Г ЛАВА V ПРО ТЕ, ЩО ГЕОМЕТРІЇ, МАБУТЬ, НЕ ЗАВЖДИ ДОБРЕ РОЗУМІЮТЬ РІЗНИЦЯ МІЖ ВИЗНАЧЕННЯМ СЛІВ І ВИЗНАЧЕННЯМ РЕЧЕЙ

Так, у тлумаченнях Клавия па Евкліда можпо бачити довгий і дуже запекла суперечка між ппм і Пеллстье 14 щодо простору, укладеного між дотичною і окружпостио. Пеллетьє стверджував, що опо не є кутом, Клавпй же вважав, що це кут. Хіба пе ясно, що всьому цьому спору можна було покласти край одппм словом, запитавши у того п іншого, що вони мають на увазі під «кутом».

Ми БАЧИМО також, що Симон Стевін, знаменитий математик принца Оранського 15, визначивши число таким чином: Число є го, за допомогою чого виражається кількість всякої речі, гнівно обрушується па тих, хто не визнає одиницю числом, і доходить навіть до риторичних вигуків, як якщо б це був надзвичайно серйозна суперечка. ІТравда, on зачіпає у своєму міркуванні досить важливе питання: чи відноситься одиниця до числа так, як точка до лінії? Але це питання треба було розглядати окремо, щоб пе змішувати дві абсолютно різні речі. І, розбираючи окремо два питання: чи є одиниця числом і чи належить одиниця до числа так, як точка до лінії, - щодо першого треба було сказати, що це всього лише суперечка про слово і що одиниця є або пе є числом залежно від того, з якого визначення числа ми виходимо. Якщо визначити його, як у Евкліда: Число є безліч, складене з одиниць 16, - то очевпдпо, що одиниця пе число; але оскільки це визначення Евкліда довільно і нікому не забороняється визначати ім'я «число» інакше, йому можна дати і таке визначення, яке призводить Стевін.

Частина має ту ж природу, що і ціле - Одиниця є частина безлічі одиниць. Отже, одиниця має ту ж природу, що і безліч одиниць, і, таким чином, вона є числом.

Це доказ не має ніякої сили. Навіть якби частина завжди була тієї ж природи, що і ціле, звідси не слід було б, що вона завжди повинна носити те ж ім'я, що й ціле; навпаки, дуже часто буває, що опа Посито інше ім'я. Солдат є частина армії, але він не є армія. Компатії є частина будинку, по не будинок. Половина круга не є коло. Частина квадрата не їсти квадрат. Отже, Стевін доводить, найбільше, що одиниця, складаючи частину безлічі одиниць, має щось спільне з усім безліччю едіпіц і тому можна сказати, що опи однієї природи, та він не доводить, що ми должпи пазивать ім'ям «число» і одиницю, і безліч одиниць, - адже можна при бажанні зберегти це ім'я лише за безліччю едіпіц, а одиниці дати тільки її власне ім'я одиниці, або частини числа. Не має сили і другий аргумент Стевіна: Якщо з даного числа не вираховують ніякого іншого числа, то дане число залишається незмінним.

Отже, якби одиниця не була числом, то, віднімаючи з трьох один, ми залишали б дане число незмінним, що явно безглуздо.

Але велика посилка тут смішна: вона передбачає те, що потрібно довести. Бо Евклід заперечував би, що дане число залишається незмінним, якщо з нього не віднімають ніякого іншого числа, оскільки для того, щоб число не залишилося колишнім, досить відняти пз рябо або число, або частину числа, таку, як одиниця.

Ід. Арно і П. Нцкодь

півколо, ми залишаємо даний коло без зміни, тому що ми не забираємо ніякого кола.

Таким чином, всі доводи Стевіна доводять, щонайбільше, наступне: «число» можна визначити так, що це слово буде ставитися і до одиниці * оскільки між одиницею і безліччю одиниць існує достатня відповідність, щоб їх можна було позначити одним ім'ям; але вони зовсім не доводять, що не можна визначити ім'я «число», звузивши його значення до мно-Яхества одиниць, щоб не виключати одиницю щоразу, коли говорять про властивості, притаманних усім числах, крім одиниці.

