3. Індукція допомогою нових понять

Кеплер нічого не додав до своїх спостережень положень планети Марс; він побачив тільки, що всі вони були розташовані на еліпсі. «Кеплер встановив, - говорить він, - факт, що планета рухається по еліпсу. Але цей факт »який Кеплер не додав, а виявив у русі планети ... був той самий факт, різні сторони якого спостерігалися окремо, це була сума різних спостережень». На противагу цьому Уевелл посилено підкреслював, що це «була не тільки сума спостережень; це була сума спостережень, бачених з нової точки зору, яка була привнесена розумом Кеплера».

Уевелл ілюстрував цю різницю відомої аналогією. Закони Кеплера містяться в його книгах, ко той, хто не знає латинської мови, не знайде їх там:

«Ми повинні знати латинську мову, щоб знайти закони в книзі. Точно так же дослідник повинен знати мову науки, так само як і дивитися в книгу природи, щоб виявити наукові істини ».

Книга природи складається з того, що ми назвали «матеріалом спостереження»; але для того, щоб відкрити і сформулювати закон, дослідник повинен в достатній мірі володіти лінгвістичним матеріалом для читання книги природи. Дуже переконливо і яскраво Уевелл висловлює думку, яка дуже близька до концепції науки, пануючої в науці XX століття. «Людина є тлумач природи; не тільки спостерігач, але і тлумач. Потрібно вивчати мову, так само як і спостерігати, для того щоб читати письмена, накреслені на лику всесвіту ».

Згідно Уевелл, істотним моментом у всякій успішної індукції є нове поняття, новий порядок, який створюється автором з його мовного чи логічного матеріалу. У Кеплера цим поняттям був еліпс; в механіці Галілея - поняття прискорення; для мислення Ньютона було характерним поняття прискорення і тяжіння; в сучасній оптиці-поняття хвиль і т. д. Мілль заперечував, що ці поняття відрізняються від самих спостережуваних фактів; поняття є копія фактів. Поняття, згідно Миллю, не дається розумом, поки вона сама не стало надбанням розуму. Однак Уевелл підкреслював, що «поняття», які ведуть до нових індукції, не нав'язуються нам спостерігаються фактами, а створюються активністю нашого розуму, яка й будує ці нові понятійні схеми, використовуючи в якості матеріалу мовний матеріал, або вже існував у нашому розумі протягом деякого часу, або ж створений з метою побудувати адекватну систему понять. У той времякак Мілль знову і знову повторював, що загальний закон існує у фактах і його потрібно тільки помітити і прочитати, Уевелл, навпаки, наполягає, що загальний закон є продукт людської активності: «Якщо, - пише Мілль, - факти правильно класифікуються під впливом понять, то це тому, що в самих фактах є щось, копією чого є поняття ». Уевелл ж заперечує: «Але це така копія, яка може бути зроблена тільки людиною, що володіє видатними здібностями; це подібно до того, як людина не може переписати погано зроблену напис, щоб вона мала сенс, якщо він не розуміє мови цього напису».

Важливим моментом у всякій індукції, яку здійснюють на основі спостережуваних фактів, є винахід нового поняття, яке пов'язує факти разом і, за термінологією Уевелл, «узагальнює» («colligates») їх. Введення нового поняття там, де спостережені факти узагальнені, виявляється тим, що всяка індукція супроводжується введенням якого нового словесного вираження або нового спеціального терміна. Уевелл каже, що принаймні з цього часу до фактів постійно застосовується який-або термін або пропозицію, які не застосовувалися до цього часу. Кеплер встановив, що Марс рухається навколо Сонця по «еліптичній орбіті»; Ньютон стверджував, що планети тяжіють до Сонця. Ці нові терміни - еліптична орбіта і тяжіють-позначають нові поняття, від яких залежить індукція.

Уевелл підкреслює, що історія фізики полягає не тільки у відкритті нових фактів, але, що не менш важливо, і у формулюванні нових понять. Він прямо говорить:

«Історія індуктивних наук є історія відкриттів, головним чином в тій мірі, в якій це стосується тих фактів, які наводяться в зв'язок, щоб утворити науку. Філософія індуктивних наук є історія ідей і концепцій, за допомогою яких ці факти зв'язуються ».

