| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
2. Другий приклад: класична теорія гравітації |
||
|
Перейдемо тепер до аксіоматизації теорії гравітації Ньютона - Пуассона. Це допоможе нам зрозуміти її ставлення до класичної механіки, з якою її часто плутають. Формальні передумови: логіка і математичний аналіз (зокрема, теорія потенціалу), а також теоретико-множинні, алгебраїчні, арифметичні н топологічні передумови аналізу. Філософські передумови: семантичні та метафізичні передумови наукового дослідження. Протофізіческіе передумови: елементарна теорія систем, аналіз розмірностей,. теорія універсального часу і фізична евклідова геометрія. Первинна основа: М3 (диференціюється тривимірне різноманіття), Т (час),? (Тіло), В (репрезентативне тіло), К (система відліку), Г (поле), U (потенціал), X (положення частки), р (щільність тіла), Т (механічне напруження), G (гравітаційна постійна). 1 - я група аксіом: простір і час (1.1а) М3 є тривимірне що диференціюється різноманіття (FA). (1.1b) Мг представляє звичайний простір (S / 4). (1.2а) Т є інтервал дійсної числової осі (Л4). (1.2Ь) Кожен член t безлічі Т являє собою мить часу, і ставлення яке (частково) впорядковує Т, представляє відношення «бути раніше» або «одночасно з» (5Л). 2 - я група аксіом: гравітаційне поле (2.1а) Г є непорожнє безліч (FA). (2.1Ь) Кожна є гравітаційне поле (S4). (2.2а) {Щ є непорожнє сімейство скалярних полів в Ms (FA), (2.2b) Д $ я кожного уєГ мається Uy & {Uv \ таке , що Uу ебть дійсна функція від М * Х.Т (FA). (2.2с)-Кожна та її похідна першого по рядка є гладкими на Л13 (FA). (2.2d)-Vt / v (x, /) являє собою напруженість гравітаційного поля уєГ в х ^ М * і / є7 * [5А]. G є позитивне дійсне число (FA). Для кожного уєГ і кожного оє2 в будь-якій точці Л є Лі3, в будь-яку мить t е Т і в (відносно) будь-якій системі відліку k ^ K 3 - я група аксіом: тіло і система відліку (3.1а) 2 є непорожнє рахункове безліч, не перетинаються з безліччю Г [^ Л]. (3. Ib) Кожне сгє2 є деяке тіло (3.2а) В є непорожнє сімейство точкових множин IFA). (3.2Ь) Кожне є тривимірне що диференціюється різноманіття [FA], (3.2с) Для кожного asS існує Ь є У таке, що Ь представляє (відображає, моделює) а точковим чином [5Л]. (3.3а) До є непорожнє рахункове безліч, включене в 2 [FA]. (З.ЗЬ) Відстань між будь-якими двома точками в будь Ле / С є постійним [РА \ (3.3с) Ніяке k ^ К не взаємодіє з яким -або про є 2, яка не є частиною & [РА]. (3.3d) Для кожного йєХ в М3 існує деяка декартова система ортогональних осей е * = (ЕІ, е2, е3), така, чго e == k (тобто е моделює або відображає k) [S / l]. (3.4а) {Я} є непорожнє сімейство дійсних векторних функцій від В X До X Т (FA). '3 .4 Ь) Кожна X є {X} є обмеженою варіацією для будь-якого даного і k ^ K (FA). [3.4с) Якщо л є часткою про і якщо а = тоді /) являє розташування л щодо системи відліку k в момент t (S4). '3 .5 А) {р} є непорожнє сімейство функцій [FA \. 3.5b) Кожна р є {р} є функція, що відображає ВХМ * ХТ в множину невід'ємних дійсних чисел, інтегрована, за Лебегом, в будь-якої кінцевої області М3 [F / 4]. 3.5с) Якщо 6 = від, тоді р (b, x, t) являє щільність маси а в х, ДОТ]. 3.6а) {7} є непорожнє сімейство функцій [FA]. 3.6b) Кожне Т є {Т} є дійсна тензорна функція з валентністю (2,0) по В X До X М * X Т lfA \. (З.