ЧЕРНЯК BC ОПОЗИЦІЯ АРИФМЕТИКИ І ГЕОМЕТРІЇ В АНТИЧНІЙ ФІЛОСОФІЇ І МАТЕМАТИКИ

Подолання прірви між дискретним і безперервним або між арифметикою і геометрією є, як відомо, головною і водночас найдавнішої проблемою підстав математики. Ця проблема у всій своїй складності і суперечливості встала-перед античної математикою у зв'язку з відкриттям несумірних величин, що поклав початок першому в історії математики кризі се підстав. Аналіз історичних умов виникнення, розвитку та вирішення цієї кризи покаже нам своєрідну діалектику взаємин арифметики і геометрії, пов'язану з оборачиванием їх ролей в процесі закладки фундаменту античної математики. Зокрема, нам видається істотним показати, за допомогою якого механізму з донаукових форм знання (сакрального, міфологічного, практичного тощо) конституювався власний механізм становлення та прирощення математики, як відбувалося перетворення її в самостійну наукову дисципліну.

Дана проблема має також і общефилософское значення, пов'язане з Роли зовнішніх умов у процесі формування самоорганізованих систем. Будь-яка система може розглядатися як щодо самостійного освіти, якщо вона володіє внутрішніми законами свого розвитку. Іманентним законом розвитку будь-якої органічної системи є постійне відтворення необхідних передумов її руху за допомогою механізму обертання ролей, коли умова процесу перетворюється в обумовлене, причина - в наслідок і навпаки. "Одночасно з цим відбувається і те своєрідне" замикання на себе ", яке перетворює сукупність одиничних явищ у відносно замкнуту систему, в кон конкретний розвивається за своїми власними законами єдиний організм" і.

В античній математиці такого роду перетворення розрізненого і несамостійного знання в єдину дедуктивно організовану систему відбувалося на тлі огортання методу - діалектичного огортання ролей арифметики і геометрії, коли перша з передумови перетворилася на слідство, а друга, навпаки, зі слідства стає передумовою подальшого розвитку математики. У більш загальному сенсі проблема співвідношення арифметики і геометрії виражається категоріями дискретного і безперервного. Прірва між дискретним і безперервним завжди була каменем спотикання, "граючим водночас надзвичайно важливу роль в математиці, філософії і навіть фізики"?. 1.

Примат числа перед фшурой

Почати, мабуть, треба з вавілонської і єгипетської математики,. яким судилося зіграти найважливішу роль в історії математичного знання. Характеристичною особливістю згой математики є практична або експериментальна її спрямованість. Про це свідчать численні математичні тексти, серед яких найбільш відомим є папірус Ринда (1800 р. до н.е.). У ньому можна зустріти поряд із завданнями на обчислення зарплати, кількості зерна для виготовлення пива і т.п. також завдання на обчислення поверхонь та обсягів. Дослідження величезної кількості древніх математичних текстів дозволяє впевнено судити, що більшість завдань (у тому числі і геометричних) було поставлено практикою. Так, значна частина геометричних задач присвячена обчисленню площ земельних ділянок, нахилу стін, обсягу будови і т.п.

Практична орієнтація геометричних задач обумовила головний напрямок у розвитку методу цієї науки, істота якого полягало в знаходженні чисельного рішення, що задовольняє умовам геометричній конструкціі11. При цьому чудовим є той факт, що в папірусах немає і сліду геометричних побудов з доказами. Замість цього ми знаходимо одні лише обчислювальні рецепти без жодного обгрунтування. Виходячи з цього разючого факту, відомі історики математики О.Нсйгебауер і Ван дер Варден роблять висновок про те, що на цьому рівні математична цінність задачі полягає в її арифметичному рішенні. Що ж Щодо власне геометрії, то вона є одним з численних об'єктів, де застосовуються арифметичні методи. Не будучи спеціальної математичної дисципліною, вона виступає поряд з іншими формами численних відносин. Іншими словами, геометрія є частиною прикладної арифметики. Подібне взаємне проникнення геометрії та арифметики засноване на тому , що геометрична величина знаходить свій точний еквівалент в арифметиці і алгебрі.

Звідси виникає і недбалість геометричних побудов (у тих випадках, коли останні все ж мають місце), яку зазначає Нейгебауер. На деяких табличках маються малюнки трапецій або трикутників, але "без жодної спроби правильно витримати розміри". Там, де доводиться сумніватися в особливостях креслення (чи є, наприклад, трапеції прямокутними), справжній стан вдається відновити, виходячи з чисельного (алгебраїчного, зокрема) рішення: відносини чисел відтворюють дійсні геометричні співвідношення. Панує становище арифметики зберігається і в ранньої піфагорейської математики, де вона разом з геометрією становить нерозчленованим ціле ..

Оскільки у піфагорійців не було ще абстрактного поняття числа, остільки всяке число вони представляють у вигляді чув-ного-сприйманої геометричної фігури. «Перш ніж сказати, що речі є числа, піфагорійці почали з розуміння чисел як речей. Вирази" квадратні числа "або" числа трикутні "не є метафорами. Ці числа постають перед очима і перед уявним поглядом квадратними і трикутними ». Причому ці" фігурні числа »не були продуктом чисто геометричній абстракції, а скоріше схематизацией різного роду матеріальних предметів. На цю обставину звертає увагу П.Таннері, коментуючи зміст піфагорейської формули" речі суть числа ", Піфагорійці, вважає він, "розглядали універсум складається, з одного боку, з безперервного і нескінченного флюїду, а з іншого - з матеріальних точок, які служили субстанцією тел. Точка була для них "одиницею, що володіє становищем", і тіла були таким чином числами, тобто зборами кінцевого числа точок. До того ж вони не відрізняли матеріальну точку від геометричної, та і інша були визнані неподільними і в той же час нескінченна подільність величин була прийнята беззастережно'' 12. Лінін, подібно числу, є множиною (сукупністю) точок, з яких вона складається як ціле з частин. Точки є, подібно одиниці в арифметиці, мірою лінії. Фігури, збудовані та: * цих ліній, повинні володіти дискретної (атомарної) природою, а сукупність точок, що складають лінію, повинна бути кінцевою Це папіло відображення і в піфагорейської нумерології, відповідно до якої піфагорійці зображували числа і вигляді точок, що групуються в геометричні фігури . В основі тут лежить, таким чином, поняття числа, яке лише зображується фііурой: геометрія підпорядкована арифметиці.

