| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
Б. «Відносність геометрії» |
||
|
Щоб підкреслити залежність метричної геометрії від визначення конгруентності, Рейхенбах говорить про «відносності геометрії ». Проте в його характеристиці цієї залежності є серйозна помилка, яка полягає в наступному: «Якщо ми змінюємо координативного дефініцію конгруентності, то в результаті отримуємо іншу геометрію. Цей факт іменується относительностью геометрії », і більш визначено,« немає ніякої помилки, коли координативного дефініція встановлюється, виходячи з вимоги, що деякий вид геометрії повинен з'явитися як результат вимірювання ... Координативного дефініція може також бути введена приписом того, яким повинен бути результат вимірювань. «Порівняння тіл по довжині має бути виконане таким чином, щоб його результатом була геометрія Евкліда», - це умова є можливою формою координативного дефініції ». Затвердження Рейхенбаха полягає в тому, що дана метрична геометрія однозначно визначає клас конгруентності (або дефініцію конгруентності), відповідний їй. Ми зараз покажемо, що дане твердження є помилковим: ми покажемо, що, окрім звичайної дефініції конгруентності, яка всюди приписує однакову довжину вимірювального стрижня і тим самим евклидову геометрію поверхні звичайного столу, мається нескінченно багато інших дефініцій конгруентності. Вони точно так само дають у підсумку евклидову геометрію для цієї поверхні, однак несумісні із звичайним визначенням, оскільки роблять довжину стрижня залежить від його орієнтації і (або) положення. Розглянемо горизонтальну поверхню столу, забезпечену мережею декартових координат х і у, але тепер метрізуем цю поверхню за допомогою нестандартної метрики , де sec2? є константою більшою, ніж 1. На відміну від стандартної метрики ця метрика приписує інтервалу, координати якого відрізняються на dx, що не довжину dx, а велику довжину sec? Dх, приписуючи одночасно довжину dy інтервалу, координати якого розрізняються тільки на dy. Хоча, відповідно до цієї метриці, довжина даного стержня в даному випадку стає залежною від його орієнтації, ми покажемо, що можливо нескінченну кількість різних нестандартних конгруентністю, обумовлених значеннями sec?, Що перевищують 1, причому кожна з них надає поверхні столу евклидову геометрію з таким же успіхом , як і стандартна конгруентність, яка задається через ds2 = dx2 + dy2. Відповідно з цим наше доведення покаже, що вимога Евклідовому не визначає однозначним чином клас конгруентних інтервалів, але допускає нескінченну безліч несумісних конгруентністю. Ми повинні будемо довести, що існує нескінченно багато способів, якими буде згинатися стрижень при транспортуванні на плоскій поверхні в порівнянні з його звичайним де-факто поведінкою, зберігаючи в той же час евклидову геометрію для цієї поверхні. Щоб уявити необхідну доказ, ми, перш за все, відзначимо, що геометрія, одержувана в результаті приватної метризації, очевидно, не залежить від приватних координат, в яких ця метрізація виражається. І, отже, якщо б ми висловили стандартну метрику
за допомогою штрихованих координат х 'і у', що задаються перетвореннями х = х 'sec?, y = y ', отримуючи при цьому
ми отримали б, як і колись, евклидову геометрію, оскільки останнє рівняння виражало б тільки первісну стандартну метрику за допомогою штрихованих координат. Таким чином, коли один і той же інваріант виражається за допомогою як штрихованих, так і не-штрихованих координат, метричні коефіцієнти gik, що задаються sec2?, 0 і 1, дають в результаті евклидову геометрію з таким же успіхом, як і нештріхованние коефіцієнти 1, 0, і 1. Далі, це елементарне додаткове укладення дозволяє нам побачити, що наступна нестандартна метрізація (або реметрізація) поверхні за допомогою первинних, нештріхованних прямокутних координат повинна точно так же призводити до евклідової геометрії ds2 = sec2? dx2 + dy2. Бо значення гаусової кривизни і, отже, переважної геометрії залежить не від приватних координат (штрихованих або нештріхованних), до яких відносяться метричні коефіцієнти gik а тільки від виду функції gik1 (1 Ф. Клейн, неевклідової геометрія , М.-Л., 1936, стор 306.), який тут однаковий з випадком g'i k, розглянутим вище. Отже, з більш загальної точки зору геометрія, що є результатом стандартної метризації, забезпечується також наступній нестандартної метрізацію простору точок, яка виражається за допомогою тих же самих (нештріхованних) координат, що і стандартна метрізація: для нестандартної метризації характерні нештріхованние метричні коефіцієнти gik, мають ту ж саму функціональну форму (в межах довільній константи, обумовленої вибором одиниці довжини), що й штриховані коефіцієнти, які виходять, коли стандартна метрика виражається в тій чи іншій системі штрихованих координат за допомогою відповідних перетворень. Зважаючи на велику різноманітність допустимих перетворень координат відразу ж можна зробити висновок, що клас нестандартних метризації, що призводять до евклідової геометрії поверхні столу, набагато ширше, ніж клас, що задається рівнянням
(де sec2?> 1), який сам вже є нескінченним. Таким чином, є, наприклад, тотожність за формою між функціями, що виражають стандартну метрику в полярних координатах, яка задається , і функціями, що виражають нестандартну метрику в декартових координатах, яка задається , оскільки х грає з формальної точки зору ту ж саму роль, що й р; це ж можна сказати про у і?. Отже, остання, нестандартна, метрика має результатом евклидову геометрію так само, як до цього призводить і колишній стандарт. Ясно, що різноманітність метризації, яке ми довели для евклідової геометрії, в рівній мірі має місце для кожної з неевклідових геометрій. Спираючись на цей результат, ми можемо тепер показати, що ряд тверджень Рейхенбаха і Карнапа є помилковими. 1) У 1951 році Рейхенбах писав, як уже згадувалося на початку цього розділу: «Якщо ми змінюємо координативного дефініцію конгруентності, то в результаті отримуємо іншу геометрію. Цей факт іменується относительностью геометрії ». Помилковий характер цього твердження очевидна з того, що якщо в нашому прикладі з поверхнею столу ми замінимо нашу дефініцію конгруентності ds2 = dx2 + dy2 однієї з нескінченної кількості інших дефініцій, несумісних з нею, яка виражається формулою ds2 = sec2? Dx2 + dy2, то в результаті отримаємо ту ж саму евклидову геометрію. Таким чином, всупереч Рейхенбаха введення не звертається в нуль універсальної сили, що відповідає введенню якийсь інший конгруентності, не гарантує зміни геометрії. Навпаки, правильне формулювання відносності геометрії полягає в тому, що функція ds, що містить дефініцію конгруентності, однозначним чином визначає геометрію, але не навпаки, і що будь-яка з дефініцій конгруентності, що приводить в результаті до геометрії G ', завжди може бути замінена нескінченно багатьма відповідними конгруентністю іншого виду, які дають в результаті іншу геометрію G. З огляду на те, що геометрія однозначно фіксується визначенням конгруентності в сенсі фактів збігу, відмова від даної геометрії на користь іншої геометрії, звичайно, вимагає зміни і в дефініції конгруентності. І нова дефініція конгруентності, від якої очікують, що вона забезпечить нову шукану геометрію, може бути запропонована одним з наступних двох способів: 1) встановленням системи геодезичних ліній, відмінної від системи, получающейся в результаті первісної дефініції конгруентності, або 2) якщо геодезичні лінії, встановлювані нової дефініцією конгруентності, такі ж, як і пов'язані з первісної, тоді має бути іншою конгруентність углов1 (1 Специфікація величин, приписуваних кутах компонентами gik метричного тензора, була дана в першому розділі в розділі В.), тобто нова дефініція конгруентності повинна зажадати іншого класу конгруентності углов2 (2 З приводу інших спільних теорем, яким підкоряється так зване «геодезичне відповідність» або «геодееіческо_е відображення», що мають відношення до нашої теми, см.: LP E ise nh а г t, An Introduction to Differential Geometry, Princeton : Princeton University Press, 1947, Sec. 37, pp. 205-211, DJ Strui k, Differential Geometry, pp. 177-180.). Що положення 2) дає справжню можливість для отримання іншої геометрії, очевидно з наступного прикладу відображення сфери геодезичних на площину. Таке відображення дає нам можливість помітити два несумісних визначення конгруентності:
и
У результаті ми будемо мати одну і ту ж систему геодезичних ліній, виражених рівняннями і, встановлюючи тим не менш різні геометрії (гаусової кривизни), так як вони вимагають несумісних класів конгруентних кутів, придатних для кожної геометрії відповідно. Горизонтальна поверхня, що є евклидову площину, згідно звичайної метризації, може бути метрізована так, що вона буде мати геометрію півсфери, получающейся шляхом проектування на площину з центру сфери через її нижню половину, причому південний полюс сфери спочиває на цій площині. Відрізки і кути на горизонтальній поверхні, іменовані конгруентними, є відповідно проекціями рівних відрізків і кутів на нижню півсферу, дуга великого кола півсфери відображається в прямі евклідові лінії площині, так що кожна пряма евклидова опису є також прямий (геодезичної) нової напівсферичної геометрії, приписується горизонтальній поверхні 1 (1 Математичні подробиці див в; DJ S truik, Differential Geometry, p. 179.). Однак лінійні відрізки на цих дворазових геодезичних, які, згідно з новою метриці, оцінюються як конгруентні, виявляються неконгруентністю, згідно зі стандартною метриці, і кути на горізонательной поверхні, конгруентні, згідно з новою метризації, не є такими в первісної метризації, що має результатом евклидово опис. Опис за допомогою нової метризації конгруентності кутів, пов'язаної з первісної, може бути зроблено, очевидно, таким чином. Розглянемо два трикутники ABC і А'В'С, які визначаються як подібні в евклідової геометрії з первісної метрізацію, так що А = А ', В = В' і C = С '. Оскільки в даному випадку геодезичні нової метризації, тобто пов'язаної з нею неевклідової (сферичної) геометрії, ті ж самі, що й геодезичні евклідової геометрії, трикутники ABC і А'В'С 'як і раніше будуть прямолінійними трикутниками згідно з новою метризації. Але оскільки в сферичної геометрії позитивної гауссовой кривизни, одержуваної в результаті нової метризації, не існує ніяких подібних трикутників, трикутники ABC і А'В'С більше не є подібними, згідно з новою метризації, хоча і залишаються як і раніше прямолінійними. Отже, згідно з новою метризації, первісна конгруентність кутів не може бути більше отримана. Однак слід зазначити, що, якщо зміна в дефініції конгруентності зберігає певні геодезичні лінії, її вихід в інший клас конгруентних кутів є тільки необхідним, але не достатньою умовою, щоб додати поверхні метрику, відмінну від тієї, яка була обумовлена вихідної дефініцією конгруентності. Тепер ясно, що довільна зміна дефініції конгруентності, як таке, або для лінійних відрізків, або для кутів, або для тих і інших не може гарантувати різних геометрій. 2) У своїй відповіді на затвердження Гуго Дінглер, що жорстке тіло однозначним чином визначається геометрією і тільки нею, Рейхенбах помилково погоджується з тим, що геометрія достатня для того, щоб визначити конгруентність, і оскаржує тільки затвердження Дінглер, що вона є також необходімой3 (3 У четвертому розділі ми дамо оцінку заслуг Рейхенбаха, який заперечував необхідність геометрії, обгрунтовуючи це тим, що жорсткість може бути визначена елімінування диференціальних сил.). Карнап обговорює залежність між а) метричної геометрією, яку він позначає символом R в цьому німецькому виданні, б) топологією простору (і фактами збігів стрижня в ньому), яка позначається символом Т (Tatbestand-обставини справи), і в) метрикою М (Mass -setzung - введення заходів), яка містить дефініцію конгруентності і задається функцією (і вибором одиниці виміру), про що вже йшлося на початку цієї глави5 (5Хотя як Карнапово метрика М, так і функція відстані ds = ~ [/ gibdxldx11 можуть забезпечити дефініцію конгруентності , їх не можна вивести дедуктивно один з одного, якщо немає ніякої інформації щодо збігів стрижня в розглянутому просторі.). І робить висновок, що функціональні відносини між R, М і Т такі, що «якщо дано дві з них, то тим самим дано і абсолютно однозначне визначення третьої». Відповідно до цього R = Ф1 (M, T), M = Ф2 (R, T), T = Ф3 (M, R). Незважаючи на те, що перша з цих залежностей має силу, наш приклад, коли за допомогою кожної з двох несумісних дефініцій конгруентності поверхні столу надавалася евклідова геометрія, показує, що не тільки друга, але також і третя залежності Карнапа не мають сили. Бо одне тільки встановлення, виходячи з М, слідства, що стрижень буде всюди називатися конгруентним самому собі, і визначення R як евклідової ще не говорять про те, чи будуть збіги стрижня T на поверхні столу саме такими, як якби він збігався з інтервалами, рівними, згідно з формулою ds2 = dx2 + dy2, або з іншими інтервалами, рівними на основі однієї з метризації (де sec2?> 1). Іншими словами, встановлена специфікація М і R не говорить нам про те, чи буде стрижень вести себе саме так, як ми знаємо про його поведінку в дійсності, або ж він буде згинатися будь-яким з нескінченного безлічі способів в порівнянні з його дійсним поведінкою. 3) Як наслідок нашого докази неоднозначності дефініції конгруентності ми можемо показати помилковість наступного твердження Рейхенбаха: «Якщо ми говоримо, що геометрія G дійсно застосовна, але вимірювання дають нам геометрію G ', ми в той же час визначаємо силу F, яка викликає відмінність між G і G '»1. Використовуючи наші початкові позначення відзначимо, по-перше, що замість однозначного (аж до довільної постійної) визначення метричного тензора g'ik геометрія G визначає нескінченний клас а таких тензорів, які відрізняються один від одного ще і тим, що вони пропорційні один одному. Однак, оскільки Fik = gik - g'ik (де g'ik виходять за допомогою стрижнів до того, як вони «деформуються»-якими універсальними силами), нездатність G визначити однозначним чином тензор gik (аж до довільної постійної) виражається в тому , що універсальних сил Fik, буде стільки, скільки буде різних тензорів gik в класі?, визначеному геометрією G. Ми бачимо, отже, що всупереч Рейхенбаха існує нескінченна безліч різних способів, при яких вимірювальний стрижень може залишатися «деформованим», забезпечуючи в той же час одну і ту ж геометрію G. Ці критичні зауваження на адресу Рейхенбаха не можуть вплинути істотно на дуже позитивну оцінку його внеску у філософію геометрії. Однак, що стосується логічного аналізу поняття простору, як воно трактувалося з часу появи теорії відносності Ейнштейна, ця оцінка дещо відрізняється від наступного виведення, до якого прийшов Хаттен. «До того тлумаченню, яке має місце, наприклад, у книзі Рей-хенбаха, щодо філософії простору і часу, нічого не можна додати, за винятком деяких змін в термінології».
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "Б.« Відносність геометрії »" |
||
|
||