VII. ТЕОРІЯ ТИПІВ І СИМВОЛИЗМ: КЛАСИ

Перший пункт, який я хотів би прояснити, наступний: Я не мав на увазі, що, сказавши про речі, що вона існує, мають на увазі те ж саме, як якщо говорять, що вона можлива. Я мав на увазі, що одній і тій же є фундаментальна логічна ідея, примітивна ідея, від якої похідні обидві ці ідеї. Останнє не зовсім одне і те ж з тим, коли говорять, що висловлювання про те, що річ існує, однаково з висловлюванням, що вона можлива, я так не вважаю. Я використовую слово 'можливо' ймовірно в дещо незвичному сенсі, оскільки мені потрібно слово для фундаментальної логічної ідеї, для якої в звичайній мові слова не існує, і, отже, якщо в звичайній мові необхідно спробувати виразити розглянуту ідею, потрібно взяти деяке слово і повідомити йому сенс, доданий мною слову 'можливо'; останній жодною мірою не є тим змістом, яким воно володіє, але він підходить для моєї мети. Ми говоримо про пропозициональной функції, що вона є можливою, коли є випадки, при яких вона є істинною. Це не в точності те ж саме, що зазвичай мають на увазі, коли, наприклад, кажуть, що можливо завтра буде дощ. Але я наполягаю, що звичайне використання слова 'можливо' допомогою обробки похідним від цього поняття. Наприклад, зазвичай, сказавши про пропозиції, що вона можлива, ви маєте на увазі щось подібне наступного. Насамперед з цього випливає, що ви не знаєте чи є вона істинною або помилковою, і, я думаю, по-друге, з цього випливає, що вона відноситься до того класу пропозиций, з яких про деякі відомо, що вони істинні. Коли, наприклад, я кажу: 'Можливо, завтра буде дощ' - пропозиція 'Завтра буде дощ' відноситься до класу пропозиций 'Дощ іде в момент часу Г, де t - різні моменти часу. Почасти ми маємо на увазі, що нам не відомо, буде дощ, або ж ні, але також маємо на увазі і те, що знаємо, що цей тип пропозиції цілком здатний бути істинним, що про значення пропозициональной функції нам відомо, що якесь значення є істинним. Я думаю, ви знайдете, що багато звичайні вживання слова 'можливо' проходять під таким керівництвом. Іншими словами, коли ви говорите про пропозиції, що вона є можливою, у вас є наступне: 'У даній пропозиції є деяка конституента, яка, якщо перетворити її в змінну, дасть вам пропозіціональному функцію, іноді є істинним'. Отже, ви не повинні говорити про пропозиції просто, що вона можлива, але швидше, що вона є можливою відносно такий-то і такий-то констігуенти. Це було б більш повним виразом.

Говорячи, наприклад: 'Леви існують', я не маю на увазі те ж саме, як якщо б сказав, що леви можливі; оскільки, коли ви говорите: 'Леви існують', останнє увазі, що пропозіціональная функція 'х - лев' є можливою в тому сенсі, що леви є, тоді як, якщо ви говорите: 'Леви можливі', останнє взагалі є іншим типом висловлювання, не який передбачає, що випадкове індивідуальне тварина може бути левом, але швидше , що вид тварини може бути видом, який ми називаємо 'леви'. Якщо ви, наприклад, говорите: 'Єдиноріг можливі', то маєте на увазі, що вам не відома будь причина, чому б не бути єдинорога, а це пропозиція абсолютно відмінна від 'Єдиноріг існують'. Щодо того, що ви розумієте, кажучи про те, що єдинороги можливі, останнє завжди можна звести до того ж самого, як і 'Можливо завтра буде дощ'. Ви мали б на увазі, що пропозиція 'Єдиноріг існують' є однією з певної множини пропозицій, з яких істинність деяких відома, і що опис єдинорога не містить нічого такого, що показувало б неможливість існування подібних звірів.

Коли я кажу, що пропозіціональная функція є можливою, маючи на увазі існування випадків, в яких вона яв-ляется істинної, я свідомо використовую слово 'можливо' в незвичайному сенсі, оскільки мені потрібно єдине слово для моєї фундаментальної ідеї, і я не можу знайти якогось слова в звичайному мовою, яке виражає те, що я маю на увазі.

По-друге, передбачається, що коли хто-небудь говорить, що річ існує, це має на увазі, що вона знаходиться в часі, або в часі і просторі, принаймні в часі. Дане припущення є найбільш загальним, але я не думаю, що насправді багато що можна сказати на користь такого використання цього слова; по-перше, оскільки не було б потреби в окремому слові, якби це й було все, що ви мали на увазі. По-друге, оскільки, нарешті, можна цілком прагнути до обговорення питання, чи є речі, які існують безвідносно до часу, в тому сенсі, чим би не був цей сенс, в якому про речі, зазвичай розглядається як існуюча, говориться, що вона існує. Ортодоксальна метафізика дотримується того, що те, що дійсно є реальним, знаходиться не в часі, що перебувати в часі означає бути більш-менш нереальним, і що реально існуюче взагалі не знаходиться в часі. І ортодоксальна теологія вважає, що Бог не перебуває в часі. Я не бачу причини, чому б вам не спорудити своє визначення існування таким чином, щоб запобігти таке поняття існування. Я схильний думати, що є речі, які не перебувають у часі, і повинен принести вибачення за використання слова 'існування' в такому сенсі, коли у вас вже була фраза 'буття у часі', цілком задовільно виражає те, що маєте на увазі ви.

