| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
2. Математична компонента |
||
|
Роль математики в сучасній науці двоїста: формування понять і обчислення. Немає поняття миттєвої швидкості без поняття похідної, немає закону руху без диференціальних або операторних рівнянь. Математичні поняття - це не тільки зручні допоміжні засоби, вони являють собою саму суть фізичних ідей. І найпростіше пророкування майбутнього стану системи або ймовірності звершення того чи іншої події було б неможливим без дедуктивної сили внутрішньо властивою формалізму теорії. Ця дедуктивна сила настільки вражаюча, що ми часто прагнемо прирівнювати теоретичну фізику обчисленням, забуваючи про роль математики в самому формуванні фізичних понять, формул і теорій. Обчислювальні засоби, хоча вони і необхідні, не є фізичними теоріями. Вони навіть не уявляють собою незалежні математичні формалізми. Будь-який метод розрахунку (наприклад, діагоналізацією матриць) є частина математичної теорії, яка може (але не обов'язково) бути частиною формалізму фізичної теорії. Самі по собі математичні теорії Теорія: електромагнітна теорія Максвелла для вільного простору Формальні поняття, включені приховано або явно у фізичну гіпотезу, що диференціюється різноманіття, векторні і Псевдовекторний функції на цьому різноманітті, приватні похідні, векторне твір. Основні (невизначувані) фізичні поняття, що включаються в гіпотезу: фізичний простір, час,?, В, с. Визначувані фізичні поняття: vX ^. dB / dt. Операціональні визначення: ні. Гіпотеза; закон Фарадея для електромагнітної індукції в його диференціальної версії dB / dt. Допоміжне припущення:? і В зменшуються з відстанню принаймні як 1 / л Семантичне припущення: Е являє напруженість електричного поля, В-магнітну індукцію, а з-швидкість світла у вакуумі. Дані; немає. нейтральні по відношенню до яких-небудь гіпотез про реальний світ. Розглянемо теорію канонічних перетворень, яку колись вважали ядром квантової механіки. Як у своїй класичній, так і в квантової формі вона не представляє самостійної фізичної теорії, що відображає деякий аспект світу. Це математичний метод для вирішення рівнянь руху (Гамільтона, Шредінгера і Tv?.) І для співвіднесення один з одним рішень, одержуваних у різних перед * ставлені. В цілому завдання даної теорії полягає у спрощенні формулювання проблеми, а отже, у спрощенні її вирішення, зберігаючи в той же час рівняння руху і певні інваріанти. Дана теорія може знайти застосування безвідносно до фізичного змісту рівнянь. Таким же чином в ряді областей може знайти застосування теорія збурень, для чого необхідна наявність певного рівняння, до якого можуть бути застосовані теорії збурень. Тобто ці теорії не несуть ніякого фізичного значення, вони служать корисними математичними засобами для досягнення мети, яка являє собою приблизне рішення певного рівняння, можливо має якесь фізичне значення. Одному або двом членам розкладання в ряд, згідно теорії збурень, може бути приписано фізичний зміст, нескінченно багатьом членам ряду неможливо дати будь-яку інтерпретацію. Значення такої нейтральності методів теорії збурень можна також побачити при аналізі поняття порядку деякого ефекту. Питання: Що означає цей вислів, чи говорить воно нам що-небудь щодо природи? Отвег: Нічого - про природу і тільки дещо - про обчислювальної техніки. Так, ефект четвертого порядку пояснюють теоретичною моделлю, що включає розкладання в ряд теоріі.возмущеній аж до четвертого ступеня, тобто нехтуючи усіма більш високими ступенями (навіть якщо ряд розходиться). Той же ефект може бути пояснений різними теоріями, що приписують 'йому інший порядок, або зовсім не що приписують ніякого порядку, оскільки вдається знайти точне рішення. Це вірно для розкладання будь-якого ряду і кожного розкладання будь-якого вектора на його компоненти. У той час як функція в цілому може мати фізичне зна-ченне, метод розкладання є суто математичним і може бути змінений в будь-який час. Фізичне зміст, якщо таке є, слід вбачати в деяких поняттях і твердженнях теорії, а не в приватних уявленнях (representations) властивостей і законів. Наприклад, одна і та ж траєкторія в звичайному просторі може бути записана в будь-якій системі координат. Кожне перетворення координат призводить до нового поданням, не змінюючи його фізичного змісту. Так що єдиними розумними обмеженнями, що накладаються на зміни уявлень, що викликаються перетвореннями координат, є наступні: (а) перетворені змінні повинні мати те ж саме значення, що й вихідні (наприклад, координати положення в просторі, піддані перетворенням Лоренца, повинні залишатися координатами положення, а не тимчасовими координатами); (б) перетворені змінні повинні підкорятися тому ж самому твердженням про закон, що і вихідні. Те, що має силу для систем координат, справедливо і для систем одиниць. Якщо подання фізичної властивості за допомогою деякої функції включає вибір одиниць, то вони є конвенціональними і, отже, зміна в одиницях не має ніякого фізичного значення. Відсутність фізичного змісту у деяких компонент фізичної теорії набагато менш несподівано, ніж можливість приписування фізичного значення інших компонентів. Звичайно, для нас стає звичною ідея про те, що математика позбавлена фізичного змісту. Спочатку нас вчать тому, що безперервна функція може визначатися незалежно від часу, пізніше нас вчать, що геометрія є невизначеною, якщо на неї не накладають семантичних припущень-Деяких