6. Раціональність і аксіоми

Інтерес представляє природа цих теоретичних обмежень. Для того щоб уникнути сваволі у вказівці або приписуванні значень термінам, ми повинні прийняти щось подібне конвенції про вживання термінів, тобто прийняти певного роду рішення. Іншим джерелом теоретичних обмежень може бути наш досвід поводження з емпіричним матеріалом і теоретичними схемами в певній галузі науки. З точки зору Патнема теоретичні обмеження подібного роду не можуть дати повної системи аксіом теорії множин (повна система аксіом теорії множин була б нерекурсивною і важко уявити собі, як можна було б сконструювати таку теорію в рамках людських можливостей). Але неможливість повної системи аксіом означає наявність ненавмисних інтерпретацій.

Наявність ненавмисних інтерпретацій може означати дві речі - невизначеність у вказівці на об'єкти, а також невизначеність істиннісних значень тверджень теорії. Досі обговорювалася перша можливість, а тепер ми переходимо до обговорення другого: «Якщо я правий, тоді відносність теоретико-мно-жественних понять поширюється на відносність істиннісних значень затвердження V = L (те ж для аксіоми вибору і континуум-гіпотези)» 150 .

Для розуміння ситуації слід розглянути приклад з теорії множин. Йдеться про аксіому конструюються ™ Геделя «V = L». Сучасна теорія множин свідчить, що V = L незалежна від системи аксіом Цермело - Френкеля плюс аксіома вибору (ZFC), тобто що ZFC + V = L і ZFC + V * L несуперечливі. Звідси якщо навмисна модель теорії множин фіксується тільки ак-СИОМА ZFC і мається насправді така модель, тоді є навмисна модель, в якій V = L істинна, і така навмисна модель, в якій V = L помилкова. Затвердження «V = L» незалежне від інших аксіом твердження, і тому може розглядатися як результат теоретичних обмежень, зокрема, як результат постулирования. Гедель припустив, або постулював, що воно істинне. Відносно постуліруемих тверджень (можна розглядати як постулати значення в сенсі Карнапа) завжди виникає питання про те, як ці постуліруемие пропозиції співвідносяться з реальністю. Іншими словами, істинно це пропозиція в реальності?

Сам Гедель врешті-решт прийняв точку зору, згідно з якою це твердження в реальності ложно, виходячи зі своєї інтуїції. Патнем зауважує, що хоча цю інтуїцію Геделя поділяють багато математики, чи має вона сенс? (Треба зауважити, що система, що складається з твердження про хибність «V = L» плюс теорія множин, несуперечлива, якщо несуперечливо сама теорія множин.) Який сенс можна надати твердженням, що це твердження помилкове, окрім як апеляції до інтуїції?

Має сенс стверджувати, що хибність «V = L» «в реальності» може означати, що модель, в якій «V = L» справедливо, чи не буде навмисної моделлю. Якщо, як вже було сказано, навмисна модель виходить за рахунок теоретичних обмежень, а «V = L» задовольняє таким обмеженням, тоді нам доведеться визнати, що «УФ L» не слід з теоретичних обмежень. Це означає, що істиннісне значення затвердження «У = L» схильне відносності, про яку говорить Сколе. Це ж відноситься до таких тверджень, як аксіома вибору і континуум-гіпотеза.

Відносність подібного роду піднімає серйозні питання, оскільки важко зрозуміти, як такі твердження, як аксіома вибору або континуум-гіпотеза не мають певного истинностного значення. Вони сформульовані з урахуванням всіх вимог раціональності, і якщо все-таки прийняти позицію відносності щодо подібних тверджень, тінь сумніву впаде і на саме поняття раціональності. Це означатиме, що на деякій етапі розвитку математики ми можемо сформулювати з першого погляду раціональні твердження, які такими не виявляться при більш ретельному аналізі.

