Філософія математики

Треба сказати, що ця думка Аристотеля не отримала у нього розвитку. Він сам математиком ні, математичних робіт не писав. Але вона дозволила в майбутньому деяким перипатетики поставити категорію кількості нарівні з категорією сутності, а потім і віддати категорії кількості пріоритет перед категорією сутності. Якщо предметом першої філософії, або метафізики, є відокремлені від матерії (всупереч всім запереченням Аристотеля проти Платона) сутності, суті буття, форми, види, то об'єкти математики також нерухомі, але вони не існують відособлено від матерії.

Аристотель, зрозуміло, не знав вищої математики, об'єкти якої якраз рухливі, оскільки там вводяться змінні величини та їх залежності один від одного. Математика Аристотеля - статична математика його епохи. Її предмет - натуральні числа, геометричні фігури. Вона не призначена для вивчення процесів і для відкриття законів процесів, що стало справою науки Нового часу. Якщо для античності сутність - це нерухома форма, то для науки Нового часу сутність - це закон зміни явищ, стійке в явищах, у процесах. У цьому-одна з принципових відмінностей античного світогляду від міровбззренія Нового часу, в цьому основний порок античної науки, її донаучной (у відомому сенсі слова). Фактично античність не відчинила жодного закону природи, крім основного закону гідростатики Архімеда.

Отже, математика в поданні Аристотеля має справу з об'єктами нерухомими. Застереження, що йдеться про «деяких галузях» математики, не роз'яснюється: мабуть, під іншими галузями мається на увазі виключно астрономія, що вивчає руху небесних тіл. В цілому, оголошуючи предметами математики нерухомі об'єкти, Аристотель віддає данину обмеженості античності в науці. Більш прав він, вважаючи, що об'єкти математики не існують окремо від матерії. Проблема того, як і де існують математичні предмети, в центрі уваги Аристотеля. Цю проблему він формулює так: «Якщо існують математичні предмети, то вони повинні або знаходитися в почуттєвих речах, як стверджують деякі, або бьгть окремо від чуттєвих речей (і це теж деякі кажуть);

а якщо вони не існують ні тим, ні іншим шляхом, тоді вони або [взагалі] не існують, або існують в іншому сенсі: таким чином (у цьому останньому випадку) спірним у нас буде [вже] не те, чи існують вони, але яким чином [вони існують] »(XIII, 1).

На це питання Аристотель відповідає в тому дусі, що математичні предмети не існують ні окремо від чуттєвих речей як якісь особливі сутності, ні як такі в самих чуттєвих речах. Що стосується першої можливості, то Аристотель говорить, що «предмети математики не можна відокремлювати від чуттєвих речей, як це стверджують деякі, і початок речей не в них» (XIV, 6). Цими словами, до речі сказати, закінчується «Метафізика». Але предмети математики як такі не існують і в речах. Об'єктивно предмети математики - всього лише певні акціденціі фізичних речей, абстрагіруемие розумом: «[Властивості ж], невіддільні від тіла, але з іншого боку, оскільки вони не є станами визначеного тіла і [беруться] в абстракції, [вивчає] математик» (О душі I, 1).

Вирішуючи проблему існування чисел та інших математичних предметів, Аристотель здійснює свого роду заперечення заперечення. Піфагорійці не відокремлювали числа від речей, а речі-від чисел. Навпаки, вони наївно ототожнювали речі і числа. Для цього вони геомет-різіровалі тіла і самі числа. Наприклад, нагадаємо, трикутник, кожна сторона якого дорівнює шести одиницям вимірювання, піфагорійці висловлювали числом у двадцять одну арифметичну одиницю, бо з стількох тілесних монад (одиниць) можна скласти цю фігуру <якщо мати на увазі її площа, а не тільки периметр).

Вперше числа від речей відокремили академіки. Саме вони, а не піфагорійці, перетворили числа в самостійні сутності, первинні по відношенню до речей. В останній період діяльності Платон арифмет | гізіровал і самі ідеї. Він ввів єдине і двоіцу (велике і мале)! Як якусь матерію, з якої народжуються самі ідеї через прилучення їх до єдиного. Ясно, що такі ідеї стають вже числами. Це «велике і мале» Аристотель порівнює з пифагорейским алейрон. При цьому єдине і ідеї, оскільки вони долучені до речей, беруть участь у них, є причина добра, а «матерія» («двоица», «велике» і «мале») - причина зла. Як уже відзначалося. Аристотель висміює ці погляди: «Все це нерозумно і знаходиться у конфлікті і саме з собою, та з природним вірогідний, і як ніби ми тут маємо ту« словесну тяганина », про яку говорить Симонид; виходить словесна тяганина, як вона буває у рабів, коли в їх словах немає нічого ділового. І здається, що самі елементи-велике і мале - кричать [гучним голосом], наче їх тягнуть насильно: вони не можуть адже жодним чином породити числа »(Метаф. XIV, 3).

Аристотель повернув числа в речі, але не по-Піфагорійську, не шляхом наївного ототожнення того й іншого: у речах знаходяться не самі числа, а такі їх кількісні та просторові властивості, які шляхом абстрагирующей роботи мислення стають в людській свідомості числами, а також іншими математичними предметами.

