|
Тепер ми набагато ближче до того, щоб довести, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам, але спочатку ми повинні довести важливу теорему про умови, за яких дві прямі лінії не перетинаються. Візьмемо пряму лінію до, яка перетинається в точці А інший прямої лінії g під кутом а. Потім припустимо, що Я. також перетинається в іншій точці В прямою лінією g 'також під кутом a (рис. 12). Ми хочемо довести, що дві прямі лінії g і g ', накреслені таким чином, ніколи не можуть перетнутися один з одним. Як можна це до-казать? Припустимо, що вони перетинаються праворуч від h в точці С. Тоді ми отримуємо трикутник ЛВС. Тепер, використовуючи теорему, що вертикальні кути конгруентний (що ми не довели), і слідуючи тому ж самому доказу, яке ми привели вище, бачимо, що наліво від h також повинен бути трикутник АВ, С \ конгруентний трикутнику ЛВС. Таким чином, якщо дві прямі лінії g і gf перетинаються з '< с
Ш - У
Рис. 12. на одній стороні від Л, то вони повинні також перетнутися і на іншій стороні; але це неможливо, тому що тоді були б дві точки С і С ', з'єднані двома прямими лініями g і g' \ отже, прямі лінії g і g 'ніколи не зможуть перетнутися один з одним. Як ми можемо довести, що сума кутів трикутника дорівнює 180 °? Зауважимо, що вищенаведене доказ не говорить, що тільки тоді, коли дві лінії g і g 'перетинають лінію h під одним і тим же кутом а, ці лінії ніколи не перетнуться. Лінія g 'може перетинати лінію h також і під будь-яким кутом а? (Не дорівнює розі а, під яким лінія g перетинає лінію / г), і все ж g і g 'можуть ніколи не перетнутися. Однак для того, щоб отримати теорему про суму кутів трикутника, ми повинні скористатися допущенням, що тільки в тому випадку, коли лінії g і g 'перетинають лінію h під одним і тим же кутом а, вони ніколи не перетнуться (рис. 13). У такому випадку ми говоримо, що g '«паралельна» g. Наше припущення називається «евклідової аксіомою», або «аксіомою про па-
і тільки одна пряма лінія g \« паралельна »g. Як g, так і gf перетинають до під одним і тим же кутом а.
Рис. 14. Тепер ми готові до доказу теореми про суму кутів будь-якого трикутника. Візьмемо трикутник ЛВС і через вершину З проведемо лінію, паралельну підставі АВ. Оскільки g паралельна g \ остільки АС перетинає g і g 'під конгруентними кутами а (рис. 14). НД перетинає g і g 'під конгруентними кутами {3, Оскільки g' є пряма лінія, остільки кут а + кут т + кут {3-180 °, або двом прямим кутам.
Але ці кути ті ж самі, що і в трикутнику, так що, який би трикутник ми не взяли, сума кутів а + 0 + = 180 °, або двом прямим кутам. Для того щоб прийти до цього висновку, нам, очевидно, необхідна аксіома Евкліда. Спочатку ми довели, що якщо дві прямі лінії g і gf перетинають лінію h під одним і тим же кутом а, то вони ніколи не зможуть перетнутися один з одним. Але в цьому нашому доказі ми використовували теорему, що якщо дві прямі лінії g і gf перетинаються, то вони повинні перетинати поперечну лінію під одним і тим же кутом. Інакше може існувати лінія g ", яка перетинає. Л під іншим кутом і все ж ніколи не перетнеться з g. Для виключення цієї можливості ми повинні скористатися евклідової аксіомою: лінія g't перетинає іншу пряму під тим же самим кутом, що і лінія g , є єдина лінія, яка ніколи не перетнеться з g.Це дуже важливий момент. Теорема про те, що сума кутів трикутника дорівнює 180 °, передбачає виконання евклідової аксіоми. Вона відіграє особливу роль для різних висновків . Ми побачимо, що якщо цю аксіому не прийняти, то порушується не тільки закон щодо суми кутів трикутника, але, набагато більше того, руйнуються і наші погляди на всесвіт. Я вже згадав положення, що для кожної фігури існують подібні фігури; якщо ми допустимо евклидову аксіому, то це положення легко може бути доведено. Візьмемо трикутник ABC. Через точку D на стороні АС проведемо паралельну осно-ванию АВ. Якщо ми допустимо, що аксіома про паралельні лінії істинна, то кути біля основи малого трикутника CDE рівні відповідно кутах у основи великого трикутника ABC, як це показано на рис. 15. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °, остільки ми отримуємо малий трикутник CDE з тими ж самими кутами, що і в більшому трикутнику ABC. Ці два трикутника мають одну і ту ж форму, тому що вони мають одні й ті ж кути, але відрізняються один від одного за величиною. Якби ми не знали, що аксіома про паралельні лінії істинна, або якби ми знали, що вона не істинна, ми не могли б побудувати цього доказу. Таким чином, якщо аксіома про паралельні лінії не вірна, то ми не можемо довести існування подібних - фігур. Ці два положення виключають один одного. Але чи можемо ми довести, що аксіома про паралельні лінії істинна? Мабуть, не можемо, С
Рис. 15. А
інакше вона не була б аксіомою. У такому випадку логічно ми можемо сформулювати протилежну аксіому.
