9. Аксіоми

Аксіоми повинні виконувати в такому випадку три »ункции: формальну, або математичну, семантічс-кую і власне фізичну функції. Іншими сло-ами, кожна добре побудована фізична система ксіом міститиме постулати трьох (і тільки трьох) і ДОБ. (1)

Формальні (математичні) припущення (або для стислості FA) ~ наприклад, «Р є імовірнісна міра на безлічі S2 всіх упорядкованих пар елементів множини 5>. (2)

Семантичні (смислові) припущення (або SA \ - наприклад, «якщо впорядкована пара елементів ($, s ') належить безлічі S2, де 5 є простір станів системи, то P ((s, s ')) позначає (представляє) ступінь схильності сі-

стеми до переходу зі стану S в стан S'.

(3) Фізичні припущення, Гілі РА) - напри-мер,

З цих трьох груп аксіом третя, утворена з фізичних передумов, становить ядро будь-якої фізичної теорії.

Справді, якщо формальні аксіоми стосуються форми основних понять, а семантичні аксіоми приймають на себе турботу про їх значення, то фізичні аксіоми говорять про самих фізичних системах, які в кінцевому рахунку і є raison d ' etre (сенсом існування) фізичної теорії. У свою чергу, безперечно, найбільш важливими серед фізічеркіх аксіом є ті, які орієнтовані на репрезентацію об'єктивних фізичних законів. Решта фізичні припущення, зокрема рівняння зв'язків і значення граничних умов, хоча логічно і незалежні від тверджень формулирующих закони, все ж будуть по відношенню до них допоміжними. Вони являють собою просто додаткові обмеження, що накладаються на різні змінні і функції, взаємопов'язані твердженнями, що виражають закони. Будь-яка система аксіом, яка не містить принаймні одного твердження щодо закону, не може бути кваліфікована як фізична теорія.

Які фізичні припущення мають постулювати в теорії? Ясно, що всі ті, і тільки ті формули, які не можуть бути доведені в рамках даної теорії та щодо яких передбачається (або принаймні сподіваються), що вони в деякому наближенні будуть вірними. Рівняння руху або рівняння поля НЕ постулюють, якщо їх можна вивести з деякого більш сильного припущення (наприклад, варіаційного принципу), особливо якщо сильніша .. аксіома містить також і нові додаткові слідства, наприклад рівняння збереження. Зайве говорити, що під «виведенням» або «доказ ^» ми маємо на увазі чисто концептуальну операцію-умовивід, - за допомогою якої шуканий висновок випливає з безлічі передумов на підставі правил виведення логічних і математичних теорій, що лежать в основі даної теорії.

Зокрема, не має сенсу в рамках, скажімо, тео-> ии кварків «доводити», що кварки існують. Длч годобного «докази» цілком достатньо показати, ІТО існує щось поза нами і таке, що, по всій віді-лости, задовольняє деякими припущеннями тео-> ні кварків. Цей процес верифікації, пов'язаний \ розглянутої теорією, спирається також на ряд інших теорій, хоча до них він прямо і не відноситься. Так-іее, після того як подібна емпірична перевірка вже іроізведена, деякі теореми теорії можуть вказати іа можливе існування невідомих досі ЇВОЙСТВ референтів теорії. Інакше кажучи, в рамках тео-> ии можуть бути доведені або спростовані тільки тео-> еми. Все, що може бути доведено або зроблено правдоподібним щодо фізичної теорії, приходить Із поза: або з експерименту, або з метатеоріі дан-юй теорії-як у разі доведення непротіворе-

[ІВОСТІ.

Резюме тут просте: якщо ми хочемо багато чого довести, ми повинні сформулювати сильні передумови (докладніше про це див гол. 8, § 3). Це не означає, що ш повинні вірити в усі прийняті нами передумови або хоча б в одну з них. Єдине, що? Ребуется, - так це строго дотримуватися логічних наслідків з сформульованих передумов. Якби жазалось, що яке-небудь з цих наслідків вступає и конфлікт з прийнятими ідеями (фактичними даними або теоріями), то ми, без сумніву, відмовилися 5и від деяких аксіом - а саме від тих, які призводять до помилкових наслідків. Цьому правилу на практиці, однак, не завжди дотримуються. Ми ча-: то чинимо непослідовно, штоп теорію на фовне теорем (наприклад, вводячи в останній момент дотик) замість коригування самих постулатів.