Фігурні числа піфагорійців фактично були наочним зображенням арифметичного способу їх породження. Так, числа-твори, які мають собою прості числа (не розкладений на множники), зображувалися крапками уздовж прямої; "площинні числа", розкладаються на два множника, зображувалися крапками, що групуються в прямокутники і квадрати; "тілесні числа", розкладаються на три множника , зображувалися у вигляді точкових кубів і паралелепіпедів. Що ж до чисел-сум, то серед них виділялися "багатокутні числа" - трикутні, квадратні, п'ятикутні і т.д. залежно від того, який тип арифметичної прогресії вони представляють - прогресії з різницею 1, 2, 3 і т.д.

Слід зазначити, що арифметика і геометрія не були у піфагорійців суто спеціальною областю, що має автономне значення. Необхідно постійно мати до виду, що "рання грецька наука про природу", була єдиною, нерасчлепепной, зазначеної печаткою первісного синкретизму. Число становило ие тільки сутність і який породжує принцип предметів зовнішнього світу, до нього були зведені також і явища духовного життя людини. Так, любов і дружба як прояви душевної гармонії ототожнювалися з октавою або восьмсріцей, здоров'я -

з седьмспіцей, справедливість - з квадратними числами.

У цих уявлень шгг особливих підстав повністю виносити пифагорейское чісю за рамки міфологічного способу мислення і трактувати його як суто філософську категорію. Цьому не суперечить той факт, що до даного періоду часу. Виникають і науково-філософські структури мислення, що відкривають шлях спеціально-математичних і логічним досягненням піфагорійців.

Справжній сенс категорії числа можна зрозуміти лише в контексті зв'язку її з іншими Піфагорійську категоріями, що утворюють в сукупності певну і значною мірою ще міфологічну структуру мислення. Відомо, що піфагорійці розрізняли десять пар фундаментальних проти во-30

положностей: межа - безмежне; нечет - пар; єдине - багато чого; праве - ліве; чоловіче - жіноче; спочиваюче - рухоме; пряме - криве ; світло - тьма; хороше - погане; чотирикутне -

різностороннє. Творча роль цих протилежностей в системі пифагорейского мислення полягає п їх гармонійному злитті в середньому, що є основою їх єдності. Одним із проявів цієї єдності є музична гармонія, про яку піфагорійці писали, що вона "... взагалі виникає з протилежностей. Бо "гармонія є з'єднання різноманітної суміші і згода разногласчого" *. *

По суті, подібні фундаментальні протилежності взагалі характерні для структури міфологічного мислення, яке прагне їх подолати шляхом своєрідного злиття в "середньому". Так, згідно Леві-Строссу, структура міфу розвивається з усвідомлення деяких фундаментальних протиріч, які мислення прагне вирішити шляхом медіації, тобто прогресивного посередництва. Припустимо, пише Леві-Стросс, що два протилежних члена, між якими не існує ніякого переходу, спочатку замінюються двома еквівалентними членами, але які опосередковані «вже якимось проміжним (середнім) членом. Далі ця тріада замінюється наступною тріадою, де протилежність між крайніми членами є менш вираженою і тд. В результаті протилежності виявляються як би "змазаними" і в кінцевому підсумку подібні один одному.

Цікаво відзначити, що логіка розгортання міфу заснована на категорії схожості або подібності, яка має як би два вектори. '-Один спрямований на уподібнення крайніх членів тріади, коли вихідна опозиція замінюється "еквівалентними" Влен, а другий - на уподібнення самих цих крайніх членів Шляхом введення медіаторів, опосредствующих дану протилежність. -

Так, первісна пара життя і смерті в деяких міфах замінюється еквівалентною парою землеробства і війни, які в свою чергу уподібнюються один одному через введення медіатора (в даному випадку таким посередником виступає полювання).

Як зазначалося, у піфагорійців конфлікт протилежностей дозволявся через їх злиття в "середньому". Категорія "середнього" в їх мисленні відповідає тому, що в міфі відіграє роль медіатора, що долає протилежності. В якості такого загального медіатора, завдяки якому можна було б уподібнити самі різні якості і самі проти-положпие речі, виступає число, що є принципом гармонії.

Згідно Филолаю, " межа і безмежне разом створюють число ", так як межа є принцип обмеження, розчленування і розрізнення безмежного. Іно так як в основі сущого лежали ці два начала, які не подібні і не споріднені між собою, то, очевидно, неможливо було б утворення ними космосу, якби до них не приєдналася гармонія, яким би чином вона виникла. Справді, подібне і родинне зовсім не потребувало б в гармонії, неподібне ж, неродинне і різне але кількістю повинно бути з'єднане такий гармонією, яка була б в змозі утримати їх разом в космосі "6. У цьому, власне, і складається таємний зміст пифагорейского вислови "числа ж все подібно".