Питання можна переформулювати наступним чином. Якщо ми не знаємо істінностного значення, скажімо, аксіоми вибору, і воно не може бути вирішено шляхом встановлення конвенції на цей рахунок (які є частина теоретичних обмежень), то прийняття аксіоми піднімає питання про раціональність. Патнем наводить наступний приклад. Нехай деяка неземна цивілізація має таку математику, в якій аксіома вибору відкидається. З точки зору земної математики, приймаючої цю аксіому, внеземляне, очевидно, роблять помилку, і очевидно, їх математика ірраціональна. Цього дуже сильного висновку можна уникнути, якщо не вважати, що аксіома вибору не є частиною нашої раціональності. Але якщо вона такою навряд чи є, тоді доведеться все-таки визнати відносність теоретико-множинних понять в дусі Сколема. Це означає, що не існує однієї виділеної раціонально прийнятною теорії множин, і в цьому сенсі прийняття будь-якого рішення щодо істінностного значення аксіоми вибору або континуум-гіпотези є акт ірраціональний.

Обговорювані приклади невизначеності вказівки відносяться до теорії множин. Але ця дисципліна претендує на опис поза-чуттєвої реальності, і тому може виникнути питання, в якій мірі ми повинні вважати, що семантика теорії множин повинна бути ідентичною семантиці фізичної теорії. Іншими словами, чи повинні ми вважати, що семантика абстрактних об'єктів повинна бути семантикою в сенсі Тарського? Дійсно, використання сингулярних термінів у теорії означає, що абстрактні об'єкти вказуються цими термінами, і квантіфіка-ція над ними призводить до знаменитого критерієм Куайна «бути означає бути значенням змінної». Але який сенс має вказівку на абстрактні об'єкти, якщо вони позбавлені просторово-часової локалізації? Якщо у нас є сумніви в ідентичності семантик для фізичних об'єктів і абстрактних об'єктів, то можна припустити, що невизначеність, описана Патнем, є аномалією семантики абстрактних об'єктів.

Однак Патнем аргументує, що апеляція до емпіричних об'єктів не усуває цієї невизначеності. Зокрема, фізична наука не фіксує єдиною «навмисній інтерпретації» для словника теорії множин, і не обмежує таких інтерпретацій для того, щоб усунути невизначеність істиннісних значень теоретико-множинних пропозицій.

Т. Бейс дає чітке пояснення того, яким чином Патнем ухитряється зв'язати фізичну теорію з теорією множеств151. Починаючи-ється цей аргумент є описи теоретичної можливості такої взаємодії. Припустимо, що ми маємо машину, що робить вимірювання кожні три секунди. Вона дає тоді результати у вигляді О і 1, і припустимо, що машина ухитряється працювати нескінченний період часу і дає нескінченну послідовність вимірювань. Теоретично послідовність 0 і 1 могла б «кодувати» неконструктивну безліч, тобто безліч, яке живе в V, але не в L. У цьому випадку може здатися, що сама природа ухитряється фальсифікувати гіпотезу V = L. Але для обгрунтування впливу фізичної науки на інтерпретацію теорії множин потрібні більш точні аргументи.

Ці аргументи включають доказ дуже важливою для цілей всієї програми Патнема теореми152. Ця теорема (у Патнема вона фігурує як Теорема 1) говорить: ZFC плюс V = L має (й-модель, яка містить будь рахункове безліч дійсних чисел.

Далі, стверджує Патнем, нехай ЗР буде лічильної сукупністю дійсних чисел, яка кодує всі вимірювання, які людина коли-небудь може зробити. За теоремою 1, є модель ZFC плюс VL, яка містить ОР. Так як ця модель задовольняє ZFC, вона повинна бути «навмисній моделлю», і оскільки вона задовольняє V = L і ОР, вона враховує проблему вимірювання, яка обговорювалася вище.

Оскільки єдині обмеження на інтерпретацію теоретико-множинного словника приходять з формальної структури наших наукових теорій (включаючи явні аксіоми теорії множин) і з фізичних вимірювань, існує така інтерпретація, в якій V = L виявляється істинною. Але Патнем припускає, що є деяка інтерпретація теорії множин, - знову-таки, інтерпретація, сумісна з іншими нашими науковими теоріями і з усіма фізичними вимірами, які ми могли б зробити, - в якій V = L виявиться помилковою.

