5. Реальність математичних об'єктів

Необхідно розділити методологічне і філософське розуміння математичного реалізму. Методологічний реалізм зводиться до твердження, що в математиці як безпосередньо істинних можуть прийматися не тільки твердження про конкретних предметах (числах, фігурах), а й твердження про абстрактні сутності, таких, як безліч дійсних чисел і т. п. Номіналіста вважають, що справжньою надійністю володіють тільки висловлювання про конкретні об'єкти, таких, як натуральні числа та операції з ними. Ця суперечка в даний час потрібно вважати закінченим: методологія математики достатньою мірою прояснила той факт, що строго номиналистическое побудова математики не може бути здійснено.

Для проблеми обгрунтування математики важливішою є ідея метафізичного реалізму, який прагне знайти за математичними абстракціями деякого роду реальне существованіе26. Праксеологіческая розуміння математичних ідеалізацій вирішує це питання в позитивному сенсі. Звичайно не можна думати, що математичному трикутнику відповідає реальний трикутник, існуючий в деякому піднебесному світі, як це думав Платон. Ідея субстанциального існування математичних об'єктів неприйнятна. Але з іншого боку ясно, що система вихідних уявлень математики вигадка, яка не конвенція і не плід вільного уяви. Система вихідних математичних ідеалізацій однозначно визначена структурою предметної онтології, і в цьому сенсі вона має безперечну об'єктивну значимість, пряме відношення до структури нашого світу. Числа і фігури - уявні уявлення, що існують тільки в голові математиків і в цьому сенсі вони "ідеальні. Але вони - необхідні уявлення свідомості, мислення без яких також неможливо, як воно неможливе бгез уявлень про причинність і часу. У цьому сенсі математичні об'єкти - необхідні складові діяльнісної картини світу і, отже, об'єкти, що мають реальну значимість.

У своєму ставленні до світу людина будує два рівня уявлень: теоретичні уявлення, систематизують дані досвіду, і онтологічні уявлення, що фіксують в собі необхідні умови акту діяльності. Обидва цих рівня уявлень володіють об'єктивною значущістю, бо обидва вони визначені та підтверджені практичним ставленням людини до світу. І якщо математична теорія в своїх вихідних інтуїціях задана категоріальної онтологією, то їй не може бути відмовлено у статусі реально значимої теорії. Погоджуючись з тими , хто говорить, що закони математики - не закони природи, ми проте маємо право наполягати на їх зв'язку зі структурою реальності, вираженої в категоріях. Цей хід думки набуває повну ясність, якщо ми перейдемо від Канта, який вважав категорії тільки формою мислення, до Гегеля, який вважав їх також і формами буття речей. праксеологіческая теорія пізнання виправдовує позицію Гегеля, вказуючи тим самим і шлях для розуміння змісту тверджень про реальність вихідних математичних ідеалізацій.

Аналіз показує, що існують три сенсу , в яких ми можемо розуміти твердження про реальність (реальної значимості) математичного об'єкта. По-перше, ми можемо говорити про систему первинних математичних об'єктів в цілому як однозначно детермінованих системою онтологічних уявлень.

По-друге, ми можемо розуміти реальність математичного об'єкта також і в сенсі його прямого відповідності деяким аспектам універсальної онтології. При визначенні реальної значущості математичних об'єктів у першому сенсі ми виходили з факту онтологічної детермінації математичної теорії в цілому. Праксеологіческая точка зору, проте, не забороняє встановлення в окремих випадках і прямої кореляції окремих математичних об'єктів з певними аспектами універсальної онтології. Розглядаючи поняття матеріальної точки в механіці, ми можемо вказати на елементи фізичного досвіду, що лежать в основі цієї абстракції, такі, як незалежність сили дії предмета від його об'єму і т. п. Аналогічним чином ми можемо прояснити поняття числа відбитка відносини одиничності і множинності, універсально значуще для будь-якої діяльності. Поняття числа може бути зрозуміле як реально значуще або реальне в тому сенсі, що воно відображає в собі деякий важливий аспект універсальної онтології. Хоча можливості реалізації такого підходу невеликі, вони безперечно існують і відповідають розумінню вихідних математичних понять як обумовлених структурою універсальної онтології.

Математичні об'єкти реальні також і в тому сенсі, що на відміну від чистих фікцій вони володіють обов'язковою інтерпретацією в світі досвіду. Як вже було сказано, людське пізнання і сама людська діяльність були б неможливими, якби емпірична реальність радикально розходилася з уявленнями, вираженими в онтології. Ми не можемо стверджувати як абсолютно істинного судження, що всі явища мають причину, але саме наше існування говорить про те, що достатня кількість явищ підпорядковується цьому правилу і що категоріальні уявлення, пов'язані з причинністю, завжди інтерпретованих у світі досвіду. Не всі реальні сукупності об'єктів можуть бути підведені під поняття числа або під поняття безлічі, але саме наше існування і процес діяльності доводять наявність об'єктів в емпіричному світі, які з достатньою точністю відтворюють основні властивості цих ідеальних образів.

