| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
Рішення Апорії Зенона про протяжності для випадку математичного континууму простору і часу. |
||
|
В аналітичній геометрії фізичного простору і часу загальним місцем є твердження, що протяжний відрізок прямої, що має позитивну довжину, «складений з» непротяжних точок, кожна з яких має довжину, рівну нулю. Аналогічним чином постулюється, що временнйе інтервали позитивної тривалості складені з миттєвостей, кожне з яких володіє нульовою тривалістю. Ще з часів тих греків, які визначали точку як «те, що не має частин» 1 (1 Це визначення дане Евклидом («Початки Евкліда», кн. I-V, ОГИЗ, М. -Л., 1948, стор 11).), філософи та математики сумнівалися в справедливості розуміння протяжного континууму як сукупності непротяжних елементів. У довгому списку дослідників, які займалися цим питанням в контексті математичних і філософських теорій, характерних для свого часу, ми знаходимо такі імена, як Зенон Елейскій2 (2 С. Я. Лур'є, Теорія нескінченно малих у стародавніх атомістів, М.-Л., 1935, стор 31-37.), Аристотель, Кавальєрі, Текет, Паскаль, Больцано, Лейбніц, Дюбуа-Раймон, Кантор; однак тут згадані далеко не все. Так, Вільям Джемс писав: Однак якщо ми беремо простір і час як поняття, а не як чуттєві дані, то ми, звичайно, не розуміємо, як можуть вони мати атомістичну конструкцію). Бо якщо краплі або атоми самі не володіють тривалістю або протяжністю, то незбагненно, як складанням будь-якого їх числа виходили б часи і простору. ... Що сутність, отождествімая з деякою нескінченним ланцюгом одиниць (таких, як «точки»), жодна з яких не містить ніякої кількості цієї сутності (такий, як «простір»), ніколи не може бути отримана; це щось таке, чого наш інтелект не тільки не може зрозуміти, але, і вважає абсурдним. Розбираючи це питання, Бріджмен зазначав: «... щодо апорий Зенона ... якби лінію розуміли так, що вона буквально складається із сукупності точок нульової протяжності, а інтервал часу являє собою суму недлящіхся миттєвостей, тоді вже саме це розуміння було б парадоксальним ». Ця зеноніанская критика математичної теорії фізичного простору і часу Джемсом і Бріджмен-ном кидає виклик основним концепціям Кантора, що лежить в основі аналітичної геометрії та математичної теорії руху. Їх точка зору ставить під сумнів також таку філософію науки, яка спирається на ці концепції в своїй інтерпретації математичного пізнання природи. Відповідно до цього наше дослідження буде, по суті, спрямоване на з'ясування питання, чи може сучасна теорія точкових множин домогтися успіху і подолати суперечливий характер твердження про те, що позитивний лінійний інтервал складається з непротяжних елементів - точок. У цьому розділі ми спробуємо виявити ті властивості сучасної математичної теорії, які дійсно усувають цю суперечливість. Ми покажемо, якого роду математичним і філософським теоріям вдалося обійти математичні (метричні) апорії Зенона щодо безлічі; ці апорії слід відрізняти від апорії руху. Ці останні були розглянуті нами в розділі про протяжності в книзі «Сучасна наука і парадокси Зенона». Як і раніше, наше ставлення до поглядів, які приписувалися Зенону різними авторами, є виключно логічним і ми не пред'являємо ніяких претензій на історичний розгляд розвитку аргументації Зенона або щодо автентичності поглядів, які ми пов'язуємо з його ім'ям. Згідно Лурье2 (2С. Я. Лур'є, Теорія нескінченно малих у стародавніх атоміс-тов, стор 31-37.), Зенон в його математичної апорії безлічі спирається на дві основні аксіоми. Розділивши всі величини на позитивні і «безрозмірні», Зенон припускає, що 1) сума нескінченного числа рівних позитивних величин довільній малості з необхідністю повинна бути нескінченною, 2) сума будь-якого кінцевого або нескінченного числа «безрозмірних» величин з необхідністю повинна дорівнювати нулю. З другої з цих аксіом, мабуть, погоджується Бріджмен, і вона була сформульована також математиком Паулем Дюбуа-Раймоном, який потім зробив висновок, що ми не можемо розглядати лінію як сукупність «безрозмірних» точок , коли незабаром ми постулюючи, що ця сукупність повинна володіти щільністю і порядком. Сам Зенон вважав, що повинен використовувати ці аксіоми як підстави для формулювання наступної дилеми: якщо відрізок лінії розкладається на сукупність нескінченної кількості рівних елементів, тоді можливі два і тільки два випадки - або ці елементи мають однаковою позитивної завдовжки і їх сукупність має нескінченну протяжність (по аксіомі 1), або довжина цих елементів дорівнює нулю і їх сукупність неминуче має нульову протяжність (по аксіомі 2). Перше положення цієї дилеми є справедливим, однак воно не має відношення до сучасної аналітичної геометрії простору і часу. Якщо ми хочемо вирішити проблему, яка стоїть перед нами, то нам потрібно спростувати друге положення цієї дилеми в контексті сучасної математичної теорії. Щоб виконати це, ми повинні, насамперед, з'ясувати логічні відносини між сучасними поняттями, метрики, довжини, міри і кардинального числа, коли їх використовують при розгляді (нескінченних) точкових множин. Оскільки в другому положенні своєї дилеми Зенон стверджує, що лінію не можна розглядати як сукупність точок, тому що не має значення, яке кардинальне число ми постулюючи для цієї сукупності, Дюбуа-Раймон також підтримує це положення, нагадуючи про те, що точки є «безрозмірними» , тобто непротяжних, і стверджуючи, що якщо ми розглядаємо лінію «тільки каксовокупнссть точок», то ми ео ipso (тим самим) відмовляємося від погляду, що «лінія і точка є істотно різними речами». Ми бачимо, що Дюбуа-Раймон слід досить старої традиції, згідно з якою при характеристиці (чуттєвої) протяжності поняття довжини і розмірності інтуїтивно розглядаються як рівнозначні. Тому буде розумніше почати наш аналіз із зауваження про необхідність проводити розходження між традиційним метричним вживанням терміна «розмірність» і сучасним топологічним сенсом поняття «нульова розмірність». Це розрізнення стає необхідним в силу того, що топологічна теорія розмірності розроблялася автономно від метричної геометрії. До розробки цієї теорії будь-який позитивний інтервал у декартовом n-вимірному просторі просто називався n-мірним за визначенням. Так, лінійні відрізки, що мають довжину, іменувалися одновимірними, а поверхні, що володіють площею, - двомірними. Навпаки, в топологічної теорії розмірності, розробленої в нашому столітті, існує нетривіальна теорема, згідно якої лінії топологічно одномірні, поверхні - двовимірних і взагалі декартово простір п вимірювань володіє n-мірність. Фактично саме ця теорема виправдовує застосування терміна «теорії розмірності» до особливої гілки топології, що має справу з такими неметричних властивостями точкових множин, які сприяють доведенню справедливості цієї теореми. На противагу цьому традиційний метричний сенс розмірності ототожнює розмірність з довжиною, чи мірою, протяжності. До метричної проблемі цієї глави має відношення тільки останній сенс «розмірності» або «безрозмірності». Тому ми відсилаємо читача до інших наших публікацій щодо оцінки того, як теорія розмірності XX століття може несуперечливо говорити про наступні, адитивних в топологічному сенсі властивостях розмірності, як «нульова розмірність» і «одномірність»: точкове безліч, що становить числову вісь або будь-який кінцевий відрізок на ній (тобто нескінченна пряма лінія або відповідно кінцевий відрізок лінії), є одновимірним, навіть якщо воно в сенсі теорії множин є сумою підмножин нульової розмірності. Підмножинами нульової розмірності є: а) будь-яке одиничне точкове безліч (така безліч складається з однієї точки, що є її єдиним членом, і, отже, на нього можна вільно посилатися як на «точку», якщо подібне вживання цього слова не призводить до двозначності), б) будь-яка кінцева сукупність, що складається з однієї або більшої кількості точок, в) будь-яке рахункове безліч (зокрема, безліч раціональних речових точок), г) безліч ірраціональних речових точок, що є незліченну нескінченністю. Відповідно з цим ми повинні тепер перейти до наступного метрическому питання: як може визначення довжини, залишаючись в рамках стандартної математики, яка використовується у фізиці, несуперечливим чином приписувати нульову довжину одиничним точковим множинам, або індивідуальним точкам , і в той же час приписувати позитивні кінцеві довжини сполукам (сумами) цих одиничних точкових множин, складовим кінцевий інтервал. Щоб дати відповідь на останнє питання, потрібно спростувати друге положення дилеми Зенона. Ми зробимо необхідний аналіз після того, як приділимо деяку увагу попередньому розгляду пов'язаних з ним проблем. Довжина, або протяжність, визначається як властивість точкового безлічі, а не як властивість індивідуальних точок, і нульова довжина приписується одиничного безлічі, тобто безлічі, в якому міститься тільки одна-єдина точка. Незважаючи на те, що в геометрії ми трактуємо лінійний інтервал як безліч точкових елементів і це коректне логічному відношенні і навіть має центральне значення для нашої проблеми, все ж, строго кажучи, таке визначення «довжини» робить некоректними посилання на подібні інтервали, як на « сукупності непретяженних точок ». Хоча властивості бути протяжним або бути непротяжних характеризують одиничні точкові множини, вони все ж не притаманні відповідним їх точковим елементам, точно так само, як температура є властивістю тільки сукупності молекул, а не індивідуальних молекул. Тому сутності, про які, власне, можна сказати, що вони непротяжних, включаються до сукупність точок, складових лінійний інтервал, але не є його елементами. Відповідно до цього лінійний інтервал, строго кажучи, представлет собою з'єднання непротяжних одиничних точкових множин, а не «сукупність непротяжних точок». Хоча це і не зовсім коректно, все ж ми маємо намір використовувати останнє позначення для того, щоб уникнути більш громіздкого виразу «з'єднання непротяжних одиничних точкових множин». Тепер ми перейдемо до викладу тих розділів теорії метричних просторів, які мають відношення до нашої проблеми. Структура, що характеризує клас всіх дійсних чисел (позитивних, негативних і нуль), розташованих в порядку зростання їх величин, є структурою лінійного континууму Кантора. Евклідовому точкові множини, або «простору», які ми будемо розглядати, є «метричними» наступного комплексному сенсі: 1) існує взаємно однозначна відповідність між точками n -мірного евклідового простору Еп і деякої дійсної системою координат (xi. .., хп), 2) якщо точки х, у мають координати xi, yi тоді існує дійсна функція d (x, у) , звана їх (евклідовим) відстанню, яка виражається формулою
