6. Компактність і нестандартні моделі

Наявність у класичного прямування властивості компактності робить слідування більш керованим. При компактності висновок значущий, якщо і тільки якщо, висновок випливає з кінцевого числа посилок. З іншого боку, компактність являє собою сильне обмеження на виразні можливості формалізмів. Поняття слідування можна розглядати з синтаксичної точки зору, в рамках якої проходження трактується як властивість дедуктивної системи. Бажане властивість дедуктивної системи полягає в тому, щоб доказові формули були істинними. Компактність відповідає цьому бажані властивості. Дедуктивна система в цьому випадку повна. Однак є висновок такого роду, в якому слідування може розглядатися з семантичної точки зору. Дійсно, нехай у нас є твердження «для кожного п, А (п)» є ло-гическое наслідок нескінченної кількості посилок А (0), А (1), А (2), .. де п - натуральне число. Інтуїтивно такий висновок виправданий, але він не має властивість компактності і, стало бути, не є частиною класичної концепції прямування.

Пояснення порушення класичного прямування полягає в тому, що логіка з компактністю була призначена для аксіоматизації математики, тобто для пошуку кінцевого числа аксіом, з яких може бути виведена вся змістовна математика. Теорема Геделя про неповноту арифметики показала неможливість такої аксіоматизації. Тобто стандартна модель арифметики, що складається з чисел 1, 2, 3, ..., не може бути представлена таким безліччю формул, які характеризували б цю модель точно. Це означає, що така безліч формул має різні неізоморфних моделі. Таким чином, категоричність виключає компактність, але саме компактність вимагається теорією докази. Кодифікацією такого роду докази є логіка першого порядку, а логіка другого порядку не має властивості компактності.

Співвідношення стандартної моделі арифметики і нестандартних моделей таке: стандартна модель представляє вихідний фрагмент кожної моделі первопорядкових істин арифметики, а нестандартні моделі містять додаткові числа, більші, ніж всі натуральні числа. Саме з цієї причини виходить ш-суперечливість: А (п) може бути справедливо для всіх стандартних чисел 0,1,2, ... і т.д. і все ж не бути істинним для кожного числа в моделі. Уникнути подібної суперечливості можна додаванням фрази «1, 2, 3, ... вичерпують всі числа », але таке додавання не може бути виражене в термінах першого порядка191.

Девіс і Херш дають прекрасне пояснення сітуаціі192. Мате, -! матіка є людська активність, подібно філософії чи конструювання комп'ютерів. У всякій такої активності використовується природна мова. У той же самий час математики використовуй ють формальну мову. Можна навіть сказати, що можливість викладу математичного відкриття на формальній мові є в певному сенсі тестом, чи правильно його зрозуміли. Нехай стандартний універсум М-це кінцеві дійсні числа. Формальна мова, якою ми говоримо про М, - це L. Будь-яка пропозиція в L є судження про М, і воно може бути істинним або лож-ним. Ми називаємо безліч справжніх таких пропозицій А "« моделлю »і говоримо, що М є модель для К.

Істотним фактом було те, що на додаток до М, стандартному універсуму, є також нестандартні моделі для К, тобто маються математичні структури М *, істотно відмінні від М, і що вони, тим не менш, є моделями для К в природному сенсі терміну: є об'єкти в М * і відносини між об'єктами в М *, такі що якщо символи в L переінтерпретіровать для додатку до цим псевдооб'ектам і псевдоотношеніям відповідним чином, тоді кожне речення в К все ще істинно, хоча і має інше значення.

Девіс і Херш призводять прекрасну аналогію. Нехай М-безліч студентів першого курсу, а М * - безліч їх фото , що представляє квадрат два на два. Тоді істинні твердження про студентів відповідають справжнім твердженнями про фото. Але є більше квадратів два на два, ніж студентів. Так що М * більше, ніж М. Нехай «Гаррі тонше Тома». Тоді ця пропозиція, інтерпретоване в М *, буде пропозицією про квадратах. Воно не істинно, якщо відношення «тонше» інтерпретовано стандартно. «Тоньше» має бути переінтерпретіровать як псевдоотношеніе між псевдостудентамі. Наприклад, можна визначити «тонше» так: квадрат Гаррі тонше квадрата Тома, якщо Гаррі тонше Тома. Тоді істинні твердження про студентів будуть істинними твердженнями про квадратах.