Праксеологіческая априоризм, таким чином, відрізняється від традиційного тим, що він є одночасно і реалізмом. Пов'язуючи вихідні математичні ідеалізації з універсальною онтологією, праксеологічний априоризм виправдовує традиційну віру математиків в реальну значимість математичних об'єктів і теорій. Від кантівського априоризма з його абсолютною іманентністю форм мислення ми повинні повернутися до апріоризму Лейбніца, для якого універсальні принципи мислення виступають одночасно і як основоположних характеристик реальності. Ясно, що такого роду реалізм відноситься тільки до генетично вихідної групі математичних понять, що мають онтологічну значимість. До внутрішніх об'єктам теорії, отриманим на основі конструкції, застосування понять апріорність і реальності не має сенсу.

Сказане дозволяє зрозуміти раціональний сенс відомих висловлювань К. Геделя про реальний статус математичних об'єктів. Гедель, як відомо, наполягав на тому, що математика має справу зі специфічними математичними об'єктами, що існують у внечувственном світі, до і незалежно від математичних теорій27. Він допускав також, що разом із здатністю до чуттєвого сприйняття людина має здатність внечувственного сприйняття, що забезпечує йому доступ у світ математичних об'єктів. «Незважаючи на свою несхожість з чуттєвим сприйняттям, - писав Гедель, - ми маємо щось подібне йому також і для об'єктів теорії множин, що вбачається в тому факті, що аксіоми теорії множин нав'язані нам як безсумнівно істинні» 28.

З онтологічної точки зору ідея Геделя про реальний статус математичних об'єктів може бути зрозуміла як вказівку на предметну онтологію, існуючу незалежно від математики і визначальну структуру вихідних математичних понять. Оскільки предметна онтологія є вираженням структури світу, що виявляється діяльністю, то вихідні математичні ідеалізації слід вважати зумовленими реальністю в тій же мірі, що і закони фізики. Ідея Геделя про аналог сприйняття, розкриває світ математичних об'єктів, також має сенс. З самого факту онтологічного бачення світу випливає, що поряд з чуттєвим сприйняттям предметів людську свідомість спирається також і на внечувственное бачення уявних об'єктів типу простору, часу, матеріальної точки і прямої лінії. Ми повинні визнати факт інтелектуальної інтуїції, яка нав'язує нам закони ідеальної предметності. Закінчений ряд натуральних чисел неприпустимий емпірично, але необхідний з точки зору інтелектуальної інтуїції. Гедель безумовно правий у тому, що вихідні очевидності математики - це не очевидності досвіду і не продукт систематизації досвіду. Математичні предмети можуть розглядатися тільки як акти уявного конструювання в рамках фундаментальних очевидностей свідомості.

Сучасні теорії математичного реалізму незадовільні внаслідок відсутності справжнього аналізу онтології математики. Чи не проясняючи зв'язку математичних ідеалізацій з деятельност-ної онтологією, сучасний математичний реалізм зводиться або до обгрунтування (абстрактного) об'єктивізму в дусі Канта і Гуссерля, або до спроб прямого співвіднесення математики з фізичною реальністю того типу, який дається еволюційної епістемологією. Натуралістичні підходи, однак, настільки ж неспроможні, як і підходи чисто ідеалістичні, що розглядають математичні поняття як довільні конструкції свідомості.

Г. Штейнгауз у своїй статті про математичної строгості захищає два, на перший погляд, суперечать один одному судження. Він переконаний, що математика ніколи не обгрунтовувала своїх тверджень на основі досвіду, ніколи не була «подобою експериментального природознавства» і що разом з тим вона не шахова гра, правила якої можуть бути змінені з нашої волі, оскільки її принципи відображають реальность29. Представляється, що головне завдання сучасної філософії математики полягає в узгодженні цих двох безсумнівно істинних положень. Ми повинні зрозуміти, що вихідні принципи математики не мають ніякого відношення до досвіду і до історично мінливої психології людей, а з іншого боку, вони однозначно нав'язані нам і, отже, мають пряме відношення до структури нашого світу. Вирішення цієї проблеми полягає в розумінні онтології як основи математичних уявлень. Аналіз онтологічного підстави математичного мислення виправдовує як апріорність, так і реальність математичного знання.

Основна проблема сучасної філософії математики полягає в тому, щоб прояснити ставлення математичних понять до аспектів реальності, складовим онтологічну підставу математичного мислення. Мало хто сумнівається, що існує деякий початкове бачення реальності, що визначає структуру вихідних математичних уявлень. Йдеться тут лише про визначення витоків та характеру цього бачення. Ми окреслили тут контури нової філософії математики, заснованої на уявленні про діяль-тельностной природі вихідних математичних ідеалізацій.