Але друге питання - чи належить едіппца до інших числах так, як точка до лінії, іншого роду, нея ^ їли перший: це спір не про слово, а про речі. Бо невірно, що одиниця відноситься до числа, як точка до лінії: адже одиниця, прибавляемая до числа, робить його великим, тоді як точка, прибавляемая до лінії, аж ніяк не робить її більшої. Одиниця є частиною числа, точка ж не є частиною лінії. Якщо від числа відняти едіпіцу, дане число не залишиться незмінним; якщо від лінії відняти точку, дана лінія залишиться без зміни.

Стевін очепу часто веде подібні суперечки про визначеннях слів. Так, наприклад, він з жаром доводить, що число не є роздільним (discrete) кількістю; що пропорція чисел завжди арифметична, а пе геометрична; що будь корінь з якого завгодно числа є число, Це показує, що він, по суті, не усвідомив , що таке визначення слова, і брав визначення слів, якісь не можуть оскаржуватися, за визначення речей, якісь передка можна справедливо заперечувати.

Інформація, релевантна " Г лава V ПРО ТЕ, ЩО геометрії, МАБУТЬ, НЕ ЗАВЖДИ ДОБРЕ РОЗУМІЮТЬ РІЗНИЦЯ МІЖ ВИЗНАЧЕННЯМ СЛІВ І ВИЗНАЧЕННЯМ РЕЧЕЙ "

1. Г лава II Космологія і космогонія
   лава II Космологія і
   
2. 2. Інтеллігибельного принципи і спостережувані факти в геометрії
   тому. Одна теорема є припущенням, а інша виводиться з неї, але перша настільки ж недостовірна, як і друга. Якщо це пояснюється правильно, то не виходить ніякої плутанини. В геометрії легше виділити з самого початку, що може бути доведено, а що не може. Легко бачити різницю між тим, що спостерігається і що доводиться. А що являє собою інтелігібельний принцип? Все це ми
   
3. 1.2. Цілі і зміст початкового курсу геометрії
   тому, щоб оволодіти геометричними змістами, то педагог стежить лише за тим, щоб на «виході» навчання учень вирішував певні геометричні задачі, знав відповідні теореми, визначення та аксіоми, вмів вести геометричне міркування. Якщо ж мета геометричного навчання зводиться до формування геометричного чи суворого мислення і здібностей, то геометричні вмісту в
   
4. 1. Обмеженість евклідової геометрії
   тому відношенні. Тепер розглянемо ту частину диска, яка складається з вузької смуги по-обидві сторони деякого радіуса диска (спиця колеса). Під час обертання диска ця смуга поводиться як стрижень, який рухається в напрямку, перпендикулярному до його довжини; отже, обертання не позначається на зміні довжини. Таким чином, ми бачимо, що периметр Р кола радіуса г коротшає при
   
5. Тотожність і відмінність
   того що те, що не складає частину того, що є (частина ens), повертається до своєму не-сущого, отже до ніщо. Тим самим відома включеність (яку ще слід визначити) ніщо в суще неминуча, якщо ми хочемо зберегти відмінність між цими двома термінами. Попутно зауважимо таке: можна було б укласти, що різниця між чимось і нічим не існує, щонайменше в
   
6. 1. До Галілея і Ньютона
   томної. При використанні терміну «нова механіка» мається на увазі «ньютоновская механіка», яка лежить в основі всіх її застосувань. Першою і основною аксіомою ньютонівської механіки є «закон інерції». Закон інерції в тій формі, в якій ми його зустрічаємо в будь-якому шкільному підручнику, стверджує: «Тіло, що перебуває у спокої, якщо його надати самому собі, буде залишатися в спокої або,
   
