Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Бунте Марно. Філософія фізики: Пер, з англ. Вид. 2-е, стереотипне, 2003 - перейти до змісту підручника

2. Математична компонента

Роль математики в сучасній науці двоїста: формування понять і обчислення. Немає поняття миттєвої швидкості без поняття похідної, немає закону руху без диференціальних або операторних рівнянь. Математичні поняття - це не тільки зручні допоміжні засоби, вони являють собою саму суть фізичних ідей. І найпростіше пророкування майбутнього стану системи або ймовірності звершення того чи іншої події було б неможливим без дедуктивної сили внутрішньо властивою формалізму теорії. Ця дедуктивна сила настільки вражаюча, що ми часто прагнемо прирівнювати теоретичну фізику обчисленням, забуваючи про роль математики в самому формуванні фізичних понять, формул і теорій.

Обчислювальні засоби, хоча вони і необхідні, не є фізичними теоріями. Вони навіть не уявляють собою незалежні математичні формалізми. Будь-який метод розрахунку (наприклад, діагоналізацією матриць) є частина математичної теорії, яка може (але не обов'язково) бути частиною формалізму фізичної теорії. Самі по собі математичні теорії Теорія: електромагнітна теорія Максвелла для вільного простору

Формальні поняття, включені приховано або явно у фізичну гіпотезу, що диференціюється різноманіття, векторні і Псевдовекторний функції на цьому різноманітті, приватні похідні, векторне твір.

Основні (невизначувані) фізичні поняття, що включаються в гіпотезу: фізичний простір, час,?, В, с.

Визначувані фізичні поняття: vX ^. dB / dt.

Операціональні визначення: ні.

Гіпотеза; закон Фарадея для електромагнітної індукції в його диференціальної версії

dB / dt.

Допоміжне припущення:? і В зменшуються з відстанню принаймні як 1 / л

Семантичне припущення: Е являє напруженість електричного поля, В-магнітну індукцію, а з-швидкість світла у вакуумі.

Дані; немає. нейтральні по відношенню до яких-небудь гіпотез про реальний світ. Розглянемо теорію канонічних перетворень, яку колись вважали ядром квантової механіки. Як у своїй класичній, так і в квантової формі вона не представляє самостійної фізичної теорії, що відображає деякий аспект світу. Це математичний метод для вирішення рівнянь руху (Гамільтона, Шредінгера і Tv?.) І для співвіднесення один з одним рішень, одержуваних у різних перед * ставлені. В цілому завдання даної теорії полягає у спрощенні формулювання проблеми, а отже, у спрощенні її вирішення, зберігаючи в той же час рівняння руху і певні інваріанти. Дана теорія може знайти застосування безвідносно до фізичного змісту рівнянь.

Таким же чином в ряді областей може знайти застосування теорія збурень, для чого необхідна наявність певного рівняння, до якого можуть бути застосовані теорії збурень. Тобто ці теорії не несуть ніякого фізичного значення, вони служать корисними математичними засобами для досягнення мети, яка являє собою приблизне рішення певного рівняння, можливо має якесь фізичне значення. Одному або двом членам розкладання в ряд, згідно теорії збурень, може бути приписано фізичний зміст, нескінченно багатьом членам ряду неможливо дати будь-яку інтерпретацію. Значення такої нейтральності методів теорії збурень можна також побачити при аналізі поняття порядку деякого ефекту. Питання: Що означає цей вислів, чи говорить воно нам що-небудь щодо природи? Отвег: Нічого - про природу і тільки дещо - про обчислювальної техніки. Так, ефект четвертого порядку пояснюють теоретичною моделлю, що включає розкладання в ряд теоріі.возмущеній аж до четвертого ступеня, тобто нехтуючи усіма більш високими ступенями (навіть якщо ряд розходиться). Той же ефект може бути пояснений різними теоріями, що приписують 'йому інший порядок, або зовсім не що приписують ніякого порядку, оскільки вдається знайти точне рішення. Це вірно для розкладання будь-якого ряду і кожного розкладання будь-якого вектора на його компоненти. У той час як функція в цілому може мати фізичне зна-ченне, метод розкладання є суто математичним і може бути змінений в будь-який час.