Основні властивості цієї функції задаються деякими аксіомами відстані. Кінцевий інтервал на прямій лінії являє собою (впорядковане) безліч всіх речових точок між (а іноді і включає одну або обидві) двома фіксованими точками, які іменуються «кінцевими точками» інтервалу. Оскільки точки, складові інтервал, задовольняють відзначеному вище у визначенні «метрики» умові 1, є можливість визначити «відстань» між фіксованими кінцевими точками даного інтервалу. Число, що виражає це відстань, є довжиною точкового безлічі, що становить цей інтервал. Нехай а і b позначають відповідно точки a і b або відповідні їм речові числові координати в залежності від ситуації. Тоді ми визначаємо довжину кінцевого інтервалу (а, b), як позитивну величину b-а безвідносно до того, чи є інтервал {х} замкнутим (а? Х? B), відкритим (а <х Коли є два нерівних інтервалу, один з яких є власною частиною іншого, більший інтервал містить точки, що не належать меншому інтервалу. У цьому сенсі точно встановленого відмінності в тотожності та приладдя безлічі про більший з двох інтервалів можна сказати, що він містить «більше» точок, тобто точок інших, ніж ті, які належать меншому інтервалу. Раз встановлена незалежність потужності і довжини таких точкових множин, можна елімінувати окремі труднощі, які свідчать про помилковість подібних трактувань нескінченної подільності інтервалів, про що ми будемо говорити нижче. Таким чином, не можна зробити висновок, що підрозділ якогось інтервалу на два або більше подинтервалов повідомляє кожному з отриманих подинтервалов потужність, меншу потужності початкового інтервалу. Цікаву ілюстрацію незалежності потужності і довжини дає так зване потрійне безліч (дісконтінуума Кантора). Це безліч має нульову довжину (і нульову розмірність), маючи в той же час потужністю контінуума1 (1 Р. Курант і Г. Роббінс, Що таке математика? Елементарний нарис ідей і методів, Гостехиздат, М.-Л.. 1947, стор 279, а також «Математика, її зміст, методи та значення», під ред. А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьєва, Вид-во АН СРСР, т. Ill, M., 1956 .). І існування цієї множини показує, що потужність, як така, ще недостатня для додання позитивної протяжності якого-небудь інтервалу, але що його позитивна довжина залежить від структурного розташування його елементів. Тепер перейдемо до з'ясування того, чому парадоксальні висновки Зенона про те, що довжина даного позитивного інтервалу (а, b) дорівнює нулю, не можна вивести із двох наступних припущень нашої геометрії: 1) будь-який позитивний або невироджений інтервал являє собою з'єднання континууму вироджених подинтервалов і 2) довжина виродженого (напівінтервалу дорівнює нулю. Представляється очевидним, що якщо теорія несуперечлива, з неї не можна вивести результат, отриманий Зеноном. Такий результат суперечив би припущенням, що довжина інтервалу (а, b) дорівнює b - а (а? b). Більш того, цей результат був би несумісний з теоремою Кантора, згідно з якою всі позитивні інтервали мають однаковою потужністю безвідносно до їх довжини, бо ця теорема показує, що жоден висновок щодо довжини невиродженого інтервалу не може бути зроблений з припущення 1) і 2) за допомогою аддитивности довжин, дозволеної теорією. Якщо якийсь інтервал i є об'єднанням кінцевого числа інтервалів, з яких будь-які два не мають спільної точки, тобто якщо i = i1 + i2 + i3 + - - - + in, (iPiq = 0 для р? q), то, як це випливає з щойно викладеної теорії, довжина всього інтервалу дорівнює арифметичній сумі індивідуальних довжин його подинтервалов. Таким чином, ми маємо L (i) = L (i1) + L (i2) + L (i3) + ... + L (in). Якщо ми зараз визначимо арифметичну суму прогресії кінцевих кардинальних чисел як межа послідовності приватних арифметичних сум членів цієї послідовності, тоді можна отримати нетривіальне доказ наступної теореми: довжина інтервалу, який поділяється на перечислимого число подинтервалов, що не володіють загальними точками, дорівнює арифметичній сумі довжин цих подинтервалов2 (2 Це питання обговорюється також у другому розділі (§ 2А) моєї книги «Сучасна наука і парадокси Зенона».). Звідси відразу випливає, що якщо стандартна математична теорія приходить до цього результату, то вона повинна була б також стверджувати, - чого вона не робить! - Що інтервал складається з рахункового числа точок, а в такому випадку апорії Зенона були б розв'язати. Таким чином, як для кінцевого числа, так і для рахункового нескінченного числа неперекривающіхся подинтервалов довжина L (i) загального інтервалу являє собою адитивну функцію інтервалу i. Довжина деякого інтервалу є числовий мірою вичерпності (протяжен-ності) цього інтервалу, але не його потужності. Остання не залежить від вичерпності числа членів цього інтервалу. Нагадаємо, що довжина була визначена тільки для інтервалів. Досі ми не приписували небудь властивості, східного з властивістю довжини, іншим видам точкових множин. Проте є багато випадків, коли було-б бажано отримати свого роду міру протяжності, так сказати, точкових множин, зовсім відмінних від інтервалів. Такого роду проблеми в рівній мірі, як і проблеми, з якими стикаються в теорії (Лебега) інтегрування, наштовхують на думку про введення узагальненого метричного поняття міри L (S) множини S, щоб з таким же успіхом розглядати множини, відмінні від інтервалів. Це метричний поняття узагальнює визначення функції інтервалу L (i) таким чином, щоб отримати позитивну аддитивную функцію множини L (S), яка збігається з L (i) у спеціальному випадку, коли S є деякий інтервал i. І принципи, які з теорії міри й доречні для нашого обговорення метричних апорії Зенона, суть наступні: 1) Мірою безлічі точок має бути число, залежне від безлічі таким чином, щоб міра суми двох множин, які не мають жодної спільної точки, була б сумою заходів цих двох множин ... Міра безлічі, якщо розглядати її як функцію множини, повинна таким чином бути адитивною функцією, тобто такою, щоб її значення для безлічі E1 + Е2 дорівнювало сумі її значень для E1 і E2. 