| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
II. Логіко-математичні науки |
||
|
Окресливши, таким чином, поле діяльності натурфілософії, я дозволю собі в подальшому викладі накидати у великих рисах картину її складу. При цьому я не міг, та й не хотів уникнути того, щоб не надати цьому нарису особисте забарвлення, обумовлену моїми власними зусиллями щодо відродження натурфілософії в наш час. Певне поєднання помітних об'єктів називається різноманіттям; насамперед нам необхідно встановити закони різноманіть, які згідно передумові повинні бути незалежні від особливої при-пологи складових її об'єктів. Ми знаходимо, що всі різноманіття подільні і составляеми і що в результаті такої операції завжди вийде знову-таки різноманіття. Ділення неможливо тільки в тому випадку, коли різноманіття складається з одного об'єкта. Поєднуючи частини якого-небудь різноманіття, ми знову отримуємо початкове різноманіття. Порівнюючи кілька різноманіть, ми отримуємо важливе поняття відповідності. Ми наводимо у відповідність одне різноманіття з іншим, коли встановлюємо, що об'єкт одного різноманіття повинен відповідати об'єкту іншого різноманіття. Якщо природа двох різноманіть така, що один може абсолютно відповідати іншому і навпаки, то вони називаються рівними, в іншому випадку - різними. Два різноманіття, абсолютно відповідні третє, можуть, як показує досвід, відповідати один одному, або два різноманіття, рівні третього, рівні між собою. При приведенні у відповідність різних різноманіть, одне вичерпається швидше іншого; ми називаємо його біднішими іншого, яке буде багатшим. Завдяки приведенню у відповідність ми дуже скоро переконуємося, що якщо різноманіття А багатшими різноманіття В, а це багатшими різноманіття С, то і А багатшими С. Якщо над даними різноманіттям А, В, С. .. виробляти які-небудь операції ділення або додавання, то над іншими рівними різноманіттям А ', В', C '... або А ", В", С ". можна проробляти з тим же успіхом ті ж операції, як це випливає з застосування приведення у відповідність. Це показує нам, яке величезне значення має метод приведення у відповідність для знання і оволодівання речами, бо він дозволяє нам довести, що раз пророблена операція загальнообов'язкова для всіх інших випадків, що допускають вчинене відповідність. Надалі ми переконаємося, що насправді на відповідності грунтується науковий метод. Розвинені нами до цих пір положення обов'язкові для всякого роду різноманіть, і особливо необхідно підкреслити, що до цих пір ми не користувалися і не висували ні поняття величини, ні поняття числа. Вони виходять лише тоді, коли ми робимо особливі допущення про природу об'єктів. Перш за все ми робимо припущення, що окремі речі, з яких складається різноманіття, не відрізняються один від одного. Змушений або Добровілля цю відмову від розрізнення - це не має впливу на властивості подібного різноманіття. Потім ми можемо запропоноване різноманіття піддати поділу і отримані частини знову ділити, поки нарешті ні з однією частиною різноманіття не можна призвести подальшого поділу, так як кожна виявиться складається з однієї речі. З цих окремих речей або одиниць ми можемо знову скласти різноманіття, причому це може статися будь-яким чином, бо згідно нашої передумові окремі речі нічим один від одного не відрізняються. Це додавання ми проробляємо поступово: спочатку беремо одну річ, приєднуємо до неї іншу, потім ще одну і т. д. Операцію цю ми називаємо рахунком, а окремі результати забезпечуються певними назвами і значками, званими числами. Кожне число являє собою різноманіття певного багатства, яке називається цінністю цього числа, а всі властивості цього числа щодо поділу його і складання обов'язкові для всіх різноманіть тієї ж цінності. Всі закони, що стосуються взаємних відносин чисел, обов'язкові, в силу принципу відповідності, для всіх подібних різноманіть, і на цьому грунтується неозора область застосування цього допоміжного засобу. Місце понять «багатшими» і «біднішими» займають відносно числових кількостей поняття «більше »і« менше ». Якщо яке-небудь число А більше В, або В більше С, то і А більше С. Це добре відоме положення є лише окремий випадок більш загального положення про многовидах. Усяке окреме число позначає насамперед різноманіття особливої природи, будучи втіленням всіх рівних між собою і відмінних від інших піддаються рахунку різноманіть. Об'єднавши сукупність всіх чисел, ми можемо утворити нове різноманіття, в якому окремі речі або члени вже відрізняються один від одного. Далі, кожен з членів (за винятком одиниці) володіє тим властивістю, що він може вийти з іншого (і тільки одного) члена за допомогою прилічування одиниці. Внаслідок цього виникає певне ставлення між усіма членами числового різноманіття, яке можна назвати порядком. Кількість чисел можна