1. Аргументи Брауера

Тут же знаходяться і витоки позиції Брауера. На відміну від Кантора і Гільберта, ^ які були готові включити в математику будь несуперечливі поняття, Брауер ставив своїм завданням побудову істинної математики, всі поняття якою наповнені певним змістом. Він був переконаний, що Пеано відриває математику від її основи, «перетворює її в набір лінгвістичних форм, яким нічого не відповідає в дійсності. У своїй першій роботі про підстави математики він пише про логістику Пеано 'і Рассела: «Вона (логістика - В.П.) не дає нам нічого для підстав математики, оскільки вона залишається радикально відокремленої від математики ... Щоб оберегти себе від протиріч, вона повинна існувати як механічна стенографія мови математики, який сам по собі не математика, а не більше, ніж схильне помилок засіб, що використовується математиками для передачі математичних тверджень один одному і для утримання їх у пам'яті »42. Прихильники символічної школи, на його думку, не беруть до уваги, що «між досконалістю математичної мови і досконалістю математики не існує ніякої ясної зв'язку» 43.

Виходячи з цих міркувань, Брауер сформулював строгий критерій прийнятності математичних суджень. Цей критерій він угледів у властивості інтуїтивної ясності вихідних математичних об'єктів і в конструктивному введенні похідних об'єктів і їх властивостей. Негативна критика абстрактної математики, яка переважала у Кронекера, була замінена позитивною програмою уявлення математики на основі поняття конструктивності. Всі аргументи Брауера проти класичної логіки прямо або опосередковано пов'язані з цим критерієм прийнятності математичних суджень. Можна виділити (звичайно, зі значною мірою умовності) шість таких аргументов44. 1.

Від ПОНЯТТЯ математичного існування. Математичне міркування може здійснюватися в двох формах: як засноване на інтуїтивно ясною конструкції об'єкта і як висновок з прийнятих посилок, за допомогою деякого набору логічних принципів («логічна калькуляція»). Первинною для Брауера є перша форма. Розширення математичного знання за рахунок логіки допустимо, на його думку, лише в тих межах, в яких воно не виводить за рамки конструктивного підтвердження. Закон виключеного третього, очевидно, не узгоджується з такою установкою. «Якщо ми, - пише Брауер,-г-на деякий час, залишимо ідею конструювання і будемо вільно оперувати логічними правилами, дотримуючись принципу силогізму, закону несуперечливий і закону виключеного третього, то чи можемо ми бути впевненими в тому, що кожна частина нашого міркування може бути підтверджена через повернення до методу конструювання? Можна показати, що ця впевненість є цілком обгрунтованою для перших двох законів, але не для останнього »45.

Від поняття логічного заперечення. Якщо твердження про існування об'єкта (властивості) розуміти як можливість його побудови (пред'явлення в конкретному виді), а заперечення як зведення до абсурду допущення про можливість побудови, то заперечення заперечення деякої властивості, очевидно, не тотожне його твердженням. Розглянемо наступний приклад. Задамо дійсне число Р таким чином: якщо в десятковому розкладанні числа / г є послідовність цифр 0123456789 і 0 є k-м знаком розкладання, то Р = 0,33 .. .3, Де після коми коштує рівно до трійок, коли ж такій послідовності цифр не існує, то Р = 0,333 ... = 1/3. Згідно побудови, число Р не може бути ірраціональним, але, з іншого боку, ми не можемо стверджувати і його раціональності, оскільки не можемо його пред'явити, тобто вказати який з двох випадків має місце в дійсності. Таким чином, заперечення заперечення властивості в загальному випадку не є достатнім для його затвердження, що очевидно суперечить змісту закону виключеного третього як універсально значимого логічного прінціпа46. 3.

Від парадоксів. Глибинною причиною парадоксів, що вималювалися в теорії множин, є по Брауер використання понять, що не мають математичного (конструктивного) сенсу, зокрема, використання класичної логіки за межами її значущості. Закони класичної логіки-це тільки закони мови математики. Вони призводять до нісенітниці і протиріччям, якщо починають додаватися до неконструктивним поняттями, до «математичним словами», які не мають відношення до істинної математики. «Можна показати, - пише Брауер, - що парадокси виникають з тієї ж плутанини, що і у Епіменіда, а саме, вони виникають там, де закони мови математики поширюються на мову математичних слів, який не пов'язаний з математикою. ... Зрештою все парадокси зникають, коли ми обмежуємо свої міркування системами, які можуть бути експліцитно побудовані на основі базової інтуїції, іншими словами, коли ми розглядаємо математику як попередню логіці, а не навпаки »47. 4.