2) ... будь-яка сума кінцевого або рахункового числа вимірних множин [які все містяться в небесконечни інтервалі] сама є вимірної. 3) Міра суми лічильної нескінченної послідовності множин, з яких ніякі два не мають жодної спільної точки, повинна бути граничною сумою заходів цих множин всякий раз, коли ця гранична сума існує. 4) Кожне рахункове безліч точок є вимірним, і міра його дорівнює нулю. Слід зазначити, що на підставі 2) і 3) стандартна математична теорія стверджує, що захід є лічильно адитивної (або перелічуваних адитивної), точно так, як це стверджувалося по відношенню до довжини, що очевидно з нашого колишнього обговорення питання про аддитивности дліни5 (5 Подробиці щодо визначення «заходи» для різних видів точкових множин читач може знайти в книгах: Н. Cramer, Mathematical Methods of Statistics, p. 22 ff; PR H a 1 m про s, Measure Theory, New York: D. Van Nostrand Co ., 1950.). Оскільки теорія нескінченної подільності помилково використовувалася при спробах дедуктивно вивести метричні апорії Зенона, ми вкажемо на відповідні помилки, перш ніж перейти до суті нашої проблеми-спростуванню другого положення метричної дилеми Зенона. У листуванні з Лейбніцем Йоганн Бернуллі зробив наступну істотну помилку: він трактував актуально нескінченна безліч натуральних чисел як безліч, що володіє останнім або?-М членом, якого можна досягти, починаючи свій шлях від нуля1 (1г. В е й л ь, Про філософію математики , Гостехиздат, М.-Л., 1934, стор 71.). Ясно, що точка зору Бернуллі внутрішньо суперечлива, оскільки ніяка рахункова нескінченність дискретних членів не може мати останнього члена. Висуваючи аргументи на користь своєї теорії нескінченно малих, Пірс повторив ту ж помилку Бернуллі, розмірковуючи таким чином: 1) протяжність ірраціонального числа в десяткових знаках має нескінченне число членів, 2) нескінченна протяжність в десяткових знаках має останній елемент на «нескінченному місці», і , оскільки цей елемент знаходиться «нескінченно далеко» в протяжності десяткових знаків, він нескінченно малий, або інфінітезімален, в порівнянні з кінцевими величинами; 3) оскільки поняття безперервності не може обійтися без ірраціональних чисел, воно передбачає нескінченно малі. Більш того, метод визначення ірраціональних точок за допомогою сукупності вкладених інтервалов3 (3 P. Курант і Г. Роббінс, Що таке математика? Стор 83-84.), Запропонований Дюбуа-Раймоном, виявився помилковим, так як його теж можна звинуватити в тій ж помилку, що і Бернуллі5 (5Основная помилка Дюбуа-Раймона полягає у припущенні, що метод сукупності вкладених інтервалів допускає і вимагає «зрощування» кінцевих точок «передостаннього» інтервалу в одну точку, так що це «зрощування» є останнім кроком в нескінченній прогресії формування сукупності вкладених інтервалів. Якщо розглянутий метод вимагає такого зрощування, тоді проти нього можна висунути ті ж логічні заперечення, що і проти подання Бернуллі про оо-м, або останньому, натуральному числі. Однак це не так, бо якщо цей метод фактично посилається на прогресію інтервалів, то він не може ні допускати, ні вимагати, щоб ірраціональна точка була «останньою», або оо-й, такого «стягуються» інтервалу. Замість апеляції до «зрощуванню» даний метод встановлює ірраціональну точку за допомогою методу варіацій інтервалів в цілій послідовності . Тому про властивість цілої послідовності, що дозволяє нам визначити деяку точку, стверджують, що воно існує. Повидимому, Дюбуа-Раймона ввели в оману образні вирази, подібні тому, що «інтервал стягується в точку».). Перейдемо до розгляду цієї помилки, тому що її допускають у тих випадках, коли намагаються використовувати нескінченну подільність позитивних інтервалів в якості підстави для дедуктивного виводу метричної апорії Зенона і для заперечення того, що позитивний інтервал може розглядатися як сукупність непротяжних точок. Точно такий же дедуктивний висновок цього парадоксу приписують Зенону Лі і Таннер, причому обидва, мабуть, не помічають зазначеної помилки. Згідно з їх версією, аргументація Зенона передбачає такі вихідні припущення: 1) нескінченна подільність гарантує можливість завершеності процесу «нескінченного розподілу», тобто завершеність безлічі операцій поділу, яке все ж є нескінченним; завершення цього процесу «нескінченного розподілу» досягається останньою операцією в цій послідовності і завершується «досягненням» останнього результату ділення - математичної точки нульової протяжності 3 (3Ето припущення слід пов'язувати з іншим, а саме що написання всіх x0 чисел в нескінченній послідовності десяткового дробу, що виражає число , було б завершено на писанням останньої цифри (СР «Modern Science and Zeno's Paradoxes», Ch. II, § 4).); 2) деяка актуальна нескінченність, що складається з різних елементів, породжується за допомогою такого процесу «нескінченного розподілу», про який говорять, що його можна завершити; 4) оскільки безлічі операцій поділу починаються з першої операції над усім інтервалом і за кожною операцією безпосередньо випливає інша, причому кожне безліч, за винятком першого, має певного попередника, всі вони разом складають прогресію множин однієї або більше операцій. У припущеннях 3 і 4 про «кінцевих елементах», до яких адресувалися метричні аргументи Зенона, говорилося, що вони повинні породжуватися завершеною прогресією операцій розділення. Однак цей висновок є абсурдним, бо за самою своєю суттю прогресія не повинна мати останнього члена і бути завершеною! І вислів внутрішньо суперечливого пропозиції, що в такій актуально нескінченної сукупності існує «останнє» поділ, що забезпечує завершеність процесу «нескінченного розподілу» «досягненням» «кінцевого» продукту поділу, означає фактично повторення помилки Бернуллі. Звідси відразу ж випливає кілька висновків. 