Інше заперечення на це визначення полягає в тому, що останнє принаймні не годиться для того типу вживання 'існування', який обгрунтовував моє міркування і який є спільним з математикою. Коли ви берете теореми про існування, наприклад, кажучи: 'Існує парне просте число', ви маєте на увазі не те, що число два знаходиться в часі, але те, що ви здатні знайти число, про який зможете сказати: 'Воно є парних і простим '. Зазвичай в математиці говорять про пропозициях такого типу, як теореми про існування, тобто ви встановлюєте, що існує об'єкт такого-то і такого-то типу; в математиці цей об'єкт є звичайно логічним об'єктом, який не індивідом, не річчю подібної лева чи едінороіу, але об'єктом подібним функції або числу, чогось такого що явно взагалі не має властивості буття в часі, і ця різновид сенсу теорем про існування релевантна обговоренню значення існування, з яким я мав справу в двох останніх лекціях. Звичайно, я дотримуюся того, що сенс існування можна привести до того, щоб охоплювати більше звичайні вживання існування, і фактично дати ключ до того, що обгрунтовує ці звичайні вживання, як коли говорять, що 'Гомер існував' або 'Ромул не існувало', або все, що ми могли б висловити в цьому роді.

Я переходжу тепер до третього припущенням про існування, яке також є звичайним, коли про окремо взятому 'це' ви можете сказати: 'Це існує', в тому сенсі, що воно не є фантомом, чином або универсалией. Зараз я думаю, що використання існування зачіпає змішання, від яких винятково важливо звільнити розум, дійсно досить небезпечні помилки. Насамперед, ми повинні відокремити фантоми і образи від універсалій; вони знаходяться на іншому рівні. Фантоми і образи безперечно існують в тому сенсі, чим би він не був, в якому існують звичайні об'єкти. Я маю на увазі, що якщо ви закриєте очі і уявіть деяку візуальну сцену, образи, які проходять перед вашим розумом у процесі уяви, безсумнівно існують. Вони суть образи, щось відбувається, а відбувається те, що образи проходять перед нашим розумом, і ці образи являють собою точно таку ж частину світу, як столи, стільці і що-небудь ще. Вони є цілком пристойними об'єктами, і ви тільки називаєте їх нереальними (якщо ви так їх називаєте) або трактуєте їх як неіснуючі, оскільки вони не володіють звичайним типом відносин до інших об'єктів. Якщо ви закриєте очі, уявіть візуальну сцену і протягнете руку, щоб доторкнутися до уявного, ви не отримаєте тактильного відчуття або, навіть неминуче, тактильного образу. Ви не отримаєте звичайної кореляції погляду і дотику. Уявляючи важкий дубовий стіл, ви можете пересунути його без будь-якого м'язового зусилля, чого не трапиться з дубовим столом, який ви дійсно бачите. Загальні кореляції ваших образів зовсім відмінні від кореляцій того, що вважають за краще називати 'реальними об'єктами. Але це не означає сказати, що образи є нереальними. Це означає тільки те, що вони не є частиною фізики. Звичайно, я знаю, що подібна віра у фізичний світ встановлена деякої різновидом панівного терору. Ви дотримуєтеся того, щоб нешанобливо обходитися з тим, що не підходить фізичному світу. Але насправді це дуже несправедливо щодо речей, які не підходять. Вони існують в тій же мірі, як і ті, що підходять. Фізичний світ - це певний тип правлячої аристократії, якій якимось чином вдається змусити звертати-ся з чим-небудь іншим нешанобливо. Подібний тип установки недостойний філософа. Ми повинні в точності однаково трактувати речі, які не стикуються з фізичним світом, і образи перебувають серед них.

Я вважаю, мається на увазі, що 'фантоми' відрізняються від 'образів', будучи за природою галюцинаціями, предметами, які не просто уявляються, але які супроводжують переконання. І знову вони абсолютно реальні; єдино дивне в них - це їх кореляції. Макбет бачить кинджал. Якби він спробував доторкнутися до нього, він не отримав би якогось тактильного відчуття, але з цього не випливає, що він не бачив кинджал, з цього випливає, що він не доторкнувся до нього. З цього жодним чином не випливає, що візуального відчуття не було. Це означає тільки те, що тип кореляції між поглядом і дотиком, яку ми зазвичай використовуємо, є нормальним, але не універсальним правилом. Претендуючи на його універсальність, ми говоримо, що річ є нереальною, коли вона йому не відповідає. Ви говорите: 'Будь-яка людина, який є людиною, буде робити те-то і те-то'. Потім, ви знаходите людини, яка не буде чинити так, і говорите, що він не є людиною. Це якраз той же самий випадок, як і з кинджалом, до якого ви не можете доторкнутися.

