| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
18. ДИВНИЙ СВІТ ЧИСЕЛ |
||
|
М атематіка непереборно вплетена в тканину сучасного життя. Покриваєте ви стіни ванної кахлем, прикидаєте, скільки часу потребуватиме подорож в Глазго, підсмажуєте хліб у тостері або посилаєте людини на Місяць - без математики вам не обійтися. Без неї наше життя стало б майже невпізнанною. Але чи можемо ми точно сказати, що це таке - математика? Коли ми виробляємо математичні обчислення, то чи не втручаємося ми, як вважають деякі математики і філософи, в дивний світ чисел, існуючий «сам по собі», незалежно від нас? Або ж математика разом з її істинами в кінцевому рахунку створюється нами?
Облицювання кахлем ванній На сцені: Краус вивчає математику, а Бріді - природознавство. Вони покривають кахлем підлогу у своїй ванній квадратними плитками зі стороною 1 фут (30,48 см). Бріді виміряв підлогу і знайшов, що він має розміри 12 на 12 футів. Краус обчислив, що 12x12 = 144, і купив 144 плитки. Зараз він уклав останню плитку і милується своєю роботою. Краус: Чудово! Дивно, як математиці це вдається? Бріді: Що вдається? Краус: Я виміряв наш підлога - 12 на 12 футів. Потім застосував математичне правило - правило множення - і обчислив, що нам буде потрібно рівно 144 плитки для його покриття. І коли ми поклали ці плитки, виявилося, що 144 плитки точно покривають весь наш підлогу. 242 Бріді: Що ж тут дивного? Краус: Ну як же! Адже що б ми не робили - покриваємо чи плиткою підлогу обчислюємо чи висоту гори або кількість палива, потрібне для польоту ракети, - математика завжди дає нам правильну відповідь. Якщо ми спираємося на точні дані, то математика не може привести до помилкового результату. Чому ж математика настільки надійна і інформативна? Конвенціоналізм Бріді залишається холодний. Бріді: Насправді математика взагалі не містить ніякої інформації. Сказати «мається 144 плитки» і сказати «є 12 х 12 плиток» - це просто два різні способи висловити одне і те ж. Бріді вказує на вікно. Бріді: Припустимо, ти мені скажеш, що тварина, яка пасеться там вдалині, це жеребець. Тоді я можу передбачити, що ця тварина є конем чоловічої статі. Ти здивувався б, якби моє пророцтво виявилося істинним? Краус: Ні, звичайно. Бріді: Чому ж? Краус: Оскільки існує лінгвістичне правило, або конвенція, гласящее.что виразу «кінь чоловічої статі» і «жеребець» синоніми. Так встановлено. Тому в твоєму «пророкуванні» немає нічого дивного. Сказавши, що це «кінь чоловічої статі», ти дав мені не більше інформації, ніж було в моєму висловленні про те, що це - жеребець. Бріді: Згоден. Але чи не буде точно так само істинно «пророкування» про те, що 12 х12 плиток є 144 плитки? Краус: Чому це? Бріді: Тому що правила обчислень точно так само є встановленнями або конвенціями, які ми приймаємо. З цих правил випливає, що вираження «12 х 12» і «144» синоніми. Поет- 243 му вимовити виразу «12 х 12 плиток» і «144 плитки» означає висловити одну й ту ж інформацію двічі. Теорія, згідно з якою математичні істини є «істинами за угодою», оскільки всі вони являють собою більш-менш віддалені слідства прийнятих нами угод, називається конвенціоналізм. Звичайно, правила, використовувані в математичних обчисленнях, є набагато складнішими, ніж ті прості правила, які говорять про взаимозаменимости виразів «жеребець» і «лошадь чоловічої статі». Однак, на думку Бріді, принципової різниці між ними немає. Математичні факти Краус дотримується зовсім іншої теорії щодо математики. Краус: Математичні істини не є істинами, прийнятими за угодою. , Бріді: Тоді що робить їх істинами? Краус: Вони істинні завдяки фактам. Бріді: Що це за факти? Краус: Математичні факти, звичайно. Припустимо, я стверджую, що всі жеребці відносяться до чоловічої статі. Як ти сказав, це твердження буде тривіально істинним, справжнім за угодою. Але припустимо тепер, я стверджую, що всі жеребці мають вуха. Адже це не буде істиною за угодою? Бріді: Ні. У світі можуть знайтися один або два жеребця, позбавлені вух. Краус: Так, таке може бути. Тому якщо моє твердження про те, що всі жеребці мають вуха, істинно, то воно істинне завдяки факту. У зовнішньому світі існує факт, який робить моє твердження істинним. Всі жеребці дійсно мають вуха. Правильно? Бріді: Так. Краус: Я вважаю, це вірно і для наших математичних тверджень. Реальність містить астрономічні, географічні, физичес- 244 кі та хімічні факти. У неї входять також і математичні факти, такі, як той факт, що 12 х 12 = 144. Ось ці зовнішні математичні факти і роблять істинними наші математичні твердження. Два види істин Краус і Бріді згодні щодо того, що, по суті справи, є два види істин. Деякі істини, наприклад, та істина, що всі жеребці відносяться до чоловічої статі, «тривіально» істинні - істинні за угодою. Інші істини, наприклад, та, що всі жеребці мають вуха (якщо це істина), є такими завдяки фактам. Якщо істинно чинності угоди, що всі жеребці відносяться до чоловічої статі, то нам не потрібно йти і перевіряти всіх жеребців - відносяться вони до чоловічої статі чи ні Як йдуть справи насправді, в даному випадку не важливо. Не має значення, які факти існують у світі: істина за угодою залишиться істиною в будь-якому випадку. Вона є «тривіальної» істиною. З іншого боку, твердження, істинне завдяки фактам, не є «тривіально» істинним. Таке твердження ризикує виявитися помилковим, бо світ може бути не таким, яким воно його описує. Як говорить Краус, може статися так, що не всі жеребці мають вуха. Для того щоб дізнатися чи істинно нетривіальне твердження, ми повинні дослідити, чи такі насправді факти, про які воно говорить: потрібно піти і подивитися на всіх жеребців. Бріді вважає, що математичні твердження правдиві завдяки конвенції. Як і твердження про те, що всі жеребці відносяться до чоловічої статі, вони істинні завдяки нам самим. З іншого боку, Краус вважає, що істинність математичних тверджень визначається незалежними математичними фактами. Така позиція математичного реаліста. Яка з цих двох точок зору правильна? 245 Дивний світ чисел Спробуємо спочатку більш ясно уявити собі ті факти, які, на думку Крауса, роблять істинними математичні твердження . Нам відомо, де шукати астрономічні, географічні, фізичні або хімічні факти. Але де шукати математичні факти? Краус відповідає на це питання наступним чином. Краус: Математики часто думають про себе приблизно так, как.оні думають про астрономію. Як астроном досліджує небо за допомогою телескопа і відкриває в ньому нові незвичайні об'єкти і факти-пульсари, квазари і місце Великого Вибуху, - так і математик досліджує ще вищу і тонку область - область чисел. Бріді: Чисел? Краус: Так. Це дуже незвичайна область. Мабуть, числа є набагато більш дивними об'єктами, ніж навіть пульсари і квазари, бо вони не є фізичними предметами. Бріді: Ну так! Число 2 - не така річ, про яку можна спіткнутися! Краус: Абсолютно вірно. Воно ніде фізично не локалізовано. Проте воно існує. Бріді: Але якщо числа не є фізичними об'єктами і не локалізовані в просторі, то я не знаю, в якому сенсі вони існують. Адже реально існує тільки фізичний світ - з його фізичними об'єктами, силами і властивостями, чи не так? Краус: Ні, не так. Мається реальність і крім фізичної реальності. Бріді: Що ж це за дивна