1. Необхідність онтологічного обгрунтування

Програми обгрунтування математики, запропоновані на початку XX століття, істотно базувалися на індуктівістской і номиналистской поданні про структуру математичного знання. Кінцевому надавався значно вищий статус реальності і надійності, ніж нескінченного. Нескінченні безлічі мислилися як «щось лише позірна», як тільки спосіб вираження, що дозволяє спростити систему висловлювань про кінцевих об'єктах. Уявлялося природним думати, що в основі всіх складних математичних понять лежать в кінцевому підсумку елементарні поняття, і що математика може бути побудована через послідовне сходження від нижчих поверхів до вищих. На самому нижньому поверсі відповідно з цією картиною повинні були розташовуватися елементарні уявлення, що належать логіки та арифметики натуральних чисел.

Хоча протягом XX століття проблема обгрунтування математики не була вирішена повністю, не можна не визнати, що було досягнуто суттєве просування в розумінні умов її рішення. Аналіз аксіоматикою виявив той факт, що нові теорії вимагають постулатів, що не зводиться до попередніх поняттях, і які, таким чином, повинні прийматися в якості первинних. Було зрозуміле, що логіка недостатня для обгрунтування принципів арифметики, а арифметика як така не може виправдати поняття нескінченної кількості, необхідне для теорії множин. Ці та багато інших фактів змусили визнати, що індуктівістской ідея побудови математики «знизу вгору» і «від кінцевого до нескінченного» не відповідає дійсній логікою обгрунтування математичного знання.

Вихід з цього становища в загальному плані був намічений К. Геделем. Він полягає в тому, щоб визнати існування абстрактних понять, даних в інтуїції, в якості самостійних сутностей, відповідних математичної реальності.

У статті «расселовского математична логіка» Гедель писав: «... Треба взяти більш консервативний курс, такий, який би полягав у тому, щоб зробити значення терміна «клас» і «концепт» більш ясними і побудувати несуперечливу теорію класів і концептів як об'єктивно даних сутностей »66. Ця ідея висловлюється Геделем також у статті «Що таке канторовской континуум гіпотеза» (1947): «Для тих, хто розглядає математичні об'єкти як існуючі незалежно від операцій нашого конструювання і нашого інтуїтивного усвідомлення їх як індивідуальних, хто вимагає тільки того, щоб загальні математичні поняття були достатньою мірою ясні для нас, щоб визнати їх осмисленість і істинність аксіом, пов'язаних з ними, існує, я вірю, достатанние підстави для визнання канторовской теорії множин в її повному обсязі та значення »67. Гедель виходить з допущення, що людський інтелект поряд з конкретними властивостями математичних об'єктів схоплює і відносяться до них абстрактні якості, що не зводяться до цих конкретних властивостях. Абстрактні математичні поняття відображають, по Геделю, аспекти об'єктивної реальності, але інші, ніж ті, які даються за допомогою відчуттів.

Ці ідеї Геделя не отримали визнання як методологічно значимих. Основна причина полягає в їх недостатній визначеності. Вони не містять критеріїв реальності і не дозволяють вирішити питання, які з очевидних аксіом теорії множин слід прийняти як безпосередньо істинних, а які є сумнівними щодо цього. У своїй загальній формулюванні ідеї Геделя можуть бути зрозумілі як відмова від суворого аналізу підстав і повернення до звичайної манери викладу математичних теорій, зорієнтованої на переконливість безпосереднього сприйняття передумов і висновків. Їх можна зрозуміти і як захист математичного емпіризму, оскільки вони засновані на аналогії між математичним і фізичним існуванням, а також між математичною інтуїцією і чуттєвим сприйняттям.

Зрозуміло, геделевская ідея не має ніякого відношення до емпіризму і релятивізму, а націлена на виявлення повного і гранично надійного підстави математики. В даний час стає все більш ясним, що незважаючи на свою невизначеність ця концепція повинна розглядатися як вказує необхідний напрям мислення. Концепція Геделя виходить з розуміння реальності й істинності математичних тверджень, її ведучим мотивом є антііндуктівізм, переконання в тому, що математика не може бути побудована на вузькій основі понять, які виділені в якості вихідних в існуючих програмах обгрунтування математики.

Теорія онтологічної істинності дає нам основу для прояснення і уточнення цієї ідеї. Тут необхідно виділити три положення, які забезпечують перехід від абстрактної ідеї математичної істинності до критеріїв істинності для конкретних принципів: 1.

