Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002 - перейти до змісту підручника

5. Епістемологізація філософії математики

Мабуть, слід сказати, що подолання стагнації у філософії математики в останні два десятки років було пов'язано з філософськими тенденціями. Головною обставиною тут є те, що філософія математики є частина філософії, і на ній відбиваються всі ті тенденції, які властиві всієї філософії. Філософія навіть щодо елементарних гілок математики - це така дисципліна, в якій ясно фокусуються теорії про природу мови, знання, вказівки і істини. Саме ця обставина робить дослідження в філософії математики важливим видом філософського дослідження. Стало очевидно, що традиційна філософія математики зіткнулася з дилемами, зумовленими сучасною теорією пізнання, і, стало бути, ми маємо справу з епістемологічних ухилом у філософії математики.

Можливі два подання того, що було зроблено у філософії математики останнім часом. Одне намагалося пов'язати нові дослідження з традиційними напрямами-логіцізма, формалізмом і інтуїционізма, тобто представити нові напрямки як реакцію на традиційні. Інше пов'язане безпосередньо з епістемологічної тенденцією, викликаної до життя постановкою важливої проблеми П. Бенацеррафом в його роботі Математична істина? 5.

Дилема формулюється таким чином: якщо математика являє собою дослідження об'єктивних ідеальних сутностей і якщо когнітивні здібності людини дозволяють йому пізнавати тільки чуттєві об'єкти, то як він може пізнавати математичні об'єкти? Апеляція до пізнання чуттєвих об'єктів передбачає абсолютно певну концепцію пізнання - так звану причинний теорію пізнання. Можна заперечити, що це не єдина теорія, і худа дилема втрачає сенс. Однак можна переформулювати дилему таким чином, що вона не буде спиратися на специфічну теорію пізнання. Дилема ставить перед нами вибір: або заперечувати, що математика говорить про числа, або припускати деякі неприродні здібності людини щодо збору інформації. Оскільки обидві можливості не виглядають привабливими, робилися різні спроби вирішити дилему. Багато дослідників погоджуються, що при обговоренні епістемологічних питань доводиться вирішувати і головний онтологічний питання про існування математичних сутностей, і вирішувати його треба так, щоб не потрібно було жертвувати стандартної математикою, як це відбувається при традиційному номиналистическую підході. Але як нам здається, епістемологічний виклик філософії математики, ініційований Бенацеррафом, прийнятий як того, що можна назвати локальною парадигмою цієї галузі філософії.

Превосходно «епістемологічний поворот» у філософії математики висловив У. Харт: «Під час заходу чуттєвих даних і аналітичності епістемологія як ніби втратила горде місце центру посткритическую філософії і, ймовірно, сучасної філософії взагалі. З підйомом семантики і відродженням онтології епістемологія начебто закотилася. Фреге повалено, і майже всі відчувають, що давнина більш доречна, ніж сучасність. Але навіть якщо епістемологія заслуговує пару стусанів, тим не менш, вона залишається повноправним громадянином філософської республіки. Причини цього очевидні. Деякі з найглибших проблем філософії складаються з примирення природних, але несумісних епістемологій та он-тологіі. Наприклад, не випадково, що є проблеми інших умів і проблема співвідношення розуму і тіла. Але ніде такий конфлікт не є більш древнім, ніж у філософії математики. Для співчуваючого читача Менона або Бенкету або ж середини Держави повинно бути ясно, як Платон героїчно бореться у пошуках правдоподібною епістемології для теорії форм. Платонізм здається ясним, коли ви думаєте про математичної істини, але неможливим, коли ви думаєте про математичному пізнанні. І звичайно, епістемологія не вмерла в нашому столітті; вона просто змінилася. Причинність, холізм, і натуралізація витіснили чуттєві дані і аналітичність. Так що треба вітати переформулювання основних положень епістемології математики. Інтелектуальним боргом є не тільки прогрес в галузі математичної логіки, але прогрес в епістемології математики »47.

Епістемологізація математики може розглядатися насамперед як реакція на філософськи скрутну позицію платонізму. Традиційно платонізм вважався спірним онтологічно, тобто як доктрина про існування поза і незалежно від розуму об'єктів, що мешкають в сфері ідеального. Епістемологічної заперечення проти платонізму, сформульоване чітко Бенацер-Рафом, робить упор на неможливості епістемологічного доступу до такого роду об'єктів.