Що випливає з того, що кути трикутника в сумі не рівні 180 °? Одне ми можемо визначити відразу, без складних обчислень. Візьмемо рівнобедрений трикутник ABC (рис. 16) . Якщо сума кутів дорівнює180 °, то кут ABC = 60 °. Тепер розділимо трикутник на дві рівні частини, опустивши медіану з вершини С. Питання в наступному: чи буде сума кутів в кожному з малих трикутників та ж, що і у великій? Відповідь буде ствердна, оскільки 60 ° + 30 ° + 90 ° = 180 °. Якщо ми тепер припустимо, що сума кутів трикутника не дорівнює 180 °, то ми побачимо, що сума кутів в малому трикутнику повністю відрізняється від суми кутів у великому трикутнику. Візьмемо знову рівнобедрений трикутник, де кути біля основи дорівнюють 60 ° (рис. 17). Припустимо, що сума кутів в цьому трикутнику дорівнює 160 °. Тоді кут АСВ дорівнює 40 °. Розділимо цей трикутник на дві рівні частини, опустивши медіану на АВ. Ми побачимо тоді, що сума кутів в кожному з двох малих трикутників дорівнює лише 170 °. Якби ми досліджували характер зміни суми кутів трикутника, то побачили б, що чим менше стає трикутник, тим більша сума його кутів наближається до 180 °. У тому випадку, де сума кутів трикутника менше 180 °, опишемо не саму суму кутів, а різницю між цією сумою та 180 ° - те, що називається «дефект» (defect). Інакше кажучи, дефект дорівнює [180 ° - (<* +? +7)]. У великому трикутнику (рис. 17) дефект дорівнює 20 °. У малому ж трикутнику він дорівнює тільки 10 °. Між площею трикутника і його дефектом є дуже просте ставлення. Площа В
Рис. 16. / 20 ° 2 о \ / 60 ° 90 ° 909 6о \ Рис. 17. кожного з малих трикутників дорівнює половині площі великого трикутника , а дефект кожного з малих трикутників дорівнює половині дефекту великого трикутника. У дуже маленьких трикутників дефект наближається до нуля. Дуже маленький трикутник поводиться так, як якби аксіома Евкліда була вірна. Це може бути доведено дуже загальним способом; тут ми привели тільки кілька прикладів для ілюстрації цього. Якщо ж аксіома Евкліда не вірна, то не існує подібних трикутників, а малі трикутники поводяться інакше, ніж великі. З цієї причини дуже важко перевірити за допомогою вимірів, дорівнює чи взагалі сума кутів трикутника 180 °.
|
- АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
евклидова р. порівняно з м. Лобачевського-156-157; обмеженість р. - 248 - 251; і причинні закони - 433-435; просторова інтуїція а. - 161; світлові промені - 164; фізична інтерпретація - 156-159, 164-165; інтеллігибельного принципи і спостережувані факти в р. - 122-125; «істинність» пропозицій в р. - 143 -147; значення геометричних термінів - 144-145; математичне доказ-
- 6. Неевклидова геометрія
евклидову аксіому, то побудована на цій аксіомі геометрія називається евклідової геометрією. Якщо ж ми відкинемо аксіому Евкліда і замінимо її іншою аксіомою, то побудована на цій аксіомі геометрія називається неевклідової. Якщо відкинути аксіому Евкліда, то будуть дві можливості. Ця аксіома стверджує, що пряма лінія, яка має хоча б найменші відхилення від g '(рис. 18), з тією
- 1. Роль причинності в науці XX століття
евклідові геометрії; та аналіз ньютоновокой механіки Махом не виявляється свого справжнього значення, поки фізики не прийняли теорії відносності Ейнштейна. З цих же причин ретельний аналіз причинності почав привертати увагу і став потрібним тільки до кінця XIX століття, коли зароджувалася сучасна атомна фізика; це принесло радикальна зміна в законах руху, це виразилося в бурхливому
- 6 . «Теорія відносності» є фізична гіпотеза
евклідової аксіоми про паралельні аксіомою Лобачевського, зберігаючи в той же час теорему, що сума кутів прямокутного трикутника не залежить від величини трикутника і дорівнює двом прямим. Тоді, звичайно, твердження планіметрії про прямі лініях і кутах утворювало б внутреннепротіворечівую формальну систему. Це самопротіворечіе можна усунути двома способами - чисто формальним
- Об'єкт і суб'єкт пізнання.