Реальність математичної абстракції повинна розумітися як її онтологічна означенность, як впровадження її в предметну онтологію, породжену діяльнісної орієнтацією мислення. 2.

Онтологическая істинність математичних понять і принципів є гарантією їх абсолютної несуперечності у відношенні один до одного. 3.

Можливо раціональне обгрунтування приналежності конкретних математичних принципів до сфери онтологічної істинності.

Обгрунтування цих принципів усуває невизначеність Геделя-ської установки. Теорія онтологічної істини дозволяє нам обгрунтувати в якості істинних принципи класичної логіки, включаючи закон виключеного третього, вихідні аксіоми арифметики і евклідової геометрії і, нарешті, трансфінітні твердження, такі, як аксіома нескінченності і аксіома вибору. Аналіз онтологічного підстави математики дозволяє зрозуміти математичну нескінченність як особливу сутність, як необхідне уявлення предметної онтології і, таким чином, як уявлення настільки ж базове для математичного мислення, як і поняття натурального числа. Ми зрозуміли той факт, що трансфінітні принципи не обгрунтовуються на основі фінітних, а затверджуються у своїй надійності на основі власного онтологічного підстави.

Послідовне обгрунтування цієї позиції призводить до розуміння того факту, що всяка логічна програма обгрунтування ма-тематики є за своєю суттю онтологічної, бо вона потребує виправдання деякої системи вихідних принципів в якості безпосередньо істинною. У логічному обгрунтуванні математики ми повинні піти як від тісної фінітізма, так і від неконтрольованої інтуїтивність, провідною до суперечностей. Єдиним орієнтиром, що вказує межі допустимого відступу від финитности, є тут поняття онтологічної істинності.

З цієї точки зору ми повинні вважати абсолютно неспроможними витті заклики до очищення математики від онтології як від деякого роду метафізики. Антіонтологізм у філософії математики йде. Насамперед від конвенціоналізму, який розуміє математичну реальність як тільки гіпостазірованіе смислів, що виробляються-в рамках формальних структур. Він органічно притаманний інтуїционізма, який мислить математичні об'єкти як тільки уявні конструкції, прийнятні в плані тієї чи іншої задачі. Діяльнісна теорія пізнання розглядає математичні предмети не як відображення предметів досвіду і не як винаходи інтелекту, а як експлікацію предметних уявлень, що відносяться до універсальної формі мислення. Це означає, що онтологія, передбачувана математикою - не довільне побудова, яке може бути змінено наступним поколінням математиків, а система позачасових інтуїцій, що лежать в основі людського мислення. Досить ясно, що відмова від поняття онтологічної істинності був би руйнуванням всіх розумних шляхів до обгрунтування математікі69.

Принциповим моментом геделевской позиції є теза про існування єдиної істинної арифметики і єдиною істинної теорії множин. Виявлення справжніх математичних теорій дає нам ключ до обгрунтування математики в цілому, бо онтологічно істинні теорії повинні бути визнані як абсолютно несуперечливих. Існування єдиної онтологічно істинної арифметики, звичайно, не суперечить можливості інших арифметик, що володіють логічної непротиворечивостью.

Невдача спроб логічного обгрунтування математики привела до відродження емпіричної філософії, до ідеї математики як деякого роду абстрактної фізики, яка не гарантована від коригування та перегляду своїх основ.

Це, звичайно, помилкове напрямок думки. Математика - НЕ фізика і не система угод, що допускає зміну під впливом зовнішніх обставин. Виявлення неспроможності логічних підходів повинно, в дійсності, привести нас не до емпіризму, а до онтології, до розуміння особливого зв'язку математичних теорій з категоріальної картиною світу.

Інформація, релевантна " 1. Необхідність онтологічного обгрунтування "

1. 8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
   Тема, якій присвячено цей параграф, воістину неосяжна. Можна досить впевнено сказати, що серйозних, об'єктивних, вільних від кон'юнктури досліджень не так багато. У дореволюційній історіографії переважала, як правило, апо-логетіческая або вкрай негативна точка зору, причому консерватори піддавалися запеклої критики як з боку лібералів, так і з боку революціонерів всіх
   
2. А. В. ЛогіновК історико-філософський ІНТЕРПРЕТАЦІЇ ТЕРМІНА "АНТРОПОЛОГІЯ"
   Слід відразу обмовитися, що в даній статті йде мова не про різноманітних навчаннях про людину, в яких не було недоліку, як на Заході, так і на Сході, а про історію самого терміна "антропологія" і про кристалізації, пов'язаної з цим терміном, науки про людину. Наука про людину, що з'явилася в Новий час (з XVIII в. - Мартін Бубер, наприклад, пов'язує заснування науки «антропологія» з Н.
   