1) Ми ніколи не «досягаємо» актуальної нескінченності математичних точок за допомогою «нескінченного розподілу»; отже, взагалі і питання стояти не може про породження актуальної нескінченності непротяжних елементів за допомогою «нескінченного розподілу». 2) Самі по собі факти нескінченної подільності не дають законного приводу для метричних апорії Зенона, бо останні можуть з'явитися тільки, якщо ab initio постулювати актуальну нескінченність непротяжних елементів. Саме тому, що теорія Кантора грунтується на цьому останньому постулаті (а зовсім не тому, що його числова вісь нескінченно ділена), ми повинні розглянути, стикається чи запропоноване Кантором розуміння лінії з метричними труднощами, які були сформульовані Зеноном. Щоб показати, що останнє висловлювання може бути підтверджено в рамках теорії точкових множин, ми на підставі цієї теорії сформулюємо інтерпретацію нескінченної подільності, сумісну з цією теорією. Поняття «поділ» лінії не має ясного сенсу доти, поки ми не визначимо точно, чи розуміємо ми під «лінією» сутність, подібну чуттєво сприймається «безперервної» лінії, накресленої крейдою на дошці, або зовсім іншу безперервну лінію теорії Кантора. «Безперервність» чуттєво сприймається лінійної протяжності складається, по суті, в неможливості знайти в ній розриви, коли погляд ковзає по ній від одного кінця до іншого. У чуттєвому «континуумі» не існує різних елементів, і про нього, як і про видимої лінії, не можна сказати, що він являє собою сукупність, що володіє структурою. Навпаки, безперервність лінії Кантора виражається саме в складних структурних відносинах (точок) елементів, які визначаються постулатами для дійсних чисел. Ми не завжди можемо сприйняти третій розрив між двома візуально сприймаються розривами (секціями) на чуттєво сприймається лінії. Таким чином, візуально сприймаються розриви (секції) на цієї лінії не становлять безлічі, що володіє помітною щільністю. Це означає, що будь-яке має сенс твердження щодо можливої подільності чуттєво сприймається лінії має бути сумісним з наявністю порога чуттєвихсприймань. Поділ чуттєво сприймається лінії означає утворення одного або більше сприймаються розривів на ній. Навпаки, будь-яке твердження, що приписують (нескінченну) «подільність» лінії, як вона розуміється Кантором, має грунтуватися на тому факті, що ця лінія і її інтервали вже ab initio «розділені» на актуально нескінченна безліч точкових елементів, що складають цю лінію (інтервал) , причому це безліч володіє щільністю. Відповідно до цього про лінії, в сенсі Кантора, можна сказати, що вона вже дійсно розділена на нескінченне число елементів. «Поділ» лінії не може тому означати ані створення візуально сприйманих розривів на ній, ні «відділення» точок-елементів один від одного, яке робить їх помітними. Коли ми говоримо про «відокремлення» лінії в сенсі Кантора, то це означає виділення позитивних неперекривающіхся подинтервалов і (власних або невласних) інтервалів лінії; в разі кінцевих точкових множин взагалі і виродженого інтервалу зокрема «поділ» означатиме освіту власне непорожніх підмножин. Позитивний інтервал нескінченно ділимо в тому сенсі, що допускає виділення принаймні однієї лічильної нескінченності позитивних неперекривающіхся інтервалів. З нашої дефініції поділу і з властивостей кінцевих множин випливає, що поділ кінцевого точкового безлічі на два (або більше) члена з необхідністю веде до зменшення його кардинального числа. Це зменшення підкреслює відмінність поведінки кінцевого точкового безлічі від поведінки інтервалів, поділ яких призводить до утворення подинтервалов тієї ж самої потужності, що й первісний інтервал. Фундаментальне значення має усвідомлення в даній ситуації того, що поділ інтервалу не приводить до зменшення потужності утворюються подинтервалов у порівнянні з початковим інтервалом. Ненавмисне заперечення цієї обставини, мабуть, імпліцитно входить (разом з помилкою Бернуллі) в помилкове припущення про те, що нескінченна подільність інтервалу гарантує можливість отримання всіх складових його індивідуальних точок в якості «продуктів нескінченного розподілу». Оскільки вироджений інтервал не має ніякого власного непорожньої підмножини, цей унікальний інтервал є неподільним. Ми бачимо, що, згідно з нашою теорії, (нескінченна) подільність і неподільність є відповідно теоретико-множинними, а не метричними властивостями. Ця теорія дозволяє нам приписувати точне значення неподільності одиничного точкового безлічі, 1) визначаючи поділ як таку операцію, яка проводиться тільки надбезліччю, а не над його елементами, 2) визначаючи подільність кінцевих множин як освіта їх власних подинтервалов, які не є порожніми, і 3) доводячи, що вироджений інтервал неподільний унаслідок відсутності у нього підмножини необхідного типу. Відзначимо, що розподіл являє собою деяку операцію над певними точковими множинами, тоді як подільність і властивість бути сверхсчетной нескінченністю є відповідно властивостями деяких точкових множин у разі Канторової лінії. І нескінченна подільність інтервалу не приводить до якого-небудь виду «нескінченного розподілу», яка породила б сверхсчет-ність безлічі складових його точек1 (1 Проте дуже