Однак було б помилково не бачити важливого відмінності піфагорейської системи протилежностей з їх злиттям в "середньому" від звичайних міфологічних структур. Ця відмінність полягає в тому, що у піфагорійців медіації протилежностей відбувається не через ряд специфічних посередника »', який прогресивно веде до" змазування "протилежностей, а через загальний, універсальний медіатор, який але суті вже" підриває "зсередини логічну структуру міфу і означає перехід до системи рацмогального мислення.

 При цьому важливо відзначити, що провідною тенденцією раціоналізації міфологічного мисленні є мінімізація се символічних репрезентоі. "Щоб матерія, яку Леві-Стросс вважає не об'єктом, а матеріалом міфічної думки, зіграла свою роль, се треба збіднити, залишивши невелику кількість елементів, здатних виразити контрасти і створити пари опозицій. Ці бінарні опозиції розташовуються на різних рівнях. Безліч уровчей - ціна міфічної думки за перехід від безперервного до дискретного "*. До цього веде і сама логіка розвитку міфічного мислення. Серед величезного переліку бінарних опозицій, якими воно оперує, зустрічаються практично всі опозиції, властиві давньогрецького раціонального мислення, включаючи і більшу частину з десятки пифагорейских протилежностей. По суті, мова йде. про вибірку символічних репрезентантів, тобто специфічних "кодів", властивих тому чи іншому типу мислення. Так, кількість і характер 

 6Ціт. по: Лосєв А.Ф. Історія античної естетики (рання класика). М., 1963. С.268. 

 1Мслетінскій ЕМ. Додаток до кн.: Леві-Стросс К. Структурна антропологія. М., 1983. С.505. - пифагорейских протилежностей визначається декадою. "Дія та сутність числа повинно споглядати за силою, що полягає в декаді, - вчив Філолай. - Бо вона велика і досконала, все виконує і є початок і першооснова божественної, небесної і людського життя" ». 

 Чому декада стала священним числом, а не, скажімо, Семс-матриця, яка у багатьох народів була основою числення? Різниця в тому, що семерична йде від кількісного числа - ранній щаблі числення, декада ж - від порядкового, де важливий сам принцип числення, шляхом породження (адитивного) десяткового (позиційної) системи рахунку.

 Хоча з абстрактної точки зору досить однієї одиниці для адитивного породження всього натурального ряду чисел, для піфагорійців все ж важливо було геометричне тлумачення чисел відповідно четверіци - точці, лінії, площини, тілу (щоб з їх допомогою можна було конструювати будь-яку річ). Характерно також і те, що розвиток міфічної логіки проходить ряд етапів, починаючи з бінарних опозицій чуттєвих якостей, пізнаваних п'ятьма органами почуттів, через опозиції, що виражають логіку просторових форм, - до логіки відносин. Остання і отримує своє чітке вираження у навчаннях піфагорійців про пропорції. 2.

 Криза підстав грецької математики 

 В силу синкретичного характеру ранньогрецьких світогляду протиріччя, виявлене в якої з його частин, негайно озивалося резонансом на всій сукупності його уявлень про світобудову в цілому. Неважко тому зрозуміти те потрясіння, яке відчули піфагорійці, коли відкрили несумірність сто! еш> 1 квадрата (що дорівнює одиниці) з його діагоналлю. Для них цей факт мав не тільки математичне, але перш за все космологічне значення, бо під сумнів бг.: Л поставлений їх основна теза про те, що речі суть числа. У самій гармонійної з фігур - квадраті - їм довелося зустрітися з геометричним об'єктом, який не можна було подати як суму точок. У даному випадку число втрачало свій статус загального медіатора. 

 8Ціт. по: Лосєв АФ. Указ. соч. С.268-269 Відкриття несумірних величин поклало початок першому в історії математики кризі її підстав. Якщо раніше вважали, що будь-яке відношення геометричних величин можна виразити цілим або дробовим числом, то існування рівнянь, аналогічних х2 = 2, призвело до переконання, що не існує взаємно однозначної відповідності між геометричними величинами і раціональними числами. Тим самим під удар ставилася пифагорейская концепція, згідно з якою всяка величина може бути виміряна, тобто виражена за допомогою числа. 

 Щоб зберегти формулу "речі суть числа", піфагорійцям необхідно було так змінити теоретичну схему арифметики, щоб факт несумірності міг знайти в се рамках цілком прийнятне пояснення. Несоізмерімхкть величин виявлялася, коли ніяке кінцеве число кроків з визначення загальної міри не приводило до успіху. "Звідси недалеко від припущення, - пише Г.Цейтен, - що найбільша загальна міра в цьому випадку нескінченно мала і що вона міститься нескінченна безліч разів на порівнюваних між собою величинах. У цьому випадку речі визначалися за допомогою нескінченних чисел або нескінченних наближень, що даються відносинами між всі зростаючими числами "^. На користь такого припущення говорять відомі парадокси Зенона, мета яких полягає в тому, щоб показати ті протиріччя, до яких пріходні при спробі отримати безперервні величини з нескінченно малих частин. У першій своїй "апорії заходи" Зенон доводить абсурдність положення, згідно з яким величини складаються з нескінченної кількості непротяжних точок, так як в цьому випадку ііх сума неминуче повинна бути так мала ... щоб цілком була відсутня всяка величина-. Друга "апорія заходи" заснована на припущенні, що величини складаються з нескінченного числа протяжних точок, які мають як завгодно малу величину. У цьому випадку сума цих точок повинна бути нескінченно великою. 

 Легко бачити, що існування першої апорії зобов'язане допущенню неподільних (нескінченно малих) точок, а існування другої апорії - постулированию актуальної нескінченності. 

