Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002 - перейти до змісту підручника

Б. Номіналізм

Істинно радикальним поглядом у цьому відношенні є номіналізм X. Філда, який вважає математичні твердження ложнимі31. X. Філд вважає, що математичних об'єктів не існує, що стандартна математика помилкова, але при цьому він прагне зберегти математичну практику. Для цього він постачає фізичну реальність значущою математичної структурою і описує фізичні версії аналізу. Математичні твердження типу «континуум-гіпотези» виявляються твердженнями про області простору і часу.

Така позиція можлива лише при деякій сильної версії номіналізму. Технічним засобом вираження такого номіналізму є так звана теорема консервативності, суть якої в тому, що будь-яке номиналистическое висновок, який може бути виведено за допомогою математики з номіналістичної теорії, може бути зроблено без допомоги математики, з одним лише використанням логіки. Таким чином, в математичній практиці робиться вказівка ??на математичні сутності, але немає необхідності вірити в існування таких речей, оскільки вказівка ??подібного роду не вимагає визнання математичних тверджень істинними. Філд вважає математичні теореми просто помилковими, а математичні об'єкти - корисними фікціями, які в теоретичному сенсі цілком переборні.

Теорія Філда не тільки радикальна, але і в значній мірі парадоксальна, оскільки поєднує в собі логіцизм і номіналізм. Логіцизм видно в самій «теоремі консервативності», згідно з якою математичний висновок можна в принципі замінити більш довгим логічним висновком. Під номіналістіческой теорією Філд розуміє теорію, в якій кванторние змінні обмежені нематематичного сутностями. Іншими словами, нелогічних словник номіналістіческой теорії не перетинається зі словником математичної теорії і, значить, абстрактні об'єкти математики избегаются.

Більш точно, нехай N-номіналістіческая теорія першого порядку, a ZF-теорія множин Цермело - Френкеля. Худа може бути показано, що якщо N + ZF JXSLST S, тоді N дає S.

Теза Філда полягає в тому, що математика є консервативним розширенням номиналистических істин. Але чи означає це, що математика лише «добавка», що дозволяє скоротити довгі логічні викладки, які в принципі могли б бути отримані і без математики? Іншими словами, чи вірно, як Філд вважає, що використання математики є поступка фізіологічної та психологічної обмеженості людини?

Це безперечно невірно, тому що консервативні розширення несуть таки нову інформацію. Самі методи розширення, хоча б і консервативного, такі, що дозволяють робити узагальнення, які не можуть бути зроблені в розширюваної області. Дійсно, консервативність подібного роду характерна для різних областей математики. Так, Г. Такеуті показав, що аналітична теорія чисел, що використовує повністю комплексне поле, є консервативне розширення над елементарної теорією чісел32. Хоча цей результат цікавий і важливий, ніхто не вважає аналітичні методи застарілими. Аналітична теорія дозволяє робити такі класифікації, які не можуть робитися елементарної теорією. Ця велика виразна сила є причиною того, що докази в аналітичній теорії чисел виглядають «простіше». Те ж відноситься до першого доказу теоретико-числовий теореми про розподіл простих чисел. («Перший доказ» було дано Ж. Адамаром і Ш. Валле-Пуссена-ном, наступні дані П. Ердеша і А. Селбергом без використання дзета-функції; ці останні докази «елементарні», хоча цей сенс елементарності відрізняється від того, який мається на увазі в доказах Такеуті.)

Номіналістична програма в першу чергу є програмою онтологічної.

Номіналіста не визнають абстрактних об'єктів, вважаючи, що реальним існуванням володіють лише фізичні об'єкти, або більш точно, поодинокі конкретності (на противагу универсалиям). Внесок у спрощення, який вноситься консервативним розширенням, може бути оскаржений Філ-будинок на тій підставі, що, скажімо, спрощення теорії розподілу простих чисел дається ціною збільшення в онтології. Комплексні числа незліченні, а цілі - Рахункова. Номіналіст визнає рахункові сукупності (швидше, навіть кінцеві), і ніяк не визнає незліченні. Але онтологічні міркування навряд чи грають яку-або роль в математиці, де «простіші докази» є справжнім внеском у теорію. Крім того, для того щоб відмовитися від придбань, отриманих в ході консервативного рас-ширения, потрібні якісь додаткові мотиви, крім встановлення самого факту консервативності розширення.

