8. Формалізація аксіом

Рис. 23.

Р

Рис. 24.

А що вона стане чисто логічної. Покажемо це на дуже простому прикладі. Для цього ми повинні формулювати її таким чином, щоб істинність її положень залежала тільки від їх форми, а не від значення геометричних термінів «пряма лінія», «точка», «перетин» і «з'єднання».

Вище ми сформулювали аксіому, що дві точки, А і В, можуть з'єднуватися тільки однієї прямою лінією (аксіома I). У цьому випадку за допомогою діаграм, наведених на рис. 23 і 24, ми вивели висновок, що дві прямі лінії можуть перетинатися

тільки або в одній точці або не перетинатися зовсім (рис. 23).

Якщо на рис. 24 лінії Р і Р 'перетиналися б не тільки в точці Ау але і в другій точці Ву то ми мали б фіг. 23, що, згідно аксіомі I, неможливо, якщо Р і Р '- різні лінії. Це - інтуїтивне доказ, залежне від мислення експонованих прямих ліній і крапок і пересічних прямих ліній. З цим, однак, не пов'язані необхідним чином значення прямій лінії і крапки і перетину у фізичному сенсі. Ми можемо сформулювати це доказ таким чином, що воно

Рис. 25.

Стане повністю логічним; інакше кажучи, таким чином, що фізичні значення цих термінів виявляються непотрібними.

Покажемо, що геометричні докази залишаються правильними, навіть якщо ми замінимо «прямі лінії» і «точки» «яблуками» і «апельсинами». Згадаймо аксіому I: якщо є дві точки, А і В, тобто тільки одна пряма лінія, що з'єднує їх (рис. 25). З цього ми можемо вивести королларій I: дві прямі лінії, Р і Р ', ніколи не можуть перетнутися більш ніж в одній точці.

Тепер ми повинні «формалізувати» ці вислови (аксіому I і королларій I). Це означає привести їх у таку форму, щоб можна було ясно бачити, чому значення геометричних термінів не впливає на істинність доказів.

По-перше, виключимо терміни «з'єднувати» і «перетинати». Якщо пряма лінія проходить через точку, то ми будемо говорити, що «пряма лінія збігається з точкою». Якщо точка знаходиться на лінії, ми будемо говорити, що «точка збігається з лінією». Аксіома I тепер говорить: якщо пряма лінія Р збігається з двома точками А і В, а пряма Р 'теж збігається з цими ж двома точками А і В, то Р і Р "не отли-, чаются один від одного. Якби королларій був невірний, то ми могли б припустити, що пряма лінія Р збігається з дво * ма точками Л і В і що інша і відмінна від першої пряма лінія Р 'поєднується з цими ж двома точками Л і В. Але Рис, 26 . перша аксіома свідчить,

що Р не відрізняється від Р ', Таким чином, з припущення, що Р і Р' різні, ми укладаємо, що Р не відрізняється від Р \ Це означало б: з вислову «S - істинно» випливає, що "не-5 (заперечення S) - істинно».

Тепер ми можемо замінити терміни у вищенаведеному доказі наступним чином: «точку» - «яблуком», «пряму лінію» - «апельсином», «збігаються» - виразом «знаходяться на одній дошці». Тоді ми побачимо, що фізичні властивості «прямих ліній», «точок» і «збіги» не мають ніякого відношення до істинності докази. Перша аксіома буде гласить: на одній і тій же дошці не може бути двох яблук і більше одного апельсина. А перший королларій буде гласить: якщо на одній дошці є два апельсина і одне яблуко, то неможливо, щоб на тій же дошці було ще

ОДНЕ яблуко. Якби там було друге яблуко, то на тій же дошці було б два яблука і два апельсини. А це суперечило б аксіомі I. Отже, з аксіоми I ми, очевидно, можемо вивести королларій. Звідси видно, що ми можемо вивести ті ж укладання, змінивши значення геометричних термінів. У вищенаведеному доказі ми використовували тільки значення слова «не», але ми могли б формалізувати і логічну систему таким чином, що значення логічних термінів також не ввійшли б у неї.

