| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
3. Структуралізм, номіналізм, натуралізм |
||
|
З перерахованих вище напрямків розглянемо тільки ті, які широко обговорюються в нинішній літературі з філософії математики. Перш за все слід розглянути структуралізм як одне з найважливіших напрямів сучасної філософії математики. Раннім найвпливовішим ідеологом цього напряму виступив Н. Бурбак. Основними нинішніми представниками структуралізму є П. Бенацерраф25, С. Шапіро26 і М. Резнік27. А. Структуралізм Платоністская посилка про існування незалежних від людської свідомості чітко визначених об'єктів є дуже вразливою з точки зору сучасної філософії математики. Зокрема, критиці піддається платоністское твердження про те, що є єдина послідовність абстрактних об'єктів, які являють собою натуральні числа. Відмова від цього твердження характерний для широко відомого напрямки, званого структуралізмом. Правда, при обговоренні цього напрямку слід мати на увазі дві речі. По-перше, сам термін «структуралізм» є настільки широким, що його треба розуміти тут у спеціальному сенсі філософії математики. Але навіть і тут цей термін має розширювальне значення завдяки програмі Н. Бурбак. По-друге, це філософський напрямок ще не набула остаточних обрисів, і скоріше, це деяка перспективна програма досліджень. Структуралізм є реакцією на проблему неодиничності подання математичних об'єктів. Проблема може бути описана так: платоністов стверджують, що математика говорить про об'єкти, але ми нічого не можемо знати про ці об'єкти, крім того, що вони співвідносяться один з одним певним чином. Якщо математичні об'єкти повинні мати деякі властивості самі по собі, тоді ці властивості приховані від математиків і не важливі для них. Наприклад, які конкретні об'єкти ми можемо назвати натуральними числами? Починаючи з робіт Фреге, Рассела і Уайтхеда, числа вважаються множинами. У цьому сенсі можна було б сказати, що натуральними числами ми можемо назвати множини. При цьому безлічі можуть трактуватися як ті самі об'єкти, які потрібні для платоністской картини. Для цього треба, щоб редукція натуральних чисел до множинам була єдиною, тобто кожному натуральному числу має відповідати певну безліч. Але як раз ця умова не може бути виконана. Бенацерраф першим вказав на цю обставину. Аргументація Бенацеррафа спиралася на той факт, що теоретико-множинне моделювання чисел не є єдиним. Існують відомі версії перекладу чисел під безлічі Фреге - Рассела, фон Неймана, Цермело та ін Ця ситуація призводить до питання, чим же насправді є числа, і питання це відноситься не до математики, а до філософії, будучи типовим онтологічним питанням. Зрештою, «філософія математики ... є онтологія математичних об'єктів »28. Однак такі питання не роблять на математику ніякого впливу. «Особливість математики полягає в тому, що вона розглядає тільки деякі суттєві властивості її об'єктів, вважаючи інші не відносяться до справи. Один з цих несуттєвих питань - про онтології формальної системи ... ми повинні прийняти щось аналогічне принципом терпимості Карнапа щодо онтологічних питань »29. Продемонструємо неєдиний теоретико-множествен-ної експлікації поняття числа. Е. Цермело запропонував наступну експлікацію натуральних чисел. В якості 0 береться порожній безліч 0, а в якості операції наступного елемента Sx - одиничне безліч, членом якого є попередній елемент, тобто Sx є {х}. Натуральний ряд чисел в теоретико-множинної версії Е. Цермело виглядає так: О 1 2 3 ... 0 {0} {{0}} {{{0}}} - Таким чином, числа є множинами певного роду. Такий висновок випливає з наявності цілком задовільною експлікації чисел. Число 3 «в реальності» є безліч {{{0}}}. Дж. фон Нейман запропонував як 0, як і у версії Цермело, порожній безліч 0, a Sx визначив як х і {х}. Про 3 грудня ... 0 {0} {0, {0}} {0, {0}, {0, {0}}} ... Таким чином, тепер число «три» виявляється безліччю {0, {0}, {0, {0}}}. Ясно, що безліч {{{0}}} відмінно від безлічі {0, {0}, {0, {0}}}. Більше того, в теорії чисел є такі твердження, які переводяться в істинне теоретико-множинне твердження у версії фон Неймана, і в помилкове твердження у версії Цермело, наприклад «З є 5». Можна припустити, виходячи з онтологічних міркувань про природу числа, що лише одна з теоретико-множинних вер-сій числа є правильною. Але як виділити деякий безліч, про який можна з упевненістю сказати, що саме воно, і ніяке інше, вказується деяким числом? Виявляється, за всіма математичним параметрах версії рівноправні, і немає ніяких аргументів, які могли б вказати на «правильну» версію. Отже, жодна версія не має жодних переваг перед іншими. Залишається зробити висновок, що відрізняють умови всіх версій правильні, і тоді ми просто не можемо сказати абсолютно, що ж таке числа. У всякому разі, ми можемо укласти, що числа зовсім не повинні бути множинами. На питання про те, чому числа не можуть вважатися визначеними множинами, загалом дається дві відповіді. Один з відповідей, пропонованих в структуралізму, полягає в тому, що числа взагалі не об'єкти, і тому цифри як сингулярні терміни зіставляються з різними множинами без оглядки на те, як зіставляються числа і множини. Знаки, що представляють цифри, не вказують на абстрактні об'єкти-числа і функціонують в знаковій системі незалежним чином. Реальний світ представлений в науці теоретичними схемами, і будь-який варіант реалізму щодо теорій стверджує істинність пропозицій теорії про