евклидово-ньютонівської схемою можливо на тривалих історичних етапах, відповідь буде негативною. Логічно бездоганна конструкція, яка виходить з навмання взятих посилок, сама по собі беззмістовна. Вона може бути цікавою головоломкою, розумової гімнастикою, грою, але якого-небудь відношення до конкретних явищ, до властивостей світу, в якому ми живемо, результати інтелектуальних ігор
- 4. Аксіоми і теореми
евклідової геометрії. Але що таке точка? І що таке пряма лінія? У звичайній геометрії ці поняття визначаються неясно . Крапка є те, що не має частин. З точки зору інтуїції це має певний сенс, але його важко використовувати. До цих питань ми повернемося пізніше. А зараз у нас є тільки неясна ідея точок і ліній. Однак ми можемо відразу ж поставити питання : чи є
- 1. До Галілея і Ньютона
евклідової і неевклідової геометрією не надто вплинуло на застосування геометрії до технічних проблем. Історія ж механіки розкриває великі відмінності між сучасною механікою (з XVII століття) і більш ранніми теоріями. Ця історія дуже добре описана в книзі Герберта Баттерфйльда «Джерела нової науки» («The Origins of Modern Science»). У наш час ньютоновская механіка застосовується у всіх
- 11. Концепція геометрії XX століття
евклідової геометрії, а тим, що промені відхилилися внаслідок дії до цього часу невідомого закону фізики. З подібних міркувань Пуанкаре уклав, що ми можемо перевірити, задовольняють або не задовольняють світлові промені евклідовим аксіомам, тільки в тому випадку, якщо знаємо всі фізичні закони, що стосуються світлових променів. Інакше ми ніколи не зможемо з допомогою експерименту встановити,
- 10. Операціональні визначення в геометрії
евклідової геометрії? Строго кажучи, немає; це буде підтвердженням «спеціальної фізичної інтерпретації евклідової геометрії». Якщо ми знайдемо «прості» об'єкти, мають для нас деяке значення, які задовольняють аксіомам евклідової геометрії, то ми скажемо, що евклідова геометрія « істинна »в тому сенсі, що вона має для нас певне практичне застосування. Неможливо
- 4. Причинний закон і статистичний закон
евклідової геометрії, і фізичної операцією, за допомогою якої таку відстань вимірюється і за допомогою якої можна перевірити, чи дійсно дві точки поділяються точно визначеним відстанню. Пам'ятаючи це, ми будемо аналізувати різницю між причинним і статистичним законом, використовуючи приклад з матеріальною точкою, що має певне початкове положення і певну початкову
- Християнство
аксіомами, а біблійні тексти отримали у всякому суді силу закону ... " . Не слід забувати, що становлення релігійної догматики відбувалося в найгострішій і запеклу боротьбу. Це був час великих єретичних рухів або скоріше великих доктринальних коливань, бо ортодоксія була ще далека від закінченості. Протягом IV в. відбувався відбір священних книг християн, а також тих, які
- Структура наукового пізнання
евклідової геометрії, які всі ми вивчали в школі. Однак навіть у геометрії не все так просто, а "очевидність" евклідових аксіом уявна. Так, неевклідова геометрія, геометрія Лобачевського - Рімана побудована на прямо протилежних аксіомах (а сучасна фізика стверджує, що метрика простору неевклідова!). Чому так відбувається? Справа в тому, що послідовне проходження принципу
- 2.1. Лімологія: традиційні підходи та методи географічних досліджень державних кордонів
паралельних ліній. Чим частіше змінювалася межа, ніж вона «молодше», тим, як правило, сильніше вона впливає на життя навколишніх територій, тим більшу роль відіграє у взаєминах сусідніх країн. - Зв'язок між державним устроєм, політичним режимом і конкретної зовнішньополітичною орієнтацією держави, з одного боку, і функціями кордону - з іншого. Відомий французький географ Жак
- 2.1. «НОВА ФІЛОСОФІЯ» В КОНТЕКСТІ постмодернізму
паралельне існування всіх часів і можливостей. У свою чергу, ідея плюралізму, різноманіття в єдності, потребує безлічі теоретичних уточнень, роз'яснень, і тому вона тримається неймовірними зусиллями мислення самих філософів: найменший зсув у бік «єдності» означає повернення до жорсткості доктринального монологізму; акцент на різноманіття миттєво трансформує плюралізм
- Філософія Стародавньої Греції.
аксіомах. При дослідженні сильно взаємодіючих частинок - адронів - з'ясувалося, що "життя" адрону включена в існування цілого сімейства адронів, в якому панує "ядерна демократія", так як жодна частинка не займає особливого, центрального положення. Число можливих поєднань, структур, "ступенів свободи" в сімействах адронів нескінченно. Потім фізика розповсюдила цей висновок на всі
- Форми наукового пізнання.
аксіоматизована теорії) або навіть стає теорією. Все залежить тут від рангу, рівня спільності гіпотези. Формально, гіпотеза - це судження або їх ціла пов'язана група, система суджень. Але справжня наукова гіпотеза ніколи не будується на порожньому місці. Вона пов'язана з усім знанням про предмет, міждисциплінарним знанням, начебто логіки і математики, і з них витікає. Іноді
- 3. Декарт, Мілль і Кант
евклідової формулюванні цієї аксіоми, «дві точки визначають одну і тільки одну пряму лінію») є індукцією із очевидних свідчень наших почуттів »Ми бачимо, що аксіоми геометрії, які розглядалися як найяскравіші приклади аристотелевских інтеллігибельного принципів, згідно емпірико Мі Ллю, є результатами чуттєвих спостережень. З одного боку, що виводяться з принципів
|