Філд розуміє це обставина, і вважає, що апеляція до вихідного ядру, яке піддається консервативному розширенню, буде успішною, якщо номіналістіческая переформулировка буде «розумно привабливою». Дж. Таппенден зазначає в цьому зв'язку, що «будь-яка теорія може бути замінена еквівалентною" номіналістіческой "подтеоріей: для цього треба просто прибрати (за допомогою грубої сили чи за допомогою теореми Крейга) всі пропозиції, крім тих, які задовольняють відповідним чином обраного словника. Але результуюча теорія буде настільки дезорганізована, що від неї не буде ніякої практичної користі. Не може бути виведено ніякого філософського слідства з спостереження, що хороша теорія в принципі може бути замінена практично даремною теорією, як би ця остання теорія не була привабливою філософськи »33. Таким чином, номіналістіческая програма Філда виявляється не настільки привабливою.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " Б. Номіналізм "
  1. 5. ПРОБЛЕМА Універсалі
    Однією з проблем схоластичної філософії було вирішення питання про Універсал. У перекладі з латинської цей термін (универсалия) позначає загальні поняття, тобто найбільш широкі, узагальнюючі великий клас предметів. Так, наприклад, универсалиями є поняття «людина», «тварина», «рослина», «небесне тіло» і багато інших. Питання полягало в тому, чи існують ці загальні поняття реально,
  2. Теми рефератів 1.
    Теоцентризм як основа філософії європейського середньовіччя. 2. Реалізм і номіналізм про природу загальних понять. 3. Фома Аквінський: систематизатор середньовічної схоластики. 4. Мистецтво Відродження: живопис, скульптура, поезія, література, драматургія. 5. Д. Бруно про нескінченність зоряних світів. 6. Ньютоновская класична наука і становлення індустріального суспільства. 7.
  3. VII. НАСКІЛЬКИ ТЕОРІЯ МНОЖИН ДІЙСНО НЕОБХІДНА НАУЦІ?
    Раніше ми стверджували, що поняття безлічі (або деякий еквівалентне поняття, наприклад, поняття функції) необхідно науці. Однак, тепер ми повинні запитати: яке поняття безлічі необхідно науці - «суворе» (непредикативне) або тільки «слабке» (предикативное)? Якщо ми дійсно хочемо розібратися з номіналізм і реалізмом, то нам слід допустити в якості альтернатив не тільки (а)
  4. Морально-практична спрямованість людини як його керівний чинник, протиставлений метафізиці.
    У найважливішому своєму творі «Дослідження про людське пізнання» Юм підкреслив, що його головне теоретичне прагнення полягає в тому, «щоб ретельно розробити справжню метафізику, щоб знищити неправдиву та по / питому» (4, т . 2, с. 11). Авторитетний, тоді вже майже двотакт-577 19 1184 сячедетній термін «метафізика», автор вживає тут ніби за інерцією, а насправді
  5. Критика ідеї субстанції. Юмовская скептицизм як агностицизм.
    Без ідеї субстанції немає метафізики з часів Аристотеля, і вище ми бачили, що така ідея була властива як раціоналістам (Декарт, Спіноза, Лейбніц), так і емпірістов (Локк, Берклі), хоча трактували вони її по-різному. Юм від цієї ідеї повністю відмовився. Його чисто суб'єктна, емпірістской-номіналістіческая позиція, що відводить діяльність людини до уяви і інстинкту, позиція,
  6. Гест для самоперевірки
    1) Вкажіть етапи становлення середньовічної думки: 1) німецька класика; 2) патристика; 3) апологетика; 4) еллінізм; 5) схоластика. 2) Етап середньовічної філософії, який характеризується єдністю церковних догм і авторитету, називається: 1) апостольським; 2) апологетикою; 3) патристикою; 4) ранньої схоластикою; 5) зрілої схолатіской. 3) Етап середньовічної філософії, який
  7. Тема 6. Суспільство як саморазвівающаеся система
    Суспільство як продукт людського буття і неодмінна умова існування самої людини. Людина і суспільство. Суспільство як специфічне, надприродне творіння людини. Суспільство - спосіб самореалізації людини. Антропогенез і соціогенез. Філогенез і онтогенез. Суспільство як сума зв'язків і відносин людини. Співвідношення суспільства і людини як центральна проблема буття людини.
  8. Сенсуалізм і номіналізм як засобу спростування абстракцій механіцизму і матеріалізму.