Фізичне зміст, якщо таке є, слід вбачати в деяких поняттях і твердженнях теорії, а не в приватних уявленнях (representations) властивостей і законів. Наприклад, одна і та ж траєкторія в звичайному просторі може бути записана в будь-якій системі координат. Кожне перетворення координат призводить до нового поданням, не змінюючи його фізичного змісту. Так що єдиними розумними обмеженнями, що накладаються на зміни уявлень, що викликаються перетвореннями координат, є наступні: (а) перетворені змінні повинні мати те ж саме значення, що й вихідні (наприклад, координати положення в просторі, піддані перетворенням Лоренца, повинні залишатися координатами положення, а не тимчасовими координатами); (б) перетворені змінні повинні підкорятися тому ж самому твердженням про закон, що і вихідні. Те, що має силу для систем координат, справедливо і для систем одиниць. Якщо подання фізичної властивості за допомогою деякої функції включає вибір одиниць, то вони є конвенціональними і, отже, зміна в одиницях не має ніякого фізичного значення.

Відсутність фізичного змісту у деяких компонент фізичної теорії набагато менш несподівано, ніж можливість приписування фізичного значення інших компонентів. Звичайно, для нас стає звичною ідея про те, що математика позбавлена ??фізичного змісту. Спочатку нас вчать тому, що безперервна функція може визначатися незалежно від часу, пізніше нас вчать, що геометрія є невизначеною, якщо на неї не накладають семантичних припущень-Деяких все ще потрібно вчити, що арифметика і теорія ймовірностей однаково нейтральні, і якщо, хочуть знайти їм застосування, їх слід доповнити семантичними припущеннями. Але взагалі кажучи, ми повинні ясно зрозуміти, що математика є автономною дисципліною, незважаючи на те, що багато математичні ідеї були мотивовані науковим дослідженням в цілому. Тим не менш, незважаючи на свою чистоту, математика застосовується у фізиці, або, як мали звичай гово-рить наші попередники, «математика застосовна до реальності». Питання: Як це можливо? Відповідь: У той час як кожен символ, що зустрічається у фізичній теорії, має математичне значення, деяким математичним символам приписується до того> & е фізична інтерпретація. Так, вираз dx / dt може бути інтерпретовано не тільки як повна похідна деякої функції х, але так само як миттєва швидкість зміни деякого фізичної властивості, репрезентованої х, такого, наприклад, як координата положення, концентрація, енергія, і взагалі все що завгодно. Таким чином, фізичний зміст сідлає знак, що має математичне значення, і в такому вигляді обидва - кінь (або осел) і лицар - перетинають фізичну арену. (Все це, звичайно, може бути викладено і в неметафоричної термінах. У цьому і полягає завдання семантики науки!.)

Фізичне поняття відрізняється від лежить в його основі математичного поняття у двох відносинах: (а) кожне фізичне поняття має відношення до деякої фізичної системі (системам) і (б) кожна фізична поняття входить принаймні в один фізичний закон. Навпаки, суто математичні поняття не мають жодних внематематіческіх референтів і не підкоряються ніяким внематематіческім законам. Візьмемо, наприклад, відношення «важче ніж, або настільки ж важке», або Н. З формальної точки зору Н являє собою не що інше, як певний стосунок по * рядка на деякій множині невизначених елементів В, тобто І з: ВХ В і І ^ безлічі відносин порядку. Н стає деяким фізичним поняттям, коли (а) У інтерпретується як безліч тіл, і (б) передбачається, що Н пов'язано з тобто має силу для будь-яких двох тел.

Приклад з ваговою функцією навіть більш повчальний, так як існує нескінченна безліч шляхів уявлення фізичної властивості ваги (або будь-якого іншого фізичного властивості), а саме за допомогою системи одиниць. Вага тіла 6 є В в гравітаційному полі geG

1 М.

Bunge, Method, Model and Matter, D. Reidel PubL Co. Dordrecht, 1972. M. Bunge (ed.), Exact Philosophy: Problems, Methods, Goals. D. Reidel Pub). Co. Dordrecht, 1972. відносно (фізичної) системи відліку до є / С, що обчислюється в одиницях і е uw, являє собою деякий невід'ємне число w, тобто W (b, g, до, і) * = Вага в загальному випадку є сама функція ХР, а не яке-небудь з її значень. І ця функція відображає безліч В X Про X До X ІЛг всіх четвірок (6, Л, і) з b є В, gi = G, до є / С, ИЄ ІЛ * г (безліччю вагових одиниць) на безліч R + або безліч невід'ємних чисел:

W: BXGXKXVw-+ R +.

Крім того (і тут вступає в силу закон), W таке, що W (bfg, kt і) т%, де т є маса, а X прискорення тіла Ь. (Наше передбачуване обмеження моделі тіла як нерелятивистской частинки несуттєво в даній ситуації.) Будь-яка інша величина володіє подібною структурою. Це деяка функція від топологічного твори принаймні двох множників, одним з яких є безліч фізичних систем певного виду, а іншим - безліч одиниць.