Питання про те, чи називати індукцію, начебто кепле-ровского закону еліптичних орбіт, підсумовуванням фактів або додаванням понять, створених нашим розумом, в значігельной мірою є питанням про словах. Дуже важко провести між теоріями і фактами кордон, з якої можна було б виходити в кожному випадку. Зрештою Уевелл сам каже, що факти є не чим іншим, як теоріями, які отримали дуже гарне підтвердження і стали добре відомими. Підкреслюючи роль понять, які є продуктами нашого розуму, Уевелл, звичайно, відчував сильний вплив кантіанської філософії. Ми вже згадували, що, згідно Канту, наука створюється за допомогою вставляння спостережених фактів в раму, створювану нашим розумом, Кант вважав цю раму вічною і не схильною до зміни, здійснюваному всяким прогресом науки. Уевелл вірив разом з Кантом в велике значення лінгвістичного матеріалу, створюваного нашим розумом для просування науки, і зробив на цьому шляху дуже багато для кращого розуміння структури науки і того, як наука розвивається, але він на відміну від Канта вважав, що створювані нашим розумом понятійні рамки незмінні.

Яке б не було походження цього погляду, повчально підкреслити величезне значення, КОТО-;

рої мало введення нових понять і термінів для просування науки в невідомі області. Почнемо знову з закону Кеплера. Ми спостерігаємо послідовні положення якої-небудь планети на сфері і представляємо їх серією точок на шматку паперу. Якщо ми подивимося на ці точки одночасно і опишемо їх словами, стверджуючи, що «всі вони можуть бути з'єднані кривої, званої еліпсом», то скажемо Чи ми більше того, що ми сказали допомогою перерахованих положень? Чи можемо ми вивести всі положення планети з спостережених положень без введення поняття еліпса? Якщо під індукцією ми маємо на увазі процес, лосредством якого з спостережуваних положень ми виводимо всі інші положення, що знаходяться між що спостерігаються, то ми можемо ввести індукцію через перерахування, якийсь вид інтерполяції. Якщо ж під індукцією ми маємо на увазі створення в нашому розумі рівняння еліпса і обчислення з цього рівняння всіх положень, то ми можемо ввести індукцію через створення понять. Мілль схилявся до певної міри до першого типу індукції, тоді як Уевелл явно віддавав перевагу другому.

Подібне формулювання альтернатив може породити спір, який практично ніколи не вирішиться; але ми можемо легко показати величезну користь «індукції через нові поняття» для розвитку науки. Якщо ми будемо розглядати рух планети під впливом тільки одного тіла (Сонця), то орбіта буде строго еліптичної і при цьому не буде мати значення, чи скажемо ми: як факту спостерігається, що всі точки, через які проходить планета, розташовані на еліпсі або що поняття еліпса додається до положень, які є єдиними фактами. Приймемо, однак, до уваги третій тіло (наприклад, другу планету) і задамося питанням, якою буде орбіта перший планети під впливом гравітаційного тяжіння двох інших тіл. Якщо ми розглянемо траєкторії, описувані за цих умов - при збуреннях, як кажуть астрономи, - то не знайдемо підходящої кривої, на якій вони могли б розташуватися. У теорії збурень показується, що ми можемо описати ці положення за допомогою введення еліптичної орбіти, яка не перебуває у спокої, а повільно обертається і переміщується в просторі. Рух під впливом збурень може бути описано і обчислено, тільки якщо ми будемо вирушати від поняття еліпса і якщо поставимо питання, як еліпс повинен рухатися, щоб представити більш складний рух. Поняття еліпс, яке в простому русі планет було інструментом, потрібним для того, щоб зробити опис фактів простим і зручним, в теорії збурень стає інструментом, абсолютно необхідним для вирішення проблеми «обуреного руху», яке є нескінченно більш складним, ніж простий рух планет, що випливає із законів Кеплера.

Цей приклад приводить нас до головного шляху індукції, за яким ми можемо йти від більш простих до більш складних проблем фізики. Великий англійський (точніше кажучи, шотландський) фізик Джемс Кларк Максвелл правильно сказав, що першою справою в країні невідомого є виробити математичні поняття, які описували б невідому область якомога простіше. Максвелл каже:

«Першим процесом тому в ефективному вивченні науки повинен бути процес спрощення і зведення результатів попереднього дослідження до форми, в якій розум може засвоїти їх. Результати цього спрощення можуть прийняти форму чисто математичних формул або фізичних гіпотез »J.

Максвелл дуже наполегливо підкреслює, що робота, виконувана за допомогою створених в «чистій математиці» коротких і витончених аналітичних виразів, є суттєвою частиною успіху фізичної науки. Якби ми обмежувалися формулами, створюваними елементарною математикою або Навіть елементарним обчисленням нескінченно малих, то поняття, необхідні для подальшого просування, виражалися б незграбно і багатослівно.

Як приклад динамічної ролі відповідних математичних або логічних понять ми можемо привести роль поняття «ротор векторного поля». Якщо електричні заряди перебувають у спокої, то вони породжують електричне поле, що підкоряється закону Кулона, який має, ту ж форму, що й ньютоновский закон-тяжіння; на відстані г від заряду Е воно має напруженість Е/r2. Таке поле виводиться з електричного потенціалу V; напруженість є градієнтом цього потенціалу. Усяке векторне поле, яке є градієнтом потенціалу, має те специфічне властивість, що його ротор дорівнює нулю. Отже, рівняння «ротор поля дорівнює нулю» характеризує електростатичне поле, поле, породжене спочиваючими електричними зарядами. Звернення ротора поля в нуль математично тотожне з існуванням «потенційної енергії», виходячи з якої поле може бути обчислено як її градієнт. Введення поняття «ротор» для електростатичного поля є чисто математичний прийом, який дозволяє формулювати закони вельми компактним чином, але нічого не додає до нашого фізичного знанню про таке поле, яке не міститься в законі Кулона щодо взаємодії двох зарядів. Дуже багато сказали б, що введення такого складного математичного поняття, як «ротор», для опису такої простої речі, як електростатичне поле, зайвий каприз. Однак, коли Максвелл зробив своє узагальнення, йдучи від електростатичного поля до загального електромагнітного поля, він виявив, що головним інструментом його узагальнення було поняття ротора. Він припустив, що в загальному полі ротор більше не зникає, як в статичному полі, а змінюється в часі. Гіпотеза Максвелла могла б бути сформульована просто, за допомогою твердження, що ротор електричного поля пропорційний диференціалу за часом від магнітного поля.

Один з найбільш чудових прикладів - теорія тяжіння Ейнштейна, узагальнююча ньютоновскую класичну теорію тяжіння. У 1908 році Мін-ський сформулював висунуту Ейнштейном в 1905 році спеціальну теорію відносності за допомогою поняття чотиривимірного простору та використання тензорного числення. У той час введення чотиривимірного світу здавалося тільки математичним трюком, придуманим для того, щоб додати теорії Ейнштейна таку форму, яка для математиків була витонченою і навіть хвилюючою, тоді як для фізиків вона здавалася скоріше темної, надто далекою від понять повсякденного здорового глузду і містить зайві математичні труднощі. Деякий час це було навіть думкою самого Ейнштейна. Як ми знаємо з вивчення теорії відносності, спеціальна теорія відносності стосується тільки систем, які рухаються по прямій з постійною швидкістю. Прискорене і обертальний рух розглядалося Ньютоном і спочатку навіть і Ейнштейном як «абсолютне» рух. Однак Ейнштейн завжди намагався узагальнити принцип відносності для того, щоб зробити його придатним до нерівномірних рухам. Дуже скоро він виявив, що первісна формулювання спеціальної теорії, дана в традиційному викладі тільки з трьома просторовими та однієї тимчасової координатою, була настільки складною, що було важко побачити, як можна досягти узагальнення. Ейнштейн, однак, зауважив, що у викладі Маньківського за допомогою чотиривимірного різноманіття спеціальна теорія відносності була математично настільки простий, що її легко можна було узагальнити, щоб поширити на прискорене і обертальний руху. «Індукція», яка дала нам загальну теорію відносності, виявилося можливою завдяки вишуканій і простій формі, яку «спеціальної теорії» додало чотиривимірний простір-час Маньківського.

 Ми не повинні, однак, вдаватися в докладний розбір важких теорій нової фізики; найбільшим і найдраматичнішим прикладом корисності вишуканої математичної схеми є Коперніковская теорія планетної системи. Коли Коперник висунув свою систему концентричних орбіт навколо Сонця, всі визнали, що ця математична схема набагато перевершує птолемеєвську схему кіл і епіциклів навколо Землі. Разом з тим можна було сказати, і дійсно говорили, що теорія не може оцінюватися тільки за її математичну простоту; вона повинна також оцінюватися за її наближення до істини. Якби ми не звертали уваги на філософську істину як на перевірку наукової істини і обмежувалися б тільки останньої, то ми оцінювали б порівняльну істинність наукових теорій згідно їх порівняльної корисності для розвитку знання. Ми воліли б теорію, більш зручну для узагальнень, які в свою чергу вели б нас до теорії, що охоплює більше спостережуваних фактів. У той час як система Птолемея добре узгоджувалася з рухом планет, якщо не зверталося уваги на їх взаємодію, система Коперника виявилася хорошим початком для дослідження того, як на кругові орбіти, наприклад Землі, впливають сили тяжіння, що діють з боку інших планет, наприклад Юпітера. Коли ефект взаємодії обчислюється на основі ко-перніковской теорії, результат може, звичайно, також бути витлумачений і в птолемеевской теорії шляхом обчислення орбіт планет, що мають відношення до Землі; але ці орбіти були б настільки складними, що практично вони ніколи не були б знайдені, виходячи з птолемеевскую епіциклів. Ми бачимо, що перевага коперниковской системи грунтується на її особливої придатності для узагальнення. Ми знаємо, що ця велика придатність грунтується на її величезної математичної простоті і витонченості. Тепер відомо, що велика математична простота зробила коперніковскую сі: стему більш досконалої не тільки завдяки таким її естетичним властивостям, як витонченість, але також і завдяки динамічним якостям, які роблять її придатною для узагальнення. 