розташувати в такому порядку , щоб відносно всякого числа всі наступні були більше його і всі попередні - менше. Це досягається тоді, коли кожне наступне число на одиницю більше попереднього, як у цьому легко переконатися, застосовуючи висловлений в попередньому абзаці закон. Це аж ніяк не єдиний спосіб порядку, хоча в усякому разі найпростіший. Необхідно тому докладніше розвинути поняття порядку. Порядок можливий лише тоді, коли кожна річ різноманіття може бути відрізна від інших, так що її можна розпізнати і стежити, так сказати, за її долею. Я можу зробити так, щоб кожен об'єкт якогось різноманіття перебував у якомусь певному наказаному відношенні до кожного з решти об'єктів. При цьому негайно з'ясовується, що крім відносин, необхідних для однозначімого освіти порядку , в упорядкованому кількості можуть бути розкриті численні інші відносини подібного роду, які, в свою чергу, можуть при відомому підборі служити для встановлення такого ж порядку. Найпростіший вид порядку - це послідовність; вона характеризується тим, що до кожної речі приурочується та чи інша річ різноманіття, з якою вона перебуває у постійному відношенні. Подібна послідовність виходить, наприклад, якщо стосовно кожної речі визначити, яка інша буде слідувати до неї в часі; точно так само можлива і просторова послідовність. Звідси видно , що за допомогою такого способу для всякої речі однозначімо встановлюється не тільки наступна за нею річ, але і попередня, але й предбліжайшая. Впорядковане різноманіття має властивість подільності, властивим всякому різноманіттю, але якщо ми побажаємо з частин заново відновити колишнє упорядковане різноманіття, то потрібно звернути увагу і на порядок цих частин, тому що в противному випадку буде порушено прийняте правило порядку; частини упорядкованого різноманіття можуть бути тому знову складені тільки одним способом. Та річ, яка при застосуванні правила порядку відноситься до даної речі, називається вищої, остання ж - нижчою. Завжди тому в кінцевому різноманітті існує один член, до якого не може бути віднесений вищий тому, що кількість вичерпано, так само як існує один член, до якого НЕ примикає нижчий, бо їм починається ряд. Чудово, що відносини, подібні знайденим на с. 164 та ін для двох упорядкованих різноманіть, маються в наявності і в рамках одного різноманіття, якщо воно впорядковано. Це випливає з того, що спосіб упорядкування проведено тут у рамках самого різноманіття. Далі, гідно згадки, що за тим же законом можливо розташувати у взаємному порядку кілька вже розміщених у порядку різноманіть. Зазначені на с. 164 закони підійдуть і сюди, зокрема повторяться відносини, що мали місце між членами упорядкованого різноманіття. Крім описаної послідовності, існують ще інші види внутрішнього порядку різноманіття, так, наприклад, якщо до кожного члена одновимірно ставляться в відомі відносини два, три або більше членів. Ці більш складні види порядку ми тут тільки намітимо. Звичайно число називають або основним, або порядковим залежно від того чи розглядають його цінність, або його послідовність. Тим часом вся техніка рахунки покоїться на тому, що й основні числа одночасно вважаються порядковими; порядок служить при цьому тільки для полегшення роботи, бо цінність від порядку не залежить. З іншого боку, упорядкований ряд чисел вживається як тип з метою приведення у відповідність інших рядів і служить, таким чином, також для позначення послідовностей, яким не притаманний характер величини або цінності. Так «нумеріруются» строфи якого-небудь вірша або місця в театрі, що полегшує знаходження потрібної строфи або потрібного місця, бо кожна людина знає напам'ять послідовність чисел і легко може орієнтуватися. Порядкові числа не уявляють собою, однак, єдиного типу послідовності, для цієї ж мети користуються і буквами. З щойно описаних чисел можна при допомогою певних операцій чи приписів вивести негативні і дробові числа. Втім, їх зображення завело б нас надто далеко. Вкажемо тому тільки на результати. За допомогою негативних чисел ми перетворюємо їх ряд, колишній досі необмеженим лише в сенсі більш великих чисел, необмеженим з обох сторін. За допомогою дрібних чисел ми отримуємо можливість вставити між двома наступними один за одним (цілими) числами будь-яку кількість лежать між ними чисел. Дуже важливе застосування знаходять собі тільки що розвинені поняття в (спеціалізованих) поняттях часу і простору. Починаючи з Канта, звикли приділяти їм як формам нашого споглядання особливо видатне місце, між тим розвинені нами досі поняття переживання, речі, різноманіття, числа,, порядку - все спільне часу і простору, і останні виходять з перших при посередництві подальших обмежень. Звернемося спочатку до часу. Наші переживання утворюють, як відомо з досвіду, упорядковану послідовність