Від нерозв'язності. Якщо обидва компоненти форми «А або-Л» тлумачаться в сенсі деякої процедури (побудови або доказовою), то твердження цієї форми як універсального принципу стає, на думку Брауера, нічим іншим як затвердженням разрешимости всіх проблем. «Питання про значущість принципу виключеного третього, - пише Брауер, - еквівалентний питання про те, чи можуть існувати нерозв'язні проблеми. Немає ніякого достатньої підстави, яке іноді висловлюється, що не існує ніяких нерозв'язних проблем »48.

На відміну від наведених вище цей аргумент є більш загальним, так як він не передбачає конструктивного істолкоранія ствердження і заперечення. Тут досить припустити, що утвердження і заперечення пов'язані з доказові в будь-якому сенсі. Він спочиває на припущенні (яке згодом було строго доведено К. Геделем), що існують справжні математичні висловлювання, нерозв'язні в системі. 5.

Від непроверяема. Закон виключеного третього безумовно застосуємо до кінцевих множинам, бо «для властивостей, отриманих за допомогою закону виключеного третього всередині специфічно кінцевих систем, завжди досяжно їх емпіричне підтвердження, якщо ми маємо досить часу в своєму розпорядженні» 49. Для нескінченних множин така перевірка в принципі неможлива.

Хтось може заперечити в тому сенсі, що існує об'єктивний стан справ, незалежне від спостерігача, і що насправді все-таки існує тільки одне з двох: або А, або не-А Ці заперечення, вважає Брауер, виходять з незаконною об'єктивації математичних істин, з метафізичного припущення, що і після того, як людство буде знищено, вони існуватимуть поряд із законами природи. Цінність интуиционистской математики, на його думку, полягає в тому, що вона звільнила математичне мислення від апеляції «до гіпотетичного Всевідо суті» 51. Г. Вейль писав на підтримку цієї ідеї Брауера: «Принцип виключеного третього для таких тверджень (для тверджень належності або неналежності деякого властивості всіх чисел натурального ряду - ВЛ.) Міг би бути справедливим для Бога, здатного оглядати все натуральні числа ніби єдиним поглядом, але не для людської логіки »52.

6. Генетичний аргумент. Брауер вважає, що у своєму розвитку логіка залежить від багатьох факторів і, в принципі, навіть у сфері звичайного мислення можливі різні логіки. Він не виключає можливості, що люди, ізольовані від нашої цивілізації, можуть мати істотно іншу логіку53. У своєму розвитку логіка залежить від об'єктів мислення і змінюється зі зміною змісту мислення. Традиційна логіка математичного докази сформувалася через оперування з кінцевими сукупностями об'єктів. Внаслідок звички її законам був приписаний апріорний характер і були загублені уявлення про умови її застосовності, пов'язані з її походженням. Збої, які починає давати класична логіка в застосуванні до нескінченних множинам, в цьому плані цілком природні. «... Догма універсальної істинності закону виключеного третього повинна розглядатися як феномен історії цивілізації того ж порядку, як і довго трималась вірування в раціональність числа ж або віра в те, що небесне склепіння обертається навколо Землі» 54.

Аргументи 1-4 можна назвати логічними, оскільки вони виходять з деяких фактів логіки (з розгляду структури чистих дока-зательств існування, з факту неповноти, теорії і т.д.). Останні два аргументи є методологічними або філософськими, так як припускають певні припущення про природу логіки і про право математика висловлювати апріорні (недоступні перевірці) судження про нескінченні множинах.