Таким чином, ми маємо два наступних твердження: (1)

Нічого іншого, крім теоретичних і операціональних обмежень не може фіксувати «навмисній інтерпретації» мови теорії множин. (2)

Не існує «навмисній інтерпретації» мови теорії множин.

Нарешті, оскільки різні, так само «навмисні» інтерпретації теорії множин розходяться щодо істінностного значення пропозицій типу V = L, для таких пропозицій просто не існує певних істиннісних значень. За словами Пат-Нема, «вони просто істинні в одних моделях і помилкові в інших».

Така в цілому структура аргументу Патнема. Мета її полягає в демонстрації, що теоретико-множинний мову семантично невизначений. Для досягнення цієї мети ми спершу помічаємо, що аксіоми теорії не визначають єдиною інтерпретації теоретико-множинного мови. Далі ми спостерігаємо, що наповнення науковою інформацією, тобто фізичними теоріями і вимірами (теоретичними та операціональними обмеженнями) не покращує ситуації. Нарешті, ми помічаємо, що різні «навмисні інтерпретації», сумісні з нашими теоретичними та операціональними обмеженнями, розрізняються відносно істінностного значення пропозицій V = L, і укладаємо , що ці значення, самі по собі, невизначені.

Бейс показав, що теорема 1 є ошібочной153. Ми не входимо тут у деталі цієї аргументації, але вкажемо, що насправді Патнем має на увазі не систему ZFC, а більш потужну систему аксіом. Дійсно, розглянемо просто форму теореми 1. Для будь-якого рахункового безлічі дійсних чисел X мається со-модель М така, що М семантично дає ZF + V = L і Хе М. Так як будь-яка модель ZF + V = L є також модель ZFC, теорема 1 вилучити, що існує модель ZFC. І так як це, в свою чергу, тягне, що ZFC несуперечлива, теорема 1 вилучити також несуперечливість ZFC. Однак по другій теоремі Геделя про неповноту несуперечливість ZFC не може бути доведена всередині самої ZFC. Тому теорема 1 не може бути доведена всередині теорії множин, з якою він працює. Так що аргумент Патнема, заснований на теоремі 1, не проходить.

Далі Бейс зауважує, що доказ Патнема можна було б відновити, якщо прийняти існування недосяжних кардинальних чисел. Але така теорія множин виходить за межі загальноприйнятої аксіоматичної теорії множин. І якщо така сильна система дозволяє довести теорему 1, яка, в свою чергу, свідчить на користь невизначеності семантики, тоді це буде швидше аргументом проти такої системи, ніж аргументом на її користь.

Настільки сильні відхилення в програмі Патнема зводять нанівець його зусилля. Дійсно, Патнем прагне до отримання моделі ZFC + V-L, яка задовольняє всім теоретичним і операціональним обмеженням. Теорема 1 і покликана дати таку модель. Але коли незабаром теорема 1 доводиться в рамках сильнішою аксіоматичної системи (з недосяжними кардинальними числами), ми можемо розглядати ситуацію як пошуки Патнем моделі, яка задовольняє ZF + V = L плюс деякий додаток (принаймні, аксіома про існування недосяжних кардинальних чисел), але як раз такої моделі Патнем не має.

Така ситуація демонструє відмінність у позиціях між Патнем з його тезою про невизначеність семантики і його супротивниками, отвергающими цю тезу. Справді, останні навряд чи приймуть сильнішу теорію, ніж стандартна теорія множин. Але навіть філософи приймають цю сильнішу теорію, тоді «теоретичні обмеження» цих філософів відрізняються від тих обмежень, які мав на увазі Патнем при доведенні своєї теореми 1.

Наведена аргументація демонструє тезу про те, що ми маємо справу з ще більш сильною версією «посилки принцеси Маргарет» - справа не тільки в тому, що треба ще переконати філософів у висновках, наче наступних з технічних результатів. Самі математичні результати виявляються помилковими, але ж на основі цього результату будується ціла епістемологична програма. На кону стоїть не тільки програма обгрунтування «внутрішнього реалізму», а й сама можливість апеляції до технічних результатами при конструюванні філософських узагальнень.

