4. Властивості хорошій фізичній системи аксіом

(І) Формальна несуперечливість: система аксіом повинна бути вільна від протиріч. В іншому випадку з неї буде слідувати будь-яке можливе твердження, і тому її можна використовувати для доказу всього, чго завгодно. Справді, з логічної хибності слід все що завгодно: якщо А ложно, тоді А ^ В буде логічно істинним для всякого В. Тому, згідно з визначенням імплікації, з Л слідуватиме В, що б У ні означало.

Кожен погодиться, що умова формальної несуперечності є найпершим вимогою раціональності, і тому даній умові повинна задовольняти будь-яка теорія. Проте ця умова часто порушується. Так, широко поширена думка, що теорія поля може отримати фізичне значення тільки за допомогою фікції пасивного пробного тіла, яке має дати можливість «операционального визначення» напруженості поля. Водночас визнано, що пробне тіло, яке ^ амо не вплине на поле, не може задовольняти рівнянням поля, а в разі поля випромінювання, вільного від речовини, пробне тіло тим більше виглядає дуже дивно. Ясно також, що функція пробного тіла полягає не в тому, щоб забезпечити теорію поля значенням, а в кращому випадку в тому, щоб перевірити її. Але і це є фікцією, оскільки будь-який реальний інструмент для вимірювання куди складніший,

ніж міфічне пробне тіло, пасивно рухається уздовж силової лінії. Насправді ж напруженості поля (або відповідні потенціали) вводяться не шляхом дефініцій, а за допомогою аксіом. Щось подібне трапляється завжди, коли намагаються визначати фізичні значення в дусі операционализма. У цих випадках відбувається звичайна плутанина між референтом даної теорії і методом її перевірки. При цьому увага перемикається з об'єкта, або референта, теорії на що не відносяться в даному випадку до справи (інакше кажучи, занадто конкретні) інструменти, які нібито описуються даною теорією. Істина ж полягає в тому, що пояснення всякої реальної експериментальної установки завжди грунтується на сукупності теорій, як це і буде показано в 10-й главі.

(І) Дедуктивна повнота: система аксіом повинна містити (як аксіоми) або отримувати в якості висновку (як теореми) всі відомі твердження про закони з області, яку повинна охоплювати дана теорія, наприклад рівняння руху, та / або рівняння поля, та / або рівняння стану. Дедуктивна повнота забезпечує максимальний ступінь істинності. Справді, твердження про законах в будь-якій області є найкращими з наявних способів концептуалізації об'єктивних структур, з якими теорія має справу. І в цьому контексті «найкращі» означає «найбільш істинні». Якщо деяка система аксіом не охопила »кість якесь твердження про закон в даній області, то її потрібно поповнити, або додавши вказане твердження в якості ще однієї аксіоми, або посиливши деякі з вже наявних аксіом так, щоб можна було це твердження отримати як їх слідство. Вимога (слабкої) дедуктивної повноти цілком виправдано, але виконати його дуже важко. Однак воно має принаймні усвідомлюватися як вища мета аксіоматизації. Не так йде справа з системою аксіом для квантової механіки, яка формулюється математиками: їм часто не вдається включити в неї загальне рівняння Шредннгера або його еквівалент, і тому їх система аксіом не дозволяє небудь передбачити. Було б помилкою кваліфікувати як фізичну теорію будь-яку систему аксіом, яка не стосується фізичних систем, а має справу з математичними об'єктами або ж з конкретними нефізіческнмі об'єктами, такими, як спостереження, н яка не містить ніяких тверджень про закони.

Зауважимо, що наша вимога слабкою дедуктивної повноти відноситься лише до тверджень про закони. Воно не пов'язане з умовою, що з системи аксіом можна вивести будь-яке твердження в даній області. Фізична аксіоматична система повинна бути дедуктивно повною саме в слабкому, а не сильному сенсі, інакше до цієї системи не вдасться приєднати ніяких нових передумов і фізична аксіоматична система залишилася б без застосування і перевірки. (Справді, якщо є якесь твердження s в певній галузі знання, то s вже буде членом повної теорії Г, що описує дану область, і таким чином s не може бути додано до Т.