В іншому місці я пояснював сенс, в якому фантоми є нереальнимі1. Коли ви бачите реальної людини, безпосередній об'єкт, спостережуваний вами, являє собою об'єкт цілої системи індивідів, всі вони взаімопрінадлежності і в сукупності продукують різні 'явища' людини для себе самого та інших. З іншого боку, коли ви бачите фантом людини, останній є ізольованим індивідом, що не відповідає системі, як їй відповідають індивіди, які називають явищами 'реального' людини. Сам по собі Фанг є точно такою ж частиною світу, як і нормальні чуттєві дані, але він втрачає звичайну кореляцію і тому призводить до помилкових висновків і стає брехливим.

Що стосується універсалій [universals], коли я говорю про індивіда, що він існує, я безумовно ьо увазі те ж саме, як якщо б говорив, що він не є универсалией. Висловлювання щодо будь-якого індивіда, що він не є универсалией, абсолютно строго безглуздо - ложно, але строго і точно безглуздо. Ви ніколи не зможете помістити

Див: Our Knowledge of External World, глава III, а також, розділ XII 'Чуттєві дані і фізика' в Misticism and Logic.

Індивід на те місце, де повинна бути универсалия і навпаки. Якщо я кажу: 'а їсти не Комерсант \ або якщо я кажу: "а є Комерсант \ з цього випливає, що а і Комерсант одного і того ж логічного типу. Сказавши про універсалії, що вона існує, я мав на увазі б це в сенсі, відмінному від того, коли говорять, що індивід існує. Ви можете, наприклад, сказати: 'Існують кольори спектру між синім і жовтим'. Останнє було б цілком пристойним висловлюванням про квіти, взятих як універсалії. Ви просто розумієте, що пропозіціональная функція 'х - колір між синім і жовтим 'являє собою функцію, яка здатна бути істинною. Але зустрічається тут х не є індивідом, він є универсалией. Таким чином, ви приходите до того, що вкрай важливе поняття, що включає в себе існування, являє собою поняття, яке я розвивав у позаминулому лекції, поняття пропозициональной функції, що є іноді істинною або, іншими словами, що є можливою. Різниця між тим, що деякі назвали б реально існуючим і існуючим в людській уяві або в діяльності моєї суб'єктивності, це розходження, як ми тільки що бачили, є цілком відмінність кореляції. Я маю на увазі, буде помилковою ваша спроба сказати, що все, що вам є, має деяку більш славну форму існування, якщо воно об'єднано з тими іншими речами, про які я вів мову, в тому сенсі, що явище вам Сократа має бути пов'язане з його явищем іншим людям.

 Я переходжу тепер до власної темі моєї лекції, але повинен буду розглядати її досить поспішно. Необхідно пояснити теорію типів і визначення класів. Отже, перш за все, як я гадаю, більшості з вас відомо, що якщо безтурботно звертатися з формальною логікою, ви можете дуже легко впасти в протиріччя. Багато хто з них відомі протягом довгого часу, деякі навіть з часів греків, але тільки досить недавно було виявлено, що вони мають відношення до математики, і що звичайний математик, якщо він не дуже обачний, схильний впадати в них, коли наближається до області логіки. До нещастя, математичні парадокси більше важко роз'яснити, а ті, які роз'яснити легко, викликають подив просто як загадки або хитрощі. 

 Ви можете почати з питання, існує чи ні найбільшу кардинальне число. Кожен клас предметів, який ви можете вибрати для згадки, має деяке кардинальне число. Останнє дуже легко випливає з визначення кардинального числа як класу подібних класів, і ви схильні припускати, що клас всіх предметів, що існують в світі, мав би настільки багато членів, скільки взагалі розумно очікувати від класу. Звичайна людина припускав би, що ви не в змозі отримати клас більший, ніж клас всіх предметів, що існують в світі. З іншого боку, дуже легко довести, що якщо ви візьмете вибірки деяких членів класу, здійснюючи ці вибірки будь-яким можливим для вас підходящим способом, число різних вибірок, які ви зможете зробити, більше ніж початкове число членів. Це легко бачити на прикладі з малими числами. Припустимо, у вас є клас як раз з трьома числами: а, Комерсант, с. Перша вибірка, яку ви можете зробити, - це вибірка, яка не має членів. Наступна вибірка: окремо я, окремо Ьу окремо с. Потім, be, са, ab, abc, загалом 8 (тобто 23) вибірок. Взагалі кажучи, якщо у вас є п членів, ви можете отримати 2П вибірок. Дуже легко довести, що 2П завжди більше ніж п, чи буде п кінцевим або ж ні. Так ви знаходите, що загальне число предметів у світі не є настільки великим, як число класів, які можна отримати з цих предметів. Я прошу, щоб ви брали ці пропозиції як доведені, оскільки немає часу переходити до доказів, але всі вони є в роботі Кантора *. Отже, ви знайдете, що загальне число предметів у світі жодним чином не є найбільшим числом. Навпаки, існує ієрархія чисел більших, ніж дане. На перший погляд, це, мабуть, приводить вас до протиріччя. Фактично, у вас є абсолютно точне арифметичне доказ того, що на небесах або на землі мається предметів менше, ніж мариться нашої філософії. Останнє демонструє те, як філософія робить успіхи. 

