповідача. За згодою позивача на заміну неналежного відповідача належним або при залученні належного відповідача як другого відповідача арбітражний суд виносить ухвалу. Дії, вчинені неналежною стороною, не пов'язують належну сторону. Після заміни відповідача або вступу в справу другого відповідача підготовка та розгляд справи починається спочатку. Якщо позивач не
  14.  ПРЕДМЕТ ЛОГІКИ
      логіка - це наука про закони і форми правильного мислення. Термін «логіка» має своє походження від грецького «logos», що означає «думка», «слово», «розум», «закон». Логіка досліджує логічні форми, відволікаючись від їх конкретного змісту, аналізує мислення з боку його формальної правильності. Формальна правильність означає відповідність мислення (міркування, докази)
  15.  Позитивно-розумна форма логічного.
      логіка, що дозволяє конкретно-цілісно уявити суперечливу і розвивається сутність предметів. Діалектичне мислення - це мислення, що розглядає "речі": 1) у взаємозв'язку внутрішніх протилежностей, 2) в процесі саморозвитку, 3) а тому найбільш повно і, отже, 4) цілісно (Мал. 1). Діалектична логіка, за Гегелем, це наука про форми правильного мислення (як
  16.  Предметний покажчик
      логіки 102, 103, 107 - математики 52 Апріорність 42-61 - категорій 42-61 - логіки 102 - математики 46-52 Апріорізм 42 - традиційний 52 - праксеологічний 58, 78 Нескінченність 157 - актуальна 157, 173, 174, 186 - математична 173 , 215 - потенційна 174 - практична 205 Граматика - основа логіки 92 - основа теорії значень 92, 93 Діяльність - мета мислення 42,
  17.  I. Завдання Морфології
      другого порядку - згуртованих групах одиниць, або в одиницях іретьего порядку - групах груп одиниць, або в одиницях ще вищого порядку, або нарешті як це найчастіше трапляється, воно може бути пос-ішдсівіем одночасного збільшення в одиницях різних порядків. 6177. Другий клас морфологічних завдань має предметом питання г> змінах форми, супроводжуючих зміни агрегації.
  18.  Раціоналізм і емпіризм в тлумаченні логіки
      логіці, припускаючи, що інтуїтивно ясні і постійно використовувані норми логіки є абсолютно надійним елементом математичного міркування. Однак тут також є труднощі. Щоб позбутися від парадоксів, Рассел мав ввести обмеження на логічну форму визначень і тим самим істотно обмежив буденну інтуїцію логіки, яка не містить такого роду обмежень.