 Зеноновських апорії заходи мали на меті довести, що безперервне (тобто подільне до нескінченності) не можна розуміти як суму неподільних елементів, що безглуздо представляти лінію як суму точок, поверхня - як суму ліній, а тіло - як суму поверхонь. В цілому полеміка Зенона була спрямована проти пифагорейского вчення про те, що геометричні величини являють собою суми дискретних точок і що властивості їх нерозривно пов'язані з властивостями чисел, що виражають ці суми. 

 З інших апорий слід згадати "дихотомію", спрямовану на доказ неможливості руху. Рух тіло, перш ніж пройти весь пугь, повинно пройти його половину, але ще раніше цього половину половини і т.д. до нескінченності. Аристотель у своїй "Фізики" намагається вирішити цей парадокс таким чином. По-перше, не слід змішувати нескінченно ділене з нескінченно великим і, по-друге, припускаючи нескінченну подільність простору, слід визнати нескінченну подільність часу. Тоді нескінченна подільність простору покривається нескінченної ж делимостью часу. Помилка Зенона, на думку Аристотеля, полягає у припущенні неможливості щюйті нескінченний простір в кінцевий проміжок часу. Багатьом це заперечення Аристотеля здавалося цілком грунтовним. Однак сам Аристотель визнає таке рішення недостатнім "для суті справи і для істини". Адже можна поставити запитання інакше : разом з рухом доводиться відраховувати полонину якої нової виникає половини, так що пройшовши всі відстань, можна порахувати нескінченність, а це неможливо. Німецький математик Г.Вейль представив це міркування Аристотеля в кілька модернізованої формі. Lain відрізок одиничної довжини дійсно складається з нескінченної суми відрізків довжиною в 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, то угвержденіе, що тіло може зрештою пробігти їх все, суперечить сутності безкінечного як "незавершеного". І якщо допустити подібну можливість, то це було б рівнозначно ситуації, при якій яка-небудь електронна машина могла вчинити нескінченна безліч операцій перерахунку, зробивши першу операцію протягом - 1/2 мінуги, другий через -1 / 4 хвилини, треті через - 1/8 хвилини і TJJ. Тоді можна було б в протягом 1 мінуги перерахувати весь натуральний ряд і тим самим довести все відносяться до нього теореми існування, включаючи знамениті теореми Ферма, Гольдбаха і т.п., що, звичайно, абсолютно немислимо. 

 Тому сутність даної апорії полягає в утвердженні суперечливості поняття завершеною або актуальної нескінченності. І Арістотель зовсім правильно оцінює дійсну проблему, поставлену Зеноном, навіть вказує, як подолати се по суті. . 

 На питання, чи можна пройти нескінченну безліч частин в часі або по довжині, він відповідає: "Якщо вони будуть актуально -

 не можна, якщо в потенції - можливо "^. 

 У апорії "Стріла" об'єктом зеноіовской критики є поняття неподільних (атомарних) об'єктів. 

 Справді, якщо простір складається з неподільних точок, то ь кожної з них стріла повинна покоїтися, оскільки неподільне, але визначенням, не може складатися з частин, щодо яких було б можливо рух. До неподільного незастосовні предикати: "всередині", "поза", "лівіше", "правіше" і тд. Значить, в кожній просторово неподільної точці стріла спочиває, а так як простір складається з суми точок, то рух складається виключно з суми станів спокою. Те ж міркування можна застосувати до часу: подібно до простору час состоіі з неподільних "тепер". Оскільки "тепер" як неподільне не володіє тривалістю, то в будь атомарний момент стріла спочиває. Уявити собі протилежні можливість не можна, так як якби стріла рухалася, то вона в один і той же Тягар перебувала б у різних місцях; а це несумісно з законом суперечності. Парадокси Зенона довели, що підстави грецької математики переживають глибоку кризу. Ідея актуальної нескінченності, покликана вирішити проблему несумірних величин, не тільки не сприяла виходу з туніка, але породила нові антиномії, які поставили під сумнів фундаментальні поняття простору, часу і руху. Тим самим під ударом опинилася можливість теоретичного обгрунтування геометричних побудов. Не тільки апорії заходи, що носять суто геометричний характер, а й Зенон-ські апорії руху доводили, що ніяке геометричну побудову неможливо. Спробою виходу із критичної ситуації була геометрична теорія Демокріта, в основу якої був знову покладено принцип кінцевих сукупностей неподільних, що мають, однак, протяг. 

 С.ЯЛурье схильний розглядати це вчення як геніальне рішення питання, одним ударом яке паралізувало парадокси Зенона. Таку думку нам представляється сильним перебільшенням. Демокріт подолав антиномії тим, що відкинув ідею актуальної нескінченності і перейшов на кінцеву точку зору, постулировав при цьому протяжність атомів (неподільних). У цьому випадку при діленні тіла виходить не нескінченна безліч неподільних, а деякий кінцеве (нехай навіть надзвичайно велике) число атомів. Тим самим тіло не може бути ні нескінченно великим, ні нескінченно малим. В цілому це вчення воскрешало теоретичну схему піфагорейської арифметики, викладену в сьомій книзі Евкліда. Єдиним нововведенням було постулирование протяжності атомів. На схожість вченні Демокрита з піфагорейської теорією чисел вказує Аристотель. "У відомому сенсі і вони (тобто Левкіпп і Демокріт 36 - В.Ч.) у всьому бачать числа або продукт чисел. Якщо вони цього не кажуть прямо, то у всякому разі вони его мають у віду'п. Хоча демокрітовское рішення зовні і протистояло Зенон-ським апоріям заходи, воно але суті була не математичним, так як в жертву приносили найбільш цінна якість математики - її абсолютна точність. 

