5. Релятивізм: Скола vs Цермело

Релятивіст може наполягати на тому, що змінні логіки першого порядку є неінтерпретірованнимі і можуть існувати як стандартні, так і нестандартні інтерпретації. У цьому сенсі виникає запитання, що мається на увазі під «натуральними числами», якщо допустимі нестандартні інтерпретації. Природний відповідь полягав би у тому, що насправді змінні першого порядку повинні інтерпретуватися інтуїтивно, а для більш точного трактування натуральних чисел придатна аксіоматика Пеано в мові другого порядку, найважливішим положенням якої є аксіома індукції

(РВ & Vx (Рх Psx)) -> Ух Рх.

З точки зору Релятивісти це нічого не дає, оскільки цю аксіому другого порядку можна розглядати як аксіомную схему першого порядку і тому для такої аксіоматики можна дати різні моделі з відмінною один від одного кардинальними одних і тих же множин . Спроба виділити з цього набору моделей «мінімальну», яка б відповідала навмисної інтерпретації, проблематична. Єдиний спосіб уникнути такої проблематичності полягає в апеляції до того факту, що вказівка на натуральні числа ясно і недвозначно і що всі структури арифметики ізоморфні. Але навряд чи поняття «всі властивості» або «все підмножини» задовольняють критерію ясності.

Таким чином, логіка другого порядку не уникає релятивістських звинувачень в неясності своїх концепцій. Але відповідь на такого роду звинувачення представляє собою завдання більш загального плану, оскільки мова йде про релятивізмі щодо вже об'єктного язи-

Г

ГЛАВА 5. МОВА І ЛОГІКА

ка. В історичному відношенні цікава полеміка Сколема з Цермело щодо можливостей аксіоматичного представ-'лення теорії множеств29. Аксіоматизації Цермело була формалізацією другого порядку, в той час як сколи прийшов до висновку про те, що роль формалізації може виконати тільки логіка першого порядку, але з усіма витікаючими з цієї стратегії неприємностями типу релятивізму в розумінні концепції множини.

Серед аксіом Цермело, за зауваженням Френкеля і Бар-Хіллі-ла, найбільш характерною є аксіома виділення

(Aussonderungs). Саме цією аксіомою вчиняється радикальний відхід від точки зору, згідно з якою кожному умові F (x) з

ответствует деякий безліч s, таке що х (х є s = F (x)). Відо-Ч | стно, що ця точка зору веде до парадоксів, і Цермело запропонованого-^ жив застосовувати операцію освіти множин предметів, які мають деяким властивістю, до вже наявних множинам.

При цьому Цермело вважав пропозіціональному функцію Р (х) визначеної для області d, за умови, що для кожного еле-та х з d, «фундаментальні відносини на області, за допомогою аксіом і універсально прийнятих законів логіки , визначають без свавілля, справедливо чи ні Р (х) »'. Сколе, як вже було зазначено, сформулював відділення як схему, як приклад для кожної формули мови першого порядку. Саме це лягло в основу канонічного уявлення.

Оскільки Скола критикував поняття визначеності, Цермело віддав перевагу дати йому аксіоматичну трактування, результатом якої стало визначення в мові другого порядку: якщо P (g) 28

Ibid. - P. 36-37. 29

Skolem Т. Some Remarks on Axiomatized Set Theory, 1922 / / Heijenoort J., van. From Frege to Godel. - Harvard: University Press, 1967. - P. 290-301.

196

визначена для кожної пропозициональной функції g, тоді визначені будуть Vf (P (J)) і Е / (Р (/)). Цермело вважає базисними сутностями пропозіціональние функції, оскільки квантори другого порядку пробігають над ними. Скола ж вважає, що поняття універсального і екзистенціального квантора в застосуванні до пропозициональной функції неясні, і пропонує розглядати пропозіціональние функції аксіоматично. У цьому випадку аксіоматика буде першого порядку, а пропозіціональние функції будуть грати роль індивідів.