Інформація, релевантна " 5. Реальність математичних об'єктів "

1. ГЛОСАРІЙ
   реальності) є одним з ключових для персонального стратегічного планування. Картотека, творча картотека - інструмент управління думками, задумами, цікавою інформацією (швидше за все не прив'язаної до точних цілям), темами для обдумування. У міру того як зростає роль творчої праці в роботі менеджера, підвищується і потенційна користь творчої картотеки. Творчу
   
2. 1. Моделювання ітеративного навчання: завдання і проблеми
   реальності, ... заступник оригіналу в пізнанні і практиці ", математична (абстрактна) модель -" інтерпретація систем логіко-математичних положень "(ФЕС, М.: Радянська енциклопедія, 1983. с. 382). Научение у загальному випадку -" процес і результат придбання індивідуального досвіду "(Короткий психологічний словник, М.: ІПЛ, 1985. с. 201). Ми будемо докладно розглядати лише один з видів
   
3. Постклассическая наука
   реальності, що носять вторинний характер. Крім того, вже говорилося про те, що використання подібного роду технічних пристроїв пов'язане з довірою до певних теоретичних побудов, на основі яких ці пристрої сконструйовані. Таким чином, вчені не спостерігають, а реконструюють мікросвіт або мегасвіт. Особливості об'єктів мікро-і мегасвіту зумовлюють те, що безпосередній
   
4. Структура наукового пізнання
   реальності, то це може призвести до численних помилкою і вульгаризації науково-теоретичних знань. Так, класична англійська політекономія (А. Сміт, Д. Рікардо), а слідом за нею К.Маркс розглядали в якості об'єкта своїх теоретичних пошуків абстракцію, звану "людина економічна". вульгаризаторами марксизму ототожнили цю абстракцію з реальною людиною, що призвело до
   
5. Філософське знання і релігійний досвід
     реальністю, яка протистоїть нам, є рефлективне спостереження і контроль над її символами так, як вони самі відкривають себе почуттю-сприйняттю; інший спосіб - пряма асоціація з тією реальністю, яка розкриває себе зсередини. ... Сучасна психологія тільки недавно стала розуміти важливість ретельного вивчення змісту містичного свідомості, і ми ще не володіємо дійсно
   
6. ЕВОЛЮЦІЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ
     реальності, спадкоємність між якими повинна отримати поряд з логічним обосонованіем духовне пояснення. Типологізацію форм духовного досвіду можна здійснювати за різними підставами. Найбільш масштабною є класифікація різних типів духовного досвіду за рівнями духовної реальності, з якими взаємодіє людина як суб'єктивний дух. Індивідуальний духовний досвід завжди
   
7. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
     реальність, стало найважливішою умовою концептуальної діяльності. Лише пізніше прийшло розуміння, що використовуються при побудові теоретичних моделей посилки, метафори й аналогії мають соціокультурну обумовленість і повинні бути спеціально виявлені і критично осмислені дослідницької рефлексією. Сукупність припущень, що сформувалися в культурно-історичному середовищі і ніколи
   
8. § 3. Дидактичні можливості проблемної ситуації та умови її застосування
     реальності, то їхні взаємини пронизують і дидактичний, і психологічний процеси. Ми вважаємо, що розвиток дидактичного та психологічного процесів здійснюється паралельно. У ході уроку вивчається об'єктивна проблема (людини, природи, суспільства, науки, техніки, мистецтва), вона пред'являється учневі у формі проблемного завдання, тобто формулюється навчальна проблема. У цей момент
   
9. 1. Теоретичні передумови формування філософсько-історичної концепції Вл. Соловйова
     реальність матерії. За допомогою натуралізму і матеріалізму людина «полюбив і пізнав матеріальну природу як щось своє близьке і рідне - розвиток матеріалізму і натуралізму становить таку ж заслугу філософії, як і розвиток раціоналізму, в якому людина дізнався і визначив сили свого розумно вільного духу» 13. Така позитивна оцінка матерії у російського мислителя НЕ
   
10. § 3 Метафізичні аспекти проблеми сенсу життя людини
      реальності. Тут теоретичний і практичний розум зливаються, розсуваючи традиційно встановлюються рамки етичного. Метафізика моральності означає її онтологізацію, вихід за сфери почуття або свідомості. Це аналіз самого буття людини, його активності та трансценденції до «іншого», творчості і свободи. Нормативно-репресивної етики протиставляється етика як досвід осмислення людського
    
11. 1.6. МЕТОДИ геополітичного НАУКИ
      реальності. Його слабкість - в відносності ціннісних суджень, їх залежності від соціального стану та індивідуальних особливостей людей. Але він надає геополітиці людський вимір, вносить до неї певне моральне начало. Функціональний метод вимагає ретельного вивчення залежностей між різними сферами суспільного життя або між країнами або групами країн: їх