 Атомісти вважали, що в такому випадку всі геометричні теореми дають, по суті, не точний результат, а наближений, з похибкою в одне неподільне. 

 'Така "математика кінцевого", хоча і не містила в собі логічних протиріч, але була абсолютно непридатна для дослідження безперервних процесів. У ній не існувало ні кривих ліній, ні взагалі правильних кривих "13. 

 Реакція античних учених була недвозначною. У творі "0 небі" Аристотель писав:'' Адже навіть мале відступ від істини надалі збільшується в мільйон разів, як, наприклад, якщо хто-небудь став би стверджувати, що існує найменша величина. Така людина, ввівши найменшу величину, похитнув б найбільші (основи) математики "^. 

 Таким чином, представляється безсумнівним, що геометрична і метафізична концепція Демокріта була свого роду варіантом (і стосовно до чистої математики не кращим варіантом) піфагорейської числовий схеми, яку Демокріт намагався врятувати від згубної критики еліатів шляхом відмови від властивої математичному пізнання точності і строгості. (Втім, деякі ідеї Демокріта були дуже плідними для розвитку методу вичерпання. Але розгляд цих питань виходить за рамки цієї статті). 

 Однак такий шлях не був прийнятий більшістю математиків і філософів, що звинувачували Демокріта в підриві основ математичного пізнання. До цього моменту дозріла, нарешті, Думка, що часткова ревізія піфагорейської числової системи, яка зберігає багато її принципові положення недоторканими, наприклад, положення про неподільних як кирпичиках, з яких складається геометричне будівлю, а також дискретно характер угруповання цих неподільних, є явно недостатньою для несуперечливого обгрунтування геометрії. Стало ясно, що успішне втілення цієї мети можливе лише ціною повної відмови від теоретичної схеми арифметики зважаючи Косінов протилежності ндіскретіой, якісної, індивідуальної природи числа "і" безперервної, кількісної, однорідної природи простору ". 

 Ідеї безперервності, яка стала потім загальноприйнятою в грецькій математиці вперше була ясно сформульована Анаксагором, який учив, що в "малому не існує найменшого, але завжди мається ще менша. Бо те, що існує, не може зникнути, як би далеко не було продовжено поділ ". Згідно Анаксагору, процес нескінченного розподілу відрізка може бути завершеним. В результаті такого поділу завжди будуть виходити нові відрізки і ніколи - дискретні точки-атоми. Прямим наслідком цього стало переконання про те, що геометрію слід розвивати незалежно від арифметики. 3.

 Огортання методу: примат фшурм над числом 

 Виклад нової концепції простору і обгрунтування корінний протилежності арифметики і геометрії можна знайти у Стагирита, який своїми працями в галузі логіки і методології дедуктивних наук значною мірою сприяв виходу з кризи, який захопив підстави грецької математики. Ми підкреслюємо, що Аристотеля належить здебільшого виклад тих нових геометричних принципів, якими керувалися грецькі математики до нього. У першу чергу це стосується понять нескінченності та безперервності. Перераховуючи різні підстави, з яких виникає поняття нескінченності, головне серед них він бачить у природі самого мислення, втом, що мислення завжди переступає свої межі: до числа завжди можна подумки додати одиницю, поділ відрізка мислення можна продовжувати до нескінченності і тд. Але саме тому довіряти мисленню "в питанні про нескінченність дивно". При цьому потрібно керуватися "не тим, що хтось так мислить, а тим, що є", тобто виходити з об'єктивної реальності. 

 Аристотель чітко усвідомлює важливість цього поняття не тільки для математиків, а й для фізиків, і вважає за необхідне чітке відмежування двох понять нескінченності: актуальною і потенційної. Останнє існує там, де "беручи відоме кількість, завжди можна взяти щось за ним". Єдино корисною для науки Аристотель вважає абстракцію потенційної нескінченності, оскільки поняття актуальної нескінченності не може протистояти руйнівній силі зе-ноновскіх парадоксів. 

 Використовуючи поняття потенційної нескінченності, Аристотель намагається обгрунтувати (не дуже послідовно, правда) протилежність арифметики і геометрії. Наприклад, якщо робити поділ геометричній величини, то можна перевершити всяку певну величину. Тому в геометрії не існує найменшої величини. У арифметиці, навпаки, є межа в напрямку до найменшого - одиниця. Пояснюється це тим, що одиниця неподільна, в той час як просторові величини потенційно ділені нескінченно. 

 Протилежність арифметики і геометрії рельєфно виступає у Аристотеля при аналізі поняття безперервності. Безперервність є таким же специфічною властивістю геометричних величин, яким є дискретність для числових одиниць.

 З урахуванням вищесказаного, криза підстав грецької математики був породжений неспроможними спробами перенести структуру піфагорейської арифметики на геометрію. Дискретний характер числового ряду, спочатку служив моделлю атомістичної геометрії виявився нездатним відобразити природу просторового континууму. Подібні спроби перекинути міст через утворену прірву були приречені на невдачу. Лише ясне свідомість протііюіоложіості геометрії та арифметики могло забезпечити першої задовільний теоретичне обгрунтування. Разом з тим це стало необхідною умовою подолання розколу між цими двома найважливішими областями математики. 