 Тому ви стикаєтеся з необхідністю провести різницю між класами і індивідами. Ви стикаєтеся з необхідністю говорити, що клас, що складається з двох індивідів, сам в свою чергу не є новим індивідом, і це повинно бути роз'яснено усіма способами; тобто ви будете повинні сказати, що в тому сенсі, в якому існують індивіди, в цьому самому сенсі не вірно сказати, що існують класи. Сенс, в якому існують класи, відрізняється від сенсу, в якому існують індивіди, тому що, якщо б сенс в обох випадках був однаковим, світ, в якому є три індивіда і, отже, вісім класів, був би світом, в якому є по Принаймні одинадцять предметів. Як давним-давно вказували китайські філософи, сіра корова і гніда кінь складають три предмета: предметами є кожна з них, і, взяті разом, вони представляють собою інший предмет, а отже, всього три. 

 Я переходжу тепер до протиріччя, що належить до класам, які не є членами самих себе. Загалом то ви сказали б, що не очікуєте від класу, щоб він був членом самого себе. Наприклад, якщо ви візьмете клас всіх чайних ложок в світі, сам він не є чайною ложкою. Або, якщо ви візьмете всіх людських істот у світі, їх цілісний клас в свою чергу не є людською істотою. Природно, ви сказали б, що не можете очікувати від всього класу предметів, щоб сам він був членом цього класу. Але є явні винятку. Якщо ви візьмете, наприклад, всі речі в світі, які не є чайними ложками, і створите з них клас, цей клас (ви сказали б) явно не буде чайною ложкою. І так з усіма негативними класами. І не тільки з негативними класами, бо, якщо ви порахуєте на час, що класи є предметами в тому ж самому сенсі, в якому предметами є предмети, ви тоді повинні будете сказати, що клас, що складається з усіх предметів у світі, сам є предметом світу, а стало бути, цей клас є членом самого себе. Звичайно, ви подумали б, ясно, що клас, що складається з усіх класів у світі, сам є класом. Я думаю, більшість людей повинні відчувати схильність до такого припущення, і, отже, ви тут отримали б випадок класу, який є членом самого себе. Якщо є який-то сенс в тому, щоб запитати, чи є клас членом самого себе або ж ні, тоді звичайно у всіх випадках звичайних класів повсякденному житті ви знайдете, що клас не є членом самого себе. Відповідно цьому ви можете перейти до утворення класу всіх тих класів, які не є членами самих себе, і, зробивши це, ви можете запитати себе, чи є даний клас членом самого себе або ж ні? 

 Припустимо перш, що він є членом самого себе. У цьому випадку, він являє собою один з тих класів, які не є членами самих себе, тобто, він не є членом самого себе. Припустимо потім, що він не є членом самого себе. У цьому випадку він не представляє собою один з тих класів, які не є членами самих себе, тобто він є один з класів, які є членами самих себе, тобто він є членом самого себе. Отже, будь-яка гіпотеза, що він є або що він не є членом самого себе, призводить до його суперечливості. Якщо він є членом самого себе, то він не є членом самого себе, а якщо він не є членом самого себе, то він є членом самого себе. 

 Це протиріччя найвищою мірою цікаво. Ви можете модифікувати його форму; деякі форми модифікації обгрунтовані, а деякі ні. Одного разу я запропонував форму, яка не була обгрунтована, а саме, питання про те, чи повинен брадобрей голитися сам, або ж ні. Ви можете визначити брадобрея як того, 'хто голить всіх тих, і лише тих, хто не голиться сам'. Питання в тому, голиться чи сам брадобрей? У цій формі протиріччя не дуже важко вирішити. Але в нашій попередній формі, я думаю ясно, ви зможете обійти його, тільки помітивши, що в цілому питання, чи є клас членом самого себе або ж ні, є безглуздим, тобто, що не клас є чи не є членом самого себе, і що навіть не правильно говорити подібне, поскольку7 в цілому ця словесна конструкція є тільки набір звуків, що не має значення. Останнє має відношення до того факту7, що класи, як я збираюся показати, є неповними символами в тому ж самому сенсі, в якому неповними символами є дескрипції, про що я вів мову минулий раз; ви висловлюєте дурниця, коли запитуєте себе, є чи ні клас членом самого себе, оскільки в будь-якому повному висловлюванні того, що мається на увазі пропозицією, яка виглядає як пропозиція про класи, в цьому висловлюванні ви взагалі не знайдете жодної згадки про клас. Якщо висловлювання про класах повинно бути значущим, а не чистим дурницею, абсолютно необхідно, щоб його можна було перевести в форму, яка взагалі не згадує класів. Такий тип висловлювань, як 'Такий-то і такий-то клас є чи не є членом самого себе', не здатна до перекладу такого роду. Останнє аналогічно тому, що я говорив про дескрипціях: символ для класу є неповним символом; насправді він не позначає частин пропозиції, в яких зустрічається в якості символу, але при правильному аналізі цих пропозицій, даний символ розпадається і зникає. 

