4. Аксіоми і теореми

дім, що це тісно пов'язано з положенням, що існують подібні трикутники - іншими словами, трикутники з однаковими кутами, але сторонами різної довжини. Ідея про існування подібних трикутників є однією з основоположних ідей, з якими ми підходимо до зовнішнього світу. Вона пояснює можливість існування фігур, які мають одну і ту ж форму, але різні розміри. На цьому грунтується наша віра в те, що істинне в малих масштабах може бути поширене і на великі масштаби, і навпаки. Ми віримо в це вельми наївним чином. Навряд чи у кого з учнів Може виникнути сумнів у тому, що доводити учителем істина про трикутниках, намальованих на класній дошці, є також істиною і про трикутниках великих розмірів, що не розумі-Рис. 8. щающую на дошці.

Однак перш, ніж іти далі, «відшліфуємо» наші пізнання в планіметрії. Ми можемо почати з аксіоми: якщо у нас є дві точки, А і Д, і якщо ми маємо дві прямі лінії, які з'єднують ці дві точки, то, на мові Евкліда, «між цими двома лініями немає ніякого простору». Іншими словами, якщо є дві точки, А і В (рис. 8), то існує тільки одна пряма лінія, що з'єднує їх. Це одна з перших аксіом в евклідової геометрії.

Але що таке точка? І що таке пряма лінія? У звичайній геометрії ці поняття визначаються неясно. Точка є те, що не має частин. З точки зору інтуїції це має певний сенс, але його важко використовувати. До цих питань ми повернемося пізніше. А зараз у нас є тільки неясна ідея точок і ліній.

Проте ми можемо відразу ж поставити питання: чи є аксіома, яку ми тільки формулювали, самоочевидною або вона такою не є?

У цьому виді вона не є самоочевидною, тому що вона означає таке: у точці А дві суперечать прямі лінії ніколи знову не зустрінуться (рис. 9). Якщо вдуматися, то на перший погляд поки * жется, що це інтуїтивно ясно, але як далеко йде нашу уяву в поданні прямих ліній? Я сказав би, що ледь на десять футів.

Рис. 9.

Ліній. Ми уявляємо, що відстань між ними буде збільшуватися. Але це і є справжній порочне коло, це значить сказати те ж саме - що розходяться лінії ніколи не зустрінуться. Якщо ж ми прослідкуємо дві «прямі лінії» на земній поверхні, то

вони, безумовно, зустрінуться на іншій стороні Землі. Коли думали, що Земля - площину, положення було ясним; але тепер ми знаємо, що це ілюзія, що немає способу відрізнити маленький відрізок сфери великого радіуса від площини. Так що того, що трапиться далі і далі на цих двох розбіжних "прямих лініях", ми насправді не знаємо; не існує інтуїтивного свідоцтва, що вони ніколи не зустрінуться знову. Наша аксіома в такому випадку є гіпотезою про проведення прямих ліній.

З цим пов'язано ще одне утруднення, більш складне: можуть сказати, що лінія, яка повертається до самої себе, не є пряма лінія, але якщо ми визначимо пряму лінію як лінію, яка ніколи не зустрічає саме себе, то отримаємо тавтологічну твердження - пряма лінія є пряма лінія. Чи є аксіоми тільки визначеннями? Якщо вони є тільки визначеннями, то ми ніколи не виведемо з них фізичні факти. Таким чином, існують два аспекти геометричних аксіом - «чисті визначення» і «гіпотези про фізичні об'єкти». Ми бачимо, що вже з перших аксіомою пов'язані багато труднощі.

Відзначимо, що з цієї першої аксіоми ми можемо вивести, що дві прямі лінії можуть мати або одну спільну точку, або жодної.

Перейдемо тепер до поняття «конгруентність». Розглянемо пряму лінію g, що містить дві точки, А і Б, і іншу пряму лінію містить точки А 'і ВЧТО ми маємо на увазі, коли говоримо, що два відстані, АВ і А'В «КОНГРЕВ-\ / Ентн»? Про двох сегментах \ / кажуть, що вони КОНГРЕВ-\ / Ентн, якщо їх можна со-* V вмістити.

У нас є також поняття конгруентних кутів. Дві прямі лінії визначають кут в наступних фігурах (рис. 10).

Кути конгруентний, якщо прямі лінії, що визначають їх, можуть бути суміщені. Два трикутника визначаються як конгруентні, якщо всі їх сторони і кути конгруентний; тоді ці трикутники можуть бути суміщені.

Таким чином, ми можемо сформулювати перший теорему конгруентності. Нехай ABC і А'В С '(рис. 11). будуть двома трикутниками.

Нехай АВ = А'В '\ кут CAB (

Рис. І.

або одну спільну точку, або жодної . Таким чином, трикутник ABC se з трикутником А'В'С '. Це означає, що ми могли б накласти трикутник ABC так, щоб поєднати його з трикутником А'В'С'. Отже, якщо АВ = с А'В ' і ass а ', р ^ р', то трикутники конгруентний. Це перша теорема конгруентності.