 "Подолання прірви між областю дискретного і областю безперервного або між арифметикою і геометрією є одна з головних - мабуть, навіть найголовніша - проблема підстав математики, - пишуть Френкель і Бар-Хиллел ... - Щоб усвідомити сутність обговорюваної проблеми, треба як слід усвідомити корінна відмінність між дискретною, якісної, індивідуальною природою числа в'' комбинаторном "світі рахунку (арифметики) і безперервної, кількісної, однорідної природою простору в" аналітичному "світі виміру (геометрія). Кожне ціле число відрізняється від будь-якого іншого цілого числа характерними індивідуальними властивостями - подібно до того, як різняться між собою люди, - в той же час як континуум представляється аморфним скупченням точок, абсолютно рівноправних один одному в усіх відношеннях. (І не дивно, що аксіоматичний метод був спочатку застосований до опису простору, а не числа, оскільки характер останнього швидше передбачає деяку конструкцію14. 

 Поряд з чітким відмежуванням геометрії та арифметики все виразніше виявляється протилежна тенденція, яка на меті подолати прірву, яка розділяє ці науки. Починаючи з відкриття несумірних величин, геометрія поступово займає панівне становище в математиці. Арифметика і алгебра стали будуватися геометрично - числа представляються відрізками і площами, операції додавання, множення, ділення, добування кореня і тл. виробляються геометричними засобами. 

 До кінця V ст. у математиків склалося тверде переконання, що геометричні величини мають більш загальною природою, ніж раціональні числа ^ 7. 

 Ця обставина знайшла своє конкретне вираження в евклідових "Засадах", де арифметичні дії над числами зводяться до дій над геометричними відрізками, складеними з одного певного відрізка, прийнятого за числову одиницю. 

 З'єднання арифметики і геометрії має місце у Евкліда в пропозиціях загального характеру, званих аксіомами. 

 Естестпснно виникає питання: як можливо об'єднати в пропозиціях загального характеру (аксіомах) геометрію і арифметику? Взагалі: як можливо геометричне представлення чисел, якщо арифметика і геометрія настільки чужі один друїу? Якщо така можливість може бути доведена, то вирішується у відомому сенсі найдавніша і в той же час головна проблема підстав математики - подолання прірви між дискретним і безперервним або між арифметикою і геометрією. Тим самим буде зроблено значний крок на іугі подолання кризи підстав. 

 Рішення проблеми полягає в правильному з'ясуванні змісту і значення геометричного представлення чисел. Дослідження арифметичних книг Евкліда показує, що геометричні фігури виконують подвійну роль, будучи, з одного боку, геометричної конструкцією, а з іншого - символічним представленням арифметичних чисел. В основі другої із зазначених функцій лежить вибір довільного відрізка, який символізує числову одиницю, внаслідок чого сукупність цих відрізків-одиниць стає символічним поданням певного числа. Символічна функція геометричних фігур володіє однією важливою перевагою: оскільки будь-який відрізок потенційно ділимо до нескінченності, він може представляти собою всі можливі числові значення. Іншими словами, геометричний відрізок грає роль змінної величини, що пробігає потенційно нескінченний ряд чисел. Розділивши відрізок на п рівних частин і вибравши як арифметичної одиниці 1 / п, ми на місце змінної ставимо постою п і ос число. 

 "На перший погляд, - пише Цейтен, - переваги цього геометричного уявлення можуть здатися незначними, бо будь-який відрізок володіє такою ж певною величиною, як і взяте довільно число, але насправді намальована фігура служить лише матеріальним знаком для вираження-поняття фігури, а тут величини могуг приймати всі значення, сумісні з вимогами такого поняття. Так, уявлення величини довжиною відрізка може, подібно буквах в алгебрі, застосовуватися до величинам, що змінюються безперервним чином ... Звідси ясно, що дії над кількостями, представленими геометричним чином, грають роль, аналогічну нашим алгебраїчним операціям "! *. 

 Завдяки геометричному символізму, стало можливим відображення логічної структури арифметики на геометрію незважаючи на корінне відмінність і навіть протилежність дискретної природи числа і безперервної, однорідної природи простору. На перший погляд, таке відображення можег викликати подив: як можна відобразити дискретний ряд неподільних далі одиниць на геометричний континуум, кожна частина якого нескінченно ділена і безперервно пов'язана з іншими числами? 

 Щоб подібне здивування не виникло, необхідно весь час пам'ятати, що геометричні відрізки функціонують в даному випадку як символи і в цьому відношенні поділяють спільну з усіма знаками (символами) доля. 

 Що ж у природі знака є таке, що дозволяє несуперечливо відобразити дискретну сутність арифметики? Як відомо, знаки характеризуються набором властивостей, таким як: жорсткість (неподільність), незмінність, чітка обмеженість (дискретність). Коль скоро геометричні відрізки починають функціонувати в якості символів, цілком законно подільні відрізки розглядати як неподільні (жорсткі), а безперервну послідовність цих відрізків - у вигляді лінійної послідовності дискретних (чітко відмежованих) знаків. Отже, сама природа знаків ідеально пристосована для відображенні дискретного характеру натурального ряду - єдиного об'єкта античної арифметики. Характерно, що сам спосіб представлення чисел у вигляді відрізків знаменує собою відхід від ранньої піфагорейської традиції зображати числа у вигляді дискретних точок. 