 Є ще одне з протиріч, найдавніше, яке я також могу7 згадати, висловлювання Епіменіда, що 'Все крітяни брехуни'. Епіменід - це людина, яка безупинно проспав шістдесят років, і, я вірю, прокинувшись від дрімоти, він зробив заме- чание, що всі крітяни були брехунами. Протиріччя може бути надана більш проста форма; якщо людина висловлює твердження: 'Я ліу \ чи бреше він, або ж ні? Якщо він бреше, що і є якраз те, що він говорить, то він висловлює істину, а не бреше. Якщо, з іншого боку, він не бреше, тоді, очевидно, він говорить істин> т, стверджуючи, що він бреше, а, стало бути, він бреше, оскільки він правильно говорить про те, що робить. Це давня загадка, і ніхто не розглядав її окрім як жарт доти, поки не було виявлено, що вона повинна мати відношення до таких важливих і практичним проблемам, як чи існує найбільше кардинальне або ординальне число. Тоді, нарешті, з цими протиріччями стали звертатися серйозно. Людина, яка говорить: 4 Я брешу ", насправді стверджує: 'Існує пропозиція, яку я стверджую і яка є помилковою'. Це імовірно те, що ви розумієте під брехнею. Для того щоб отримати протиріччя, ви повинні взяти всі його дане твердження як одну з пропозицій, до яких застосовне його затвердження; тобто коли він каже: 'Існує пропозиція, яку я стверджую і яка є помилковою', слово 'пропозиція' тлумачитиметься як включене в пропозиції його затвердження в тому сенсі, що він стверджує помилкову пропозицію. Тому ви повинні припускати, що у вас є певна спільність, а саме, спільність пропозицій, але ця спільність містить члени, які можуть бути визначені тільки в термінах самих себе. Тому що коли ви говорите: 'Існує пропозиція, яку я стверджую і яка є істинною ', останнє є висловлювання, значення якої може бути отримано тільки за допомогою посилання на спільність пропозиций. Ви не говорите, яка серед всіх пропозицій, що мають місце у світі, є та, яку ви стверджуєте і яка є помилковою. Отже, передбачається, що спільність пропозиций простягається перед вами, і що якась одна, хоча ви і не кажіть яка, затверджується ложно. Абсолютно ясно, що ви впадаєте в порочне коло, якщо перш припускаєте, що ця спільність пропозиций простягається перед вами, так що ви можете, не вибираючи будь-якої певної пропозиції, сказати: 'Якась пропозиція з цієї спільності затверджується ложно'; саме це твердження є одним із спільності, з якої ви вибираєте. Дана ситуація в точності та, яка у вас є в парадоксі брехуна. Насамперед вами передбачається заданим безліч пропозицій, і ви стверджуєте, що деяка з них затверджується ложно, потім саме це твердження перетворюється в одну з пропозицій даної множини, так що, очевидно, помилково припускати, що це безліч вже тут у своїй повноті. Якщо ви збираєтеся щось говорити про 'всіх пропозициях', ви повинні, перш за все, визначити пропозиції якимось таким способом, щоб виключити ті з них, які вказують на все пропозиції вже певного типу. З цього випливає, що слово 'пропозиція' в тому сенсі, в якому ми зазвичай намагаємося його використовувати, є безглуздим, і що ми можемо розділити пропозиції на безлічі і можемо висловлювати твердження про всіх пропозициях в даній безлічі, але такі пропозиції самі не будуть членами цієї множини. Наприклад, я можу сказати: 'Все атомарні пропозиції є або істинними, або хибними', але саме останнє не буде атомарної пропозицією. Якщо ви без обмежень спробуєте сказати: 'Все пропозиції є або істинними, або хибними', ви стверджуєте дурниця, тому що, якби це не було дурницею, воно саме повинно було б бути пропозицією і однією з тих пропозицій, які включаються в свій власний обсяг, а отже, закон виключеного третього, як він проголошений щойно, є безглуздим набором звуків. Ви повинні розчленувати пропозиції на різні типи, і можете почати з атомарних пропозицій або, якщо вам подобається, можете почати з тих пропозицій, які взагалі не вказують на безліч пропозицій. Потім наступними ви візьмете ті, які вказують на безлічі пропозицій того різновиду, які ви брали першими. Ті, що вказують на безлічі пропозицій першого типу, ви можете назвати другим типом, і т.д. 

 Якщо ви застосуєте це до людини, яка говорить: 'Я брешу', ви знайдете, що протиріччя зникло, оскільки він повинен буде сказати, яким типом брехуна він є.