 В обгрунтуванні невизначеності вказівки термінами наукової теорії обговорення теоретичних і операційних обмежень має першорядну важливість. Що власне включає поняття «теоретичних» обмежень? За Патнем, обмеження на наше бачення світу можуть вноситися математикою, природничими науками і філософією, і ми вважаємо, що теоретичні обмеження не фіксують єдиною навмисної інтерпретації. Але може бути, є якісь інші засоби такої фіксації? Але тут Патнем твердо заявляє у своєму тезі (2), що нічого, крім теоретичних і операціональних обмежень не може фіксувати навмисної інтерпретації, а цього вони якраз і не роблять. Слід більш чітко підкреслити місце понять теоретичних і операціональних обмежень в теоретико-модельному аргументі. Філософська мета Патнема полягає в спростуванні так званого метафізичного реалізму, тобто подання про незалежну від свідомості реальності. Спростування проходить за схемою докази від протівного154. 

 Доказ починається з простих філософських посилок: 

 Посилка 1. Світ складається з об'єктів, існуючих незалежно від свідомості. 

 Посилка 2. Наші твердження про світ висловлюють позицію реалізму про незалежну від свідомості реальності. 

 Далі, в хід йдуть «математичні аргументи» з використанням теореми Левенгейма - Сколема, зокрема, з'являються якраз ті самі теоретичні та операціональні обмеження. 

 Посилка 3. Одних лише теоретичних і операціональних обмежень недостатньо для фіксації певного ставлення вказівки між термінами нашої мови і незалежної від свідомості реальності. 

 Посилка 4. Немає нічого іншого у всесвіті, що (на додаток до теоретичних і операціональним обмеженням) могло б фіксувати ставлення вказівки до незалежної від свідомості реальності. 

 Висновок. Наші твердження семантично невизначені, тобто Тобто ситуація невизначеності вказівки. 

 Оскільки висновок абсурдно, варто відкинути філософські посилки 1 і 2. 

 Однак, що ж все-таки таке теоретичні та операціональні обмеження? Адже можна припустити, що їх введення являє собою ad hoc маневр Патнема для обгрунтування своєї тези «сколемізація всього», оскільки опис їх дуже розпливчасто, і під нього можна підставити практично все що завгодно. І дійсно, як зауважує Бейс, кожна удавана інтерпретація виявляється, при ретельному розгляді, спеціальним випадком «теоретичних і операціональних обмежень». Більше того, залучення розглядів, які могли б загрожувати привілейованому становищу теоретичних і операціональних обмежень, парирується Патнем за допомогою аргументу, який знайшов назву «ще одна теорія». Так, багато хто розглядає причинний теорію вказівки (ПТУ) як контрпримера теоретико-модельного аргументу Патнема, тому що причинний теорія не допускає невизначеності вказівки. Аргумент «ще однієї теорії» складається тоді в следующем155: 

 Причинна теорія вказівки повинна бути сумісна з теорією Т, до якої застосуємо теоретико-модельний аргумент, або навіть бути частиною цієї теорії. У кожному разі, якщо до теорії Т буде додана ПТУ, тоді виходить «ще одна теорія» Т і ПТУ, до якої знов-таки застосуємо теоретико-модельний аргумент. Саме цим прийомом досягається необхідна гнучкість в розумінні теоретичних і операціональних обмежень, відповідальних за невизначеність вказівки. Але чи завжди додавання дає «просто ще одну теорію», яка також не фіксує вказівки термінів? 