Шапіро вважає, що суперечка Цермело і Сколема в кінцевому рахунку впирається в два різні розуміння того, як в математику вводяться нові сущності189. Один спосіб - це постулирование сутностей, які складають деяку реальність. Аксіоматика і формалізація при описі цих сутностей покликані описати вже існуючі об'єкти, і тому якісь інші інтерпретації аксіоматики та формалізації вважаються несуттєвими. Другий спосіб полягає в завданні аксіом, і сутності, що задовольняють цим аксіомам, існують. У цьому випадку питання полягає в тому, якого роду аксіоматика і формалізація використовуються. Якщо це аксіоми першого порядку, то тоді неможливо протестувати проти нестандартних моделей і, природно, неможливо виділити якусь предпочтительную модель. Таке неявне завдання сутностей призводить до неізоморфних моделей і некатегоричності теорії. Якщо це аксіоми другого порядку, то тоді виходить порочне коло, оскільки об'єкти «визначаються» за допомогою тих же самих об'єктів. Таким чином, різниця між логікою першого порядку і логікою другого порядку впирається в різне розуміння конструювання математичних об'єктів. Одна з версій антиреалізму пов'язує прямо конструювання математичного об'єкта зі значенням математичного терміна, який покликаний вказувати на відповідний об'єкт.

Скептичні аргументи щодо значення були спрямовані проти платоністскіх тенденцій в теорії значення, тому що протилежністю ідеї Віттгенштейна було б визнання того, що значення перевершує вживання. Але в цьому випадку значення не буде доступно раціональному критерієм, який значущий при вживанні вираження, а це, в свою чергу, передбачає, що значення має бути доступне якимось прямим чином. Сучасна епістемологія не визнає подібного роду прямого доступу до значення, оскільки при такому доступі воно залишається чисто суб'єктивним і особистим.

Як скептичний виклик сколемовского толку, так і платоністов-ський аргумент представляються незадовільними. Однак нелегко знайти контраргументи у разі скептичного виклику. По-перше, у різних критиків класичної теорії значення є істотні відмінності в аргументації, і важко знайти спільні контраргументи. По-друге, не ясно, якою мірою скептичні аргументи, які є узагальненням математичних результатів, є значущими для більш загального випадку мови.

Однак аргументація, пов'язана теорією значення і теорією вказівки, виводить нас за межі порівняння логіки першого порядку і логіки другого порядку. Насправді, становить інтерес, в якій мірі перевагу тій чи іншій логіки мотивується чисто математичними інтересами і якою мірою це перевага може мати філософські мотиви.

Перш за все слід зазначити, що абстрактна постановка проблеми про те, яка логіка краще, безглузда з точки зору проблемно-орієнтованого підходу до підстав математики. Треба поставити запитання про мету застосування тієї чи іншої логіки. Більше того, мабуть, не існує єдиної правильної практи-ки такого застосування. Ми маємо в залежності від поставленого завдання невизначене число нееквівалентний моделей неформальній математичної практики.

Можна припустити, що в основі переваги логіки першого порядку лежить мета вивчення поняття дедуктивної системи. Поняття докази є в цьому випадку найважливішим, тим більше що теоретико-модельне відношення слідування не схоплює поняття «докази» або навіть «доказовий». Тут треба чітко виявити ті цілі і завдання, які ставляться при дослідженні математичної практики. Поняття класичного прямування, яке мається на увазі очевидним багатьма філософами, стикається з труднощами.

Інформація, релевантна " 5. Релятивізм: Скола vs Цермело "

1. 3. Дозвіл парадоксу
   До недавнього часу дискусіям навколо парадоксу Сколема була властива деяка нерішучість, пов'язана з майже повною прийняттям переконання, що релятивізм Сколема щодо поняття безлічі являє собою щось більше, ніж просто деякий теза філософії математики. «Сколемізація всього», проголошена X. Патнем, тільки посилила цю тенденцію, піднявши інтерпретацію математичної
   