 Ви можете сформулювати, що спільність будь-якого різновиду не може бути членом самої себе. Останнє застосовно до того, що ми говоримо про класах. Наприклад, спільність класів у світі не може бути класом в тому ж самому сенсі, в якому останні є класами. Так ми повинні розрізняти ієрархію класів. Ми будемо починати з класів, які цілком со- ставлени з індивідів: це буде першим типом класів. Потім ми перейдемо до класів, членами яких є класи першого типу: це буде другий тип. Потім, ми перейдемо до класів, членами яких є класи другого типу: це буде третій тип, і т.д. Для класу одного типу ніколи неможливо бути чи не бути тотожним з класом іншого типу. Це можна застосовувати до питання, який я обговорював трохи раніше, щодо того, як багато предметів існує в світі. Припустимо, у світі є три індивіда. Тоді, як я пояснював, існує 8 класів індивідів. Класів класів індивідів буде 28 (тобто 256), а класів класів класів індивідів 2256, і т.д. Ви не отримаєте якого-то росте звідси суперечності, коли задаєте собі питання: 'Існує чи ні найбільшу кардинальне число?', Відповідь цілком залежить від того, обмежуєтеся ви одним типом, або ж ні. У рамках будь-якого заданого типу найбільшого кардинальне чмсдо су ществует, а саме, число об'єктів даного типу, але ви завжди здатні отримати більше число, переходячи до наступного типу. Отже, немає такого великого числа, але ви можете отримати більше число відповідного високого типу. Тут у вас є дві сторони цієї суперечки: одна, коли тип заданий, і інша, коли тип не заданий. 

 Заради стислості я говорив так, як якщо б всі ці різні типи предметів су ществовали реально. Звичайно, це нісенітниця. Існують індивіди, але при переході до класів, класам класів і класам класів класів говорять про логічних фікція. Коли я кажу, що таких предметів немає, це знову некоректно. Безглуздо сказати: 'Існують такі предмети', в тому ж самому сенсі слова 'існують', в якому ви можете сказати: 'Існують індивіди'. Якщо я кажу: 'Існують індивіди' і 'Існують класи', два вирази 'існують' в цих двох пропозициях повинні будуть мати різні значення, і якщо вони мають відповідні різні значення, обидві пропозиції можуть бути істинними. Якщо, з іншого боку, слово 'існує' використовується в обох пропозициях в однаковому розумінні, тоді принаймні одне з цих висловлювань має бути дурницею, що не брехнею, але дурницею. Тоді виникає питання, що ж являє собою той зміст, в якому можна сказати: 'Існують класи', або, іншими словами, що ж ви маєте на увазі висловлюванням, в яке, як здається, входять класи? Насамперед, що воліли б ви сказати про класах? Як раз те ж саме, що потрібно вам для того, щоб говорити про пропозіціональних функціях. Ви хочете сказати про пропозициональной функції, що вона іноді є істинною. Це те ж саме, як якщо про клас кажуть, що він має члени. Ви хочете сказати, що це істинно в точності для 100 значень змінних. Останнє однаково з тим, коли про клас кажуть, що він має сто членів. Все те, що ви хочете сказати про класи, однаково з тим, що ви хочете сказати про пропозіціональних функціям виключаючи випадкові і недоречні лінгвістичні форми, однак з певними застереженнями, які тепер повинні бути пояснені. 

 Візьмемо, наприклад, дві пропозіціональние функції, такі як 'х - людина', 'х - безперебі, двонога'. Обидві вони формально еквівалентні, тобто коли одна з них є істинною, такою є й інша, і навпаки. Дещо з того, що ви можете сказати про пропозициональной функції, не буде необхідно залишатися істинним, якщо ви на її місце підставите іншу формально еквівалентну пропозіціональному функцію. Наприклад, пропозіціональная функція 'х - людина' одна з тих, що повинні мати справу з поняттям людство. Останнє не вірно для 'х - безперебі, двонога'. Або, якщо ви говорите: 'Ото і той-то стверджує, що такий-то і такий-то є людиною', сюди входить пропозіціональная функція 'х - людина', але 'х - безперебі, двонога' - ні. Є багато такого, що ви можете сказати про пропозициональной функції, яка не була б дійсною, якщо б ви підставили іншу формально еквівалентну пропозіціональному функцію. З іншого боку, будь-яке висловлювання про пропозициональной функції, яка залишається істинною або залишається помилковою, залежно від обставин, коли ви підставляєте замість неї іншу формально еквівалентну пропозіціональному функцію, може розглядатися як що відноситься до класу, який асоціюється з пропозициональной функцією. Я хочу, щоб ви брали слова може розглядатися в строгому сенсі. Я використовую їх замість є, оскільки є було б невірним. 'Екстенсіональності' висловлювання про функції суть ті, що залишаються істинними, коли ви підставляєте будь-яку іншу формально еквівалентну функцію, і вони суть ті, що можуть розглядатися як відносяться до класів. Якщо у вас є будь-яке висловлювання про функції, яка не є екстенсіональним, ви завжди можете утворити з нього щось подібне висловом, яке є екстенсіональним, а саме, існує функція, формально еквівалентна розглянутій, щодо якої розглядається висловлювання є істинним. Це висловлювання, штучно утворене з того, з якого ви починали, буде екстенсіональним. Воно завжди буде однаково істинним або однаково помилковим для будь-яких двох формально еквівалентних функцій, і це похідне екстенсіональності висловлювання мо- жет розглядатися як відповідне висловлювання про пов'язаний з ним класі. Так, коли я кажу, що 'Клас людей має таку-то кількість членів', це означає: 'Існує така-то кількість людей у світі', останнє буде похідним від висловлювання, що 'х - людина' задовольняється таким-то кількістю значень х, і для того, щоб отримати його в екстенсіональной формі, його вважають таким способом, що 'Існує функція формально еквівалентна функції «х - людина", яка є істинною для такої-то кількості значеній'х'. Останнє я би визначив як те, що маю на увазі, кажучи: 'Клас людей має таку-то кількість членів'. Цим способом ви знаходите, що всі формальні властивості, які вам хотілося б бачити в класів, всі їх формальні вживання в математиці, можуть бути отримані без припущення, так сказати, що пропозиція, в яку символічно входить клас, дійсно містить конституенту, відповідну цьому символу , і будучи правильно проаналізованими, цей символ зникне тим же самим способом, як зникають дескрипції, коли правильно проаналізовані пропозиції, в які вони входять. 