реальність? Краус: Область чисел є вічною. Фізичний світ мав початок у часі - Великий Вибух - і коли-небудь прийде до свого кінця. Бріді: Розумію. Краус: Зірки і зоряні системи знаходяться в процесі постійної зміни. Але область чисел ніколи не змінюється. І факти, які стосуються цим незвичайним об'єктах - числам, - роблять наші 246 математичні твердження істинними або помилковими. Моє твердження про те, що 12 х 12 = 144, істинно, оскільки точно відображає стан справ у світі чисел. Будучи конвенціоналістом, Бріді, звичайно, переконаний в тому, що ця незвичайна область, в реальне існування якої вірить Краус, насправді є ілюзією. Бріді: Мені видається, що ця «область чисел», яка вивчалася математиками, насправді цілком є їх власним виробництвом. Все, що математики в дійсності роблять при своїх обчисленнях, зводиться до отримання наслідків з певних угод, які вони самі прийняли для маніпулювання символами (і іноді додають нові угоди). Математика разом з її істинами цілком є нашим власним винаходом. Чи правий Краус? Описують чи математики якусь тонку, існуючу незалежно від нас реальність? Або математика в кінцевому рахунку лише плід нашої власної винахідливості? Чому наші відчуття не можуть підтвердити математичних тверджень? Бріді вважає, що здатний довести хибність реалізму. Спочатку він показує, що математичне знання не спирається на досвід. Бріді: Я можу довести, що математик не описує ніякої «зовнішньої реальності. Краус: Яким чином? Бріді: Почнемо з зауваження про те, що наше знання математичних исто не спирається на досвід. Краус: Я так не вважаю. Досвід з переконливістю підтверджує, що 12x12 = 144. Я беру 12 пачок по 12 плиток в кожній, потім підраховую загальна кількість плиток і отримую 144 плитки. Хіба не так? 247 Може здатися, що Краус прав, однак, як показує Бріді, ситуація не настільки проста. Бріді: Я так не думаю. Припустимо, ти пустив у загін 12 груп кроликів за 12 штук в кожній групі. Чи вийде в загоні точно 144 кролика? Аж ніяк не очевидно. Коли ти їх захочеш перерахувати знову, ти можеш виявити, що вони розмножилися і їх стало 150. Вірно? Краус: Так. Бріді: Математика не говорить, що ти отримаєш 150 кроликів, коли будеш вважати їх вдруге. Математика стверджує лише одну просту річ: якщо ти порахуєш 12 груп по 12 кроликів у кожній групі, то ти отримаєш 144 кролика. Математика не передвіщає, яка кількість кроликів буде в загоні, коли ти їх будеш перераховувати в інший раз. Мабуть, Бріді прав. Математика не говорить про те, що відбувається, коли ви фізично комбінуєте речі. Поєднавши разом двох кроликів, ви можете отримати більше, ніж 2. Говорячи про «додаванні» в математиці, ми не говоримо про фізичне з'єднанні речей. Наприклад, фізична статура 20 двофунтові шматків збагаченого урану-235 може не дати 40-фунтового шматка, а призведе до ядерного вибуху. Ми можемо також математично «складати» речі, що знаходяться на відстані багатьох световихлет одна від іншої, наприклад, зірки. Бріді: Але тоді математика не може нічого сказати також і про те, скільки плиток ти отримаєш, коли порахуєш їх вдруге. Може з'явитися зайва плитка. Деякі з них можуть зникнути. Вони взагалі всі можуть зникнути в клубах диму. Математика нічого не говорить про ці можливості. Тому той факт, що коли ти знову перераховуємо плитки і отримуєш 144, не підтверджує, що 12 х 12 = 144, бо математика не говорить про те, що ти отримаєш або хоча б можеш отримати 144, коли порахуєш їх вдруге. Знову-таки здається, що Бріді прав. Нам не потрібен досвід для того, щоб виправдати математичне твердження. Ко- 248 нечно, нам потрібен досвід для того, щоб вивчити, що означають