3. 8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
   Тема, якій присвячено цей параграф, воістину неосяжна. Можна досить впевнено сказати, що серйозних, об'єктивних, вільних від кон'юнктури досліджень не так багато. У дореволюційній історіографії переважала, як правило, апо-логетіческая або вкрай негативна точка зору, причому консерватори піддавалися запеклої критики як з боку лібералів, так і з боку революціонерів всіх
   
4. ФІЛОСОФСЬКІ ПІДСТАВИ АНАЛІЗУ ДОСВІДУ
   Досвід є традиційним об'єктом філософського дослідження, однак у різних філософських системах йому відводилася різна роль і приписувалося то більш широке, то більш спеціальне значення. Найпримітивніше розуміння досвіду склалося в рамках тих форм натуралізму, які весь досвід, в тому числі соціальний, духовний і творчий, зводили до психофізіологічних реакцій. Згідно
   
5. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
   Праобразом і первофеноменом людської культури є міфологія. Властиве їй поетично-казкове сприйняття світу зберігається і в раціонально-умоглядних системах ранньої філософії, на що не раз вказували дослідники. Але вже в первісній науці, зазначає А.Ф. Лосєв, «є деяка сума цілком певні устремлінь свідомості, які активно не хочуть бути міфологією, які
   
6. Предмет, статус філософії релігії. філософія релігії і религиоведение
   Те, у що люди вірять, є найважливішим аспектом реальності безвідносно до того, істинно воно чи ні. Н. Смарт, американський релігієзнавець Релігія - одна з найважливіших складових духовного досвіду людства - давно стала предметом пильної уваги і дослідницького інтересу. Сучасне релігієзнавство представляє собою великий комплекс дисциплін, предметом яких є
   
7. Введення
   У сучасній філософській думці, як і тисячі років тому, починаючи з давньоіндійської філософії, кінцевою проблемою і головним предметом дослідження була і залишається людина. Про те, наскільки грандіозна ця задача, свідчать не тільки століття, а й сама сутність філософського підходу до вивчення людини у світі, а світу - в людині. Такий підхід вимагає не простого накопичення знань, а звернення до
   
8. Етичне зміст філософської антропології та її смисложиттєвих пошуків
   З раннього дитинства ми чуємо від батьків та оточуючих нас людей слова, типу «Ти повинен зробити те-то» або «Ти не повинен так робити». Всі спонукання, прохання, накази та поради кореняться, в кінцевому рахунку, в якомусь «ти повинен». Підростаючи, ми й самі починаємо просити, переконувати і наказувати, посилаючись на належне. Історія філософії моралі дала цілий ряд тлумачень природи належного: його джерело
   
9. § 1 Проблема сенсу моралі як можливості здійснення належного
     Складність, багатогранність моралі - очевидний факт для її дослідників: моральні відносини, свідомість і діяльність людей невичерпні у своєму синхронічному і діахронічному розмаїтті, тобто в розрізах сучасного та історичного буття. Мораль є і специфічним способом пізнання, самовизначення людини в світі, і нічим не замінним соціальним інститутом, що регулює людські
   
10. § 2 Моральні підходи до проблеми сенсу життя в російської філософії
      Спільним для багатьох мислителів російського "срібного століття" є ототожнення визначення мети й смислополаганія: ставиться питання про абсолютно цінної мети, про те, що вона є по суті і "де лежить"? У житті чи поза нею? Від знання істини їм представлялося можливим перейти до питання про те, якими засобами вона затверджується в житті. На думку філософа-неокантианца, психолога і логіка А.І.
    
11. § 4 Методологічні висновки та рекомендації для освоєння матеріалу 2 розділу
      Мораль як об'єкт онтологічного аналізу (а цей план дослідження нас цікавив, насамперед) може бути розглянута з точки зору її сутності та існування, тобто, по-перше, в аспекті специфічних субстанціальним якостей, що забезпечують її автономність і самодостатність, а, по-друге, в аспекті конкретно-історичної розгортки, здійснення цієї сутності в діахронічному і