часто зручно позначати приналежність до безлічі за допомогою мови, що застосовується при описі еліпсів, кажучи про актуальну нескінченності операцій, які, так би мовити, призводять до «виродження» елементів розглянутого множини.). Важливе значення має ясне розуміння того, що наш аналіз показав, яким чином ми можемо абсолютно несуперечливо висловлювати наступні дві пропозиції: 1) лінія і її інтервал нескінченно подільні; 2) лінія і її інтервал являють собою сукупність неподільних вироджених інтервалів. Тепер перейдемо до вирішального пункту нашої проблеми, а саме до спростування, виходячи з теорії множин другого положення метричної дилеми Зенона. Оскільки позитивний інтервал являє собою сукупність континууму вироджених інтервалов1 (1Слово «континуум» може позначати або впорядковану структуру дійсних чисел, або її потужність. З контексту буде ясно, яке з цих значень мається на увазі або що маються на увазі обидва сенсу відразу.), Ми повинні тепер визначити, який сенс, якщо взагалі такий є, ми можемо приписати «підсумовуванню» довжин цих вироджених інтервалів, щоб отримати довжину інтервалу в цілому. Вирішення цієї пропонованої проблеми не буде вирішенням ad hoc, оскільки воно грунтується на міркуваннях, які залежать не від приватних величин відрізків по довжині, які послідовники Зенона пропонують нам «скласти», а від того, що число цих довжин, що підлягають додаванню, є незліченною. Раніше ми визначили довжину сукупності кінцевого числа перекриваються інтервалів, довжини яких відомі, виходячи з довжин цих останніх. Крім того, ми сформулювали відповідне визначення довжини з'єднання лічильної нескінченності неперекривающіхся інтервалів. Якщо ми тепер спробуємо поділити інтервал на незчисленних нескінченність таких інтервалів, то ми виявимо, що вони не можуть бути невиродженими. Бо Кантор довів, що будь-яка сукупність неперекривающіхся інтервалів на лінії являє собою в кращому випадку лічильну нескінченність. Звідси випливає, що вироджені подинтервали, що знаходяться у фокусі нашої уваги, є єдиним видом (неперекривающіхся) подинтервалов, яких даний інтервал містить незліченну безліч. Цілком природно тому, що вони породжують специфічну ситуацію. Остання обумовлена тим, що наша теорія не приписує ніякого значення процесу «освіти арифметичної суми», коли ми намагаємося «підсумовувати» сверхсчетную нескінченність індивідуальних чисел (довжин)! Цей факт не залежить від того, чи є індивідуальні числа в такому сверхсчетном безлічі чисел нулями або кінцевими кардинальними числами, відмінними від нуля. Отже, обговорювана теорія не може розглядатися як придумана ad hoc для запобігання можливості «складання» на манер Зенона нульових довжин континууму точок, «складових» інтервал (а, b) з тим, щоб отримати 0 в якості довжини цього інтервалу. Хоча кінцевий інтервал (а, b) являє собою з'єднання вироджених подинтервалов, ми не можемо змістовним чином визначити його довжину в нашій теорії шляхом «складання» індивідуальних нульових довжин вироджених подинтервалов. Ми стикаємося тут з прикладом, коли додавання можливо тільки в сенсі теорії множин (тобто утворення з'єднання вироджених подинтервалов) і неможливо додавання (їх довжин) в арифметичному сенсі. Ми показали, що геометрична теорія, як вона представлена тут, не володіє парадоксальним властивістю, приписуючи, з одного боку, ненулевую довжину b-а інтервалу (а, b), а з іншого - забороняючи робити висновок, що інтервал (а, b) повинен мати нульову довжину за умови, що кожна з складових його точок має нульову довжину. Говорячи більш точно, ми показали, що геометрична теорія в рамках її правил складання довжин можег несуперечливим чином одночасно стверджувати наступні чотири положення: 1) кінцевий інтервал (а, b) є з'єднанням континууму вироджених подинтервалов; 2) довжина кожного виродженого (подинтервала дорівнює 0; 3) довжина інтервалу (а, b) виражається числом b-а; 4) довжина інтервалу не їсти функція його потужності. Наш аналіз, очевидно, спростовує голослівні твердження послідовників Зенона про суперечливість геометрії теорії множин. Аналіз різних проблем, поставлених або підказаних зенонові апорією про безліч, з точки зору теорії множин дозволяє нам дати несуперечливу метричну оцінку протяжного лінійного відрізка як сукупності непротяжних точок. Таким чином, математичні парадокси Зенона анулюються у формальному відношенні геометрією, побудованої на фундаментальних ідеях Кантора. Зазначені вище правила додавання довжин стандартної математичної теорії, несуперечливість метричного аналізу якої нам вдалося показати, вимагають, щоб нескінченна безліч точок, що становить інтервали на лінії, було незліченною. Таким чином, якщо б будь-яке нескінченна безліч раціональних точок розглядалося як що становить Нібито протяжний лінійний відрізок, розглянута нами звичайна математична теорія могла б ціною відмови від внутрішньої несуперечності стверджувати, що довжина такого рахункового точкового безлічі повинна бути більше нуля. Бо ми бачили, що в стандартній теорії і довжина інтервалу і міра точкового безлічі є лічильно адитивними. І отже, якщо б про деякому інтервалі (а, b) між раціональними точками а і b стверджувалося, що він складається тільки з рахункового числа раціональних точок, розташованих між а і b, то виникла б наступна логічна ситуація: перерахування цієї множини точок в з'єднанні з рахунковою аддитивностью їх нульових довжин допускало б, що довжина (а, b) дорівнює (як це не парадоксально) нулю. Цей нульовий результат може бути отриманий