 При більш звичайному погляді на класи є певні труднощі додачу до вже згаданим нами, і які дозволяються нашої теорією. Одна з них пов'язана з нульовим класом, тобто з класом, які не мають членів, який важко розглядати на чисто екстенсіональной основі. Інша пов'язана з одиничним класом. Зі звичайною точки зору на класи, ви сказали б, що клас, який має тільки один член, збігався б із самим цим членом. Останнє призвело б вас до страшних ускладнень, оскільки в даному випадку цей один член є членом даного класу, а саме, самого себе. Візьмемо, наприклад, клас 'слухачів лекції в Гордон Сквер'. Очевидно, це клас класів і ймовірно, це клас, що має тільки один член, і сам цей один член (до цих пір) містить більше одного члена. Стало бути, якби ви повинні були ототожнити клас слухачів лекції в Гордон Сквер з єдиним слухачем, наявними в Гордон Сквер, вам потрібно було б говорити як про те, що він має один член, так і про те, що він має двадцять членів, і ви впали б у суперечність, оскільки цей слухач має більше одного члена, але клас слухачів у Гордон Сквер має тільки один член. Взагалі кажучи, якщо у вас є будь-які збори багатьох об'єктів, що утворюють клас, ви в змозі сформувати клас, у якого даний клас буде єдиним членом, і клас, в якого цей клас є єдиним членом, буде мати тільки один член, хоча цей єдиний член і міститиме багато членів. Це одна з причин, чому ви повинні відрізняти одиничний клас від його єдиного члена. Інша полягає в тому, що якщо ви так не зробите, то виявите, що клас є членом самого себе, а це викликає заперечення, як ми бачили в даній лекції раніше. Я включив тонкощі, пов'язані з тим фактом, що дві формально еквівалентні функції можуть бути різних типів. Про способи трактування цього питання дивіться Principia Mathematica, стор.20 і введення, розділ III. 

 Я зовсім не сказав усього, що мав сказати на цей рахунок. Я мав намір заглибитися в теорію типів трохи далі. Теорія типів насправді є теорією символів, а не речей. У належному логічному мові вона була б абсолютно очевидною. Існуючі неприємності виростають з закоренілої звички намагатися називати те, що не може бути найменовано. Якби у вас був належний логічний мову, ви б не намагалися цього робити. Строго кажучи, найменувати можуть бути тільки індивіди. У тому сенсі, в якому індивіди існують, ви не в змозі сказати істинно або хибно, що існує щось ще. Слово 'існує' - це слово, що володіє 'систематичної двозначністю', тобто володіє строго нескінченним числом різних значень, які важливо розрізняти. 

 Дискусія 

 Питання: Чи можете ви розглядати всі ці класи, класи класів і т.д. як єдине ціле? 

 М-р Рассел: Все це фікції, але в кожному випадку різні фікції. Коли ви говорите: 'Існують класи індивідів', вислів 'існують' вимагає розширення і пояснення, і, записавши те, що дійсно мали на увазі або повинні були мати на увазі, ви знайдете, що воно являє собою щось зовсім відмінне від того, що ви думали. Ця процедура розширення та повного запису того, що мається на увазі, буде іншою, якщо ви перейдете до 'Існують класи класів індивідів'. Мається нескінченне число значень 'існують'. Оскільки мова йде про ієрархії класів, тільки перше є фундаментальним. 

 Питання: Мене цікавить, чи не аналогічно Чи це просторів, де перші три виміри дійсні, а більш високі виміру просто символічні. Я бачу, що різниця є, більш високі виміру існують, але ви можете розглядати їх як єдине ціле. 

 М-р Рассел: Є тільки одне фундаментальне значення, яке є першим, значення, що стосується індивідів, але перейшовши до класів, ви відійшли настільки далеко від того, що існує, як якби перейшли до класів класів. Насправді у фізичному світі класів не існує. Є індивіди, але не класи. Якщо ви говорите: 'Універсум існує', дане значення 'існує' буде абсолютно відмінним від значення, в якому ви говорите: 'Існують індивіди', і яке має на увазі, що 'пропозіціональная функція "х - індивід" іноді є істинною'. 

