4. Платонізм як філософія працюючого математика

Якщо платонізм як «робоча» віра математика не викликає у нього ніяких сумнівів, то в філософському відношенні платонізм обтяжений масою неприємних аспектів. Перш за все, дуже проблематично поняття існування в нематеріальному світі, яке притаманне широкому спектру філософських вчень, відомих під назвою «ідеалізм». Історично, ідеалізм як оформлене Пифагором і Платоном філософське вчення мотивувався математикою. «Захопленість Піфагора математикою поклала початок ...

Теорії універсалій. Коли математик доводить свою теорему про трикутниках, то він говорить не про якусь конкретну фігурі, десь намальованою, він говорить про те, що існує в його голові. Так починає проявлятися відмінність між розумовою і чуттєвим. Більш того, доведена теорема правильна без застережень і на всі часи. Звідси лише один крок до точки зору про те, що тільки розумовий - реально, зовсім і вічно, в той час як чуттєве - позірна, недосконале і швидкоплинне »37. «Я вважаю, що математика є головним джерелом віри у вічну і точну істину, як і в надчуттєвий інтелігібельний світ. Геометрія має справу з точними колами, але жоден чуттєвий об'єкт не є точно круглим ... Це наштовхує на припущення, що всяке точне роздум має справу з ідеалом, протистояли чуттєвих об'єктів. Природно зробити ще один крок вперед і доводити, що думка шляхетніше почуття, а об'єкти думки більш реальні, ніж об'єкти чуттєвого сприйняття. Містичні доктрини з приводу співвідношення часу і вічності також отримують підтримку від чистої математики, бо математичні об'єкти, наприклад, числа (якщо вони взагалі реальні), є вічними і позачасові. А подібні вічні об'єкти можуть бути в свою чергу витлумачені як думки Бога »38. З цих цитат Рассела видно, наскільки «важкі» для філософії слідства має математика. Саме їх цих посилок виросли філософські уявлення про природу математики, відомі під назвою «платонізм». Сама по собі філософія платонізму викликає безліч заперечень знову-таки чисто філософського спрямування. Але коли незабаром математика відіграє найважливішу роль у цій філософії, виникає питання, якою мірою математика відповідальна за ті неприйнятні з філософських підстав положення, які властиві платонізму.

Зокрема, платонізм в області математики стверджує існування іншого, нематеріального, світу, населеного математичними об'єктами. Виникають питання про те, де знаходиться цей світ, як увійти в зіткнення з ним, як може наша мова вказувати на об'єкти цього світу, якщо вони не є чуттєво сприймаються об'єктами. Платоністов наполягають на тому, що люди мають внечувственное усвідомлення математичних структур, зване часто інтуїцією математика, і що за допомогою інтуїції ми входимо в контакт з математичними сутностями.

Вся ця картина найвищою мірою скрутна для її сприйняття натуралістично налаштованим розумом. Натуралізм припускає, що людське пізнання спирається на різного роду когнітивні здібності людини, які вироблені в процесі еволюції, і тому будь-які пізнані структури об'єктивного світу повинні мати природне походження. А з точки зору пла-тоніста математика вивчає не цей світ, а світ позапростір-них, позачасових, що не створених свідомістю сутностей, який недоступний нашим почуттям.

Реакція проти платонізму приймає різні форми. Є заперечення, засновані на тому, що платонізм є результат схильності математиків до позачасовим і внепространственность сутностей, що йде врозріз з природними науками, де вивчаються сутності, що знаходяться в просторі і в часі. Більше того, деякі філософи вважають, що така пристрасть математиків має деякий нормативний характер, виражає певною мірою цінності математиків. Так, Р. Нозік стверджує: «Деякі математики мають забобони, що виражаються в перевазі незмінних і вічних математичних об'єктів і структур, які вивчаються ними. Хоча ця традиція має поважний вік, важко зрозуміти, чому незмінне або вічне більш цінно або значимо, чому тривалість сама по собі повинна бути важливою. Розглядаючи ці речі, люди говорять про вічне і незмінне, і ця розмова включає (крім Бога) числа, множини, абстрактні ідеї, сам простір-час. Невже краще бути однією з цих речей? Це дивне запитання: як може бути конкретна людина абстрактним об'єктом? Чи можна хотіти стати числом 14 або Формою Справедливості або порожнім безліччю? Хотів чи хто-небудь мати таке існування, яке приписується безлічі? »39.

