|
Різниця між інтуїтивним, або евристичним, поданням деякої теорії та її аксіоматичної формулюванням аналогічно відмінності між самим процесом дослідження і остаточним його результатом. - 1 A. S. Wight man, Physical Review, 1956. vol. 101, p. 860. 2 R. Jost, The General Theory of Quantized Fields; American Mathematical Society, Providence, R. J., 1965. Ця відмінність полягає в системності та порядку проходження, а тому також і в ясності. Аксіоматиці властиві як ясність, так і систематичність, проте в багатьох випадках аксиоматизация може виявитися справою досить важким. Справді, щоб аксіоматизована зміст небудь галузі знання, необхідно викласти його основні ідеї деяким впорядкованим чином. Далі, термін «ідея» охоплює і поняття і твердження. Так, поняття напруженості електричного поля являє собою елемент деякого твердження, наприклад: «напруженість поля з відстанню зменшується». Отже, аксиоматизация теорії означає складання впорядкованого списку як основних понять, так і основних тверджень теорії, і притому таким чином, щоб всі інші її поняття і твердження були виведені з її основних ідей. Головною, або основний, ідеєю є така, яка служить для побудови подальших ідей за допомогою чисто логічних або математичних засобів. Це або поняття, що використовується (зазвичай разом з іншими поняттями) для визначення нових понять, або твердження, що використовується (зазвичай у поєднанні з іншими твердженнями) для виведення подальших тверджень. Основні поняття теорії називаються її первинними, або невизначуваного, поняттями, тоді як основні твердження іменуються аксіомами, або постулатами, цієї теорії. (У сучасній аксіоматиці між «аксіомами» і «постулатами» відмінності не проводиться.) Тим самим, наприклад, чотири поняття напруженості поля і індукції (або еквівалентно два відповідних тензора поля) є основними, або невизначуваного, в що належить Максвеллу версії класичного електромагнетизму, в Тоді як рівняння Максвелла входять в аксіоми теорії.
Це означає, що в даній конкретній формулюванні теорії, рівняння Максвелла виявилися серед основних блоків, з яких будується теорія в цілому. Водночас безсумнівно важливе поняття щільності енергії не буде логічно вихідним, оскільки його можна визначити за допомогою вищевказаних первинних понять. Ще більшою мірою про-похідних поняття повної енергії, оскільки воно визначається вже через щільність енергії. У цьому сенсі і за «кон збереження енергії поля, хоча і дуже важливий, новіше само не буде вихідним, тому що являє собою теорему, що витікає з аксіом.Однак високий статус первинного поняття і аксіоми не абсолютний, а залежить від контексту. Так, поняття числа первинно в елементарній арифметиці, як і зрозуміло сили первинно в ньютоновой механіці матеріальної точки. Але в альтернативних теоріях число визначається за допомогою безлічі, а поняття сили часто виявляється визначаються за допомогою поняття потенціалу. Відповідно знижуються в званні і деякі твердження, які переводяться з рангу аксіом в ранг теорем. Подібна контекстуально, або відносність статусу основних ідей, безсумнівно, бажана, оскільки відкриває нові можливості для пошуку все більш плідних і глибоких ідей, все більш змістовних понять і постулатів, з яких у свою чергу можуть бути виведені поняття, колишні первинними раніше. Тому пропозиція «Поняття (або аксіома) А є основним» слід читати як: «Поняття (або аксіома) А є основним в теорії 7Y Можна було б припустити, що оскільки всі поняття і затвердження теорії так чи інакше необхідні, то всі вони в рівній мірі важливі, і вчений у своїй роботі повинен виходити з демократії ідей замість будь-якої їх стратифікації на ідеї першого та ідеї другого класу. З точки зору семантики, тобто відносно проблеми значення або істини, це вірно. Так, поняття потоку поля не менш важливо, ніж поняття напруженості поля, незважаючи на те що перші виводи-диться з другого.
Більше того, в експериментальній фізиці потоки більш важливі, ніж інтенсивності. Подібним же чином можна вважати однаково важливими рівняння поля і варіаційні принципи. Відомо, що рівняння поля дожно вивести з відповідних варіаційних принципів, які можуть розглядатися з точки зору математики або евристики як більш зручні. Але тут мова йде про інше. Важлива ідея чи кет. якщо вона є похідною (визначеним поняттям або виведеним затвердженням), то оіа логічно вторинна. Різниця між основним і виведеним чисто логічне. Взагалі кажучи, це розходження, незважаючи на його відносність до контексту, дуже цінно, бо воно змушує нас шукати центральні ідеї, виявляти в них логічно найбільш суворі і допомагає уникнути логічного кола. Тому всякий, хто знайомий з цією відмінністю, не витрачатиме час на спроби логічно визначити кожне поняття (дефініціонізм) або довести кожне твердження (демонстраціонізм). На цьому ми зупинимося ще в гол. 8.Тепер цілком доречно дати більш точну характеристику аксіоматики. Аксіоматизована теорію - значить викласти безліч її первинних припущень таким чином, щоб вони: (а) забезпечували достатню характеристику всіх основних понять даної теорії та (Ь) давали в підсумку всі стандартні затвердження (формули) даної теорії. Але перш ніж записати будь-яке таке припущення, нам необхідна мова, щоб висловити його. Тому починати потрібно з розгляду логічних і математичних передумов фізичної теорії.