Нестандартний універсум може бути використаний для нестандартного аналізу. Але при цьому використовується теорема компактності. Вона пов'язана з теоремою повноти Геделя, яка встановлює, що безліч пропозицій логічно несуперечливо, якщо і тільки якщо пропозиції мають модель, тобто якщо є універсум, в якому вони істинні. Теорема компактності легко випливає з теореми повноти: якщо кожне кінцеве підмножина сукупності пропозицій L істинно в стандартному універсумі, тоді кожне кінцеве підмножина логічно несуперечливо. Тому вся сукупність пропозицій логічно несуперечлива (так як будь-яка дедукція може використовувати тільки кінцеве число посилок). За теоремою повноти є (нестандартний) універсум, в якому вся сукупність істинна.

Головною перевагою мови другого порядку перед мовою першого порядку є те, що арифметика другого порядку дозволяє усунути нестандартні моделі за рахунок вираження у дру-ропорядковом мові того факту, що стандартна модель є вихідним сегментом всіх інших моделей, і того, що саме в цьому сегменті ми й зацікавлені. Факт цей виражається аксіомою індукції, яка, як ми вже бачили, є второпорядко-вої. Аксіома стверджує, що будь-яке властивість, якою володіє О, якщо воно належить числу п, належить і числу п + 1. Якщо використовувати для вираження цієї аксіоми мову першого порядку, то з'являється неясність щодо виразу «будь-яку властивість». В первопорядковой версії аксіоми використовуються схематичні букви, що пробігають над підмножинами, що не виключає появи нестандартних моделей. А семантика мови другого порядку гарантує, що «будь-яке властивість» означає насправді будь-яку властивість.

Іншими словами, логіка другого порядку більш краща з тієї причини, що поняття слідування в ній відповідає інтуїтивним уявленням про значному укладенні аргументу. Повнота логіки першого порядку гарантує, що правила виведення в ній гарантують доказ наслідків першого порядку, але при цьому ряд інтуїтивних наслідків в ній не проходять. Таким чином, ми маємо два методи дослідження змістовних математичних тверджень: теорію докази і теорію моделей.

Логіка першого порядку вважається кращою для математичного дискурсу з тієї причини, що в математиці головним є доказ. Теоретико-модельне відношення слідування не «схоплює» поняття докази; дійсно, семантичне поняття слідування може бути ширше дедуктивного поняття, будучи реалізацією інтуїтивних уявлень. Може скластися парадоксальне становище, коли семантичне слідство вже прийнятих результатів виявиться синтаксично недоказовим. Така ситуація занурить математичний дискурс в хаос і парадокси. З цієї причини прихильники логіки першого порядку, тобто логіки з повнотою, обмежують математичний дискурс доказовими твердженнями. Математичний дискурс, або математична практика, полягає в описі «математичної реальності», навмисної інтерпретації символів. Поширеним методом такого опису є аксиоматизация. Нехай система аксіом має ряд моделей. Якщо навмисна інтерпретація збігається з моделлю аксіом, і якщо кожна модель збігається з навмисною інтерпретацією, тоді аксиоматизация вважається успішною. Питання полягає в тому, чи зводиться математичний дискурс до дедукції наслідків з аксіом . Якщо дедуктивна система повна, тоді дійсно все змістовні істини будуть доказові. Це і буде аргументом на користь логіки першого порядку. Однак Булос193 звернув увагу на парадоксальну ситуацію з поняттям логічного слідування в логіці першого порядку. Нехай є аргумент I в мові першого порядку, який має більш-менш короткий висновок / з посилок в мові другого порядку. Булос наводить такий приклад. Можна дати і теоретико-модельне доказ, що I значимо в теоретико-модельної семантиці. Так як I-першого порядку і логіка першого порядку сповнена, існує виведення укладення / з посилок в стандартній дедуктивної системі першого порядку. Булос, однак, показує, що найкоротший виведення / має величезне число кроків. Ясно, що якщо аргумент першого порядку значущий, тоді в цьому можна переконатися через висновок в стандартній дедуктивної системі першого порядку. Однак тільки що наведений приклад говорить про те, що такий «в принципі» висновок не конструктивний. Більш підходящим кандидатом на математичний дискурс є відкриття наслідків з аксіом в рамках логіки другого порядку, тим більше що в рамках логіки першого порядку багато теореми змістовної математики не уявляють собою наслідків з аксіом.