взагалі без будь-яких посилань на конгруентність і одиницю довжини, які забезпечуються переміщуються стандартом довжини, зовнішнім по відношенню до (а, b). Щоб підкреслити незалежність цього результату від зовнішнього для (а, b) стандарту довжини, ми можемо сказати, що «внутрішня» довжина рахункового «інтервалу» раціональних точок дорівнює нулю, точно так само, як і міра такого «інтервалу». Може здатися, що на адресу даного висновку щодо фундаментального логічного значення незліченну можливі наступні критичні зауваження. Щоб уникнути метричних протиріч, що випливають з лічильної адитивності довжини і заходи, необхідно припустити, що нескінченні точкові безлічі незліченні. Без цих правил складання було б неможливо зробити висновок, що довжина і міра рахункового точкового безлічі виявляються рівними нулю. Отже, якщо не брати до уваги ці правила додавання, то можна було б, мабуть, не впадаючи в протиріччя, приписати кінцеву довжину деяким рахунковим множинам і обгрунтувати фізичну теорію за допомогою геометрії, заснованої на понятті рахункових множин, Таким чином, можна було б стверджувати, що незліченну нескінченне точкове безліч не завжди є необхідною умовою несуперечності, оскільки ця необхідність існує тільки для тих формулювань теорії, де довжина і міра є лічильно адитивними. Щоб оцінити це заперечення, потрібно відзначити насамперед наступні два положення.
1) Заперечення лічильної адитивності для довжини і заходи спричинило б за собою втрату тієї частини стандартів, застосовуваних математиками, які залежать від наявності в основах математики положення про лічильної адитивності. Так, наприклад, необхідно було б принести в жертву деякі з лав Фур'є і власні функції квантової механіки, так само як і теорію ймовірностей і статистику. Бо лічильно-адитивні функції вводяться в ці області, прикладної математики в тій чи іншій формі за допомогою інтеграла Лебега, міри Лебега або інтеграла Лебега - Стілтьєса. 2) Незалежно від вимоги метричної несуперечності в ситуації зі лічильної аддитивностью сверхсчетность інтервалів внутрішньо властива припущенням про математичної безперервності простору і часу і тим самим всім тим положенням теорій і емпіричних наук, які залежать of цього припущення. Ті, хто утвержда ет, що сверхсчетность точкових множин зовсім не є суттєвою для фізичної теорії, висувають необгрунтована вимога і не пропонують нічого іншого, як тільки рекомендацію-спробувати побудувати фізику простору і часу на підставі рахункових множин. Щоб довести своє твердження, вони повинні продемонструвати виконання своїх рекомендацій, довівши принаймні, що одна з галузей математики, яка уникає апорії Зенона, відмовляючись від лічильної адитивності, щоб постулювати счетность простору і часу, є цілком життєздатною для емпіричних наук як стан стандартної математики, використовуваної в реальній фізичній теорії1 (1 Бо сумніви щодо тези, який стверджує математичну безперервність простору і часу, є скоріше конвенціональними, ніж емпіричними (див. главу одинадцятий).). Однак у світлі фізичних міркувань, що висувалися на користь лічильної адитивності, вельми сумнівно, щоб фізики погодилися згнітивши серце принести її в жертву. У цьому істотному сенсі метрична апорія Зенона щодо протяжності кидає виклик тим теоретикам, чиї філософські зобов'язання не дозволяють їм використовувати сверхсчетние нескінченні множини. Прихильники точки зору Зенона могли б все ж висунути як аргумент твердження, що це арифметичне спростування неспроможне по чисто геометричним міркувань, кажучи, що якщо протяжність (простір) повинна бути складена з елементів, то ці елементи самі повинні бути протяжними. Зокрема, геометри, начебто Веронезе, заперечували Кантору, що при розташуванні точок в лінійному порядку всі їх протяжності, так би мовити, «підсумовуються геометрично» перед нами. І з точки зору цієї геометричної перспективи припущення, що навіть сверхсчетная нескінченність непротяжних точок була б в змозі утворити позитивний інтервал, що не суб'єктивно, на їх думку, особ-він тому, що теорія Кантора може претендувати тут на арифметичну несуперечливість тільки в силу неясності, яка маскує значення поняття арифметична «сума» сверхсчетной нескінченності чисел. Переконливо Чи це заперечення Кантору? Не думаю. На чому ж грунтується його правдоподібність? Слід, мабуть, припустити, що воно стає переконливим завдяки мовчазній зверненням до образного поданням точок в математичній фізиці, де вони розташовуються в послідовному порядку у вигляді ряду кульок, що утворюють пряму лінію. Однак властивості, які будь-яка подібна інтерпретація приписує в уяві точкам, якраз і не допускаються формальними постулатами геометричній теорії хоча б навіть і у вигляді припису. Незаконний характер посилань на труднощі, які нібито доводять неспроможність концепції лінії в теорії Кантора, стає очевидним, якщо підкреслити, що не тільки потужність множини точок, що становить лінію, цілком виключає образне її подання, але також і щільність порядку: між будь-якими двома точками є нескінченна число інших. Це повністю суперечить дискретному порядку кульок, розташованих в ряд, ніяка крапка не примикає безпосередньо до будь-якої іншої. Марність, недоречність і помилковість спроб наочно уявити собі структуру Канторової інтервалу стають очевидними з наступного: якщо виключити одну з кінцевих точок спочатку замкнутого інтервалу, відкритий «кінець» цього інтервалу представляв би непереборні труднощі для зображення унаслідок відсутності точки, сусідній з