У такому випадку наші наукові теорії повинні бути неповними, з тим щоб їх можна було поповнити не затвердження про закони, а допоміжними гіпотезами і даними. Такими, як, наприклад, припущення про постійне відстані між частинками, яке ми додали в параграфі 2 до аксіом класичної теорії гравітації для того, щоб отримати Галілеєм закон вільного падіння тіл. В іншому випадку, тобто якби наші теорії були замкнутими щодо зовнішніх (але підходящих) передумов, вони були б непридатними і непроверяемимі, бо кожне застосування і кожне випробування теорії вимагає додаткових тверджень (тобто початкових умов, тих чи інших значень функцій і т , д.), які є занадто конкретними, щоб бути включеними про аксіоматичну систему. Повна теорія може бути або вежею зі слонової кістки, або деяким додатком, теоретичною моделлю, і про обох випадках нездатна охопити нові іспектьі реальності. Одним словом, має сенс аксіоматизована тільки ядро теорії.

У всякому разі, до повних теоріям прийти важко, и неповнота в сильному сенсі бажана не тільки у фізиці, але іноді і в математиці, оскільки дає віз-южность приєднувати припущення інші, ніж аксіо-ш, і отримувати, таким чином, більш приватні теорії. Гак, одна з причин гнучкості і широти застосування про-цей теорії груп полягає в можливості поповнити-1ія її будь-яким числом припущень, наприклад припускає-Южен про коммутативности (щоб отримати абелеві - Руппі) або умовою кінцівки числа елементів тощо [Про неповних теоріях іноді говорять, що вони не аксіоматізіруеми, але це, взагалі кажучи, невірно. Те, що не южет бути повністю аксіоматізіруемим, так це вся а область, яку такі неповні теорії мають намір жватіть.)

Далі, щоб досягти дедуктивної повноти в їла * юм сенсі (вичерпного охоплення законів у даній? бласти), ми повинні побудувати сильну систему аксіом, "про Тобто, якщо ми хочемо отримати досить багату еорію, ми повинні вибрати досить сильні аксіо-си, а для цього нам слід використовувати сильні основне (невизначувані) поняття. Сильне поняття є аке, яке увазі багато інших понять, точ-[про так само, як сильної аксіомою є така, яка імеет багато логічних наслідків. Тому при побудові іні системи аксіом нам не потрібні висловлювання про оди-іічном (судження щодо конкретних предметів), и взагалі при побудові системи аксіом ми повинні трьома відкинути всі зокрема. Конкретизація тут толь же безглузда, як і встановлення в законодавчому юрядке діаметрів трубопроводів. Ці питання повинні іешаться на рівні застосувань. Навіть досить об-ііе, але похідні висловлювання повинні бути исклю-1ени зі списку кандидатів у систему аксіом. Так, на-[ример, немає необхідності постулювати математично редную, оскільки із статистичного розподілу південно отримати не тільки усереднені значення, але з аким же успіхом і всі інші статистичні мо-іентьі. Одним словом, ми повинні віддавати віддасте перевагу логічної силі, бо, чим сильніше яка ідея,

тим багатше її зміст. Нехай експеримент підрізатиме нам крила, проте спочатку вони повинні вирости.

(Hi) Повнота первинних понять : аксіоми, крім фізичних припущень, повинні служити необхідними і достатніми умовами для будь-якого з базисних (невизначуваних) понять даної теорії для того, щоб ці поняття мали і математичний і фізичний зміст. Більш того, кожна така аксіома повинна мати сенс і сама по собі, так, щоб її можна було замінити або навіть відкинути в пошуках більш досконалої теорії або щоб име * ь можливість побудувати незалежну від неї доказ. Ця вимога мінімуму складності. Тому ми повинні мати можливість розкласти, наприклад, таке твердження: «існує бінарна асоціативна операція на множині S »на:« 5 є безліч »і« існує бінарна асоціативна операція », тому що в противному випадку не можна було б знайти модель (вірну інтерпретацію), в якій би одне твердження мало силу, тоді як інше немає.