Зокрема, вельми сильні екзистенційні перед-юси л кн потрібні хоча б для того, щоб переконатися, що) не суперечать спостереженнями. Так, якщо теорія го-Юріта про деякі сутність, які ми назвемо, до ірімеру, «фріконамі» то ми повинні виходити з силь-іой гіпотези, що фрікони суті / від, навіть якщо цьому ^ ет ніяких експериментальних доказів, В про-

1 Від freakon - вигадливий, примхливий. - Прим. ред,

тивном випадку, якщо безліч фріконов з самого початку розглядається як пусте, то теорія буде беззмістовно істинної, бо, виходячи з неіснуючого, не можна з упевненістю небудь передбачити. Точніше кажучи, сама рервая аксіома нашої теорії, «фріконов» повинна буде читатися приблизно так: «(а) / 7 ^ Ф, (Ь) кожне / в F являє фрікон». Коль скоро ми отримали перевіряються наслідки з таких сильних аксіом, ми можемо сподіватися перевірити їх за допомогою експерименту. Якщо в експерименті фрікони (чи, радше, свідчення їхнього існування) не вдасться виявити або не вдасться підтвердити, що вони мають властивості, які приписує їм теорія, останню варто відкинути.

Однак припущення про фізичне існування хоча і необхідно, але недостатньо. Воно не може бути перевірено, якщо речі, існування якої передбачається, не дано гіпотетичного опису. Тобто нам слід сформулювати точні припущення щодо властивостей, будови і поведінки референтів нашої теорії. Такце гіпотези і будуть власне фізичними припущеннями. Якщо вони досить загальні і підтверджуються задовільно, то вони будуть іменуватися законами, або, краще, твердженнями про закони, бо самі фізичні закони передбачаються об'єктивної структурою тих формул, за допомогою яких ми намагаємося ці закони фіксувати.

З формальної точки зору тут все бездоганно. Однак семантично це твердження невизначено і,: ледовательно, емпірично непроверяема хоча б По-ому, що існує багато величин, зростання яких про-юрціонален їх загальної чисельності. Тому ми повинні в'язати нову властивість Q з яким-небудь вже досить; Гаразд відомим фізичним властивістю. Тільки в та-; ом випадку ми будемо в змозі встановити властивість} або навіть впізнати фрікон. У загальному плані: ізольовані гіпотези непроверяеми.

Припустимо тепер, що теорія фріконов якось свя-ана з теорією електромагнітного випромінювання. Припускає-(ожім, наприклад, для конкретності, що; фрікони породжуються фотонами. Проста математична форму-ііровка цього припущення в термінах щільності 'Нерген поля р є наступною:

РА% \ dN / dp - b , де Ь позитивне дійсне

ІНСЛО.

Ми можемо тепер довести кілька теорем і поросят експериментатора перевірити їх. Але це воз-южно лише тому, що ми інтуїтивно припускаємо: а) деякі очевидні математичні властивості на-лих основних функцій (наприклад, диференціюючи-іость) і (6) цілком певний фізичний зміст аждого символу наших аксіом. Як вже говорилося, сновним риса аксіоматики полягає саме в ом, що вона не залишає місця для інтуїтивних перед-осилок, тобто поза аксіом нічого не передбачається. Отже, наші початкові допущення сле-ует доповнити двома подальшими групами аксіом, дна з яких представляє собою математичні,. Лаючи - семантичні передумови. У наступному па-аграфи ми проведемо аналіз цих аксіом, але перш робимо кілька загальних висновків.

Перший висновок: в аксіоматикою, як і в звичайній сізні, якщо ми хочемо щось виграти, слід риско-ать. Іншими словами, не потрібно боятися сильних ксіом, якщо вони доступні перевірці і обіцяють пояс-ить щось таке, що ми раніше не розуміли. Далі, фізичних аксіомах немає нічого священного в непри-основенного. Це всього лише передумови, які про-вірячи своїми наслідками і своєю сумісністю з загальноприйнятими ідеями. Але й успішне проходження всіх випробувань не гарантує вічності аксіом, точно так само як успіх у житті не приносить з собою безсмертя.