Іншими словами, якщо ми визнаємо математичне знання істинним, і його об'єкти існуючими, тоді незрозуміло, як ми отримуємо це знання, не маючи чуттєвого контакту з цими об'єктами. У такого роду аргументації, звичайно, важливо, що власне мається на увазі під пізнанням об'єктів. Таким чином, ми маємо деякі обриси епістемологічного підходу до спростування платонізму.

У певному сенсі вся історія філософії математики пов'язана з боротьбою проти платонізму, і оскільки це підприємство не можна назвати особливо успішним, виникають сумніви щодо того, чи можна взагалі знайти рішення цієї проблеми, тобто чи можна вважати, що є серйозні аргументи за чи проти платонізму, Причому ситуація тут несиметрична, оскільки платонізм є «навмисній» філософією математиків, в той час як антіплатонізм - результат здебільшого (якщо виключити інтуіціонізм) філософських досліджень. Тому кожен антіпла-тоністскій крок увазі власну стратегію та класифікацію альтернативних рішень. У цьому зв'язку досить цікавим видається підхід М. Балагера, який вважає, що ретельний аналіз технічних аргументів не дає підстав вважати, що вони рішуче свідчать на користь платонізму або антіплатонізма48. У наступному нижче огляді епістемологічних аргументів ми суттєво спираємося на цю роботу.

Балагер вважає, що робота Бенацеррафа Математична істина, яка, за загальним визнанням, викликала до життя епістемологічні програми спростування платонізму, з'явилася не більше як інспірації, оскільки в ній були сплутані різні проблеми. Зокрема, Бенацерраф зробив упор на несумісності семантики Тарського для математичних мов з причинного теорією пізнання. Недолік такого підходу полягає в тому, що математичні мови можуть володіти й інший семантикою, наприклад, подстановочной49, а причинний теорія пізнання не є єдиною або виділеної серед інших теорій50. Проте, корисно представити аргументацію Бенацеррафа в наступному вигляді: 1.

Люди існують у просторі і часі. 2.

Якщо існують абстрактні математичні об'єкти, то вони існують поза простором і часом.

Отже, згідно причинного теорії пізнання, 3.

Якщо існують абстрактні математичні об'єкти, тоді людські істоти не можуть мати до них пізнавального доступу.

Отже, 4.

Якщо математичний платонізм вірний, тоді людські істоти не можуть мати до них пізнавального доступу. 5.

Людські істоти мають-таки математичне знання. Отже, 6.

Математичний платонізм не вірний.

Це дещо допитливий аналіз аргументації Бенацеррафа можна було б замінити одним пунктом 3, який концентрується навколо більш загальної проблеми, як пізнаються абстрактні об'єкти. Причинна теорія пізнання стверджує; що для того, щоб суб'єкт Л знав р, необхідна наявність причинного зв'язку між А і р, відповідним чином встановленої. Оскільки встановлення причинного зв'язку між суб'єктом і абстрактними об'єктами проблематично, аргументація прихильників платонізму спрямована проти причинного теорії пізнання. Проблематичність ця не вбачається містично налаштованими мислителями, наприклад, К. Геделем, але в цілому її усвідомлює більшість філософів-платоністов.

Як вказує Балагер, розмова про причинний теорії пізнання лише ускладнює ситуацію, оскільки можна обійтися без неї, вважаючи, що висновок (6) прямо випливає з посилок (1) і (2). Дійсно, людські істоти і абстрактні об'єкти не перетинаються, мешкаючи в різних світах, що відповідає інтуїції. Однак факт пізнання математичних об'єктів у наявності, оскільки ми маємо ие тільки стрункі (хочеться сказати, несуперечливі) математичні теорії, але і вкрай успішне застосування математики в природничих науках. Це так званий аргумент про необхідність (indispensability) математики, який грає важливу роль в захисті платонізма51. Висновок (3) можна піддати сумніву трьома різними шляхами. По-перше, можна оголосити неправдивої посилку (1). Це означає, що людські істоти можуть мати доступ до абстрактних об'єктів, що стверджував, як вже було сказано вище, К. Гедель. Погляди Геделя з цього приводу вкрай туманні, а їх інтерпретація грунтується на часто приводиться цитаті з доповнення до другого видання його статті Що таке континуум-гіпотеза? '. «... Об'єкти трансфинитной теорії множин ... не належить до фізичного світу і навіть їх непряма зв'язку з фізичним досвідом є дуже невизначеною (головним чином тому, що тео-Ретик-множинні концепції відіграють незначну роль в сучасних фізичних теоріях).

