Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Франк Філіп. Філософія науки. Зв'язок між наукою і філософією: Пер. з англ. / Заг. ред. Г. А. Курсанова. Вид. 2-е. - М.: Издательство ЛКИ. - 512 с. (Зі спадщини світової філософської думки; філософія науки.), 2007 - перейти до змісту підручника

9. Формалізація конгруентності

У традиційному викладанні геометрія досі підноситься майже в тому ж вигляді, як вона була написана Евклидом. У самому строгому сенсі вона тільки частково є логічною системою, оскільки в ній користуються деякими емпіричними поня-

тиями. Серед основних понять самим «фізичним» здається поняття «конгруентності». Традиційне визначення свідчить: дві фігури «конгруентний», якщо ми можемо їх поєднати. Це визначення безумовно має на увазі ідею, що ці фігури - «жорсткі тіла» і можуть пересуватися без зміни їх форми або розміру! Це явно має на увазі фізичну операцію переміщення твердих тіл.

Розглянемо, наприклад, перший теорему конгруентності. Ми будемо вживати символ ss для позначення «конгруентна». Перша теорема конгруентності свідчить, що якщо AC Л'С ', АВ = вА'В' і кут CAB sa sCM'B ', то НД = * В'С'. Як це довести? Згідно

С з 'Евклиду, дві сторони конгруентний, якщо вони можуть поєднатися. Отже, згідно з наведеними вище умовами, лінія АС може бути поєднана з лінією А "З, а АВ - з А'В 'одночасно. Отже, нд повинна поєднатися з В'СГ і, таким чином, ВС = е В'С '. Ми використовували тут як логічне, так і емпіричне докази. Тепер використовуємо чисто логічні міркування, За допомогою знаків р, q і г позначимо прості речення. Тоді типовим прикладом чисто логічного висловлювання є: припустимо, що якщо р істинне, то істинно <7, і що якщо q істинно, то істинно р. Звідси можна зробити висновок, що якщо р істинне, то істинно р. Не має жодного значення, чи є р, q і г твердженнями про точках, конгруентності, збігу або про що-небудь іншому.

Наприкінці XIX століття робилися спроби зробити геометрію такий чисто логічною системою. Ці спроби були підсумовані та удосконалено Давидом Гильбертом в 1898-1899 році і опубліковані в його книзі «Підстави геометрії». В основу було покладено, що геометрія повинна розвиватися таким чином, щоб можна було переходити від аксіом до теорем незалежно від значення понять, які входять у ці аксіоми. Якщо в аксіомах ми формулюємо властивості прямих ліній і вживаємо у висновках тільки ці властивості прямих ліній, го нам не потрібно знати, що являє собою пряма лінія. Ми бачили, що в традиційній геометрії фізичне значення предиката «збіг» вживається для того, щоб довести теореми конгруентності.

Отже, подивимося тепер, як перша теорема конгруентності, яку ми розглянули вище, доводиться Гильбертом без вживання фізичного значення термінів. Ми можемо більше не говорити, що дві системи конгруентний, якщо їх можна зробити «співпадаючими». Це мало на увазі б фізичну операцію. Замість цього ми повинні посилатися на властивості конгруентності за допомогою аксіом. Які властивості мають два сегменти, якщо вони конгруентний? Розглянемо наступну діаграму (рис. 28).

\ Ь \

Візьмемо пряму лінію а і дві точки Л і Л на ній. Тоді перший аксіома конгруентності буде гласить: на будь прямої лінії а ', починаючи з будь-який її точки Л', і відповідно на кожній стороні від цієї точки можна завжди знайти В 'таку, що Л / В / = ЛВ. Це одна з властивостей конгруентності. Характерним моментом є те, що ця аксіома не виключає

- а

А 8

А 'В' В "

* - - а

Рис. 28.