Інформація, релевантна " Філософія математики "

1. Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002
   
   
2. Асмус В.Ф.. Проблема інтуїції у філософії та математики. (Нарис історії: XVII - початок XX в.) М.: Думка - 315 с., 1965
   
   
3. IV. ЛОГІКА АБО МАТЕМАТИКА
   філософські питання зачіпають як філософію математики, так і філософію логіки, і ми не будемо намагатися розвести ці дві дисципліни
   
4. Передмова
   філософії математики прийнято відносити питання, що стосуються обгрунтування математики як науки. XX століття було унікальним часом, коли проблема обгрунтування математики вважалася однією з найбільш пріоритетних, і кращі математичні уми витратили чимало часу на пошуки її адекватного рішення. У результаті були отримані фундаментальні результати, що мають видатне філософське значення. У посібнику
   
5. Поняття завершеною аксіоматики
   філософії науки. Його можна назвати також системним, оскільки математика розглядатиметься тут як історично розвивається і самоорганізується. Від аналізу структури математичної теорії ми переходимо до аналізу історичних стадій її розвитку, до дослідження логіки її становлення. Ідея онтологічної істинності при такому підході стає несуттєвою. В основі нашого
   
6. Рекомендована література 1.
   Філософії в короткому викладі. Пер. з чеського Богута І.І. - М., 1991. 2. Історія сучасної зарубіжної філософії. -СПб, 1997. 3. Дж. Реалі, Д.Антісері. Західна філософія від витоків до наших днів. -СПб, 1994. 4. Курбатов В.І. історія філософії. -Р / Д, 1997. 5. Переведенцев С.В. Практикум з історії західноєвропейської філософії (античність, середньовіччя, епоха Відродження). -М., 1999.
   
7. 42. Предполаганіе і передування
   математики в слабкому сенсі, оскільки вона за «* ає лінгвістичні рамки для математичних рассу-кденій і контролює математичні висновки. Однак-раси (з дозволу) логіцізма-логіка не передує математики в сильному сенсі, тобто її недостатньо для побудови математики. Справді, кожна, навіть найбідніша математична теорія (наприклад, теорія часткового упорядкування) має по
   
8. Бертран РАССЕЛ логічного атомізму 5
   філософії і тому школи повинні скоріше характеризуватися своєю логікою, ніж метафізикою. Моя власна логіка є атомістичної і саме цей аспект я хотів би підкреслити в ией. Таким чином, я вважаю за краще називати мою філософію скоріше «логічним атомізму», ніж «реалізмом», з деяким прикметником илн без нього. В якості введення може бути корисно сказати кілька слів про
   
9. Передмова
   філософів і філософськи мислячих вчених. Довгий час в математиці хотіли знайти ідеал теоретичної науки, канон для побудови всякого доказового (у тому числі і філософського) знання. Ідея математики як строгої науки знайшла вираження у філософських вченнях минулого: у Платона, Августина, Декарта, Лейбніца, Канта. Проте вже з середини XIX століття в теорії пізнання стали з'являтися ідеї про
   
10. JHSS: ru IIRSSInu Шановні читачі! Шановні автори! URSS
    філософії математики. Асмус В. Ф. Проблема інтуїції я філософії та математики. Рен'і А. Діалоги про математиці. Хорді Г. Г. Апологія математика. Гнеденко Б. В. Про математиці. Гнеденко Б. В. Нариси з історії математики в Росії, Гнеденко Б. В, Нарис з історії теорії ймовірностей. Медведєв Ф. А. Нариси історії теорії функцій дійсного змінного. Медведєв Ф. А. Французька школа теорії
    
11. ПЕРЕДМОВА
    філософії. Згідно Б. Расселу, «проблема, яку Кант поклав в основу своєї філософії, а саме," Як можлива чиста математика? ", Цікава і важка, і будь-яка філософія, якщо вона не повністю скептична, повинна знайти якесь її вирішення» 1 . Правда Я. Хакінг лаконічно зауважив з цього приводу, що «Рассел перебільшив. Є багато філософій, які не повністю скептичні, і які зовсім не
    
12. Несуперечність логістичних систем
    математики виникає з ідеї сводимости математики до логіки, яка була сформульована ще Лейбніцем і отримала підтримку в розвитку методів математичної логіки в XIX столітті. Логіцизм виходить з припущення, що всі поняття математики можуть бути визначені на основі понять, що відносяться до логіки, і всі теореми математики можуть бути представлені у вигляді загальнозначимих логічних суджень.
    
13. Апріорність і реальна значимість вихідних уявлень математики
    філософії математики. Математичний априоризм диктується самою практикою математичного мислення. Ми всі усвідомлюємо самоочевидність і некоррек-тіруемость тверджень елементарної математики типу: 2 + 2 = 4 і безумовну Інтерсуб'єктивність та історичну стійкість визнаних доказів. Практика математичного мислення постійно демонструє нам первинність інтуїтивної основи
    
14. Математична програма
    філософського принципу стало результатом усвідомлення ефективності та універсальної застосовності чисел, з одного боку, та їх ключового положення в самій математики - з іншого. Піфагорійці усюди прагнули виявити математичні закономірності, порядок і універсальну гармонію. З точки зору цього метафізичного принципу вони прагнуть зрозуміти пристрій космосу, акустичні та музичні
    
15. 7. Автономія логіки
    філософії математики Лейбніца, яка розглядала логіку як частина загальної математики. Подання про логіку як про науку, що має особливе ставлення до математики, знайшло вираження і в програмах її обгрунтування. Логіцизм розглядав логіку як істинне підстава математики і основу всіх математичних понять: відношення між логікою і математикою розумілося тут як відношення між