об'єкти цієї теорії, а також те, що терміни теорії вказують на ці об'єкти. Об'єктами в реалістичній схемі можуть бути як матеріальні предмети, так і абстрактні об'єкти платоністского толку. Мета аргументації Бенацеррафа може полягати в тому, щоб відкинути платонізм, показавши можливість математики без припущення про існування абстрактних об'єктів. Головна проблема для Бенацеррафа в цьому випадку - пояснити, як знаки-цифри виконують все те, що роблять по платоністской версії математики числа. Розглянемо поняття об'єкта з точки зору його функціонування в системі. Головна ознака існування об'єкта-наявність у елементів структури системи знаків властивостей, незалежних від властивостей структури. Об'єкт можна відрізнити від інших об'єктів, якщо є процедури його індивідуалізації, які не повинні залежати від ролі, яку об'єкт грає в рамках структури. Аргумент Бенацеррафа полягає в тому, що числах не можна приписати подібну індивідуальність, тому що, будучи представлені в системі цифрами, вони не відомі нам крім цифр. Але цифри є частиною структури, і їх індивідуальність не їсти індивідуальність об'єкта, оскільки роль знака в системі визначається особливостями структури системи. Дійсно, «бути числом 3 - це не більше і не менше, ніж мати попередніми числами 2 і 1, і можливо, 0, і мати наступні числа 5,6 і т.д. І бути числом 4 - означає не більше і не менше, ніж мати в якості попередніх чисел 1,2 і 3, і наступними 5 і 6 і т.д. ... Будь-який об'єкт може зіграти роль числа 3, тобто, будь-який об'єкт може бути третім елементом деякої прогресії. Особливістю числа 3 є саме те, що .. . Воно являє собою відношення, яке будь-який член прогресії має до іншої частини прогресії »30. Числа, з цієї точки зору, взагалі не об'єкти, а знаки специфічної знакової системи з певними законами. Всі властивості чисел, що визначаються цими законами, належать знаковій системі, і серед властивостей немає таких, які характеризували б щось, що виходить за рамки взаємин елементів структури. Природа елементів структури не має ніякого значення. Визначення чисел, по Бенацеррафу, є сукупність деяких умов, відносяться не до елементів структури, а до відносин, визначеним на ній. Тепер центр ваги переноситься на поняття структури. Майже всіма визнається, що математика складається з структур. Але що таке структура з онтологічної і епістемологічної точок зору? І чи є це поняття більш простим або зручним, або більш фундаментальним, ніж поняття абстрактного об'єкта? Це той самий питання, яке намагаються вирішити М. Резник і С. Шапіро в цілій серії впливових статей і книг. Н. Бурбак вважав, що поняття структури є більш фундаментальним, ніж всі інші поняття математики. Подібним чином формулюються посилки Рєзника і Шапіро. Якщо структура розуміється як область об'єктів з певними відносинами між ними, тобто як структура, яка вивчалася в математичній логіці, то тоді потрібно мати на увазі, що в математичній логіці структура визначається теоретико-множинним чином. Але в цьому випадку слід вельми ра-дікальное висновок, що теорія множин являє собою дисципліну нарівні з іншими гілками математики, але ніяк не підставою всієї математики, тобто теорія множин вивчає одну з безлічі можливих структур. Наприклад, арифметика - дослідження не натуральних чисел, а «натуральних структур». Все це означає, що в цьому випадку нам потрібно визначення структури, яка сама не є теоретико-множинним поняттям. Шапіро описує структуру як «можливу систему об'єктів, що перебувають у певних відносинах один до одного, коли ігноруються ті властивості об'єктів, які несуттєві для цих відносин». Наприклад, в аксіоматичної теорії множин Цермело - Френкеля ігнорується все, окрім ставлення членства в множині. Відзначимо, що це лише опис поняття структури, а не визначення. Структуралісти у філософії математики уникають давати подібні визначення, оскільки саме поняття структури не дуже підходить на роль базисного онтологічного поняття, і в той же час не знімає епістемологічні проблеми. Поняття структури не вирішує, а швидше, «розсмоктує» ці проблеми в дусі віттгенш-тейновской терапії. Незважаючи на певний радикалізм, структуралізм є лише модифікацією того, що Ч. Чихара назвав «буквалістської точкою зору». Буквалізм полягає в тому, що екзистенційні твердження математики не відрізняються за своєю структурою від екзистенціальних тверджень емпіричних наук. Обгрунтування цієї тези полягає в тому, що математичні твердження робляться в термінах екзистенціальних кванторів логіки першого порядку, і тому буквально і прямо стверджують існування математичних сутностей. І оскільки структура математичних тверджень у розумінні структуралістів залишається саме такий, перед ними постають все ті ж проблеми, які вони воліли б бачити «розсмоктатися». Дійсно, «буквалізм» такого структураліста, як Резник, полягає у двох ідеях. По-перше, логічна форма математичних тверджень повинна розумітися буквально, і по-друге, семантика математичних тверджень повинна бути семантикою природничих наук. В іншому випадку не можна буде говорити про істинність математичних тверджень, а без цієї посилки неможливо нічого сказати про математичних об'єктах. Ці проблеми могли б бути ігноровані, якби не загальноприйняте, поділюване і структуралістами, переконання в тому, що математичні твердження істинні.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 3. Структуралізм, номіналізм, натуралізм " |
||
|
||