|
- 5. Ідея системного аналізу несуперечності
характеристики, що визначаються в логічних термінах і розглядаються в рамках суворої метаматематики. Поняття завершеною аксіоматики, яке ми вводимо тут, є методологічним, оскільки воно передбачає констатацію якостей, невимовних в логічних поняттях. Повнота арифметики в методологічному сенсі, звичайно, не може бути обгрунтована логічно. Такі всі властивості завершеною
- Несуперечність завершеною аксіоматики
аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
- 9. Заключні зауваження
аксіоматика взагалі не потрібна, але ті, кому цей Питання представляється дуже важливим, не заспокояться на малому, вони будуть принаймні терпимими до спроб внести організацію в досить безладні результати первинного дослідження. Звичайно, не слід ставити аксіоматику вище створення нових плідних теорій. Проте відповідна аксиоматизация хорошою, але суперечливою теорії
- Поняття завершеною аксіоматики
характеристики математичного знання, вироблені в історії математики і в філософії науки. Його можна назвати також системним, оскільки математика розглядатиметься тут як історично розвивається і самоорганізується. Від аналізу структури математичної теорії ми переходимо до аналізу історичних стадій її розвитку, до дослідження логіки її становлення. Ідея онтологічної
- 3. Властивості завершеною аксіоматики
характеристики аксіом, за які математики не виходять, якщо вони не побуждаются до цього істотної неповнотою теорії. Можна висловити це так, що систему аксіом слід вважати завершеною, якщо виявлені всі незалежні елементарні аксіоми і якщо вона виходить за ці межі лише в межах того мінімуму, який необхідний для досягнення її практичної повноти щодо змісту теорії.
- Приклади аксіоматики та її переваги
характеристиці (а не визначенні-ши) видів конкретних об'єктів, а саме фізичних: истем, які, за припущенням, мають незалежне уществованіе. Тому, якщо фахівець з матема-іческой аксіоматиці будує свою мережу аксіом безотно-мон до реального світу, то фахівець з фізичної іксіоматіке зобов'язаний залишатися в межах земного. Тобто, хоча фізичні аксіоматики і будуть за-
- 4. Несуперечливість змістовно аксіоматизована теорії
аксіоматики, яка визнається адекватною змісту теорії і стає, в кінцевому підсумку, найбільш суворим її визначенням. Аксіоматика набуває завершеність і нерухомість внаслідок завершеності визначального її фрагмента теорії. Тут важливим для нас є та обставина, що будь-яка аксіоматика визначається кінцевим числом теорем, що утворюють визначальний фрагмент теорії.
- Контрольні питання по § 3 Розділ 1.
Аксіоматика? 4. Яке співвідношення раціонального та ірраціонального в проблемі сенсу життя людини? 5. Що означає «трансцендирование до змісту»: його експлікація, розуміння або «буття в
- Тема 12Ціні та ціноутворення в сфере господарювання
характеристика Ціни. Поняття та характеристика тарифом. Класифікація ЦІН и тарифів. Характеристика вільніх ЦІН. Порядок установлення вільніх ЦІН. Характеристика фіксованіх и регульованості ЦІН і порядок їх установлення. Правові засади встановлення та Використання комунальних ЦІН. Контроль за додержанням ДЕРЖАВНОЇ дісціпліні
- Киданів Р.В.. Організовані форми економічної злочинності. (Робота виконана за програмою малих грантів). Владівосток2002., 2002
загальна характеристика основних економічних злочинів, викладаються юридичні та економічні аспекти контролю над організованою економічною злочинністю та забезпечення безпеки економічної
- 4. Фактуальная істинність аксіом
аксіоматики дозволяють зрозуміти основну якість завершеною аксіоматики, яке полягає в її ідеальною істинності щодо фактологічної основи теорії. Характеризуючи аксіоматичний метод, ми зазвичай підкреслюємо можливість використання різних аксіоматикою для подання змісту однієї і тієї ж теорії. У етрм затвердження є певний сенс. Варіації у виборі окремих аксіом і
- 8. Місце аксіоматики в процесі викладання
аксіоматика має вперше вступати на сцену? Взагалі го-горя, якомога раніше, якщо ми хочемо уникнути безлічі помилок, неясностей і повторень і якщо ми іредпочнтаем зосередитися на головному замість вивчений-іія маси погано ув'язаних один з одним деталей. Але Согда конкретно це стає можливим? Ясйо, що висота аксіоматичного бар'єру залежить від предмета. Сучасна алгебра може і,
- Контрольні питання
характеристики соціальної норми? Які види соціальних норм існують у суспільстві? 6. У чому основні відмінності права як системи соціальних норм? 7. Які сучасні тенденції у функціонуванні нормативно-регулятивної системи суспільства? Список літератури Васильєв А. В. Теорія права і держави: Курс лекцій. М.: Изд-во РАГС, 2000. Теми: 2, 3.
|