Інформація, релевантна "4. Аксіоми і теореми"

1. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
   аксіоматичного методу ще в IV столітті до нашої ери в його знаменитих "Засадах" 78. У ній наочно продемонстрована досяжність необхідно істинного знання. Тому багато видатних філософів, що відносяться до метафізики як дійсної науці, в тому числі Декарт, Гоббс, Спіноза намагалися застосувати до неї геометричний метод. Суть застосування цього методу полягала в тому, щоб вибрати
   
2. АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
   аксіоми два аспекти в розгляді р. а. -130-131; їх значення в системі ідей-124-125; одна пряма лінія між двома точками - 129 - 130; в критичному ідеалізмі-128; в раціоналізмі - 125-127; в емпіризмі - 126-127; дві точки зору наг.-159; аксіома паралельних ліній - 132-137; і достовірність теорем - 16J-162; евклидова р. порівняно з м. Лобачевського-156-157; обмеженість р. -
   
3. 1. Позитивна метафізика не має в кордонах теоретичного розуму предметної області
   аксіоми згортання, застосовуваної в логіцістскіх програмах відомості арифметики до логіки і виходить за межі математики. (По суті, ця аксіома формулює принципи виділення в світі класів предметів з будь-якого несуперечливо мислимому умовою). У символічному мовою логіки предикатів вона має наступний запис: 3 y V x ((x е y) - F (x)), де F (x) є несуперечливо мислиме
   
4. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
   аксіоматичного методу. Це самий абстрактний і найбільш уживаний метод вивчення математичних систем. При цьому основні елементи, зв'язки між ними, а також перетворення висловлювань приймаються без визначення як дані. Далі основні властивості структур фіксуються у вигляді вихідних тверджень - постулатів, аксіом. Усі наступні поняття визначаються через основні, а все нові
   
5. Теоретичні методи.
   аксіоматичний, системний метод і підхід та ін Сутність абстрагування полягає в уявному відволіканні від несуттєвих властивостей, відносин і зв'язків в об'єкті і між ними за одночасної фіксації окремих сторін, аспектів цих предметів у відповідності з цілями пізнання і завданнями дослідження, конструювання та перетворення. Результатом процесу абстрагування будуть абстракції -
   
6. Форми наукового пізнання.
   аксіоматизована теорії) або навіть стає теорією. Все залежить тут від рангу, рівня спільності гіпотези. Формально, гіпотеза - це судження або їх ціла пов'язана група, система суджень. Але справжня наукова гіпотеза ніколи не будується на порожньому місці. Вона пов'язана з усім знанням про предмет, міждисциплінарним знанням, начебто логіки і математики, і з них витікає. Іноді
   
7. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
   аксіоматичної формі і доказ певними «фінітними» методами, що отримана аксиоматизация несуперечлива. Крім Гільберта, в розробці програми в різний час при-нітрохи активну участь такі логіки і математики, як В. Аккер-ман, П. Бернайс, Г. Генцен, Дж. фон Нейман і Ж. Ербран. Програма Гільберта включає наступні тези: - Ні класична, ні логіцістская, ні
   
8. 2. Інтеллігибельного принципи і спостережувані факти в геометрії
   аксіом як інтеллігибельного принципів до їх ролі в XX столітті. Різні точки зору на науку можуть характеризуватися тим, яку роль вони приписують чуттєвого спостереження, логічного міркування і творчій уяві. Для того щоб зрозуміти це по відношенню до всіх наук, найкраще постаратися досягти повного розуміння якої-небудь однієї окремої науки. Як приклад візьмемо геометрію
   
9. 3. Судопроізводственних ПРИНЦИПИ АРБІТРАЖНОГО ПРОЦЕСУАЛЬНОГО ПРАВА
   Принцип диспозитивності. Основним рушійним початком арбітражного судочинства служить ініціатива що у справі осіб. Відповідно З принципом диспозитивності цивільні справи, за загальним правилом, виникають, розвиваються, змінюються, переходять з однієї стадії процесу в іншу і припиняються під впливом, головним чином, що у справі осіб. Принцип диспозитивності арбітражного
   
10. 46. Компетенція та функції уряду.
    Аксіомою для класичного державознавства, суворо дотримувався принципу поділу влади. Згідно традиційної теорії уряду довіряється виконавча влада, тобто йому ставиться в обов'язок дбати про належне виконання законів, прийнятих парламентом. 3.Контроль над законодавчою діяч-ністю парламенту фактично перетворився на самостійну функцію уряду.
    
11. 7. Об'єкт і предмет юридичної науки. Правознавство та государствоведение.
    Аксіоми, презумпції і фікції; 5) прогнози і практ. рекомендації щодо вдосконалення і розвитку ГІП. Якщо предмет юридичної науки - це поняття права в усіх аспектах його теоретико-пізнавального прояву і вираження, то предмет кожної окремої юридичної науки - який - або певний елемент юридичної відповідальності. ТГП підрозділяється на два відносно самостійно
    
12. 33. Правові принципи, правові аксіоми, правові презумпції, правові фікції.
    Аксіоми - не законодавчі норми, а специфічні різновиди правил (принципів), вироблених в ході тривалого розвитку юридичної теорії і практики. Презумпція означає припущення про існування (або настанні) будь-яких фактів, подій, обставин. В основі презумпції - повторюваність життєвих ситуацій. Отже, презумпції носять гаданий, прогностичний
    
13. § 2. Кримінальна відповідальність - феномен індивідуального правосвідомості
    аксіомою: чим ширше коло можливостей індивіда у виборі належного, дозволеного варіанту поведінки, тим вище ступінь відповідальності за свою поведінку, якщо воно суперечить велінням кримінально-правової норми. Кримінальну відповідальність слід розглядати як з позиції спонукальний мотив поведінки, мотівообразующіх-ющего фактора дії, так і з позиції заходи необхідного від індивіда поведінки. Іншими