бс) Якщо а про є 2 і р є о і якщо я є частини ца тіла про і, крім того, Ь - о, а р = п, тоді Г (р, Л, ж, t) буде напругою в тілі на частці д з боку тіла про [5/1]. (3.7) Для кожного у є Г, кожного Ь = о, кожного р є є {р}, кожного Іє {Д кожного Т є {Г}, кожного х є Af3 і кожного і є Г існує принаймні одна ft є До , така, що Р * PVU + diVT [PA]. Похідні поняття н; Визначення /. Результуюча маса: *) »J rf ^ p (ft, /), причому j Визначення 2. Щільність гравітаційної сили, що діє на тіло про щодо системи ft є / С / (a, ft ^ f-pVtf. Визначення S. Інерціальна система: будь-яка система відліку, в якій задовольняються постулати 3, називається інерціальній системою. Серед нескінченної кількості наслідків, що випливають із запропонованого безлічі аксіом, згадаємо лише наступні. Теорема 1. Гравітаційний потенціал точкової частинки, що володіє масою Af, дорівнює U (г) «GM / r. Доказ. Вцзьмем р (г) - M6 (r) fr2, де 6 є функція Дірака в аксіомі 2.4, і висловимо V3 в сферичних координатах. Слідство. Сила гравітації, що діє на частку маси m з боку поля, пов'язаного з точковою частинкою маси М, дорівнює F: = GmM (Xr) / \ X-rp. Доказ. За допомогою теореми 1 і визначення 2. Теорема 2. Рівняння руху невращающеЗся частинки маси m в полі точечкой частинки маси М наступне: X «в GM (ЛГ - р) / | X - гр Доказ. Поставте теорему I в аксіому 3.7, покладіть Г = Він скоротіть р. Слідство. За умов, які постулируются в теоремі 2, і постійних відстанях між частинками W4 причому X - g const, g = dfiM {Xr) l \ X-rf. Логічні відносини, які були нами зараз розглянуті, наочно представляються наступною схемою. Рівняння руху Порівняння поля
Закон сили Закон Галілея Постійні відстані «їжак% частинками Коментарі, (і) Попередня система аксіом містить всього лише чотири фізичні припущення: одне щодо жорсткості і пасивності систем відліку [аксіоми (З.ЗЬ) і (3.3с) відповідно], рівняння поля [аксіома (2. Оскільки воно є теоремою, остільки немає необхідності вводити його в аксіоматичні підстави теорії. Далі, твердження щодо точного числового значення величини G також є фізичною твердженням, але це не припущення, бо воно випливає з законів у їх кон'юнкції з емпіричної інформацією (наприклад, даними щодо довжини маятника та періоду його коливань), (iii) Рівняння поля формально тотожно з класичним рівнянням електростатичного поля, що часто спантеличує початківців студентів. Якби не було різниці в Понд-ромоторних силах відповідних полів, то ми були б не в змозі провести відмінність між цими двома полями. Це дає підставу для включення в теорію рівнянь руху, (iv) Елементарне виклад цієї теорії зазвичай обмежується найбільш відомим фізичним законом, а саме теоремою 2, яка справедлива тільки для точкових частинок. Спроби авторів підручників отримати загальне рівняння руху (3.7) виходячи з безлічі точкових частинок приречені на невдачу з очевидних математичним причин, (v) Кінетичне дію гравітаційного поля не залежить від маси тільки в спеціальному випадку, коли напруженість поля характеризується зникаючої дивергенції. Це одне з тих обмежень, при яких статичне однорідне гравітаційне поле еквівалентно прискореної системі відліку. Якби значення divT не було майже нехтує мало і їм часто не нехтували б через нестачу інформації щодо Т, тоді, можливо, н не був би відкритий принцип еквівалентності (насправді одна з двох теорем, які входять під цим ім'ям в загальну теорію относітельності1) і тим самим побудову релятивістської теорії гравітації було б утруднено, (vi) Згідно рівнянням руху [аксіома (3.7)], кінетичний ефект внутрішньої напруги, тобто divT / p, буде, якщо він негативний, протидіяти пондеромо-Торна дії поля - VI /, а у виняткових випадках навіть врівноважувати його. Викладених систем аксіом цілком достатньо, щоб служити ілюстрацією до фізичної аксіоматиці в 1 Див: М. Bunge, Foundations of Physics, 1967, дусі сказаного в розділі 7 . Додаткові приклади ян га тел ь зможе знайти в нашій книзі «Підстави Фіена ки» 1.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 2. Другий приклад: класична теорія гравітації " |
||
|
||