Інші філософи заперечують платонізму на тій підставі, що він беззмістовний вже по своїй постановці питання. Так, А. Сломан скептично оцінює позицію платонізму Р. Пенроуза. «Все, що він говорить, полягає в тому, що математичні істини і концепції існують незалежно від математиків, і що вони відкриваються, а не винаходяться. Це позбавляє платонізм всякого змісту ... Хоча багато людей вважають платонізм як чимось містичним, або антинауковим, так само гаряче, як Пенроуз захищає платонізм, такі розбіжності насправді порожні. Немає ніякої різниці, чи існують математичні об'єкти до їх відкриття чи ні. Суперечка ця, як і всякий спір у філософії, залежить від помилкового припущення, що існує чітко визначена концепція (наприклад, "існування математичного об'єкта", яка може бути використана з метою постановки питання, на який можна дати певну відповідь. Ми всі знаємо, що означає існування єдинорогів, або цілком розумне питання про існування простого числа між двома заданими цілими числами. Але немає сенсу питати, чи існують всі цілі числа, або чи існують вони незалежно від нас, і вся справа в тому, що поняття існування вельми погано визначено » 40.

Такі точки зору різко контрастують з думкою математиків, які сповідують платонізм. Наприклад, Ш. Ерміт писав: «Я вірю, що числа і функції в аналізі не є довільними продуктами нашої свідомості: Я вірю, що вони існують поза нами, володіючи тією ж необхідністю, який володіють речі об'єктивної реальності; і ми виявляємо або відкриваємо їх, або вивчаємо точно так само, як це роблять фізики, хіміки та зоологи »41.

Уникаючи крайнощів, слід визнати, що коли незабаром платонізм є успішне з точки зору математичної спільноти пояснення природи математики і математичної практики, все, що може зробити аргументативна філософія, це дослідити, в якій мірі математика відповідальна за такий дивний погляд як платонізм. Крім того, незважаючи на дивацтва платонізму, слід зрозуміти, якою мірою платонізм неминучий, і чи є йому життєздатні альтернативи в поясненні природи математики.

Термін «платонізм» настільки устоявся у філософії математики, що навряд чи хто-небудь з знову приходять в цю область знає, що незважаючи на близькість ідеології працюючих математиків філософії Платона, сам термін «математичний платонізм» був введений в ужиток відносно недавно, а саме П. Бернайсом в 1934 р. у статті Про платонізмі в математіке42.

Тим часом більш правильно говорити не про платонізмі в математиці, а про реалізм в математиці. Подібне термінологічне уточнення важливе, тому що фактично філософські доктрини, що асоціюються з математикою, безпосередньо пов'язані з багатьма логіко-філософськими доктринами, зокрема, з різними теоріями істини, значення, і в цілому, з теоріями співвідношення мови і світу.

Обговорення реалізму в математиці слід почати з того, що всі ми, незалежно від наших філософських переконань, віримо в елементарні математичні істини. Оскільки математика успішно застосовується для рахунки та інших розрахунків, ми вважаємо, що математичні істини відображають факти в світі. Більше того, сама структура мови підводить нас до такого висновку: якщо математичні істини є істини в загальному розумінні цього слова, тоді це мають бути істини про щось у світі . Тоді постає питання про те, про що ж говорить математика, і навряд чи у кого-небудь є сумніви в тому, що математика говорить про реальні об'єкти. Зокрема, її об'єкти - числа, множини, функції, простору і пр. - існують цілком реально. І математика вивчає ці об'єкти точно так само, як природні науки вивчають свої, наприклад, як фізик вивчає атоми. Свого часу подібне кредо реалізму категорично було виражено Расселом щодо логіки: «логіка має справу з реальним світом в тій же мірі , що і зоологія, хоча з його найбільш абстрактними і загальними рисами »43. Природність реалістичного погляду в математиці пояснюється тим, що« основна підтримка реалістичного підходу до математики полягає в інстинктивної впевненості більшості з нас, які намагалися вирішити математичну проблему, в тому, що ми думаємо про "реальних об'єктах", будь то безлічі, числа і т.п. »44. Проблема реалізму розробляється в рамках епістемології. Нині існує два підходи до епістемології. Один слід традиційному картезіанському ідеалу теорії пізнання, яка представляє собою дослідження знання та обгрунтування знання, апріорне по відношенню до природної науці. При такому підході теорія пізнання шукає підстави науки, що виходить за межі компетенції самої науки, на основі стандартів чистого розуму. Інший підхід відомий під назвою «натуралізованої епістемології»; в ній дослідження знання і способів пізнання стає частиною самої науки.