Але всупереч їх віддаленості від чуттєвого досвіду, ми маємо щось подібне відчуттю і у випадку об'єктів теорії множин, що видно з факту, що аксіоми змушують нас визнати їх істинність. Я не бачу ніяких резонів для того, щоб відчувати меншу довіру до цього виду сприйняття, тобто до математичної інтуїції, ніж до чуттєвого сприйняття, яке спонукає нас до побудови фізичних теорій і очікуванню, що майбутні чуттєві сприйняття будуть узгоджені з ними ... Слід зауважити, що математична інтуїція не повинна розглядатися як здатність отримання безпосереднього знання відповідних об'єктів. Швидше, як і у випадку фізичного досвіду, ми утворюємо наші ідеї про цих об'єктів на підставі чогось ще, що дано нам безпосередньо. Тільки це щось не їсти відчуття, і не головним чином відчуття. Те, що це щось крім відчуттів дійсно дано нам безпосередньо, випливає з того факту, що навіть наші ідеї щодо фізичних об'єктів містять констітуенти, якісно відмінні від відчуттів або просто їх комбінацій, наприклад, ідея самого об'єкта, тоді як, з іншого боку , в нашому мисленні ми не можемо створити якісно нових елементів, і можемо лише відтворити і скомбінувати тільки те, що дано. Очевидно, що "дане" в математиці близько співвідноситься з абстрактними елементами, кото-які містяться в наших емпіричних ідеях »52. Ця довга цитата наведена тут повністю для того, щоб можна було переконатися в деякій розпливчастості бачення проблеми Геделем (до речі, тут видно вплив філософії Гуссерля, якого Гедель вивчав особливо ретельно).

Одразу слід зазначити, що зараз мало хто вважає точку зору Геделя прийнятною, вважаючи її дивною і занадто метафорично. Більш точне формулювання його уявлень включає наступні твердження: по-перше, математична інтуїція аналогічна чуттєвого сприйняття, по-друге, математична інтуїція включає інформаційний обмін між абстрактними математичними сутностями і людьми, по-третє, теза (1) хибна.

З точки зору здорового глузду спроба оголосити помилковим твердження про те, що людські істоти не виходять за межі простору і часу, віддає містикою. І справді, «Гедель поділяв з Ейнштейном певний містичний поворот думки ... Я запитав його [Геделя], чи вірить він, що Розум є скрізь, на противагу локалізованим мізкам окремих людей. І Гедель відповів: "Звичайно. Це основне містичне вчення" »53.

Абсолютний Розум, або окремі уми, мають нематеріальний, і стало бути, позапросторовий і позачасовий характер. Тоді заперечення платонізму на основі причинного, чи якоїсь іншої теорії пізнання, яке зводиться до того, що важко уявити собі потік інформації від абстрактних об'єктів до людських істот, стає начебто менш серйозним, оскільки людські істоти замінені нематеріальними умами. Однак така заміна не рятує платонізм, тому що передача інформації, яка є процесом причинним, від абстрактних об'єктів до нематеріальних умам не менше загадкова в порівнянні з передачею інформації від абстрактних об'єктів до людських істот.

Таким чином, крайній платонізм у версії Геделя неправдоподібний, і пояснення інтуїції як засобу пізнання слід шукати на іншому шляху. Недарма Гедель значну частину часу приділив вивченню філософії Канта і Гуссерля, в роботах яких інтуїція займає важливе місце. Іншими словами, ідея контакту з іншими світами не проходить. Втім, незважаючи на те, що ці ідеї виходили від настільки авторитетного вченого, як Гедель, їх ніхто не брав і не бере всерйоз.