Дуже часто одним з множин фізичних систем, що зустрічаються в області якої величини, є безліч систем відліку деякого виду, щодо яких, наприклад, зберігають свою справедливість закони руху Ньютона. Такі системи інколи називають «спостерігачами» відповідно до, так би мовити, наблюдателецентрістской філософією, а саме з Операціоналізм. Очевидно, однак, що спостерігачі не всюдисущі і не безсловесні, як системи відліку, в усякому разі, їх вивчення не відноситься до фізики. У підсумку фізичне значення вливається в формалізм через основні фізичні величини, що представляють властивості фізичних систем і підкоряються фізичним законам.

Попередній аналіз дискваліфікує нумерологію як серйозний підхід до фізичної теорії. Нумерологія може бути визначена як жонглювання безрозмірними константами (чистими числами) з наміром отримати значимі відносини. Так як нумерологія має справу з безрозмірними константами, їй досить важко приписати якесь фізичне зміст. Оскільки ця гра чисел може бути введена в комп'ютер поза всякою зв'язку з якими-небудь твердженнями про закони, остільки нумерологія лише випадково може призвести до фізичним законам. Тривіальність подібного висновку показує наступна теорема.

Теорема. Дано п невід'ємних чисел а \, а2, ... От »; існує нескінченно багато кратних п не дорівнює нулю дійсних чисел (позитивних або отрідатель-них) bit & 2, ...» & П, таких, що

/ Л / Л / / «-1 _ пЬП

ах - аг ... в = ап.

V! Г

(Доказ: спершу візьмемо логарифми і розглянемо випадок при п = 2. Потім застосуємо математичну індукцію.) Раз знайдені дані я-кратні показники ступеня, то легко апроксимована кожен з них простий дробом. Таким чином буде отримано «разючу» співвідношення. Процедуру потім можна буде повторити з іншим вибором показників ступенів, і так до нескінченності. Успіхи в знаходженні подібних числових комбінацій залежать від наших здібностей і ресурсів. При цьому не потрібно знання законів фізики. Звичайно, нумерологія як деяке випадкове і слабо-евристичності засіб має певну цінність. Маніпуляції з числами можуть випадково привести до інтуїтивного осяяння і навіть проблиску правильної теорії. Але головне полягає в тому, що нумерологія не є теорією і не містить ніяких фізичних законів. Це слід особливо підкреслити тому, що всякий раз, коли накопичується деяка безліч необроблених даних (як у випадку фізики елементарних частинок і сучасної космології), з'являється схильність до спроби жонглювати ними, а не до пошуків більш гли * боких гіпотез, відповідних цим даним.