Конкретизація математичного статусу (безліч, ставлення, функція і т. д.) кожного первинного поняття є завданням математичної, ступінь точності рішення якої залежить від загального рівня розвитку математики. З іншого боку, завдання додання фізичного сенсу якомусь символу рідко вирішується досить задовільним чином як з технічних, так і з філософських причин. Технічна трудність, коротко кажучи, полягає в наступному. Якщо в математиці деяка теорія зазвичай інтрепретіруется (якщо вона інтерпретується взагалі) в рамках деякої іншої теорія (наприклад, елементи групи інтерпретуються як числа), то інтерпретація фізичного символу полягає в приписуванні йому деякого йнетеоретіческого об'єкта: або фізичної сутності (наприклад, діелектрика), або фізичної властивості (наприклад, діелектричної проникності). І такий фізичний корелят або референт символу розглядається як відомий отча * СТН завдяки цій же самої фізичної теорії. Отже, приписування фізичного значення не робить термін терміном в повному розумінні цього слова. Звичайно, не потрібно забувати формулювати семантичні перед-положення, бо вони принаймні описують семантичний профіль первинних понять, але не слід думати, що вони забезпечать символи ясно окресленим і повним значенням. Резюме: фізичний зміст можна надати лише теоріям в цілому, і навіть у цьому випадку лише в загальних рисах.

Що ж до філософських перепон на шляху вирішення цього завдання, то їх можна бачити в існуванні що не вселяють особливої довіри філософських теорій, згідно з якими необхідно зводити кожен теоретичний термін до комплексу лабораторних операцій, замість того щоб виходити з теоретичного пояснення останніх. Так, деякі фізики, прагнучи надати фнзн * чний сенс загальної теорії відносності, але, на жаль , змішуючи при цьому значення з можливості перевірки, хочуть заповнити весь всесвіт лінійками і годинами, з якими маніпулюватимуть всюдисущі спостерігачі. Роблячи таким чином, вони не беруть до уваги, що така велика кількість вимірювальних інструментів і спостерігачів внесло б спотворення в досліджуване ними поле, і забувають, що додавання уявних елементів не робить теорію більш реалістичною. Якщо якась теорія должка бути фізичної, то її слід інтерпретувати саме у фізичних термінах: тобто не за допомогою операцій, що здійснюються людиною, але таким чином, щоб інтерпретаційні припущення приписували (основним) символам імовірно об'єктивні референти і щоб ці припущення (які можуть виявитися помилковими) не суперечили іншим припущенням даної системи аксіом.

(iv) Незалежність первинних понять. Основні поняття деякої системи аксіом повинні бути незалежними, тобто вони не повинні визначатися один через одного. (Якби будь-яка з них визначалося за допомогою інших основних понять, тоді воно не було б первинним поняттям.) Значення цієї властивості аксіоматичної системи не стільки в економії, скільки в тому, що воно зосереджує нашу увагу на логічному базисі, запобігаючи тим самим рух по колу, як »наприклад, спробу визначити масу у вигляді відношення прискорення до сили (на основі ньютонова закону руху), а потім визначити силу через добуток маси на прискорення.

(v) Незалежність постулатів. В ідеалі різні аксіоми теорії не повинні виводитися одне з одного. (Якби одна з них була виведена з деяких інших аксіом даної теорії, то в такому випадку вона була б її теоремою.) Ця умова є важливим в першу чергу тому, що воно полегшує зміна і перебудову теорії в процесі розвитку знання. Бо якщо є аксіоми, відповідальні за помилкові слідства, то їх можна виявити і усунути, зберігаючи при цьому інші аксіоми. Одним словом, незалежність постулатів сприяє прогресу в розвитку теорії.