виключеною. Ці міркування показують, що з істинно геометричної точки зору не можна отримати фізичної інтерпретації формальних постулатів геометрії шляхом образного уявлення індивідуальних точок геометричної теорії. Це неминуче призводить до невірного розуміння. Навпаки, ми можемо отримати інтерпретацію, що зовсім не буде обтяжена нав'язаними їй уявленнями візуального простору, які до справи ніякого відношення не мають, якщо ми будемо асоціювати з відповідними тілами природи не термін «точка», а термін «лінійний континуум точок» нашої теорії. Під точкою цього тіла розуміється в такому випадку не що інше, як елемент, що володіє формальними властивостями, які приписуються точці постулатами геометрії. І згідно такій інтерпретації, у сучасних послідовників поглядів Зенона вибивається грунт з-під ніг геометричного parti pris (упередженої думки) проти Кантора. Іноді беруть до уваги, що проблеми, поставлені зенонові апорією протяжності, мають не менше філософське значення, ніж проблеми, поставлені його апоріями руху. Два приклади проілюструють нам, що існує недооцінка того уроку, який філософія повинна витягти з зневаги зенонові апорією протяжності в рамках стандартної математичної теорії. 1. Рассел знехтував істотним внеском, який вносять поняття потужності і порядкової структури континууму у подолання математичних парадоксів Зенона математичною теорією руху. Це філософське зневага очевидно з наступного уривка: Математики проводять відмінність між різними ступенями безперервності і обмежують слово «безперервний», що застосовується в технічних цілях, рядами, що володіють деякою високим ступенем безперервності. Однак у філософському відношенні все те, що є істотним у понятті безперервності, виражається більш низьким ступенем безперервності, яка іменується «компактністю» [тобто щільністю] ... Що ж ми маємо на увазі, коли говоримо, що рух безперервно? У наших цілях необхідно розглянути все те, що має на увазі математик, коли каже: тільки частина того, що він має на увазі, має філософське значення. Частково він має на увазі й таке: якщо ми розглядаємо будь-які два положення, які частка займає в будь-які два миті, то завжди буде існувати інше проміжне положення, яке вона займає в деяке проміжне мить ... Ми знаємо, що одне лише існування властивості щільності гарантує тільки рахункове нескінченне точкове безліч. Проте в контексті правил стандартної математики щодо додавання довжин необхідність у сверхсчетном нескінченному точковому безлічі визначається вимогою метричної несуперечності. Отже, в цьому сенсі є філософські підстави для необхідної більш високого ступеня безперервності, ніж та, яка гарантується тільки властивістю плотності2 (2Подобние критичні зауваження можна висунути на адресу Дедекинда. Він стверджує, що якщо ми постулюючи перериване простір, що складається тільки з алгебраїчних точок, то «переривчастість цього простори не буде помітна в евклідової науці, начебто б її взагалі немає» (R.Dedekind, Essays on the Theory of Number, Chicago: Open Court Publishing Co., 1901, pp. 37-38). Оскільки безліч алгебраїчних точок все ще є рахунковим (A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre, New York: Dover Publications, 1946, p. 40), то, згідно з уявленнями Дедекинда про довжину (міру) відрізка, складеного з таких точок, ця довжина дорівнює як нулю, так і позитивної величиною. Тому ми не можемо погодитися з Вайсманом, який схвально коментував Дедекинда, стверджуючи, що, «коли незабаром справа стосується фізичного простору, стає звичайним визнання справедливості цього трактування» (F. W aismann, Introduction to Mathematical Thinking, New York: F. Ungar Publishing Co., 1951, p. 212).). 2. Греки прийшли до відкриття несумірних величин, звичайно, не шляхом простого неодноразового виконання операцій з переміщення вимірювальних стержней3 (3Історіческіе подробиці приведені в: R. v про n Fritz, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, «Annals of Mathematics», Vol. XLVI (1945).). Крім того, за допомогою одних безпосередніх фізичних операцій не можна довести, що існують гіпотенузи, довжина яких не може бути представлена жодним раціональним числом. Бо межі точності експерименту і щільність безлічі раціональних точок гарантують, що в силу однієї тільки точності операцій ми ніколи не зможемо прийти до чого-небудь ще, крім раціональних результатів. Радикальний операціональні підхід до геометрії може тому вселити думку, що ця наука побудована так, що використовує тільки раціональні точкі1 (1 Див апроксимативних геометрію Ельмслева [J. H je I ms -1 е v, Die naturliche Geometrie, «Abhandlungen aus dem mathemati- schen Seminar der Hamburger Universitab, Bd. II (1923), S. Iff.], і коментар на неї Вейля (Н. W е у 1, Philosophy of Mathematics and Natural Science, pp. 143-144).). Аналіз, проведений в даній главі, мав на меті довести, що, коли незабаром відсутня спирається на рахункові безлічі альтернативна по відношенню до стандартної математики, життєздатність якої в сенсі опису фізичних явищ можна було б довести, такий операціональні підхід до геометрії і до теоретичних вимірним фізики повинен бути відкинутий виходячи з логічних соображеній2 (2 Критичний розгляд точки зору Грюнбаум з даного питання див у книзі Ю. А. Петрова «Логічні проблеми абстрактної нескінченності і здійсненності», М., 1967, стор 121-131.-Прим. перев.). |
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "Рішення Апорії Зенона про протяжності для випадку математичного континууму простору і часу." |
||
|
||