 Тому заміна "фігурних чисел", що є точковими зображеннями цілих чисел, геометричними відрізками є фактом принципового значення. У ньому папіла відображення абсолютно нова схема геометрії, прямо протилежна схемою теоретичної арифметики. Повний розрив з теоретікочісловой схемою арифметики і перехід геометрії до зовсім інших принципам з'явився, як це не парадоксально, умовою взаємного зближення цих наук, про що свідчить факт геометричного представлення чисел. Звичайно, сам по собі цей факт був не новий, до цього вдавалися також і ранні піфагорійці. Але альянс арифметики та геометрії в піфагорейської математики базувався на спільності теоретичної схеми, що об'єднує обидві науки. Тепер же фундаментальні принципи цих наук виявилися діаметрально протилежними. І в цьому якраз і полягає парадоксальність ситуації, що виникла. Створення принципово нової теоретичної схеми геометрії і подолання на цій основі прірви між арифметикою і геометрією стало вирішальним (хоча далеко не єдиним) умовою розв'язання кризи основ грецької математики. За-42 слуга цієї теоретичної реконструкції геометрії належить Евдоксу Кнідським. "Замість виявився неспроможним принципу сумірності він виставив наступну аксіому; якщо дані два довільних відрізка а і b то завжди можна стільки разів (наприклад п разів) приєднати а до самого себе, щоб сума відрізків па стала більшою, ніж Ь. Це означає, що всі відрізки суть величини одного і того ж порядку, що в континуумі не існує ні актуально нескінченно великого, ні актуально нескінченно малого "15 (відрізок а називається нескінченно малим але порівнянні з відрізком Ь, якщо будь-яка сума відрізків па, скільки б їх не взяти, завжди залишається менше Ь). На цій основі Евдокс будує своє загальне вчення про відносини, застосовне як до порівнянним, так і до несумірним величинам. 

 Відомо, що грецькі математики не визнавали дробів і в необхідних випадках замінювали їх ставленням цілих чисел (що цілком еквівалентно, з нашої точки зору) або пропорціями. Однак ставлення двох кількостей може мати чисельний характер лише в разі їх сумірності. Тільки співмірні величини ставляться один до одного як числа, оскільки для них існує загальна міра, яка символічно може бути прийнята за одиницю. У X книзі "Почав" Евкліда, де доводиться цю пропозицію, є і його звернення: якщо дві величини мають між собою відношення як число до числа, то ці величини будуть порівнянними. 

 Цілком очевидно, що несумірні величини не можуть ставитися один до одного як число до числа. Адже за визначенням вони не володіють загальною мірою, здатної служити геометричним символом одиниці. Значить, геометрія може здійснювати свою символічну (знакову) функцію лише в тому випадку, якщо може бути пророблена операція знаходження загальної міри для досліджуваних геометричних величин. Геометричне доказ сумірності величин відбувається за допомогою "процесу Евкліда", який частіше називають "алгорифм Евкліда". У разі сумірних величин застосування зазначеного алгорифма призводить до знаходження загальної найбільшою заходи. Алгоритмічна операція знаходження загальної міри є в той же час доказом існування чисельного відносини двох величин. Таким чином, завдяки геометричному символізму, вдається конструктивно довести існування того чи іншого ставлення у вигляді числа. Достатнім ус ловіем цього є наявність кінцевого числа кроків у застосуванні алгорифма Евкліда. Подібним же чином доводиться і неіснування відносини двох величин у вигляді чисел. У цьому випадку неможливість обмежитися кінцевим числом кроків у застосуванні алгорифма яшіястся доказом ірраціональності досліджуваного відносини, тобто відсутності числового відношення. Таким чином, введення в геометрію ноной конститувною одиниці - відрізка замість суми діскретні, їх точок - дозволило не тільки паралізувати зеноновських апорії заходи, але й вирішити певним чином проблему несумірних величин. Завдяки цьому геометрія зайняла панівне становище в математиці, що знайшло конкретне вираження в евклідових "Засадах", де арифметичні дії над числами зводяться до дій над геометричними відрізками, складеними з одного певного відрізка, умовно прийнятого за числову одиницю. Створення принципово нової теоретичної схеми геометрії та подолання на цій основі прірви між арифметикою і геометрією стало необхідним (хоча і не єдиним) умовою розв'язання кризи основ грецької математики. 

 У результаті зведення арифметики до геометрії була вирішена проблема відносного обгрунтування арифметики. "Стало ясним, - пише О.Нсйгебауер, - що геометричні об'єкти слід розглядати як дані сутності, так що цілочисельні відносини виступають як окремий випадок лише другорядного значення" ™. 

 Таким чином, математика Евдокса-Евкліда конституировалась в ході огортання ролей арифметики і геометрії. Такого роду огортання методу, як ми відзначили на початку статті, пов'язане з відтворенням необхідних передумов розвитку науки і відшаруванням тих побічних моментів, які хоч і супроводжували її становлення, але потім опинилися невідтворюваних в ході подальшого розвитку. 

 Про які необхідних передумовах йде мова в даному випадку? Якщо взяти безпосередню причину кризи античної математики, то такою стало, як відомо, відкриття несумірності діагоналі квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці. 

 2 (> Нейгебауер О. Точні науки в давнину. М., 1968. С150. 44 

 Мова, отже, йде про ідеальний квадраті, сторона якого в точності відповідає раціональному (цілого) числа. Але таких квадратів в природі не існує. Це - фікція, створена людським розумом, яка на певному етан вийшла з-під контролю людської уяви і стала причиною відомих парадоксів в грецькій математиці і філософії. Парадоксальність подібного роду ідеальних утворень складається просто в тому, що вони не узгоджуються з іншими загальноприйнятими идеализациями. Наприклад, проблема несумірності не могла б виникнути в античній математиці, якби там існувало розширене поняття числа, що включає в себе ірраціональні числа. 

 Отже, при тому напрямку розвитку математичної думки, яке реалізувалося в античності, можна вказати на дві необхідні умови, які відтворювалися в ході огортання ролей арифметики і геометрії: подання про ідеальну фігуру (а рівно і про ідеальні циркуля і лінійки) і специфічно грецьке поняття про числі. 