 З точки зору логіки цілком можлива захист платонізму шляхом визнання помилковим пункту (2), тобто відмова від твердження, що абстрактні математичні об'єкти існують поза простором і часом. Саме такою є позиція П. Медді, описана вище. На сьогоднішній день Медді відмовилася від свого в достатній мірі радикального реалізму на користь натуралізму. Менш радикальним рішенням у виробленні стратегії захисту платонізму є визнання (1) і (2) з одночасною відмовою від того, що з цих тверджень слід (3), а саме, що якщо існують абстрактні математичні об'єкти, тоді людські істоти не можуть мати до них пізнавальний доступ. Більшість дослідників дотримується саме такої стратегії. Найбільш грунтовна аргументація в цьому напрямку представлена В. Куайном. 

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "5. Епістемологізація філософії математики"
  1. Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002

  2. Асмус В.Ф.. Проблема інтуїції у філософії та математики. (Нарис історії: XVII - початок XX в.) М.: Думка - 315 с., 1965

  3. ПЕРЕДМОВА
      епістемологізацію філософії математики. Величні філософські програми X. Патнема, засновані на математичних результатах, зайняли важливе місце в книзі. Справжніми героями наративу можна назвати Г. Кантора, Е. Цермело, Т. Сколема, ідеї яких зіграли найважливішу роль у становленні філософії математики, але якось відійшли на задній план в панівної парадигмі. Перегляд парадигми в
  4. IV. ЛОГІКА АБО МАТЕМАТИКА
      філософські питання зачіпають як філософію математики, так і філософію логіки, і ми не будемо намагатися розвести ці дві дисципліни
  5. Передмова
      філософії математики прийнято відносити питання, що стосуються обгрунтування математики як науки. XX століття було унікальним часом, коли проблема обгрунтування математики вважалася однією з найбільш пріоритетних, і кращі математичні уми витратили чимало часу на пошуки її адекватного рішення. У результаті були отримані фундаментальні результати, що мають видатне філософське значення. У посібнику
  6. Поняття завершеною аксіоматики
      філософії науки. Його можна назвати також системним, оскільки математика розглядатиметься тут як історично розвивається і самоорганізується. Від аналізу структури математичної теорії ми переходимо до аналізу історичних стадій її розвитку, до дослідження логіки її становлення. Ідея онтологічної істинності при такому підході стає несуттєвою. В основі нашого
  7. Рекомендована література 1.
      філософії в короткому викладі. Пер. з чеського Богута І.І. - М., 1991. 2. Історія сучасної зарубіжної філософії. -СПб, 1997. 3. Дж. Реалі, Д.Антісері. Західна філософія від витоків до наших днів. -СПб, 1994. 4. Курбатов В.І. історія філософії. -Р / Д, 1997. 5. Переведенцев С.В. Практикум з історії західноєвропейської філософії (античність, середньовіччя, епоха Відродження). -М., 1999.
  8. 42. Предполаганіе і передування
      математики в слабкому сенсі, оскільки вона за «* ає лінгвістичні рамки для математичних рассу-кденій і контролює математичні висновки. Однак-раси (з дозволу) логіцізма-логіка не передує математики в сильному сенсі, тобто її недостатньо для побудови математики. Справді, кожна, навіть найбідніша математична теорія (наприклад, теорія часткового упорядкування) має по
  9. Бертран Рассел логічного атомізму 5
      філософії і тому школи повинні скоріше характеризуватися своєю логікою, ніж метафізикою. Моя власна логіка є атомістичної і саме цей аспект я хотів би підкреслити в ией. Таким чином, я вважаю за краще називати мою філософію скоріше «логічним атомізму», ніж «реалізмом», з деяким прикметником илн без нього. В якості введення може бути корисно сказати кілька слів про
  10. Передмова
      філософів і філософськи мислячих вчених. Довгий час в математиці хотіли знайти ідеал теоретичної науки, канон для побудови всякого доказового (у тому числі і філософського) знання. Ідея математики як строгої науки знайшла вираження у філософських вченнях минулого: у Платона, Августина, Декарта, Лейбніца, Канта. Проте вже з середини XIX століття в теорії пізнання стали з'являтися ідеї про
© 2014-2020  ibib.ltd.ua