Натуралізація епістемології має велике значення для вирішення спорів з приводу реалізму. Встановлення того, що існує реально, - справа не спекулятивних міркувань, а самих нових наукових теорій. Таким чином, при обговоренні реалістичної програми в математиці нам не слід заглиблюватися в традиційні суперечки про існування чи неіснування універсалій, або абстрактних об'єктів. Нам слід спертися на сучасні теорії. Правда, при цьому на нас лягає додатковий тягар демонстрації того, що математика подібна природничих наук.

Ця остання точка зору знаходить свій найкращий вислів в аналогії, використовуваної багатьма філософами - як прихильниками платонізму, так і його противниками. Так, Куайн вважає, що з точки зору натуралізованої епістемології, ми вважаємо існуючими фізичні об'єкти середнього розміру з тієї причини, що така онтологія дає нам найбільш просте пояснення природних явищ, описуваних фізичними теоріями. Точно так же, вважає він, ми повинні прийняти як існуючих безлічі, оскільки таке рішення спрощує наші математичні теорії. Дійсно, таке припущення виглядає цілком правдоподібно у світлі редукції всіх математичних об'єктів до множествам45.

В такому випадку теорією, на яку ми будемо орієнтуватися при дослідженні реалізму в математиці, буде теорія множин. Цей вибір стандартний в дослідженнях з філософії математики, і не вимагає особливого виправдання. Слід врахувати, що саме теорія множин ставить перед філософами найбільш гострі проблеми. Розуміння концепції безлічі, по суті своїй, і являє собою цілу програму досліджень, навколо якої концентруються багато найважливіші філософські проблеми. Реалізм в теорії множин означає переконання в тому, що теоретико-множинні твердження мають істиннісні значення. В якості лакмусового папірця в цьому питанні зазвичай береться континуум-гіпотеза. Реаліст вважає, що істинність або хибність її є справою об'єктивним навіть якщо (Боже збережи) ми ніколи не дізнаємося етого46.

 Інформація, релевантна "4. Платонізм як філософія працюючого математика"

1. Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002
   
   
2. Асмус В.Ф.. Проблема інтуїції у філософії та математики. (Нарис історії: XVII - початок XX в.) М.: Думка - 315 с., 1965
   
   
3. IV. ЛОГІКА АБО МАТЕМАТИКА
     як ми тільки що бачили, це має те незручне наслідок, що поняття коректності і імплікації 52 виявляються що належать не до логіки, а до математики. Фреге, Рассел Я Уайтхед відносили не тільки логіку другого порядку, але навіть і ло "гіку більш високих порядків (множин множин множин ... множин індивідуальних об'єктів) до логіки. Це рішення рівнозначно твердженню, що не існує
   
4. Примітки
     платонізму. Його філософія ще більше посилила дуалізм Платона між світом ідей і дійсним світом. 2Керінф - єгипетський іудей, засновник в I ст. по Р. X. секти керінфской в Малій Азії. Вчив, що Бог Старого Завіту і Бог Нового не один і той же і що Ісус Христос - проста людина. 3Сатурніл (пом. у 125) - гностик. 4Сімон Волхв - гностик I в. по
   
5. Передмова
     як науки. XX століття було унікальним часом, коли проблема обгрунтування математики вважалася однією з найбільш пріоритетних, і кращі математичні уми витратили чимало часу на пошуки її адекватного рішення. У результаті були отримані фундаментальні результати, що мають видатне філософське значення. У посібнику подано докладний аналіз чотирьох провідних програм обгрунтування філософії XX століття -
   