одночісленного роду, тобто кожне переживання знаходиться тільки з одним переживанням у безпосередньому відношенні вище і нижче (див. с. 166), або, як ми це назвемо тут, раніше і пізніше. Користуючись чином, запозиченим з просторового споглядання, ми говоримо, що це ряд лінійний або першого виміру. Цей порядок наших внутрішніх переживань ми називаємо часом, і, таким чином, воно підпорядковане тим же умовам, що й вони. Це означає, що мій час переривається досить регулярними інтервалами снів, коли припиняються мої переживання, з тим щоб знову початися при пробудженні. При розгляді подібних переживань, на яких відображається вплив зовнішнього світу, виявилося доцільним замінити це суб'єктивні визначення часу об'єктивним і одночасно довільно вийти з суб'єктивно випробовується часу. Ми знаходимо, що процеси зовнішнього світу, ймовірно, не припиняються з нашою свідомістю, але й потім виявляються такими ж , немов і протягом нашого сну протекло відоме час. Тому ми допускаємо, що такі часи дійсно пройшли, тільки ми не усвідомлювали цього. Далі висувається можливість такого встановлення цього об'єктивного часу, щоб було можливо закономірне, тобто повторюване й яка б могла бути передвіщеним , розуміння багатьох подій. В якості подібної об'єктивної норми часу виявилися найбільш доцільними (уявні) руху сонця і зірок, і тому нашу об'єктивну систему часу ми формуємо на цій нормі. Суб'єктивне час ми відчуваємо як безперервне. Це означає, що ми його можемо ділити в будь-якій точці і що за будь продовженні ділення даного часу ми не знаходимо жодного явища, яке виключало б подальший розподіл. Іншими словами: між двома точками часу, як би близькі вони не були, ми завжди можемо мислити ще одну точку часу. Проте ми зазвичай зображаємо це безперервний час за допомогою перериваного числового ряду, розділяючи його на правильні частини (роки, дні, години, хвилини і т. д.) і розташовуючи ці наступні один за одним частини в числовий ряд. Вперше тут виникає важливе питання: як можна безперервний ряд привести у відповідність з переривчастим? Це відбувається так: в рамках безперервного ряду виробляють поділ на частини і межі кожних двох наступних один за одним частин, які адже перериваних, приводять у відповідність з числами, чим усувається це основне складне. Іншими словами: кожному числу відповідає нерозтяжна точка в безперервному плині часу. Користуючись дробовими числами, можна будь-яку лежачу посередині точку позначити за бажаною ступенем точності, так що фактично числами може бути позначена будь-яка точка часу і будь-яка лежить між двома точками довжина часу. Так як час насамперед зображується як порядок, то з ним не пов'язане поняття величини. Виходячи з того, що ми вважаємо вертіння землі навколо своєї осі рівномірним, можна цей період або один день вважати одиницею величини часу і його подотделенія визначати як відповідні частинам вертіння. Так як інші по можливості Ненарушаемая процеси виявляються, як показує досвід, при вживанні цієї міри часу рівномірними, то не видно нічого, що суперечило б її загальному застосуванню, і остільки можна часу приписати величину. Як видно з виведення, можливість ця покоїться на тому, що певні тимчасові явища повторюються, тобто протікають так, немов час починається кожен раз знову. Приблизно те ж саме має місце і в наших внутрішніх переживаннях, де при регулярному способі життя кожен день приносить те ж саме, тільки те, що над цими періодичними явищами наслояются неперіодичні явища старіння. Звідси випливає суттєва різниця між суб'єктивним і об'єктивним часом. Коли перед нами холодний і теплий предмет і ми за допомогою дотику поперемінно викликаємо пов'язані з цим внутрішні переживання відчуттів холоду і тепла, то ми дізнаємося ці переживання, хоча і одне після іншого, в різний час, але вважаємо цю різницю в часі несуттєвою, оскільки ми можемо довільно змінити порядок. Ця обставина змушує нас вважати те, чого ми скасувати не можемо, саме відмінність наших рухів, нової сутністю, і ми утворюємо нове відповідне невременное поняття, яке ми позначаємо простором. Поняття простору виходить, таким чином, з того факту, що однозначної послідовності часу недостатньо для задовільною формулювання і огляду наших переживань. Такі переживання, які ми можемо викликати в різний час, ми переносимо в простір. Переживання, для яких ми встановлюємо просторовий порядок, по суті своєму складаються з тих, які доводяться до нас при посередництві очі і почуття дотику; менш істотно при цьому участь слуху, нюх ж і смак зовсім не йдуть в рахунок. Із суми переживань, одержуваних при посередництві почуттів, ми називаємо просторовими лише певну частину. У підставі вибору знову-таки лежить доцільний свавілля, як то нами було неодноразово отмечаемо раніше з іншого приводу. Точно так само, як і щодо часу, ми