можливості, що на цій лінії може також бути ще точка В '\ відмінна від В' і така, що АВ Л'В ". Ця аксіома не говорить, що існує тільки одна точка В \ має описане властивість. Якби ми визначили термін «конгруентний» через вираження

про одній точці: в геометрії Гільберта саме доводиться, що існує тільки одна така точка. Ще дві властивості конгруентності даються в наступних аксіомах: два сегменти, конгруентні з третім, конгруентний один з одним; і два кути, конгруентні з третім, конгруентний один з одним. «Кут» визначається як дві прямі лінії g і h, пересічні в точці О (рис. 29). Тепер ми можемо сформулювати аксіому: якщо дана лінія g \ йде з точки 0 \ перебуває в будь містить її пло-скинув і на кожній з двох сторін від цієї точки, то може бути знайдена одна і тільки одна лінія Л ', що йде від О' , така, що кут g'h 'буде конгруентним з даними кутом gh. Далі, ми вводимо аксіому, в якій певним чином формулюється відношення між конгруентністю сегментів і конгруентністю кутів. Нам потрібно таке ставлення для того, щоб довести першу теорему конгруентності. Щоб уникнути звернення до фізичному сенсу

конгруентності, Гільберт пропонує цю аксіому, з якої можна вивести те, що Евклід вивів, користуючись фізичною значенням термінів (рис. 30). Нова аксіома Гільберта говорить: якщо АВ zsA'B 'і АС ^ == А "З і кут CABz = z з кутом С'А'В \ тоді кут АСВ ^ = кутку А * С * В *.

Ці аксіоми, в тому вигляді, як ми їх щойно сформулювали, не передбачають ніяких фізичних операцій; вони дають тільки властивості конгруентності. Тепер використовуємо їх для доказу першої теореми конгруентності. Розглянемо наступну діаграму (рис. 30).

Дано, що АВ ^ А'В ', АС = А'С і кут CAB ^ з кутом CfА'В'. Згідно з «першої теоремі конгруентності», повинно мати силу ставлення В'С 'зе НД Якщо ми визначимо «конгруентність» через «збіг», то доказ очевидно. Гільберт, однак, доводив це в такий спосіб, виходячи зі своєї аксіоми: якби лінія. В'С 'не було конгруентна НД, тоді, згідно вищенаведеної першої аксіомі (Гільберта), ми завжди могли б знайти точку D таку, що B'D' szBC. (Якщо ця точка лежить далі С ', то доказ буде подібним.) Тепер порівняємо трикутник ЛВС з трикутником А'В'С: АВ ^ А'В', нд B'D 'і, згідно аксіомі Гільберта, кут ABC конгруентна кутку A B'D ', Отже, також згідно аксіомі Гільберта, кут D'A'B' конгруентна кутку CAB і кут A'D'B 'se 53 кутку АСВ. Отже, кут D'A'B 'за С'А'В' і А "З має збігатися з A'D '. Таким чином, ми бачимо, як шляхом введення декілька більш складних аксіом ми можемо довести теореми конгруентності чисто логічним шляхом, без посилання на фізичну ідею «приведення до збігу». Ми не давали ніякої фізичної інтерпретації термінів; ми просто сформулювали деякі аксіоми, в яких ці терміни зустрічаються. З цього випливає, що ми нічого не можемо сказати про зовнішній світ. Однак якщо існує якась конгруентність, то існує також і інша конгруентність, але ми не знаємо, «що представляє собою конгруентність»,