 Всі ці висловлювання є висловлюваннями про символи. Вони ніколи не відносяться до самих речей, і повинні мати справу з 'типами'. Останнє насправді є важливим, і я не повинен забувати говорити, що ставлення символу до того, що він означає, різному в різних типах. Я веду мову тепер не про ієрархію класів і т.п., але про те, що ставлення предиката до того, що він означає, відрізняється від ставлення імені до того, що позначає воно. Ні одного єдиного поняття 'значення', як зазвичай думають, так щоб ви в однаковому розумінні могли сказати: 'Все символи мають значення', але існує нескінченне число різних способів значення, тобто різних типів ставлення символу до сімволізіруемому7, які абсолютно різні. Наприклад, відношення пропозиції до факту зовсім добре від ставлення імені до індивіда, як ви можете бачити з того факту, що існує дві пропозиції, завжди відносяться до одного даним фактом, а з ім'ям це не так. Останнє демонструє вам, що ставлення, яке пропозиція має до факту, цілком відмінно від ставлення імені до індивіда. Ви не повинні припускати, що понад і крім цього існує спосіб, яким ви можете прийти до фактів, саме я їх. Ви завжди можете прийти до речі, на яку націлені, тільки за допомогою належного типу символу, що досягає її відповідним способом. Це реальна філософська істина, що лежить в основі всієї теорії типів. 

 Інформація, релевантна "VII. ТЕОРІЯ ТИПІВ І СИМВОЛИЗМ: КЛАСИ"

1. Підклас (підмножина)
     класів за допомогою певних операцій можна утворити новий клас. Основними операціями над класами є об'єднання класів (додавання), перетин класів (множення), освіта доповнення до класу (заперечення) і віднімання класу (різницю). {Foto7}
   
2. Марксистська теорія
     теорія відрізняється чіткістю і ясністю вихідних положень, логічною стрункістю і, безсумнівно, являє собою велике досягнення теоретичної думки. Для марксистської теорії характерна послідовний матеріалістичний підхід. Воно пов'язує виникнення держави з приватною власністю, розколом суспільства на класи і класовим антагонізмом. Суть питання марксизм висловлює у формулі
   
3. 1.5. Операції над класами (множинами)
     класи, або підмножини. Наприклад, клас «міст» включає в себе підклас «міст Росії», клас «річок» - підклас «річок Сибіру» і т. д. Поняття, з обсягу якого відбувається виділення підкласу, називається родовим, або родом; поняття, обсяг якого виділяється з родового поняття - видовим, або видом (наприклад, наука - родове поняття, хімія - видове). При розгляді операцій над класами
   
4. Освітою доповнення до класу (запереченням)
     класу А '(А), який включає елементи універсального класу, не належать Доповнює класу А. Щоб утворити додаток, потрібно клас А виключити з універсального класу: 1-А = А'. Наприклад, щоб утворити додаток до класу «студент», треба піддати цей клас заперечення. Отриманий клас "не-студент» є доповненням до класу «студент». Клас студентів, складений з класом
   
5. Відніманням класів (різницею)
     клас, що складається з елементів зменшуваного класу, не належать вичитала {foto17} класу. Наприклад: А / В А - клас «хімічний елемент». В - клас «метал». У результаті віднімання виходить клас, що складається з хімічних елементів, які не є металами. Властивості віднімання (різниці): А / А = 0 А / ІА = А ІА / А = ІА Операція віднімання (різниці) над класами, обсяги яких знаходяться в різних
   
6. Об'єднанням класів (складанням)
     клас, що складається з таких об'єктів, кожен з яких є елементом, принаймні, одного з доданків класів. Отриманий в результаті складання клас АІВ називається сумою. Наприклад: А - клас депутатів Державної Думи. В - клас юристів. AuB - клас, що містить всіх депутатів Держдуми і всіх юристів. - Властивості об'єднання (додавання): AuB = BuA AuB = l (lAnlB) AuO = A Au (BuC) = (AuB) uC
   
7. Перетином класів (множенням)
     клас, що складається із загальних множити класом елементів. Клас АПВ, отриманий в результаті множення, називаючи-ється твором. Наприклад, твором класів «студент» (А) і «шахіст» (В) є новий клас «студент-шахіст» (АПВ). При множенні множин, що у відношенні несумісності, виходить нульовий клас. Наприклад, множення класів «гуси» і «качки» дає порожній безліч,
   
8. 1.6. Основні закони логіки класів
     класами підкоряються певним законам. Обгрунтування окремих законів проводиться за допомогою кругових схем; при цьому кожному класу на круговій схемі відповідає певна площину. Результат операції, виконуваної в першу чергу, на схемах заштріховивается горизонтальною лінією, наступні - вертикальною. Закони додавання і множення 1. Закон ідемпотентності (подібності) - клас,
   
9. Розподілом класів (зворотним множенням)
     клас, що складається з певної частини подільних класів. - Операція поділу (зворотного множення) над класами, обсяги яких знаходяться в різних відносинах: рівнозначність: (АПВ): А = (АПВ): В = А = В {foto28} {foto29} Перетин (частковий збіг): (АПВ): А = В, (АПВ): В = А = (АПВ): А = В {foto30} ^ j = (AnB): B = A Підпорядкування: (АПВ): А = В, (АПВ): В = А (АПВ): А = В = (АПВ): В = А Ділення класів, обсяги
   
10. Клас (безліч)
      класом є клас всіх парних чисел; невизначеними; порожніми, тобто зовсім не містити елементів, і універсальними, які противополагаются порожнім класам і складаються з усіх об'єктів підлягає розгляду предметної