 Інформація, релевантна "Черняк BC ОПОЗИЦІЯ АРИФМЕТИКИ І ГЕОМЕТРІЇ В Античної філософії і МАТЕМАТИКИ "

1. М.Д. Купарашвілі, А.В. Нехаєв, В.І. Розмова, Н.А. Черняк .. Логіка: навчальний посібник М.Д. Купарашвілі, А.В. Нехаєв, В.І. Розмова, Н.А. Черняк. - Омськ: Изд-во ОмГУ, 2004. - 124 с., 2004
     Викладається повний курс дисципліни «Логіка» у відповідності з державним освітнім стандартом. Для студентів Омського
   
2. Бертран Рассел логічного атомізму 5
     арифметики, хоча тоді я не знав, що арифметика може розглядатися як що охоплює всю традиційну Чисту математику. 6 віці вісімнадцяти років я прочитав «Логіку» Мілля \ але був глибоко розчарований його доводами для виправдання арифметики і геометрії-Я не прочитав ще Юма, але мені здавалося, що чистий емпіризм (який я був розташований прийняти) повинен швидше привести до скептицизму, ніж до
   
3. 1. Загальне розуміння проблеми обгрунтування
     аріфметікі2. Відносні докази неминуче призводять до виділення теорій, відносне обгрунтування яких не є можливим. Для математики XX століття - це дві теорії, а саме арифметика і теорія множин. Хоча принципи арифметики виразіми в поняттях теорії множин, ми маємо тут, насправді, істотно різні і, в певному сенсі, взаємодоповнюючі
   
4. Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002
   
   
5. Філософія математики Бертрана Рассела
     арифметики, а й інших розділів математики - передусім аналізу. Крім того, він планувався як узагальнення найбільш важливих результатів, отриманих до того часу в області обгрунтування математики, включаючи насамперед роботи Пеано і Фреге. Три цілі надихали авторів «Принципів математики» на створення універсального логічного мови. По-перше, вони прагнули з його допомогою провести
   
6. 4.2. Зміст методик
     арифметиці В. А. Латишева розглядаються і оцінюються керівництва з арифметики Євтушевського, Паульсена, Гур'єва, Грубе, Воронова, Шольце, Дістервега, Гейзера, Генчеля, Унгера, Кран-ке. У своїй методиці геометрії автор розглядав аналогічні підручники-керівництва Волкова, Вуліхе, Фалька, Дістергеля, Полякова1. К. Менн в роботі, яку з повним правом можна вважати методикою фізики, обговорює
   
7. Северин Боецій
     арифметику, геометрію, астрономію і музику (науки, засновані на математичних закономірностях) у навчальний цикл квадріум (четвертий шлях). Цей цикл разом з тривіуму (третій шляхом) - граматикою, риторикою, діалектикою - склав сім вільних мистецтв, згодом покладених в основу всього середньовічного
   
8. Асмус В.Ф.. Проблема інтуїції у філософії та математики. (Нарис історії: XVII - початок XX в.) М.: Думка - 315 с., 1965
   
   
9. JHSS: ru IIRSSInu Шановні читачі! Шановні автори! URSS
     геометрії (до XX століття). Григорян А. А. Закономірності і парадокси розвитку теорії ймовірностей. Тодхантер І. Історія математичних теорій тяжіння і фігури Землі. Архімед, Гюйгенс, Лежандр, Ламберт. Про квадратуру кола. Орезмський І. Про сумірності або несумірності рухів неба; Зубов В. П. Трактат Брадоардііа «Про континуумі». Ожигова Є. П. Розвиток теорії чисел в Росії. Попов Г. Н.
   
10. Філософія математики
      геометрію, астрономію. Спеціальні математичні дисципліни займаються окремими областями сущого, тому вони непорівнянні з філософією, яка має справу з усім сущим, з буттям як таким. Однак з філософією порівнянна загальна математика, бо «загальна математика має відношення до всього» (VI, 1). Така універсальна математика порівнянна з філософією-обидві науки мають справу з сущим у всьому
    
11. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
      арифметики чи аналізу, за допомогою яких доводиться несуперечливість всіх інших частин математики. - Несуперечність всієї математики не може бути дедуціровать з аксіом логіки або даних інтуїції. Всі спроби вивести математику з логіки виявилися неспроможні, тому що засновані на проблематичному уявленні про натуральному ряді чисел як завершеної сукупності. Ще більш
    
12. Рекомендована література 1.
      античність, середньовіччя, епоха Відродження). -М., 1999. 6. Кузнецов Б.Г. Історія філософії для фізиків і математиків. М., Наука, 1978. 7. Шаповалов В.Ф. Основи філософії: від класики до сучасності. -М., Гранд, 1998. 8. Філософи і філософія. Життя. Доля. Вчення. - Стожища, 1998. 9. Полікарпов B.C. Історія релігій. Лекції і хрестоматія. -М., 1997. 10. Новітній філософський словник.
    
13. Математична програма
      арифметики і геометрії) та формулювання дедуктивного методу докази, що припускає систематичну зв'язок математичних висловлювань, строгий перехід від одного припущення до іншого за допомогою доказів з пифагорейским вченням. Тільки в піфагорейської школі кількість із засобу вирішення практичних завдань, пов'язаних із земними потребами людей, перетворюється на ідеальний об'єкт
    
14. Антична наука та її вплив на світову культуру
      античності закладаються основи для формування трьох наукових программ149: - математичної програми, що виникла на базі піфагорейської і платонівської філософії; - атомістичної програми (Левкіпп, Демокріт, Епікур); - контінуалістской програми Аристотеля, на основі якої створена перша фізична теорія, що проіснувала аж до XVII ст ., хоча і не без змін.
    
15.  Глава 4 Критика Ейнштеновой філософії геометрії.
      геометрії.