 Інформація, релевантна "4. Властивості хорошій фізичній системи аксіом"

1. Математичні аксіоми
     властивостями). Ац.а '* 0 (ні одне натуральне число, безпосередньо наступне за натуральним числом а, не дорівнює 0). А12. Л (0) & (x) (/ 4x zd Ах ') zd Аа (аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з
   
2. Властивості бінарних відносин
     властивість, яка полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного відношення не
   
3. 6. Визначення
     властивості, якими він, за припущенням, повинен володіти; (б) семантичне умова, тобто припущення про те, який фізичний об'єкт або властивість символ повинен представляти, і (в) фізична умова, тобто передбачувані відносини до іншим мають фізичний зміст символам даної теорії, яким він повинен задовольняти. Оскільки кожна умова являє собою деяку аксіому або
   
4. 8. Формалізація аксіом
     властивості «прямих ліній», «точок» і «збіги» не мають ніякого відношення до істинності докази. Перша аксіома буде гласить: на одній і тій же дошці не може бути двох яблук і більше одного апельсина. А перший королларій буде гласить: якщо на одній дошці є два апельсина і одне яблуко, то неможливо, щоб на тій же дошці було ще одне яблуко. Якби там було друге яблуко,
   
5. 5. Теоретичні поняття і істина
     властивістю, внутрішньо притаманним теоріям самим по собі, це властивість, що належить двійці: мета-засіб. Теорії використовуються і в технології, але їх ефективне ^ оцінюється тільки по відношенню до тієї мети, якої вони покликані служити. В результаті і сьома айбтма офіційної філософії фізики виявляється
   
6. 5. Небажані характеристики
     властивістю є властивість категоричності або, скоріше, жорсткості, негнучкості. Категоричній теорією є така, для якої будь-які дві моделі (істинні інтерпретації) лежить в її основі абстрактного формалізму є ізоморфними (структурно тожде * чими). Далі, необхідна умова ізоморфізму полягає у взаімооднозначном відповідно між подібними множинами. Але така жорсткість
   
7. 3. Властивості завершеною аксіоматики
     властивостей, які можуть служити ознаками цієї стадії і її більш детальним визначенням. Серед цих властивостей найбільш важливими є: повнота, мінімальність, кінцівку, елементарність і однозначність. Під повнотою аксіоматики ми будемо розуміти тут достатність її для логічного представлення визнаного змісту теорії. Таке розуміння повноти, звичайно, не тотожне логічного
   
8. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
     властивістю, що ніякі дві точки, що належать до різних частин не можуть бути з'єднані лінією, не перетинає лінію L. Очевидно, що ця лема фіксує аподиктичні очевидну істину, яка не може бути усунена зі складу геометричних істин, а з іншого боку, ми встановлюємо, що її доказ в теоретико-множинних поняттях припускає використання всіх аксіом теорії
   
9. 3. Декарт, Мілль і Кант
     властивості (уявити собі трикутник), які виявляться дійсно істинними (за допомогою спостереження); з цього випливає, що вони виникають з сутності трикутника. Мій розум повинен бути здатний вловити цю сутність. Інакше я не міг би довести ці властивості ». Це твердження належить до тієї філософської школи, яка називається «раціоналізмом»; вона вважає, що за допомогою сили розуму
   
10. 2. Зміна завдання
      систем, які в складі своїх аксіом не виходять за рамки онтологічно істинних суджень. Загальний результат логіцістского аналізу можна виразити таким чином. Достатня аксіоматична база для обгрунтування теорії множин (поки ми можемо абстрагуватися від факту істотно різних аксіоматичних уявлень змістовної теорії множин) може бути представлена у вигляді (L + ЛМ), де L
    
11. 4. Мета фізичних ідей
      властивості, як, наприклад, маса і заряд, які є джерелом ряду інших властивостей. Точно так само мають місце основні, або істотні, структури (patterns), що включають деякі з цих джерел властивостей ^ призводять до появи похідних структур. Звичайно, немає будь-яких незмінних сутностей, пізнати ко1горие може тільки інтуїція. Більш того, будь-яка гіпотеза щодо суттєвого
    
12. 9. Аксіоми
      властивостями, які приписує їм теорія, останню варто відкинути. Однак припущення про фізичне існування хоча і необхідно, але недостатньо. Воно не може бути перевірено, якщо речі, існування якої передбачається, не дано гіпотетичного опису. Тобто нам слід сформулювати точні припущення щодо властивостей, будови і поведінки референтів нашої теорії. Такце