Насправді ні та, ні інша активність не є справді «репрезентативною» для математики. Найбільш вживаним прийомом служить вкладення досліджуваної структури в багатшу структуру, яка проливає світло на перший. Такий більш багатою структурою може бути та ж теорія множин. Так що з точки зору претензій на більшої грунтовності в математичній практиці не виграє ні логіка першого порядку, ні логіка другого порядку. Усе визначається цілями математичного дискурсу.

Інформація, релевантна "6. Компактність і нестандартні моделі "

1. ЗАНЯТТЯ № 11 ТЕМА: СПІВРОБІТНИЦТВО ВЧИТЕЛЯ І УЧНІВ НА нестандартні уроки
   нестандартний (нетрадиційний) урок, співпраця на уроці. Вимоги до компетентності: - орієнтуватися в різноманітті нестандартних уроків, вміти обгрунтовувати можливість і необхідність їх застосування; - знати логіку діяльності вчителя в процесі підготовки нестандартного уроку; - вміти розкривати прояви співробітництва та співтворчості
   
2. Ключові терміни
   модель генетичного детермінізму 368 модель полегшення негативного стану 366 модель поведінки типу А 382 модель поведінки типу Б 382 покарання 387 залишкове збудження 380 плюралістичне неведення 356 провокація 376 просоциальное поведінку 352 розподіл (дифузія) відповідальності 356 теорія переносу збудження 380 ефект спостерігача
   
3. Нестандартні уроки
   нестандартними уроками, мають головною метою збудження і утримання інтересу учнів до навчального Нестандартний урок - це імпровізоване навчальне заняття, що має нетрадиційну (невстановлену) структуру. Думки педагогів на нестандартні уроки розходяться : одні бачать в них прогрес педагогічної думки, правильний крок у напрямку демократизації школи, а інші, навпаки, вважають такі
   
4. Принцип імовірнісного прогнозування
     моделей - модель потрібного майбутнього (розподіл усіх прогнозування на основі попереднього накопиченого досвіду) і мо-дель доконаного (однозначно відображає спостережувану дійсність) [17, 18, 55]. Такому підходу цілком відповідає наступне визначення навчання: "Навчання системи полягає в тому, що вона відповідно до колишніх успіхами і невдачами (досвід) покращує внутрішню модель
   
5. 2J. Доповнення теоретичної моделі референта
     модель розглянутої речі. Любзя модель формулюється мовою теорії, хоча і не дик-Гуетом останньої. Ясно, що теоретична модель може, але не повинна бути, наочною. Будучи побудованою за допомогою понять теорії, вона настільки ж абстрактна (у епістемологічному сенсі), як і сама теорія. Наприклад, класична механіка сумісна з великою різноманітністю моделей планетарних систем; подібним
   
6. 4. Логіка другого порядку
     компактність. Всі нескінченні структури категоричні. Перевагами логіки другого порядку зі стандартною семантикою є ясність, відповідність інтуїції. При фіксації області квантификации змінних першого порядку поняття «всі властивості» або «все підмножини», граю-щие вирішальну роль в підставах математики, знаходять твердий зміст. З цієї причини багато хто вважає, що логіка другого
   
7. 6. Патентоспроможність корисної моделі
     моделей, іменованих нерідко малими винаходами. Корисною моделлю визнається конструктивне виконання засобів виробництва і предметів споживання, а також їх складових частин. Корисної моделі надається правова охорона, якщо вона є новою і промислово придатною. Корисна модель визнається новою, якщо сукупність її істотних ознак не відома з рівня техніки. Новизна
   
8. Основні етапи вирішення проблеми підбору персоналу виходячи з моделей робочих місць
     моделі робочого місця персоналу, її елементів, характеристик і вагових коефіцієнтів. Розробка типових моделей робочих місць за посадами персоналу. Методика комплексної оцінки персоналу на основі моделі робочого місця в оціночних центрах із залученням фахівців. Технологія роботи з непрацюючим або вивільняються персоналом в центрах зайнятості населення на основі результатів комплексної
   