Інформація, релевантна " 1. Аргументи Брауера "

1. Інтуїционістськая логіка (висловлювань
   ) Стверджуючи незалежність математики від мови і логіки, її самодостатність, принцип повної індукції в якості єдиного методу рішення всіх математичних проблем , інтуїція-ність тим самим давали зрозуміти, що проблема формалізації доказів їм байдужа. Проте дискусії інтуіціоністи з логицистами і формалістами з приводу законності закону виключеного третього зрештою
   
2. Екологічне право та екологічне законодавство
   аргументи: 1) ЯКЩО охорону природи тлумачити в традіційному сміслі , тоб візнаваті, что ця охорона візначається людьми для людей, то постає Небезпека, что вона буде пов'язана з їх господарськими інтересамі, від чого Навколишнє природньо середовище позбав постраждає; 2) антропоцентризм прізведе до того, что будут Врахуй-вані Захоплення позбав нінішнього Покоління, в жертву якому пріносітімуться Захоплення
   
3. Екологічне право та екологічне законодавство
   аргументи: 1) ЯКЩО охорону природи тлумачити в традіційному сміслі, тоб візнаваті, что ця охорона візначається людьми для людей, то постає Небезпека, что вона буде пов'язана з їх господарськими інтересамі, від чого Навколишнє природньо середовище позбав постраждає; 2) антропоцентризм прізведе до того, что будут враховані Захоплення позбав нінішнього Покоління, в жертву якому пріносітімуться Захоплення
   
4. Розділ II. ОСНОВНІ Напрямки РОЗВИТКУ І Реформування АДМІНІСТРАТІВНОГО ЗАКОНОДАВСТВО
   аргументи, подаваті додаткові матеріали та наполягаті на їхньому запіті органом, Який Розглядає заяву чі Скарга, буті прісутнім при розгляді, користуватись услуг особини чи організації, что здійснює Правозахисна функцію, одержуваті письмовий відповідь про результати РОЗГЛЯДУ. За формальну відповідь без Фактів, а такоже доказів та підстав для обгрунтування решение орган має нести відповідальність,
   
5. 6.Новое в археологічному вивченні давньоруського міста
     аргументоване в 1983 р. О.Г. Большаковим і В.А. Якобсоном. Вони запропонували вважати містом населений пункт, в якому концентрується і розподіляється додатковий продукт. А. В. Куза зауважує, що в умовах Стародавньої Русі пунктами концентрації додаткового продукту були, крім власне міста, ще феодальні садиби-замки, цвинтарі, військові фортеці. «Місто не тільки акумулює в собі
   
6. Москва.
     аргументом на користь первісності цієї назви, заміненого пізніше ім'ям «Москва». У зв'язку із здійсненням реконструкції історичного центру Москви в 1988 р. почалися розкопки в північній частині Червоної площі - в Історичному проїзді. Роботи велися Московської експедицією Інституту археології АН СРСР, відтвореної в 1987 р. (начальник експедиції С.З. Чернов). Перед москвичами і приїжджими
   
7. Олександр I
     аргументів і за і проти цієї легенди. Зараз так само важко спростувати її, як і довести її правоту. Можна зовсім виразно сказати, що особистість Олександра I була гідною цієї легенди. Погодимося з Л.Н. Толстим в тому, що «легенда залишається у всій своїй красі та істинності». Підводячи підсумок сказаному, повернемося до питання про те, наскільки виявився здатний Олександр I виконати роль
   
8. 3. ПРО6 помилках, прогалинах й викривлення у висвітленні історії Вітчизняної війни 1812 року
     аргументів, наведених деякими істориками до користь того, що Бородіно виявилося перемогою Росії, є і те, що французькі війська залишили завойовані на Бородінському полі позиції. Це не зовсім так. Втім, навряд чи може такий аргумент бути вирішальним у суперечці про результати бою. Французи зберегли за собою село Бородіно і село Семенівської, флеші і Курганную висоту. Війська Наполеона були
   
9. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
     Реальна картина суспільно-політичному житті Росії 60-90-х років XIX в. була до невпізнання перекручена і в історичній науці, і в шкільних підручниках, і в громадській думці. Це відбувалося від того, що революційний рух, революційна боротьба показувалися, по-перше, єдино вірним напрямком суспільно-політичного життя, а, по-друге, превалюючим над іншими напрямками,
   
10. 8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
      аргумент: реформи, «вигадані за західним зразком», призвели до загибелі імператора 1 березня 1881, а «установа нової говорильні» (парламенту - А. С.) загрожує загибеллю всій країні. Саме це і заявив К. П. Побєдоносцев на знаменитому засіданні 8 березня 1881, де вирішувалося питання про «конституції» М. Т. Лоріс-Мелі-кова, доводи вчителя для Олександра III були незаперечні, і проект не був прийнятий, що
    