розрізняємо суб'єктивне та об'єктивне простір. Перше розділяється областями дотику і зору на дві один в одному знаходяться області дуже різною і мінливою розтяжності і природи; обидві області можуть за допомогою (механічних та оптичних) знарядь бути значно розтягнуті і витончені. Об'єктивне простір є абстракція з найрізноманітніших суб'єктивних просторів нашого досвіду, з якого опущені мінливі складові частини. Ми допускаємо, що об'єктивне простір усюди рівномірно і однорідно, і відповідно до досвіду повинні, для того щоб цілком висловити сприйняті в понятті простору відносини, приписати йому тризначне різноманіття. Інакше кажучи: для визначення просторового відносини небудь точки до даної частини простору (геометричному тілу) нам потрібні три незалежні один від одного відправні точки. Для цього зазвичай служать три перпендикулярні один до одного прямі, і відповідно з цим то тризначне різноманіття називається трьома вимірами простору. Простір також насамперед зображується як порядок, і його вимір грунтується на допущенні його однорідності. Іншими словами: ми допускаємо, що твердий предмет, службовець мірилом, не змінює своєї просторової природи (довжини, ширини, висоти), коли ми його переносимо з одного місця на інше. Докази цього допущення не існує, але можна довести, що якщо довжина змінюється зі зміною місця, то цьому зміни піддаються однаковою мірою всі тверді тіла. Точно так само дві гирі залишаються всюди рівними собі, якщо вони виготовлені в одному і тому ж місці, бо хоча вага і змінюється разом з місцем, але це зміна відбивається однаковою мірою на всіх важких тілах. При просторових відносинах досі не було приводу допускати відмінності в залежності від місця, і тому дотримуються більш простого допущення рівності. Так як простір безперервно, то щодо його приведення у відповідність до (перериваний) числовий ряд можна виставити ті ж міркування, що були висловлені нами вище (с. 168) щодо часу. Простого чисельного ряду, однак, недостатньо для приведення його у відповідність з просторовими умовами; замість одного, простір повинен бути зображено трьома незалежними один від одного числовими рядами. Кидаючи ретроспективний погляд на все викладене досі, ми розпізнаємо в ньому підстави цілого відповідного ряду наук. Найбільш загальною наукою було б вчення про різноманіття, бо воно вимагає найменше особливостей в об'єктах, що можуть бути в різноманітті. Потім йшли б вчення про порядок, вчення про числа, вчення про час і, нарешті, вчення про простір; в кожній з цих наук зростає вміст основного поняття і відповідно зменшується його обсяг. Порівнюючи з цією систематикою фактичний склад науки, ми знаходимо, що визнані тільки дві області - вчення про числа або математика і вчення про простір або геометрія. При більш ретельному розгляді виявляється, однак, що вся область математики охоплює значні частини вчення про різноманіття і вчення про порядок. Перше утворює частина алгебри, друга розташувалося в якості комбінаторики в нижчому аналізі. Фактично, стало бути, предмет математики складу- ляють перші три науки, немає тільки у наявності систематичного розмежування їх. З іншого боку, найбільш загальна частина навчань про різноманіття та про порядок розробляється у формальній логіці. Відповідно до цього за останній час встановилися досить тісні та плідні відносини між логікою і математикою. При цьому слід взяти до уваги таку обставину. Всяка наступна наука сприймає загальні відносини або закони попередніх, бо раз її об'єкти потрапляють під більш загальне поняття цієї, то вони повинні відповідати і її законам. Так, наприклад, закони вчення про різноманіття утворюють необхідну складову частину вчення про порядок, вони тільки проявляються тут не в самій загальній формі, а обмежені особливими умовами більш вузького поняття. Відкриття і розвиток цих особливих застосувань загальних законів в пізнішій науці і створює можливість її прогресу ще до того, як ця більш загальна наука взагалі виникла як така. Це мало місце в математиці, і оживити за останній час прагнення до встановлення самих загальних законів тягнуть за собою поступове виділення цих більш загальних наук. Втім, в області вчення про порядок або комбінаторики вельми жваво працював уже Лейбніц, який віддавав собі повний звіт про її, що виходить за межі математики, значенні. Науки про час самої по собі також не існує, але завдяки загальному застосуванню понять простору і часу з геометрії виникає нова наука - кінематика, або вчення про рух. Це коштує у зв'язку з тією обставиною, що простір і час не знаходяться, подібно різноманіттю, порядку і числу, у відношенні підпорядкування, а існують поруч і разом складають найближчим вищу освіту поняття.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "II. Логіко-математичні науки" |
||
|
||