З іншого боку, ми знаємо, що геометрія дає нам закони про властивості фізичних тіл . Якщо ми зробимо трикутник з жорсткої сталі, то за допомогою реальних вимірів встановимо, що сума кутів буде приблизно дорівнює 180 °. Тепер постає питання: яким чином логічна система математичної геометрії, наприклад система аксіом Гільберта, може допомогти нам отримати фізичні закони, що стосуються трикутників із сталі або дерева? Цей зв'язок буде розглянута в наступному параграфі.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 9. Формалізація конгруентності "
  1. Когнітивне напрямок в дослідженнях аттитюда
    формалізації та поширенні принципів балансу з обмеженою сфери відносин« Р-0-Х »на більш загальні умови консистентності між каганець і на емоційно значущі результати (див.: Smith, 1968). Теорія когнітивного дисонансу Леона Фестингера привернула найбільшу увагу в другій половині 50-х - початку 60-х років (Fеstingеr, 1957; Вrеhm а ^ Со-hеn, 1962). Відповідно до теорії Л. Фестингера,
  2. АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
    формалізація р. аксіоми - 147-150, 163; імпліцитне визначення термінів - 155; конвенціоналізм - 158; конгруентність-150 -154; вимога чисто логічної системи-160; чотиривимірна р. - 248-266; та «дійсна» всесвіт - 260-266. кривизна простору - 256-259; відносність прискорення і обертання - 251-256. Гершель Джон - 472, 499. Герц Генріх -224, 226. Грегорі Давид - 207.
  3. Поняття арбітражного процесу, арбітражна процесуальна форма
    Слова «арбітраж», «арбітражний» можуть зустрічатися в назвах органів, які дозволяють різні суперечки, але не входять в систему арбітражних судів, які реалізують судову владу, наприклад арбітражний суд при Торгово-промисловій палаті РФ, Міжнародний комерційний арбітраж, Морська арбітражна комісія при Торгово-промисловій палаті РФ. На біржах створюються органи з вирішення спорів, що випливають
  4. 1. Поняття арбітражного процесу, арбітражна процесуальна форма, завдання судочинства в арбітражних судах, джерела арбітражного процесуального права
    Слова «арбітраж», «арбітражний» можуть зустрічатися в назвах органів, які дозволяють різні суперечки, але не входять до систему арбітражних судів, які реалізують судову владу, наприклад арбітражний суд при Торгово-промисловій палаті РФ, Міжнародний комерційний арбітраж, Морська арбітражна комісія при Торгово-промисловій палаті РФ. На біржах створюються органи з вирішення спорів, що випливають
  5. 22. Особливості російської правової системи
    Російське право належить до романо-германської правової сім'ї. Останні 10 років у правовій системі РФ відбуваються революційні зміни, реформування всіх її інститутів. Перегляд базових категорій правознавства. Йдеться про поняття, сутність, соціальне призначення, системі права, правових джерелах, правовій культурі, механізмі правового регулювання Перегляд загальноправових та галузевих
  6. § 4. Теорії складу злочину як єдиної підстави кримінальної відповідальності
    формалізації галузі права. - В зб.: Питання кібернетики і право. Вид-во «Наука», 1967). З такою постановкою питання согла сіться не можна. Слабкість своєї позиції визнає і сам автор, констатуючи той факт, що кримінально-правової формалізм чреватий порушеннями законності. При цьому він вважає, що для недопущення ня несправедливості «радянське кримінальне право залишає простір 89 З наведених
  7. § 4. Замах на злочин
    формалізація принципових понять у частині КК могла б сприяти зміцненню законності. За ознакою близькості до закінченого злочину і ступеня завершеності дій замах прийнято ділити на два види: закінчена і незакінчена. Закінчений замах має такі характерні ознаки: з об'єктивної сторони - особа виконала усі дії, необхідні для настання наслідків;
  8. § 3. Звільнення неповнолітніх від кримінальної відповідальності
    Підстава такого звільнення - невисока ступінь суспільної небезпеки діяння і особи, що дозволяє домогтися цілей виправлення злочинця іншими, не кримінально-правовими методами. Звільнення від відповідальності із застосуванням примусових заходів виховного характеру можливе за наявності таких взаємопов'язаних умов: 1) вчинення злочину невеликої або середньої тяжкості, 2)
  9. 6. Твори, які не є об'єктами авторського права
    формалізації даних результатів, проведення експертизи та видачі охоронних документів (з патентно-правової моделі), що не входить у функції авторського
  10. 1 . Поняття патентного права