 З гол. 3 ми знаємо, що якщо евклідова геометрія справедлива, то сума кутів плоского трикутника дорівнює 2ТС (або 180 °), або якщо кутами є а, р, то дефект Д - 180 ° - (а + р + і) = 0. Ми знаємо також значення кривизни простору (С), яка є дефектом трикутника поділеній на його площу (а): С = А / а. Математикам вдалося вивести дуже витончену формулу для С. фізики не приписували великого значення цій формулі, тому що в евклідовому просторі - а всякий простір розглядалося як евклидово-С було завжди дорівнює нулю. Однак ця формула, що була в евклідової геометрії тільки математичним символом, який був цікавий завдяки своїй витонченості і простоті, стала головним інструментом для відкриття та викладу загальної теорії відносності. Тепер можна було сформулювати основну гіпотезу теорії тяжіння Ейнштейна допомогою припущення, що кривизна чотиривимірного просторово-часового континууму має бути пропорційною гравітаційним масам, що знаходяться в цьому просторі. Така гіпотеза ніколи не була б сформульована, якби фізики не володіли формулою для С, яка була знайдена зусиллями математиків. Ми знову бачимо тут те величезне значення, яке мають зручні і прості математичні формулювання позначной фактів для знаходження нових і більш загальних фактів. Дедукція, виражена в адекватній математичній формі, - необхідна підстава індукції, яка дає нам нові узагальнення і, отже, нові факти. 

 Інформація, релевантна "3. Індукція допомогою нових понять"

1. Евристичної розмови
     індукцію і дедукцію як форми умовиводів. Дозвіл протиріч викликає в учнів розумову активність, а інтенсивна і напружена робота думки формує пізнавальний інтерес, що викликається логікою самого пошуку. Так як евристична бесіда в силу своєї природи з'єднує в собі часткові розумові завдання, об'єднані шуканим і запрограмовані в системі запитань вчителя, то
   
2. Підходи до інтерпретації політичного процесу
     індукція). Категорію політичного процесу слід відрізняти від категорії політичного розвитку, хоча при цьому обидві вони відображають деяку комбінацію ознак стійкості або мінливості в політичній сфері життєдіяльності суспільства. При аналізі політичного процесу розкриваються в основному відтворення інститутів та їх функцій, механізми функціонування, адаптації, наступності
   
3. АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
     індукція як основа на-'уки - 448-449. Брлл Олександр Грейам - 73. Вавилов С. І.-290. Венцель Алоїз - 360. Веркмейстер Вільям - 376 - 377 Веронезе Джузеппе -162. Ймовірності теорія - див. також Причинність; індуктивний висновок - 474 - 476; див. також Індукція; об'єднує і спрощує здатність теорії - 499; операциональное значення - 477-482; відносна частота події - 477-479;
   
4. 5. Індукція за допомогою інтуїції та індукція через перерахування
     індукції і за допомогою інтуїції '. Перший спосіб полягає в збиранні серій спостережуваних подій, в яких ми дізнаємося, що Деякі слідства подій знову і знову повторюються, як, наприклад, періодична зміна світла і темряви в досвіді нашого повсякденного життя, траєкторія снаряда, після того як йому повідомлена деяка швидкість, і т. д. На основі всього цього ми можемо говорити, що під законом
   
5. Філософія математики Готтлоба Фреге
     індукції можна виправдати тільки за допомогою спільних пропозицій арифметики, якщо під нею не розуміти просту звичку. Остання абсолютно не володіє ручається за істину силою. У той час як наукова процедура згідно об'єктивним стандартам то знаходить обгрунтованою високу ймовірність в одному єдиному прикладі, то вважає що не мають ціни тисячі подій, звичка визначається числом і силою
   
6. Інтуїционістськая математика
     індукції, тобто закон, який вказує, що позначає аналізованих властивість для 1 і як воно переноситься з довільного числа п на наступне за ним число п + 1. Можна відзначити чотири важливих слідства интуиционистской інтерпретації натуральних чисел. По-перше, принцип повної індукції як принцип породження достатній і необхідний для. докази будь-якого загального твердження про властивості
   