2. 2. Скептики і релятивісти
   Теорія множин має справу з нескінченними множинами, і вражаючим відкриттям Кантора було виявлення незчисленних множин, які викликали багато суперечок серед математиків. Запропонована аксіоматика повинна була відобразити це найважливіше положення теорії множин. Тим часом теорема Левенгейма - Сколема може бути інтерпретована як твердження, що вважалося незліченною безліч в одній системі
   
3. 1. Теорема і її інтерпретації
   Дійсно, часто обговорення філософських наслідків стосується обмежень в ресурсах, які має будь-який формальний апарат докази відповідних теорем. При цьому домінують дві позиції. Якщо ресурси не дозволяють змоделювати деяку концепцію, тоді цієї концепції не існує в коректному вигляді. З іншого боку, вважають, що математична практика включає таке розуміння
   
4. 2. «Прості» аксіоми
   Згодом аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я.
   
5. Критика релятивізму
   З викладеної точки зору існування закінчених доказів не підлягає сумніву. Більше того, ми маємо підстави стверджувати, що до цього класу належить переважна більшість всіх доказів, прийнятих математичним співтовариством. Цей висновок підтверджується практикою математичного мислення та історією математики. Всі концепції докази, які ставлять під сумнів надійність і
   
6. Аксіома вибору
   Якщо а є безліч, всі елементи якого не порожні множини, жодне з яких не має спільних елементів один з одним, тоді є безліч с, яке має точно один загальний елемент з кожним елементом a Vx [\ / y (ye x = »-i (y = 0)) & V7 Vz (ye x & ze x (y = z) = »=> -1 (3w {we у & we z))) => 3aVj (y6x = ^ 3z (ze і && ze у & Vw (we u & wey => w = z)))]. Аксіома вибору має відмінний від інших аксіом
   
7. Аксіома виділення
     Наступною аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a)
   
8. 3. «Просунуті» аксіоми
     Незважаючи на наведені вище розлогі коментарі до цих декільком аксіомам, практично всі згодні з тим, що аксіоми досить прості і не викликають яких-небудь заперечень. Проте в ході побудови теорії множин потрібні були і інші, «менш ясні» аксіоми. Першою з таких аксіом ми представляємо аксіому фундування (foundation - в англійській термінології), - в російській термінології
   
9. ПЕРЕДМОВА
     Філософія математики є чудовою гілкою філософії. Згідно Б. Расселу, «проблема, яку Кант поклав в основу своєї філософії, а саме," Як можлива чиста математика? ", Цікава і важка, і будь-яка філософія, якщо вона не повністю скептична, повинна знайти якесь її вирішення» 1 . Правда Я. Хакінг лаконічно зауважив з цього приводу, що «Рассел перебільшив. Є багато філософій,
   
10. Аксіома безлічі-ступеня
      Якщо а є безліч, тоді є безліч Р (а), безліч-ступінь від а, чиї елементи - це все підмножини множини а \ / х Еу Vz [z є у Vw (we z => w є *)]. У певному сенсі ця аксіома «вибивається» з ряду попередніх аксіом, які призначені обмежити розмір одержуваних множин, щоб уникнути парадоксів. Саме це міркування, з нашої точки зору, було покладено в основу
    
11. Доброчесність з точки зору експерта
      Хоча перші філософи Стародавньої Греції приділяли велику увагу космології та інших питань, що не були безпосередньо пов'язані з людьми, через деякий час інтерес до пов'язаних з людиною проблемам пробудився знову. Демократія в Афінах набирала силу, і кожен дорослий чоловік повинен був брати участь в управлінні державою. У цьому місті демократичне правління вимагало більше участі
    
12. Релятивізм І ПОЗИТИВІЗМ
      Якщо вдатися до широкого, але необхідного спрощенню, то провідним напрямком в аналітичній філософії можна назвати логічний позитивізм (не з початку розвитку аналітичної філософії, а з 1930-х рр.. Приблизно до 1960-х тт.). Це рух було атаковане «реалістичними» тенденціями (в моїй особі і глечики), «історіцісткімн» тенденціями (в особі Куна І Фейерабенда) і матеріалістичними