На цьому ми закінчимо розмову про роль математики у фізиці. Перейдемо тепер до іншого кінця спектра, а саме до даних.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 2. Математична компонента "
  1. Апріорність і реальна значимість вихідних уявлень математики
    математичного докази, полягає в тому, що в його основі лежить система некорректіруемих очевидностей, яка є глибинною основою вихідних математичних теорій і операціонально основою математичного мислення взагалі. Приймаючи це положення, ми, природно, приходимо до деякого варіанту Апрі-орістской філософії математики. Математичний априоризм диктується самим
  2.  Ассерторіческіе і аподиктичні очевидність
      математичного докази. Якщо допустити, що всі докази в якійсь мірі ненадійні, то проблема обгрунтування математики, принаймні як проблема внутріматематіческіе, втрачає сенс, бо обгрунтування математичної теорії має бути результатом безумовно надійного докази. Ми віримо у надійність визнаного математичного доказу в тому сенсі, що не
  3.  Критика релятивізму
      математичним співтовариством. Цей висновок підтверджується практикою математичного мислення та історією математики. Всі концепції докази, які ставлять під сумнів надійність і строгість математичного мислення, з цієї точки зору повинні бути визнані неспроможними. Критика релятивізму, однак, не буде цілком переконливою без розгляду його власних аргументів. Ми повинні
  4.  Істина і несуперечливість
      математичного докази і витоків надійності класичної логіки дозволяє нам перейти до розгляду проблеми обгрунтування математики, яка в своїй основі складається в обгрунтуванні несуперечності математичних теорій. Перш за все слід розділити математичний і філософський підходи до проблеми, що розрізняються за своїми цілями і засобам. Математичний аналіз проблеми націлений на
  5.  Обговорення методу
      математичної теорії. Ми з'ясували, що сам розвиток математичної теорії неминуче є і процесом її обгрунтування і що цей процес досягає природного завершення у виявленні визнаного аксіоматичного уявлення теорії. Уявлення про становлення математичної теорії як певного роду жорсткої понятійної системи можуть розглядатися в якості особливої ??програми
  6.  Несуперечливість змістовної теорії
      математичного міркування, яке умовно можна назвати міркуванням математичних підручників, яке виходить з відомих принципів, але не займається строгим проясненням складу цих принципів. Оскільки математична теорія в цьому сенсі включає в себе поняття різного ступеня коректності, то постановка питання про її несуперечності може здатися незаконною. Однак це неправильно.
  7.  Ділова активність
      компонентів: лідер, його послідовники, ситуація і завдання, група взаємодіючих людей. При цьому основою лідерства, яка синтезує всі його компоненти, є
  8.  Реалізація кантівського інтуїционізма
      математичні об'єкти визнаються як існуючих тільки на основі безпосередньої інтуїції. 2. Нові об'єкти можуть бути введені на основі вихідних тільки за допомогою інтуїтивно ясною конструкції. 3. Розширення математичного знання за допомогою логіки (дедукції) законно лише в тій мірі, в якій воно відповідає можливостям прямого конструктивного обгрунтування.
  9.  Несуперечливість завершеною аксіоматики
      математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх визначень. Йдеться тут, зрозуміло, про одне й те ж процесі, але при
  10.  5. Формальні передумови
      математична логіка (насправді вона являє собою деяке безліч теорій). Справді, істинами логіки або тавтологіями, такими, як Л є ті, які можуть бути доведені, не вдаючись до припущень, відмінним від правил логіки. Всі інші теорії припускають крім логіки багато понад того. Говорячи точніше, будь-яка математична чи наукова теорія в якості
  11.  Поняття завершеною аксіоматики
      математичного знання, вироблені в історії математики і в філософії науки. Його можна назвати також системним, оскільки математика розглядатиметься тут як історично розвивається і самоорганізується. Від аналізу структури математичної теорії ми переходимо до аналізу історичних стадій її розвитку, до дослідження логіки її становлення. Ідея онтологічної істинності при
  12.  Предметний покажчик
      математична 173, 215 - потенційна 174 - практична 205 Граматика - основа логіки 92 - основа теорії значень 92, 93 Діяльність - мета мислення 42, 43 - основа універсальних норм 43 Доказ 219 - завершене 28 - достовірне 28 - конструктивне 183, 184 - змістовне 283 - формальне 18 Достовірність 40 Індукція - повна 177 - трансфинитное 207
  13.  5. Логіка як механізм дедукції
      математичний висновок грунтується не тільки на правилах логіки. Математичне міркування істотно спирається на власне математичні очевидності і, в деяких випадках, воно може бути вільним від логіки. Переходи від рдной формули до іншої, засновані на визначеннях об'єктів, не вимагають застосування власне логічних схем. Так, переходячи від виразу (а + b \) {a - 6i) до вираження а2 +
  14.  6. Про достовірність математичних доказовий ьств
      математичної теорії до деякої зовнішньої для неї системі зв'язків, будь це система уявлень дослідної науки (механіка, наприклад) або система відносин інший математичної теорії (використання алгебри в геометрії і т. п.). Оцінка деякого докази як достовірного залежить, очевидно, як від якості самого докази, так і від якості інтерпретації теорії. Надійне
  15.  8.1. Система юридичної освіти в Росії і принципи її побудови Система юридичної освіти та її структура
      математичні і природно-наукові дисципліни; - общепрофессіональние дисципліни. Компонент освітнього закладу складається з двох циклів навчальних дисциплін. У нього входять: - спеціальні дисципліни; - дисципліни спеціалізаціі104. Для кожного рівня юридичної освіти розробляються свої державні освітні стандарти: початкового,
  16.  Тема 1. Філософія, коло проблем і роль в житті суспільства
      Поняття світогляду. Світогляд і філософія. Підсистеми світогляду. Компоненти світогляду. Світогляд і соціальну дію. Історичні типи світогляду. Світогляд і його функції. Етимологія слова «філософія» і її різні трактування. Компоненти філософського знання. Філософія як вчення про істину, добро і красу. Джерела філософського знання. Проблема предмета філософії.
  17.  Несуперечливість логістичних систем
      математичної логіки в XIX столітті. Логіцизм виходить з припущення, що всі поняття математики можуть бути визначені на основі понять, що відносяться до логіки, і всі теореми математики можуть бути представлені у вигляді загальнозначимих логічних суджень. Задум логіцізма як програми обгрунтування математики полягав у тому, щоб звести питання, що відносяться до обгрунтування надійності принципів і методів