11. 1.Економіка і соціальна структура
      аргументів), що час з 1907 по 1917 рік - це час підйому та процвітання. При цьому робиться посилання на великий експорт хліба за кордон. Росія багато хліба вивозила і продавала за кордон, але робилося це за рахунок форсованого зменшення запасів хліба всередині країни. Так, в США, Аргентині та Канаді «разом узятих» після вивезення зерна на експорт будинку залишалося по 59 пудів хліба на душу населення,
    
12. 3. Початок II російської революції. Лютий 1917
      аргумент не бездоганний, так як не набагато більшою була чисельність у меншовиків (у травні 1917. р. їх налічувалося майже 47 тис.). Меншовики були тоді добре організованою і згуртованою партією, але вони займали місце в верхньому ешелоні революційної демократії і безроздільно панували там. Лідерами меншовиків були: Ф. І. Дан, І.І. Лібер, Г.В. Плеханов, М.І. Скобелєв, Н.Н. Суханов, Ю.О.
    
13. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
      аргументи: слабкість масового протесту і опору депутатів розгону Установчих зборів створюють враження про його політичне самогубство. Підтримка народом Установчих зборів грунтувалася швидше на популістських представлених, ніж на демократичних ідеалах (Л.Г. Протасов; М. Ферро); боротьба двох демократій: цензовой, буржуазної, класичного типу і народної, радянської та
    
14. 5. Громадянська війна. Політика «воєнного комунізму» (1917-1921 рр..)
      аргументи ». Коротко нагадаємо про ці аргументах, не забуваючи, що обидві ворогуючі сторони як би суперничали одна перед одною в жестокостях, т.к. йшлося про боротьбу не на життя, а на смерть, про сам фізичне існування протиборчих сил. Перш за все треба якимось чином визначити поняття червоного і білого терору. Під червоним терором прийнято розуміти тимчасову (з липня по листопад 1918
    
15. 2. Проблеми науки і культури
      аргументом «ждановської критики» було твердження, що таке мистецтво народу чуже, народу не зрозуміло! Сумно відомі постанови ЦК ВКП (б) 1946-1948 років про культуру свідчать про добре організованому поході проти всього талановитого, неординарного, а, може бути, просто незрозумілого. Усі постанови складаються з констатуючої та постановляючій частин. У першій дається оцінка того чи
    
16. Поняття арбітражного процесу, арбітражна процесуальна форма
      аргументується тим, що у цивільного та арбітражного про-процесів схожі принципи діяльності, процесуальні фор-ми і окремі інститути. Аналогічні аргументи приво-сідали і авторами ідеї створення єдиного процесуального права для всіх галузей, що забезпечують здійснення пра-восудія. Зазначалося, що «в цивільному, кримінальному та адміні-стративно процесах подібні другорядні
    
17. Стадії арбітражного процесу
      аргументів як «за», так і «проти», були висловлені в теоретичних дослідженнях, присвячених арбітражу, тобто до створення системи арбітражних судів РФ. 2 Див: Лесницкая Л., Клейн Н. Концепція розвитку цивільного процесуального та арбітражного процесуального законодавства / / Правова реформа: концепція розвитку російського законодавства. М.: Изд-во Інституту законодавства і
    
18. 3. Судопроізводственних ПРИНЦИПИ АРБІТРАЖНОГО ПРОЦЕСУАЛЬНОГО ПРАВА
      аргументах один одного до початку судового розгляду. Кожній особі, що бере участь у справі, гарантується право представляти докази арбітражному суду і іншій стороні у справі, забезпечується право заявляти клопотання, висловлювати свої доводи і міркування, давати пояснення з усіх виникаючих у ході розгляду справи питань, пов'язаних з поданням доказів. Особи,
    
19. Процесуальні права осіб, що у справі
      аргументах один одного до початку судового розгляду. Кожній особі, що бере участь у справі, гарантується право представляти докази арбітражному суду і іншій стороні у справі, брати участь у дослідженні доказів; задавати питання іншим учасникам арбітражного процесу, заявляти клопотання, робити заяви, давати пояснення арбітражному суду, наводити свої доводи по всіх