різноманітні математичні символи, нам потрібен досвід щоб навчитися користуватися математичною мовою. Але як тільки ми це засвоїли, нам вже не потрібен якийсь подальший досвід, щоб побачити, що твердження «12x12 = 144» істинно. Це твердження можна підтвердити за допомогою одного лише розуму, обмежуючись діями, що здійснюються «в голові». Знання такого роду - знання, яке не залежить від досвіду, - називають апріорним знанням. Чому математика не може бути чимось «зовнішнім» Бріді продовжує розвивати свою аргументацію. Бріді: Коли істина обумовлена тільки угодою, вона стає вам відома, як тільки ви зрозуміли потрібні угоди. Ми бачили, наприклад, що тобі не потрібно перевіряти кожного жеребця, щоб переконатися в тому, що всі жеребці належать до чоловічої статі. Досить просто зрозуміти, що означає слово «жеребець». Краус: Вірно. Бріді: Але коли істинність висловлювання обумовлена не угодою, а фактом, то ти, очевидно, повинен перевірити наявність цього факту для того, щоб обгрунтувати істинність даного висловлювання. Тому, наприклад, тобі потрібно звернутися до реальності, щоб встановити, чи дійсно всі жеребці мають вуха. Краус: Знову-таки вірно. Бріді: Однак математичний реаліст, такий як ти, вважає, що істинність математичних тверджень обумовлена не угодами, а математичними фактами, існуючими «поза» і незалежно від нас в тій області, яку ти називаєш «миром чисел». Тоді постає питання: якщо це так, то як ми дізнаємося про ці факти! Краус: Я не цілком тебе розумію. Бріді: Якщо ти вважаєш, що, здійснюючи математичні обчислення, ми відображаємо якусь незалежну від нас реальність, що знаходиться «поза нас», то як ми дізнаємося про властивості цієї реальності? Бла- 249 годаря який таємничої здатності цей дивний світ відкривається нам? Краус: Я все ще не бачу тут проблеми. Бріді: Ну добре. Ось я - вчений. Коли я хочу дізнатися, як йдуть справи у «зовнішньому» світі, я звертаюся до показань моїх п'яти органів чуття. Ми досліджуємо навколишній світ за допомогою зору, слуху, нюху, дотику і навіть смаку. Звичайно, для того, щоб допомогти нашим органам почуттів, ми користуємося також інструментами, скажімо, телескопами і мікроскопами. Краус: Так, я знаю. Бріді: У зовнішньому світі існують астрономічні, географічні, фізичні та хімічні факти, які ми можемо відкрити. Ти стверджуєш, що існує також область математичних фактів. Краус: Правильно, існує. Бріді: Але тоді як математики встановлюють ці факти? Якими органами почуттів вони при цьому користуються? На це питання надзвичайно важко відповісти. Як зазначив Бріді, астроном встановлює астрономічні факти допомогою спостереження, залучаючи на допомогу органам почуттів телескопи та інші інструменти. Але як математик встановлює факти, що відносяться до світу чисел? Можна було б припустити, що математик отримує знання приблизно також, як астроном, - використовуючи свої органи чуття. І як спостереження здатне виявити, що Земля обертається навколо Сонця, так воно здатне встановити, що 12 х 12 = 144. Однак ми вже переконалися в тому, що математичне знання не спирається на досвід. Те, що 12x12 = 144, відомо a priori. Це те, що може бути встановлено без звернення до чогось зовнішнього. Але якщо це так, то реаліст стикається з проблемою. Мабуть, наші п'ять органів чуття є єдиним засобом виходу в зовнішній світ. За допомогою Спостереження * ми встановлюємо астрономічні, физичес- * Під «спостереженням» тут мається на увазі будь-яке чуттєве сприйняття. - Прямуючи. пер. 250 кі, географічні та хімічні факти. Але якщо математичні факти також є частиною цієї незалежної від нас реальності і якщо наші органи чуття не здатні