    формалізацію в законі їх ознак, дотримання спеціального порядку визначення пріоритету, перевірку новизни і встановлення особливого режиму їх використання. Таку охорону забезпечує тільки патентне
  11. 3.2. Основні шляхи розвитку права.
    Формалізації і визначеності законодавство, і, перш за все громадянське, що регулює більш складну систему майнових суспільних відносин. У деяких випадках досить древнє законодавство відрізнялося такою ступенем досконалості, що пережило на багато століть котрий використовував його народ і не втратило значення і сьогодні (наприклад, приватне римське право). Так чи інакше, в будь-якому
  12. Глава дванадцята. ФОРМА ПРАВА
    формалізація акта, прийнятого державним органом (формат, розташування граматичних структур тощо), яка б дозволила обробляти його на ЕОМ - зберігати, видавати і т.п. При недотриманні цих вимог забороняється реєстрація акта і він не набуває юридичного значення, стає юридично нікчемним. Нарешті, про джерела права. Це поняття набуло широкого поширення в
  13. Глава 2.1. Оцінка професійних якостей співробітників
    формалізації оцінок експертів, які спостерігали поведінка індивіда в певних ситуаціях протягом деякого відрізка часу. Q-дані (questionnaire data) засновані на вивченні особистості за допомогою опитувальників і методів самооцінки (тести, шкали самооцінок, самозвіти і т.д.) і займають завдяки простоті інструментальних конструкцій і легкості отримання інформації центральне місце в особистісних
  14.  Етап 3. Формалізація навчання.
      (Спроба заощадити.) Як тільки формалізувалася відповідальність за навчання, відразу ж постає питання про підвищення ефективності витрачання коштів та оцінці результатів. Як засіб підвищення економічності навчання і гнучкості в його організації виникає ідея «завести» внутрішнього тренера, який розробляв би програми під потреби компанії і проводив би навчання за планом. Спочатку це
  15.  ГЛОСАРІЙ
      формалізація мови, якою співробітники користуються для організації та координації діяльності. Реальні (з практики юридичної фірми) приклади такої формалізації: «Сьогодні - означає« сьогодні до 18:00 »;« Протягом тижня - означає «робота повинна бути представлена ??до 15:00 п'ятниці», і т.п. Приклад з глосарію в корпоративному проекті автора (формулювання - керівника проекту з боку
  16.  Держава Каролінгів. Периферія каролингского світу. Західноєвропейська культура в епоху Каролінгів (VIII-сер.ІХв)
      формалізації знання і його відчуженню від особистості, її актуальних інтересів. В XI в. в середньовічній західноєвропейській культурі остаточно утвердилося прагнення до раціонального осягнення знання, в тому числі і релігійного. У XII в. виникла схоластика-нове філософствує богослов'я, що спиралося на формальну логіку Аристотеля і визначало обличчя педагогіки та освіти впродовж
  17.  2.1.4. Значення недержавних служб зайнятості
      формалізація ділових відносин, у вигляді укладення договорів з підприємствами, постійно працюючими зі службою зайнятості. Одним з пунктів таких договорів може стати конкретне зобов'язання роботодавця - партнера державної служби зайнятості про оперативне оповіщення про всі зміни щодо заявлених вакансій, а також санкції за його порушення. Багато практичні працівники відзначають,
  18.  1.4. З історії логіки
      формалізації. Математична логіка вивчає логічні зв'язки і відносини, що лежать в основі дедуктивного (логічного) висновку. При цьому в математичній логіці для виявлення структури виведення будуються різні логічні числення, насамперед числення висловлювань і числення предикатів у тому різних модифікаціях. Розрізняють два види логічних числень: числення висловлювань і
  19.  природні і штучні мови
      формалізації мови демонструє математика. У логіці використовується штучна мова, що спирається на певні правила. Ця мова гранично формалізований, де символи і формальні правила оперування з ними при-змінювалися ще в Стародавній Греції. Мова цей призначався для виявлення логічних зв'язків думок, так як логіка завжди прагнула відволіктися від змісту мислення, розглядаючи його
  20.  контрольні роботи
      формалізація »,« мова »,« мова логіки висловлювань »,« знак »,« формула »,« ім'я »,« пропозиція »,« квантори »,« оператори »,« функтори »,« предікатори ». Також необхідно розібратися в загальних і особливих рисах природних і штучних мов. Використовуючи відповідні вправи, перевірте отримані теоретичні знання. Теми рефератів: Природна мова і штучні мови. Поняття знака. Загальна