    Просвітницька критика традиційних релігій і протиставлення їм деістіческіх і пантеистических ідей в гносеологічному контексті спиралися на досягнення емпірістской-го, експериментального і математичного природознавства, вершиною 569 якого стали «Математичні начала натуральної філософії» Ньютона. У середньовічній теологізірованной схоластичної філософії панував реалізм
  9. 2. Філософські ідеї Середніх віків та епохи Відродження.
    Філософія Середньовіччя охоплює тисячолітній період від розпаду Римської імперії до епохи Відродження. Це була епоха виникнення і розквіту світових релігій. Інший по відношенню до античності тип філософствування був обумовлений принципово іншим типом цивілізації, розвитком феодальних відносин, нових соціально-політичних умов. Середньовічна філософія за своєю світоглядною
  10. 7. ПРОБЛЕМА СПІВВІДНОШЕННЯ ВІРИ І РОЗУМУ
    Одна з ключових і наскрізних проблем середньовічної філософії - проблема співвідношення віри і розуму. Вже в апологетів ми можемо виділити два крайніх крила, що дають протилежне рішення цієї проблеми. За Юстину Філософу, філософія (платонізм) буквально спрямована до Христа і веде нас до християнства. Навпаки, Тертуліан стверджував, що між Христом і Діонісом, між «Єрусалимом і Афінами», немає
  11. Натуралістична теорія моралі та права.
    Вище розглядалися індивідуалістичні концепції суспільного життя, тісно пов'язані з тривалою теорією природного права, з необхідністю приводить людей до державного гуртожитку. Найбільш характерна в цьому контексті доктрина Гоббса, сенсуалистический номіналізм якої не перекреслював інтелектуалізму моральних «природних законів», обмежуючи пристрасті природного права і
  12. II. ПИТАННЯ ПРО номіналізму і реалізму
    Тепер вже ясно, що існують філософські проблеми логіки, а також ясна, принаймні, одна з причин цього, пов'язана з труднощами одержання будь універсально прийнятною формулювання загальних принципів, яку так чи інакше визнали б все логіки. Якщо ми досліджуємо цю труднощі, то стануть ясніше і інші філософські проблеми логіки. Філософів і логіків, які вважають класи, числа і подібні
  13. Ось так логіка
    Як і більшість філософів-схоластів, Фома Аквінський грунтувався на логічних процедурах та категоріях Аристотеля. Ця логіка стала згодом сумно знаменита своєю витонченістю і непрактичностью. В результаті середньовічна філософія має репутацію замкнутої і поглиненої власними проблемами дисципліни, що використовує для вираження своїх ідей дивну термінологію. Хоча Фома Аквінський
  14. схоластичної філософії У ПОЛЬЩІ
    Ранній період (до XIV ст.). До XIV в. Польща ще не володіла науковим середовищем, але вже мала школи і бібліотеки при церквах і монастирях. Польща вже брала участь в інтелектуальному житті Європи, оскільки її духовенство підтримувало постійні зв'язки із Заходом і настоятелі костелів їздили до Риму, члени орденів - на генеральні асамблеї, маючи при цьому можливість стикнутися з інтелектуальною
  15. 2. Філософія і медицина Середньовіччя
    Вивчення суперечливого процесу історичного розвитку філософської думки та медицини епохи Середньовіччя та Відродження дозволяє осмислити нові реалії динамічно змінюється дійсності. Багато особливості середньовічної філософії проявилися в походила протягом кількох століть схоластичної боротьбі реалізму і номіналізму. «Реалізм» (від лат. Realis - речовий) в його
  16. По ту сторону Росії
    Після Великої Жовтневої соціалістичної революції боротьба між матеріалізмом (філософією марксизму) і ідеалізмом вступила в СРСР у свою завершальну стадію. Росія прийшла до потрясшей весь світ революції як батьківщина ленінізму, марксизму XX в., Але в той же час і як країна, де виник передзахідне «розквіт» ідеалізму та релігійної філософії. При цьому «підйом» занепаду, «ренесанс» філософського
  17.  III. ПИТАННЯ ПРО номіналізму і реалізму І ЛОГІКА
      Антитеза номіналізм-реалізм існує з давніх пір, і було б цікаво простежити, як вона виявилася пов'язаною з філософією логіки. В елементарній логіці з часів Аристотеля були сформульовані такі принципи, як (2), (4), (5), був складений список схем коректного виведення, що включають (1), і було заявлено 0 суперечливості таких форм, як (3). У порівнянні з логікою Аристотеля,