9. 4.2. Моделі робочих місць
     моделей робочих місць. У практичній діяльності кадрових служб підприємств часто використовуються спрощені моделі підбору персоналу: «потрібен слюсар 5-го розряду, чоловік до 50 років», «потрібен начальник дільниці, чоловік з вищою технічною освітою віком до 40 років». При підборі використовуються і інші характеристики (досвід роботи, сімейний стан, знання та вміння, шкідливі звички,
   
10. 1.8.7. Нація і національний рух
      компактно населеної тим чи іншим етносом, як до колонії, тобто викачування з неї коштів, які використовуються в інтересах території, населеній представниками панівної етнічної спільності, гальмування її промьпплешюго розвитку, перетворення її на сировинний придаток і т.п. Все це разом узяте прийнято називати національним, або колоніальним, гнітом. Національний гніт з неминучістю
    
11. II. Перехідні моделі філософії історії
      моделях філософії історії були розглянуті концепції, де чітко виділяється характер руху історичного процесу, що має або лінійну, або циклічну, або спиралевидную, або хаотичну характеристику. Проте всі вони разом і становитимуть єдину універсальну схему уявлень про розвиток світової історії в різних культурах і епохах. Не зайвим було б відзначити той факт, що при
    
12. § 2. Криза радянської моделі соціалізму в країнах Центральної та Південно-Східної Європи
      моделі соціалізму призвело до її кризи, яка найбільш виразно проявився в Польщі та
    
13. Поняття логічної форми
      компактності і строгості викладу: V - квантор спільності «для всякого х вірно, що ...». 3 - квантор існування - «існують х». л - логічний союз кон'юнкція, виражається за допомогою граматичних спілок «і», «так», «але». v - логічний союз диз'юнкція в значенні граматичного спілки «або ... або». z> - логічний союз імплікація, виражається словами «якщо ..., то ...». Пропозіціональная функція
    
14. Моделі поведінки керівників.
      моделі, орієнтований на членів організації. Він проявляє турботу і надає їм увагу, заохочує особисту ініціативу і гарну роботу, підкреслює важливість згоди в особистих взаєминах. Такий керівник легко доступний, товариський, заохочує участь членів колективу в робочих зборах, постановці цілей, виробленні планів. Він здатний передати певні завдання і відповідальність нижньому
    
15. Введення
      моделей ітеративного навчання й переслідує такі цілі: по-перше, дати досить повний, хоча звичайно і не вичерпний, аналітичний огляд існуючих на сьогоднішній день моделей ітеративного навчання, запропонованих різними авторами в різні роки (нижче розглядаються більше тридцяти таких моделей), в тому числі - автором цієї роботи. по-друге, на підставі аналізу описуваних моделей
    
16. Ключові терміни
      модель атракції 266 відсутність балансу 276 овторяющееся вплив 263 ешімость / переконаність 293 узгоджене підтвердження 277 співвідношення східних установок 275 соціальне занепокоєння 283 соціосексуальних 286 стигма 269 пристрасна любов 287 пристрасть 293 подібність установок 275 теорія балансу 276 трикутна модель любові 293 фізична привабливість 269 ефект помилкового консенсусу
    
17. 3. Дозвіл парадоксу
      нестандартні моделі. Для розуміння того, чому така плутанина виникає, Бенацерраф18 вводить нову версію теореми Левенгейма - Сколема, так звану транзитивною лічильну субмодельную версію (далі ПВМ). Модель транзитивна, якщо і тільки якщо, кожен елемент кожного безлічі в моделі належить області моделі. Як видно, навмисна інтерпретація системи Цермело - Френкеля включає
    
18. § 4. Що таке соціальне моделювання?
      моделювання є окремим випадком загальнонаукового методу моделювання, що відноситься до теоретичного рівня пізнання. Що таке моделювання? Це метод дослідження на аналогах, що мають форму схем, структур, моделей, знакових систем. Дослідник, перетворюючи ці аналоги і керуючи ними, розширює і поглиблює знання про оригінали. Можливість моделювання, тобто перенесення результатів,
    
19. Що таке ущільнений робочий день?
      нестандартних режимів можна віднести гнучкий режим робочого часу, при якому працівник відповідно до своїх потреб може визначати час приходу і залишення роботи з відпрацюванням норми робочого часу. ' Рішення про застосування режиму гнучкого робочого часу приймається роботодавцем спільно з профспілковим комітетом з урахуванням думки відповідних трудових колективів. Записи в