допомогти нам відкрити ці факти, то як ми отримуємо про них знання? Коротше кажучи, реалисту дуже важко пояснити, як можливо математичне знання. Математична «інтуїція» і рішення Платона Деякі математичні реалісти намагалися вирішити цю проблему за допомогою припущення про те, що у нас є додаткове, шосте відчуття, іноді зване «інтуїцією». Ось це додаткове почуття і дає нам можливість встановлювати математичні факти. Однак це припущення лише додає ще одну загадку: що являє собою ця таємнича здатність, що зв'язує нас з миром чисел? Як вона діє? Звернення до «інтуїції» лише замінює одну загадку інший. Ще один математичний реаліст, Платон (428-347 до н.е.), спробував відповісти на питання про те, як ми отримуємо математичне знання, припустивши, що це знання виникає в результаті пригадування. На думку Пла гону, наші безсмертні душі до нашого народження перебували світі чисел. Всі математичні факти були їм доступні. І коли ми виробляємо обчислення, ми лише згадуємо ті факти, про які знали ще до нашого народження. Але таке припущення знову-таки породжує не ме 'неї важкі питання, ніж той, на який воно відповідає. 251 Що таке душа і як вона отримує знання про світ чисел ще до свого фізичного втілення? Ці питання щонайменше настільки ж складні, як і той, на який Платон намагався відповісти. З іншого боку, конвенціоналізм володіє тим перевагою, що може легко пояснити, як ми приходимо до знання математичних істин. Якщо 12 х 12 = 144 «істинно тільки в силу угоди», то немає жодних проблем з приводу того, як ми про це дізнаємося: досить зрозуміти відповідні угоди, щоб отримати цю істину. Легкість, з якою конвенціоналізм пояснює походження математичного знання, дає йому велику перевагу в порівнянні з реалізмом. Чому математика повинна бути чимось «зовнішнім» Так, може бути, слід відкинути реалізм і погодитися «конвенціоналізм? Важко сказати. Справа в тому, що конвенціоналізм також зустрічає серйозні заперечення. Зокрема, наступне міркування показує, мабуть, що конвенціоналізм неправий. Краус: Добре, я згоден з тим, що є щось таємниче в тому, як ми отримуємо математичне знання. Однак це не може змусити нас прийняти конвенціоналізм. Ясно, що конвенціоналізм хибна. Бріді: Чому? Краус: Уяви собі цивілізацію, представники якої виробляють обчислення, керуючись іншими математичними угодами. Замість правил множення, додавання, віднімання і т.д. вони користуються правилами шумноженія, шложенія, швичітанія. Назвемо цю альтернативну систему обчислень шматематікой. У шматематіке 12, шумноженное на 12, дає 150. Це істинно «за угодою». Бріді: Який кошмар! 252 Краус: Звичайно. Але така альтернативна система обчислень принаймні можлива, чи не так? Бріді: Мабуть. Краус: Отже, ти вважаєш, що 12, помножене на 12, дає 144 тільки в силу угоди. Правильно? Бріді: Так. Краус: Тоді 12, шумноженное на 12, може дати 150. Це буде істинно теж тільки завдяки угоді. Бріді: Так. Краус: Але якщо представите чи цієї незвичайної цивілізації виробляють обчислення, керуючись правилами своєї шматематікі, то вони будуть робити помилки. Ми обчислюємо згідно з правилами математики, тому ми будуємо міцні мости, посилаємо людей на Місяць, і нам вистачає пального, щоб долетіти до Глазго. Цивілізація, яка користується шматематікой, навряд чи зможе проіснувати довго. Її мости будуть руйнуватися, її електроприлади будуть перегоряти, а засобам пересування постійно не вистачатиме пального. Ти бачиш тепер, що математика на відміну від шматематікі дійсно приводить до правильних результатів. Бріді: Згоден. Краус: Але тоді звідси випливає, що на відміну від шматематіческіх істин істини математики не є тільки «істинами за угодою»-Справжні математичні твердження дійсно правдиві. Вони в точності представляють стан справ у світі. Спробуй замість математики користуватися шматематікой, і ти прийдеш до помилкового результату. 