7. Конструктивна математика Маркова і Бішопа
     індукції. Всі інші «поверхи» математики будуються за допомогою послідовного сходження від базисної теорії натуральних чисел. Таким способом створюється велика частина математики. Але існує й інший спосіб «трансценденції математики». Можна сходити від фактично сконструйованого об'єкта до нового, гіпотетичному за своєю суттю. Так, можна вводити гіпотетичні множини з
   
8. 2. Індукція, загальні закони і поодинокі факти
     індукцією. Ясно, що як матеріал спостережень, так і лінгвістичний матеріал развіваеггся в ході людської історії. Їх зростання залежить від соціологічних і психологічних факторів. Користуючись більш знайомим мовою, люди часто описували ці два елементи як «факти» і «ідеї», так зробив Уевелл у своїй фундаментальній книзі з історії та філософії індуктивних наук. Дюкаса вказує, що
   
9. § 1. Поняття злочину
     посередньо пов'язувалося з вчиненням дії або бездіяльності, а з прийняттям в 1958 р. Основ кримінального законодавства Союзу РСР і союзних республік - з діянням як таким. При цьому в останньому випадку спеціально пояснювався його сенс, відповідно до якого діянням вважалося вчинене особою дія або бездіяльність. Знову прийнятий КК РФ відмовився від такого роду пояснень, але в частині
   
10. § 2. Цілі покарання
      посередніх або сполучних спроб. ^ Не маючи можливості дати в рамках підручника обстоя ^ вальний аналіз зазначених теорій, наведемо лише деякі висловлювання найбільш відомих особистостей. Платон: мета покарання - очищення душі, що заплямувала себе злочином, попередження його повторення в майбутньому, що досягається одним способом: винищенням злочинця, для якого покарання є
    
11. § 4. Обставини, що пом'якшують і обтяжують відповідальність
      за допомогою насильства над особистістю або без такого; ж) чи направлена діяння проти особи або майна; з) виявлені чи вчиняє діяння заздалегідь обдумане намір, жорстокість, злість, підступність, хитрість, або діяння вчинено в стані запальності, з легковажності і недбалості ". За суті справи, таким же чином було вирішено питання і в КК 1922 р., з тією лише різницею, що встановлення
    
12. 2. Ознаки підприємництва
      допомогою мотиваційного управління, прагнення до персональної відповідальності. Друга ознака підприємницької діяльності - творчий та інноваційний характер, що проявляється в пошуку нових можливостей, орієнтації на нововведення. Підприємець діє і оцінюється як незалежний і значною мірою покладається на самого себе інноватор. Третя ознака підприємницької
    
13. I. Введення. Основні інститути права інтелектуальної власності
      допомогою єдиної форми, а саме шляхом видачі патенту. В-третє, правове регулювання пов'язаних з цими трьома об'єктами суспільних відносин має значно більше схожості, ніж відмінностей, і до того ж здійснюється в Росії єдиним законодавчим актом, а саме Патентним законом РФ. Як і авторське право, патентне право має справу з охороною та використанням нематеріальних благ,
    
14. 1. Значення і сфера застосування купівлі-продажу
      за допомогою якого одна сторона - продавець (venditor) зобов'язується надати іншій стороні - покупцеві (emptor) річ, товар (Тегх), а інша сторона - покупець зобов'язується сплатити продавцю за вказану річ певну грошову ціну (premium). Римському праву були відомі договори про продаж майбутнього врожаю, в таких випадках застосовувався договір про продаж речі майбутньої або очікуваної (mei futurae
    
15. Глава четвер-тая. ХАРАКТЕРИСТИКА І ПОНЯТТЯ ДЕРЖАВИ
      за допомогою економічних, ідеологічних та організаційно-правових впливів, а також за допомогою авторитету, традицій, насильства. Це потужний фактор організації та регулювання спільної діяльності людей, засіб упорядкування їх взаємовідносин, спосіб забезпечення порядку і стабільності в суспільстві. Політична влада володіє концентрованої силою, що перетворює її на дієвий фактор
    
16. Глава пя-тая. ПРИСТРІЙ ДЕРЖАВИ
      посереднього задоволення соціальних та інших потреб. Таким чином, в унітарній державі здійснюється централізація всього державного апарату його діяльності і вводиться прямий або непрямий контроль над місцевими органами. Властива всім унітарним державам централізація може виявлятися в різних формах і різною мірою. У деяких країнах взагалі відсутні місцеві органи та