Інформація, релевантна " 8. Формалізація аксіом "

1. АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
   Абрагам Макс - 246. Августин св. - 212-124. Аквінський Фома-74. 82, 84. 92, 172, 180, 517; критерії прийняття принципу - 75, 76; для. нижчого типу істини-227, 268; і теорія епіциклів - 82; нерухомий двигун - 176. Амальді Умберто - 162. Анакреон - 90. Аналогія - 62-65; аналогією повсякденного здорового глузду і сучасна фізика -366-369; інтелігібельний характер 'закону інерції -
   
2. 11. Концепція геометрії XX століття
   Коли близько 1600 розвинулася наука нового часу, то відносно уявлень науки, яка підкреслювала логічні системи термінів, виникало деяка недовіра. Задовго до того, як стали думати про поняття «операциональное-значення», логічні системи, які отримали вираз в середньовічної схоластики, застосовувалися до світу досвіду досить вільно. Думали,-що, сформулювавши логічну
   
3. контрольні роботи
   Варіант 1 Вправа 1. Дайте повну логічну характеристику поняттям: Законність. Міністерство економіки. Форма. Російська Федерація. Батьківщина. Вправа 2. Визначте вид відносини між поняттями і покажіть його з допомогою кругових схем: Чиновник, державний службовець, російська, громадянин. Учасник Великої Вітчизняної війни, генерал, ветеран, полковник. Дипломат, посол, консул,
   
4. § 3 Метафізичні аспекти проблеми сенсу життя людини
   Перш ніж приступати до аналізу метафізичних аспектів проблеми сенсу життя, необхідно позначити загальні методологічні посилки дослідження, його теоретичне поле з точки зору співвідношення: 1) філософії, науки і релігії; 2) онтології, гносеології та антропології; 3) трансцендентного (трансцендентального) і іманентного. Філософія здавна визначає своє місце і призначення по
   
5. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
   Науковість позитивної теоретичної метафізики обумовлена не тільки реальним існуванням об'єктів, які вона описує. У ній є ефективна процедура обгрунтування необхідної істинності вихідних принципових положень, а також є можливість її несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів,
   
6. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
   Є.Г. Плотникова, доктор педагогічних наук У процесі наукового пізнання, спрямованого на досягнення нових знань, виявляються загальні закономірності природи і характеру наукової діяльності, спеціальним вивченням яких займається методологія науки, тобто вчення про принципи побудови, форми, способи наукового пізнання та практичної перетворюючої діяльності. Методологія здійснює
   
7. Об'єкт і суб'єкт пізнання.
   Вихідним в аналізі сутності пізнання як відображення (суб'єктивного образу об'єктивної дійсності) є розуміння обумовленості суб'єкта, його свідомості, об'єктивними відносинами, а також творчою активністю людини. У процесі активної взаємодії суб'єкта з об'єктом формуються пізнавальні проблеми, структура наукового дослідження, знання реалізується в сфері практики,
   
8. Теоретичні методи.
   Методи теоретичного пізнання - це абстрагування, аналіз і синтез, індукція і дедукція, ідеалізація, аналогія, формалізація, моделювання, методи гіпотез і аксіоматичний, системний метод і підхід та ін Сутність абстрагування полягає в уявному відволіканні від несуттєвих властивостей, відносин і зв'язків в об'єкті і між ними за одночасної фіксації окремих сторін, аспектів цих
   
9. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
   На початку 20 - х рр.. XX в. німецький математик Давид Гільберт (1862-1943), підштовхуваний власними дослідженнями, а також суперечками з логицистами і інтуіціоністи, запропонував нову програму обгрунтування класичної математики, що отримала назву програма Гільберта. Інші назви цієї програми, прийняті в літературі, - теорія докази, метаматематика. Її метою були формалізація всієї
   
10. Філософія метаматематики Гільберта
    За допомогою цього нового обгрунтування математики, яке справедливо можна іменувати теорією докази, я переслідую важливу мету: саме, я хотів би остаточно розправитися з питаннями обгрунтування математики як такими, перетворивши кожне математичне висловлювання в піддається конкретному показу, суворо виведену формулу і тим самим привівши освіту понять і висновки, якими користується
    
11. Оцінка програми Гільберта
    Як і всі розглянуті раніше програми обгрунтування математики, програма Гільберта цікава не стільки заявленими цілями, скільки безпосередніми і віддаленими наслідками своєї реалізації. Її цілі полягали у формалізації і фінітізаціі всієї класичної математики, позбавленні її від парадоксів, в наближенні формалізованого математичного доказу до рутинних розумовим