253 Міркування Крауса виглядають привабливо. Ми часто використовуємо математику для пророкувань. Якби Краус скористався шматематікой, щоб передбачити, скільки плиток буде потрібно для покриття підлоги у ванній, він нарахував б шість зайвих плиток. Математика ж дає правильний результат. Представляється тому, що на відміну від Шматов-матики математика точно відображає структуру «зовнішнього» світу. Але якщо так, то твердження «12x12 = 144» не є лише «тривіально» істинним, отже, конвенціоналізм повинен бути хибна. Знаряддя думки: раціоналізм - емпіризм Конвенціоналізм часто тісно пов'язаний з позицією, званої емпіризмом. Емпірики вважають, що всі нетривіальне знання сходить до показаннями наших органів чуття. Раціоналісти з цим не згодні: вони вважають, що принаймні якийсь нетривіальне знання дано нам a priori. У групу емпіриків входять такі філософи, як Мілль (1806-1873), Локк (1632-1704), Берклі (1685-1753), Юм (1711-1776) і Куайн (1908-2001). У таборі раціоналістів зібралися Платон, Декарт (1596-1650), Лейбніц (1646-1716) і Спіноза (1632-1677). Декарт, наприклад, вважав, що ми можемо a priori знати, що Бог існує, а це вельми нетривіальне знання. Деякі раціоналісти були навіть переконані в тому, що не тільки якесь нетривіальне знання не залежить від досвіду, але вообше всяке справжнє знання від нього не залежить: органи почуттів вообше не здатні дати нам ніякого знання. Така була точка зору Платона. Математики завжди ставилися до емпіризму з деякою підозрою. Як показав Краус, математичне знання здається нетривіальним. Але Бріді доводить, що математичне знання виглядає апріорним. Тому емпірики стоять перед вибором: або вони повинні заперечувати, що математика є апріорної (такої точки зору дотримувався, наприклад, Мілль), або вони повинні показати, що математичне знання є, зрештою, тривіальним (це стратегія Локка, Берклі та Юма) . 254 Конвенціоналізм прагне показати, що математичне знання є, по суті справи, «тривіальним», тому він і приваблює багатьох емпіриків. Висновок Чи є математика та її істини нашим власним винаходом? Або ж математика описує реальність, існуючу «поза» і незалежно від нас? Філософи і математики розходяться при відповідях на ці питання. З одного боку, існують серйозні аргументи на користь конвенціоналізму: здається, що тільки конвенціоналізм або щось родинне йому здатний правильно витлумачити математичне знання. З іншого боку, Краус також здається правим, коли доводить, що на відміну від істин Шма-тематики математичні твердження правдиві не тільки в силу конвенції. Той факт, що математика призводить до правильних результатів, мабуть показує, що вона здатна точно відобразити положення справ у «зовнішньому» світі. Яка ж з цих двох точок зору вірна? Що читати далі? Дану главу корисно переглянути разом з гл. 20 «Чи схожа мораль на окуляри? », в якої я розглядаю реалізм іншого роду - моральний реалізм. Як математичний реаліст вірить у те, що наші математичні судження виявляються істинними завдяки математичним фактам, існуючим «поза» і незалежно від нас, так і моральний реаліст вірить у те, що наші моральні судження виявляються істинними завдяки моральним фактам, існуючим «поза» і незалежно від нас. Ви виявите, що точки зору і аргументи, представлені в гл. 20, нагадують ті, які були розглянуті в цій главі. 255
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "18. ДИВНИЙ СВІТ ЧИСЕЛ " |
||
|
||