7. аподиктичні очевидність як основа докази
   тому апріорному спогляданні, вона самоочевидна в системі своїх вихідних принципів (аксіом) і, нарешті, вона самоочевидна у своїх доказах, оскільки, згідно Канту, «математичні докази завжди протікають під керівництвом чистої інтуїції, на основі завжди очевидного синтезу »9. Сучасна математика, звичайно, не є такою мірою підпорядкованої вимогу очевидності. Практика
   
8. 10. Операціональні визначення в геометрії
   те, як використовувати формалізовану геометрію для нашої орієнтації у фізичному світі, то ми повинні поставити наступне питання: чи існують у фізичному світі об'єкти, які мають властивості, сформульовані в аксіомах? Якщо існують, то вони теж мають сформульовані в теоремах властивості. Ми шукаємо «фізичну інтерпретацію» аксіом геометрії. Ми, наприклад, могли б сказати, що
   
9. 3. Декарт, Мілль і Кант
   тому, французьким математиком і філософом. На його думку, становище, що деякі принципи є самоочевидними, означає, що якщо ви розумієте їх добре, то ви також розумієте, що вони істинні. Він аргументував це положення так: «Я можу довести властивості (уявити собі трикутник), які виявляться дійсно істинними (за допомогою спостереження); з цього випливає, що вони виникають з
   
10. 2. Принцип Відповідності (аналогії)
    що завжди існує відповідність між законами і явищами в різних площинах Буття і Життя. Стара аксіома герметики полягає в цих словах - «Як вгорі, так і внизу; як внизу, так і вгорі» - і оволодіння цим принципом дає засіб вирішення багатьох темних парадоксів і прихованих секретів Природи. Існують площині вище нашого Знання, але якщо ми застосуємо до них Принцип Відповідності,
    
11. Глава перша
    лава другого січня 1017 а 7-1) 9. - 182. 2 Коль скоро дапний прпзпак пе входить у визначення трикутника і оскільки вся ця проблема виходить за рамки геометричної науки як такої. - 183. 3 Див Платон. Софіст, 254 а. - 183. 4 Якщо «освічений в мистецтві» і «розуміється на мові» - одне і те ж, то всякий, папрімер, хто розуміється на мові буде і освіченим в мистецтві, що буває не
    
12. 1. Абстрактність системного підходу
    тому пункті полягає основна методологічне протиріччя і непереборний порок цих програм. Ставлячи завданням обгрунтувати несуперечливість математичної теорії, тобто чисто структурне і безвідносне до змісту властивість, вони намагаються його обгрунтувати, висуваючи на перший план відмінність між кінцевим і нескінченним, яке є суто змістовним і різним для різних теорій.
    
13. 1. Геометрія як ідеал філософії
    тому, щоб розділяти кожне підмет дослідженню утруднення на стільки частин, на скільки можливо і на скільки необхідно для його належного дозволу. Це «друге правило» Декарта є, очевидно, теж узагальненням дійсного уживаного методу в геометрії. Якщо останній полягає в тому, щоб, виходячи з аксіом геометрії, доводити теорему, що сума кутів трикутника дорівнює
    
14. 6. Неевклидова геометрія
    тому, що може зовсім не бути такої лінії g ', яка ніколи не перетне g. Іншими словами, всі існуючі лінії перетинаються. Є також можливість і того, що якщо пряма лінія відхиляється від g 'з кожного боку на досить малий кут є, то вона не перетне g. Інакше кажучи, може бути «пучок» ліній - симетричних відносно g 'і обмежених лініями, що відхиляються від g' на
    
15. Що таке «робочі відносини»
    того що , якщо вона не заважає йому якісно працювати, хто буде просто так, зазря платити гроші психолога? Це здається парадоксом, але в роботі добре зробленого підприємства та у взаємодії його професійно підготовлених співробітників психологічних моментів немає, як немає їх у комп'ютера або лічильної машинки. Керівник віддав розпорядження, розпорядження виконано, керівнику доповіли.