все ще потрібно вчити, що арифметика і теорія ймовірностей однаково нейтральні, і якщо, хочуть знайти їм застосування, їх слід доповнити семантичними припущеннями. Але взагалі кажучи, ми повинні ясно зрозуміти, що математика є автономною дисципліною, незважаючи на те, що багато математичні ідеї були мотивовані науковим дослідженням в цілому. Тим не менш, незважаючи на свою чистоту, математика застосовується у фізиці, або, як мали звичай гово-рить наші попередники, «математика застосовна до реальності». Питання: Як це можливо? Відповідь: У той час як кожен символ, що зустрічається у фізичній теорії, має математичне значення, деяким математичним символам приписується до того> & е фізична інтерпретація. Так, вираз dx / dt може бути інтерпретовано не тільки як повна похідна деякої функції х, але так само як миттєва швидкість зміни деякого фізичної властивості, репрезентованої х, такого, наприклад, як координата положення, концентрація, енергія, і взагалі все що завгодно. Таким чином, фізичний зміст сідлає знак, що має математичне значення, і в такому вигляді обидва - кінь (або осел) і лицар - перетинають фізичну арену. (Все це, звичайно, може бути викладено і в неметафоричної термінах. У цьому і полягає завдання семантики науки!.) Фізичне поняття відрізняється від лежить в його основі математичного поняття у двох відносинах: (а) кожне фізичне поняття має відношення до деякої фізичної системі (системам) і (б) кожна фізична поняття входить принаймні в один фізичний закон. Навпаки, суто математичні поняття не мають жодних внематематіческіх референтів і не підкоряються ніяким внематематіческім законам. Візьмемо, наприклад, відношення «важче ніж, або настільки ж важке», або Н. З формальної точки зору Н являє собою не що інше, як певний стосунок по * рядка на деякій множині невизначених елементів В, тобто І з: ВХ В і І ^ безлічі відносин порядку. Н стає деяким фізичним поняттям, коли (а) У інтерпретується як безліч тіл, і (б) передбачається, що Н пов'язано з тобто має силу для будь-яких двох тел. Приклад з ваговою функцією навіть більш повчальний, так як існує нескінченна безліч шляхів уявлення фізичної властивості ваги (або будь-якого іншого фізичного властивості), а саме за допомогою системи одиниць. Вага тіла 6 є В в гравітаційному полі geG 1 М. W: BXGXKXVw-+ R +. Крім того (і тут вступає в силу закон), W таке, що W (bfg, kt і) т%, де т є маса, а X прискорення тіла Ь. (Наше передбачуване обмеження моделі тіла як нерелятивистской частинки несуттєво в даній ситуації.) Будь-яка інша величина володіє подібною структурою. Це деяка функція від топологічного твори принаймні двох множників, одним з яких є безліч фізичних систем певного виду, а іншим - безліч одиниць. Дуже часто одним з множин фізичних систем, що зустрічаються в області якої величини, є безліч систем відліку деякого виду, щодо яких, наприклад, зберігають свою справедливість закони руху Ньютона. Такі системи інколи називають «спостерігачами» відповідно до, так би мовити, наблюдателецентрістской філософією, а саме з Операціоналізм. Очевидно, однак, що спостерігачі не всюдисущі і не безсловесні, як системи відліку, в усякому разі, їх вивчення не відноситься до фізики. У підсумку фізичне значення вливається в формалізм через основні фізичні величини, що представляють властивості фізичних систем і підкоряються фізичним законам. Попередній аналіз дискваліфікує нумерологію як серйозний підхід до фізичної теорії. Нумерологія може бути визначена як жонглювання безрозмірними константами (чистими числами) з наміром отримати значимі відносини. Так як нумерологія має справу з безрозмірними константами, їй досить важко приписати якесь фізичне зміст. Оскільки ця гра чисел може бути введена в комп'ютер поза всякою зв'язку з якими-небудь твердженнями про закони, остільки нумерологія лише випадково може призвести до фізичним законам. Тривіальність подібного висновку показує наступна теорема. Теорема. Дано п невід'ємних чисел а \, а2, ... От »; існує нескінченно багато кратних п не дорівнює нулю дійсних чисел (позитивних або отрідатель-них) bit & 2, ...» & П, таких, що / Л / Л / / «-1 _ пЬП ах - аг ... в = ап. V! Г (Доказ: спершу візьмемо логарифми і розглянемо випадок при п = 2. Потім застосуємо математичну індукцію.) Раз знайдені дані я-кратні показники ступеня, то легко апроксимована кожен з них простий дробом. Таким чином буде отримано «разючу» співвідношення. Процедуру потім можна буде повторити з іншим вибором показників ступенів, і так до нескінченності. Успіхи в знаходженні подібних числових комбінацій залежать від наших здібностей і ресурсів. При цьому не потрібно знання законів фізики. Звичайно, нумерологія як деяке випадкове і слабо-евристичності засіб має певну цінність. Маніпуляції з числами можуть випадково привести до інтуїтивного осяяння і навіть проблиску правильної теорії. Але головне полягає в тому, що нумерологія не є теорією і не містить ніяких фізичних законів. Це слід особливо підкреслити тому, що всякий раз, коли накопичується деяка безліч необроблених даних (як у випадку фізики елементарних частинок і сучасної космології), з'являється схильність до спроби жонглювати ними, а не до пошуків більш гли * боких гіпотез, відповідних цим даним. На цьому ми закінчимо розмову про роль математики у фізиці. Перейдемо тепер до іншого кінця спектра, а саме до даних.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 2. Математична компонента " |
||
|
||