6. 2. Зведення напрямів у філософії математики
     платонізм (згідно Геделю, реально існують математичні об'єкти, і людський розум має здатність, що відрізняється в деякій мірі від сприйняття, за допомогою якої він набуває все кращу інтуїцію щодо поведінки таких об'єктів); холізм (В. Куайн вважав, що математика повинна розглядатися не як окрема наука, а як частину всієї науки, і необхідність квантификации над
   
7. Поняття завершеною аксіоматики
     як історично розвивається і самоорганізується. Від аналізу структури математичної теорії ми переходимо до аналізу історичних стадій її розвитку, до дослідження логіки її становлення. Ідея онтологічної істинності при такому підході стає несуттєвою. В основі нашого міркування лежатиме уявлення про фактуальной істинності аксіом і про ретротрансляціі істинності від
   
8. Рекомендована література 1.
     філософії в короткому викладі. Пер. з чеського Богута І.І. - М., 1991. 2. Історія сучасної зарубіжної філософії. -СПб, 1997. 3. Дж. Реалі, Д.Антісері. Західна філософія від витоків до наших днів. -СПб, 1994. 4. Курбатов В.І. історія філософії. -Р / Д, 1997. 5. Переведенцев С.В. Практикум з історії західноєвропейської філософії (античність, середньовіччя, епоха Відродження). -М., 1999.
   
9. 42. Предполаганіе і передування
     математики в слабкому сенсі, оскільки вона за «* ає лінгвістичні рамки для математичних рассу-кденій і контролює математичні висновки. Однак-раси (з дозволу) логіцізма-логіка не передує математики в сильному сенсі, тобто її недостатньо для побудови математики. Справді, кожна, навіть найбідніша математична теорія (наприклад, теорія часткового упорядкування) має по
   
10. III. ХУДОЖНЬО-ідеалістичних і Органицистская СИНТЕЗ ПЛАТОНА
      платонізму на наступних сторінках головним чином грунтується на творах 70 - 60 рр.. 4 в., Що вважаються часом максимальної зрілості ідей платонізму, як вони сприймалися і трансформувалися в подальшої філософії. Твори Платона написані у формі діалогів двох, трьох і більшого числа співрозмовників. Деякі діалоги високохудожні. Провідним співрозмовником виступає
    
11. 6. Плюралізм і консенсус
      платонізм, ущербна в самій основі. Характерним підтвердженням такої позиції є наступне його висловлювання: «Проблема полягає в тому, що Платонізм залишив Бога, але продовжує вважати Математику думками Бога». Херш вважає, що «традиційна філософія усвідомлює тільки передовий фронт математики». Але не можна зрозуміти передовий фронт без того, щоб зрозуміти її фон. Внутрішній учасник подій міг
    
12. Бертран Рассел логічного атомізму 5
      як різновид реалізму і звинувачується в суперечливості через елементи, які в ній виглядають суперечними цій доктрині. Зі свого боку, я не розглядаю суперечка між реалістами і їх опонентами як фундаментальний. Я можу змінити мій погляд на цей спір, ие змінивши моєю думкою щодо доктрини, яку хотів би підкреслити. Я стверджую, що логіка є фундаментальною для
    
13. Передмова
      як строгої науки знайшла вираження у філософських вченнях минулого: у Платона, Августина, Декарта, Лейбніца, Канта. Проте вже з середини XIX століття в теорії пізнання стали з'являтися ідеї про обмеженість і релятивності математичного мислення. В даний час ми переживаємо період, коли ці ідеї переважають у філософському розумінні математичного мислення. Філософія математики XX століття, якщо
    
14. В. Квазіемпіріческій реалізм
      платонізм К. Геделя. Однак позиція Медді більш емпірично. При вказівці на об'єкт мається на увазі стандартна семантика, а саме, що вказівка здійснюється сингулярним терміном, або ж власним ім'ям, в той час як предикати, або загальні терміни, не вказують об'єктів, а істини про них, позначаючи рід об'єктів. Медді вважає, що маючи деякий емпіричний досвід щодо