Інформація, релевантна " 9. Аксіоми "

1. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
2. 2. Зміна завдання
   аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
   
3. Властивості бінарних відносин
   Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
   
4. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
   аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
   
5. 2. Переборні доступних для огляду протиріч
   аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А. 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко
   
6. Несуперечність завершеною аксіоматики
   аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
   
7. Предметний покажчик
   аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
   
8. 6. Загальні зауваження та висновки
     аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими-небудь іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
   
9. 3.3. Опосередковані умовиводи. Простий категоричний силогізм
     Структура простого категоричного силогізму Категоричний силогізм - це таке опосередковане дедуктивний умовивід, посилками і укладанням якого є категоричні судження. Наприклад: Всі риби дихають зябрами Карась - риба Карась дихає зябрами Поняття, що є суб'єктом укладення, називається меншим терміном і позначається символічно «S». У наведеному вище прикладі йому
   
10. 4. Несуперечливість змістовно аксіоматизована теорії
      аксіоматики, яка визнається адекватною змісту теорії і стає, в кінцевому підсумку, найбільш суворим її визначенням. Аксіоматика набуває завершеність і нерухомість внаслідок завершеності визначального її фрагмента теорії. Тут важливим для нас є та обставина, що будь-яка аксіоматика визначається кінцевим числом теорем, що утворюють визначальний фрагмент теорії.
    
11. 8. Формалізація аксіом
      аксіому, що дві точки, А і В, можуть з'єднуватися тільки однієї прямою лінією (аксіома I). У цьому випадку за допомогою діаграм, наведених на рис. 23 і 24, ми вивели висновок, що дві прямі лінії можуть перетинатися тільки або в одній точці або не перетинатися зовсім (рис. 23). Якщо на рис. 24 лінії Р і Р 'перетиналися б не тільки в точці Ау але і в другій точці Ву то ми мали б фіг. 23,
    
12. 4. Праксеологіческая виправдання аксіоми вибору
      аксіома розпадається на три положення, кожне з яких вимагає особливого обговорення. Вона припускає диз'юнктивний характер безлічі, тобто розчленованість його на елементи, відокремлювані від безлічі в цілому, здійснимість вибору для довільної сукупності множин і то допущення, що результат вибору буде безліччю, допустимим в якості об'єкта суворого математичного міркування, на відміну
    
13. 5. Логіцістское обгрунтування несуперечності теорії множин
      аксіоми нескінченності і аксіоми вибору відкриває певний шлях включення логіцістского аналізу в обгрунтування теорії множин. Початковий (сильний) теза логіцізма полягав у тому, що вся математика зводиться до загальнозначущих судженням логіки. Після з'ясування незвідність аксіоми нескінченності і аксіоми вибору претензії логіцізма були зведені до становища (можна назвати його помірним тезою
    
14. 1. Проблема прихованих суперечностей
      аксіоматики. Першим і природним визначальним фрагментом математичної теорії є сукупність її найбільш простих і відомих теорем, з якими ми пов'язуємо саме її існування. Набір цих теорем для конкретної теорії, як показує практика, не особливо великий: перші два десятка теорем, як відомо, вимагають використання всієї системи аксіом планіметрії і, таким чином, в
    
15. 3. Властивості завершеною аксіоматики
      аксіом набуває ряд властивостей, які можуть служити ознаками цієї стадії і її більш детальним визначенням. Серед цих властивостей найбільш важливими є: повнота, мінімальність, кінцівку, елементарність і однозначність. Під повнотою аксіоматики ми будемо розуміти тут достатність її для логічного представлення визнаного змісту теорії. Таке розуміння повноти, звичайно, не
    
16. Опрелеленія числа
      аксіоми Пеано. Останні включають три вихідних терміну - «натуральне число», «число 0», «число, наступне за» - і наступні п'ять аксіом: П1. О - натуральне число. П2. Натуральне число, наступне за будь-яким натуральним числом, є натуральне число. ПЗ. Ні за якими двома різними натуральними числами не слід одне і те ж натуральне число. П4. О не слід ні за одним натуральним