 Бейс відзначає, що в цьому відношенні аргумент «просто ще одна теорія» спрощує ситуацію. Насправді слід розрізнити опис особливостей моделі, яке робить її «навмисній інтерпретацією», і просто додавання нових пропозицій до виконуваної моделі, для того щоб вважати це навмисною інтерпретацією. Одна справа, коли при деяких теоретичних обмеженнях, зокрема, при певній системі аксіом змінюється семантика, результатом чого може бути обмеження класу структур, вважає моделями. Інша справа, коли до старої системи додаються нові аксіоми, які вимагають інтерпретації. Коли Патнем говорить про «просто ще однієї теорії», схильною невизначеності, він має на увазі додавання нових аксіом. Тим часом виділення навмисних інтерпретацій, тобто фіксація вказівки, робиться шляхом опису, наприклад, при накладення вимоги про транзитивності моделей (тоді все нетранзитивну структури не будуть навмисними). 

 Звичайно, Патнем не вважатиме введення обмеження транзитивності деяким описом вже існуючої ситуації. 

 З точки зору реалізму дійсно існують навмисні моделі, і розмова про транзитивності тільки описує вже існуючу ситуацію. Тим часом питання якраз і полягає в тому, щоб вирішити, хто правий - реаліст або «внутрішній реаліст», і тому обмеження транзитивності є тільки припущення і не більше. 

 Таким чином, з точки зору Патнема неприпустимо використовувати семантично невизначений мова для опису навмисних інтерпретацій. Але власне кажучи, чому цього не можна робити? За Патнем, реаліст не може припустити істинним твердження про існування властивості транзитивності моделей, тому що це саме питання стоїть на кону. Бейс вважає, що тут з видатним логіком Патнем зіграла злий жарт та СамГУ (я логіка, а саме, логіка умовних тверджень. Питання полягає в тому, чи можемо ми прийняти одночасно теорію моделей Патнема і семантичну визначеність математичної мови, тому що постановка проблеми має форму : 

 Теорія моделей Патнема => Семантична невизначеність 

 або 

 Теорія моделей Патнема =>-іСемантіческая визначеність 

 У цьому сенсі немає нічого дивного в позиції реаліста, який передбачає правильність як теорії моделей Патнема, так і семантичну визначеність мови, для подальшого дослідження, чи не веде це припущення до протиріччя. Так що цілком припустимо зміна семантики, в результаті якого нова теорія не підпадає під невизначеність. 

 Інформація, релевантна "6. Раціональність і аксіоми"

1. Математичні аксіоми
     аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
2. Аксіома заміщення
     аксіома призначена для того, щоб дозволити існування тих чисел, які з'являються в неформальній теорії множин. Досі наведені аксіоми (крім обговорюваної нами зараз аксіоми заміщення) гарантують існування таких ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел
   
3. 2. «Прості» аксіоми
     аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
   
4. Аксіома вибору
     аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
   
5. 2. Зміна завдання
     аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
   
6. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
     аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
   
7. Аксіома виділення
     аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно
   
8. Властивості бінарних відносин
     Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
   
9. 3. «Просунуті» аксіоми
     аксіомам, практично всі згодні з тим, що аксіоми досить прості і не викликають яких-небудь заперечень. Проте в ході побудови теорії множин потрібні були і інші, «менш ясні» аксіоми. Першою з таких аксіом ми представляємо аксіому фундування (foundation - в англійській термінології), - в російській термінології перекладу класичної книги Френкеля і Бар-Хіллела. Аксіома фундування
   
10. 7. Операціональні визначення
      раціональних визначень. Якщо застосовувати її до випадку електричного поля, що характеризується напруженістю Е, то ця аксіома стверджує, що Е 'набуває фізичне значення тільки тоді, коли наказується процедура для вимірювання величини Е. Але це невірно: вимірювання дозволяють нам визначити тільки кінцеве число значень функції, більше того , вони забезпечують лише раціональні або дробові
    
11. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
      аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
    
12. Аксіома пари
      аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
    
13. Взаємозв'язок понять раціональне природокористування і охорона природи
      раціонального природокористування та охорони природи. Раціональне природокористування та охорона природи дуже тісно пов'язані між собою. Це видно з визначень цих понять. Раціональне (розумне) природокористування - господарська діяльність людини, що забезпечує економне використання природних ресурсів і умов, їх охорону і відтворення з урахуванням не тільки справжніх, а й майбутніх
    
14. 2. Переборні доступних для огляду протиріч
      аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А. 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко