Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Франк Філіп. Філософія науки. Зв'язок між наукою і філософією: Пер. з англ. / Заг. ред. Г. А. Курсанова. Вид. 2-е. - М.: Издательство ЛКИ. - 512 с. (Зі спадщини світової філософської думки; філософія науки.), 2007 - перейти до змісту підручника

7. Справедливість пропозицій геометрії

Тепер ми на час залишимо суто математичні міркування і поставимо питання, яке існує співвідношення між геометрією та досвідом. Те, що ми довели до цих пір, не має до досвіду ніякого відношення. Ми тільки показали, що якщо трикутники задовольняють евклідовій аксіомі, то подібні трикутники існують. Якщо ж трикутники задовольняють аксіомі геометрії Лобачевського, то подібних трикутників не існує. Ці аксіоми - тільки умовні пропозиції. З них нічого не можна вивести про властивості фізичних трикутників, зроблених з дерева або заліза. Якщо які-небудь аксіоми вірні, то вірні і деякі результати. Все, що ми приймаємо в геометрії за істинне, є тільки ці умовні становища. Що б не сталося в світі, ці положення залишаться вірними. Чисто логічні положення істинні незалежно від відбуваються у світі фізичних подій. Це ж вірно і по відношенню до геометрії, якщо ми розглядаємо її в чисто математичному сенсі. Ми можемо охарактеризувати «логічні положення», сказавши, що вони істинні за їх формою, безвідносно до значення їх термінів. Ми можемо замінити всі терміни іншими, а положення проте залишаться істинними. Найвідомішим прикладом є логічний силогізм: якщо Сократ - людина, а всі люди смертні, то і Сократ смертний. Це твердження залишається істинним, навіть якщо ми замінимо слова «Сократ», «людина», «смертний» іншими термінами. Наприклад, якщо лисиця - ссавець * а всі ссавці - хребетні, то і лисиця - хребетна. Всі положення геометрії в кінцевому рахунку відносяться до цього ж роду.

В елементарних підручниках положення геометрії не є чисто логічними побудовами. Вони являють собою суміш логічних і емпіричних положень. Поняття конгруентності, наприклад, визначається за допомогою посилання на фізичну операцію переміщення твердих тіл. Однак ми

з

можемо звернути евклидову геометрію шляхом переформулювання її аксіом в систему чисто логічних положень. Ми обговоримо це в § 8. Поки ж приймемо за дане, що така «формалізація геометрії» можлива, і поставимо пряме запитання: яка геометрія істинна - евклидова або неевклідова? З точки зору математики ми не можемо відповісти на це питання. За допомогою математики, як ми бачили, ми можемо тільки довести, що якщо ми допустимо аксіому Евкліда, то слід, що подібні трикутники існують, а якщо ми її відкинемо, то випливає, що вони не існують. Однак ми не можемо вирішити, «чи істинно» твердження, що існують подібні трикутники, тобто «істинна чи евклідова геометрія». З іншого боку, ми звикли застосовувати геометрію до фізичних об'єктів.

Необхідно ретельне дослідження, щоб зрозуміти можливість цього. Ніде у всій системі геометрії не можна знайти визначення прямої лінії або точки. Оскільки, однак, логічні висновки не залежать від значень уживаних у них термінів, остільки і без визначення прямих ліній і точок ми можемо сказати, що якщо ці об'єкти мають властивості, передбачувані в аксіомах, то вони мають ті ж властивості і в теоремах. Чим би не були прямі лінії і точки, але якщо ми приймаємо евклідові аксіоми, то слід, що подібні трикутники існують, якщо приймаємо аксіоми Лобачевського, то подібні трикутники не існують. У такому випадку виникає питання, як може геометрія застосовуватися до трикутниками, зробленим з дерева або сталі? Для цієї мети нам, очевидно, потрібна «геометрія», яка за своєю структурою повністю відрізнялася б від математичної, геометрія формалізована, про яку ми тільки що говорили.

Ми відзначили, що всі отримані досі результати правдиві, незважаючи на «значення» геометричних термінів. Для того щоб дістатися до застосування геометрії до фізичних трикутниках, ми повинні побудувати геометрію іншого роду - таку, в якій враховуватимуться значення термінів, на зразок таких, як «точка» і «пряма лінія». Рудольф Кар-нап у введенні до своєї книги «Формалізація логіки» описав «дві тенденції в сучасній логіці».

«Одна тенденція підкреслює форму, логічну структуру пропозицій і висновків, відносини між знаками і абстракціями, у відволіканні їх значення. Інша - підкреслює ті самі фактори, які виключає перше: значення, інтерпретацію, стосунки ... сумісність чи несумісність, засновані на значенні, відмінність між необхідною і випадкової істинністю і т. д. Ці дві тенденції, настільки ж давні, як і сама логіка, і виступали під безліччю найменувань. Вживаючи сучасні терміни, ми можемо назвати їх синтаксичної та семантичної тенденцією відповідно »

Робилися часті спроби побудувати геометрію, суворо дотримуючись правил, не як логічну дисципліну, а як науку, яка мала б справу з фізичними тілами, наприклад дерев'яними і залізними трикутниками. Чудова спроба такого роду була зроблена видатним англійським математиком Клиффордом, який зробив набагато більше, ніж більшість математиків, для об'єднання різних галузей математики в нашу загальну систему знання. Кліффорд писав в 1875 році:

«Геометрія є фізична наука. Вона має справу з розмірами, формами речей і відстанями між ними ... Ми будемо вивчати науку про форми речей і відстанях між ними, виходячи з одного або двох дуже простих і ясних спостережень.

.. Спостереження, з якими ми стикаємося, наступні. Перше, що річ може бути пересунуто з одного місця на інше без зміни її розміру або форми. Друге це те, що можна мати речі однієї і тієї ж форми, але різних розмірів »17.

«Речі», про які тут говорить Кліффорд, є, очевидно, тим, що у фізиці називається «жорсткими тілами». Він припускає, що критерій, що вживається для того, щоб переконатися, що «річ» жорстка, є критерій, зазвичай вживається в експериментальній фізиці. «Розмір» і «форма» речі вимірюються за допомогою стандартного метра, що знаходиться в Парижі, або стандартного фути, що знаходиться у Вашингтоні, з внесенням поправок, які пропонуються законами. У такому випадку за допомогою цих стандартів можуть бути виконані дві описаних Клиффордом спостереження. Кліффорд продовжував:

«Застосовуючи ці [два] спостереження до трикутниками, ми можемо довести: а) дві прямі лінії не можуть перетнутися більше ніж в одній точці; Ь) якщо дві прямі проведені на площині так, що вони зовсім не перетинаються, то кути, які вони утворюють з будь-якої третьої лінією, яка їх перетинає, будуть рівні »18.

У попередніх параграфах (4, 5 і 6) ми показали, що з існування подібних трикутників ми можемо вивести аксіому Евкліда про паралельні лінії, а з цієї аксіоми - теорему, що лінія, проведена так, що вона перетинає дві паралельні, утворює з обома рівні кути. У ході математичних доказів ми зробили ці висновки з «аксіом», не користуючись при цьому значеннями геометричних термінів. Кліффорд почав з узагальнених спостережень, які були, звичайно, твердженнями про фізичних фактах і виведеними з них висновками, що містять твердження про властивості фізичних трикутників.

У наступних двох параграфах ми розглянемо суворе співвідношення між висновками, виведеними з аксіом без використання значень термінів, та висновками, виведеними з тверджень про фізичних фактах, де кожен термін позначає фізичний об'єкт. У науці XX століття «аксіоми» формулюються таким чином, що при виводі з них за-винятків не користуються жодною інформацією про значення термінів; встановивши цю повністю формалізовану систему аксіом, виводять висновку про фізичних трикутниках, використовуючи особливий метод координування чисто формальних, чисто логічних висновків з твердженнями про фізичні об'єкти.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 7. Справедливість пропозицій геометрії "
  1. РОЗУМІННЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ ЯК СВІДОМОГО ДОСВІДУ Розумова діяльність
    справедливість, щастя. Будь-які симпатії чи антипатії в політичній сфері загрожували свободі чи були несумісні з гідністю мислячої людини. У цієї громадської обстановці, де істина здавалася неможливою, тільки розум, вільний від усяких догм, бачився єдиним твердим підставою, що не давали світу остаточно розсипатися. Саме до такого розуму апелював Сократ. І він був
  2. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
    справедливо пов'язували з тим, що в природній мові, за допомогою якого викладається метафізична теорія дуже важко уникнути омонімічним вживання понять. Неоднозначність розуміння формулювань приводила до амбівалентності і многосмисленності, що не завжди вдавалося усунути навіть за допомогою явних визначень ключових виразів метафізичної теорії. Нові надії на
  3. АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
    справедливість к. м. відносно нерухомих зірок - 210; теореми відносності - 214-218; і поширення світла - 219-221; і філософська істина - 99 - 100; мова к. ж. - 114-115. Ньютон Ісаак-Ш, 196, 512. Освіта вплив інтеллігибельного принципів йаукі -79; Загальні положення науки - див. також Гіпотези; Теорії завжди існували в спостережуваних фактах-73-74; інтеллігибельного
  4. 3. Декарт, Мілль і Кант
    справедливість яких може бути підтверджена одній тільки силою розуму. Згідно філософу-емпірістов Джону Стюарту Миллю, аксіоми є емпіричними положеннями, такими ж, як і всякі інші, - вони відрізняються від інших тільки тим, що вони простіше інших і мають більш широку основу. Раціоналіст ставиться до трикутника, як до об'єкта нашої уяви, в-той час як емпірістов
  5. 11. Концепція геометрії XX століття
    справедливості евклідової геометрії »таким чином, то з цього, звичайно, буде випливати, що не існує такого експериментального методу, за допомогою якого можна вирішити, яка геометрія істинна, евклидова або неевклідова. Ейнштейн писав: «На мою думку, Пуанкаре прав sub alternitatis 21», Але Ейнштейн вважав, що було б доцільно надати висловом «перевірити справедливість евклідовій
  6. 10. Операціональні визначення в геометрії
    справедлива геометрія Лобачевського. Якщо ми допустимо цю можливість, то не будемо знати, чи справді «дефект» вийшов в результаті помилок. Це залежить від того, яка конкретна геометрія Лобачевського застосована (§ 7). Ми повинні особливо обговорити питання про те, як великий трикутник, службовець одиницею виміру. Якщо наш виміряний трикутник набагато менше, ніж одиничний трикутник, то дефект
  7. 2. Відносність прискорення і обертання
    справедливі ньютонівські закони, Ейнштейн вказав, що рух у полі тяжіння в багатьох відносинах відмінно від руху в електромагнітному та інших полях і що, зокрема, рух в полі тяжіння аналогічно рухам щодо прискорених або обертових систем. Ейнштейн почав з «однорідного» поля тяжіння, де сили мають всюди одне і те ж напрямок і величину. Ця ситуація з
  8. 5. Закони руху Ньютона
    справедливі. Якщо є система координат, відносно якої ньютонівські закони справедливі, то всі логічні наслідки цих законів також справедливі. Ми, однак, не можемо на підставі такої формальної теорії сказати, з яким тілом нашого досвіду така система координат S повинна бути пов'язана. Існує багато книг, в яких всі слідства ньютоновских законів виведені саме таким чином,
  9. 3. Індукція допомогою нових понять
    справедлива, то сума кутів плоского трикутника дорівнює 2ТС (або 180 °), або якщо кутами є а, р, то дефект Д - 180 ° - (а + р + і) = 0. Ми знаємо також значення кривизни простору (С), яка є дефектом трикутника поділеній на його площу (а): С = А / а. Математикам вдалося вивести дуже витончену формулу для С. фізики не приписували великого значення цій формулі, тому що в
  10. 1. Національний характер
    справедливо зазначав, що «у кожного народу інстинкт і дух живуть по-своєму і створюють оригінальне своєрідність. Цим російським своєрідністю ми повинні дорожити, берегти його, жити в ньому і творити з нього: воно дано нам було споконвіку, в зародку, а розкрити його було дано нам впродовж усієї нашої історії. Розкриваючи його, ми виконуємо наше історичне призначення ». Ці слова підкреслюють необхідність
© 2014-2020  ibib.ltd.ua