2. Уроки Евкліда, Гільберта і Геделя

Мали місце більш-менш вільно пов'язані твердження, а не гипотетико-дедуктивні системи, тобто системи, засновані на експліцитно сформульованих початкових припущеннях (іменованих також аксіомами і постулатами). Правда, поняття доказу вже було винайдено двома століттями раніше (ймовірно, в Пифагорейской школі), і необхідність робити деякі припущення для того, щоб що-небудь довести, була усвідомлена поряд з поняттям логічного слідування. Але докази були настільки ж ізольованими, як і передумови, і жодне з них не було систематичним. Це був щасливий царювання решателей проблем, а не будівельників теорій. Проблеми

1 Див цей рахунок: J. Н. W про про dg е г, The Axiomatic Method in Biology, Cambridge University Press, 1937; R. З arnap, Introduction to Symbolic Logic and its Applications, New York, Dover Publications, Inc., 1968; L. Henkin, P. Suppes and A. Tarskі (eds.). 1959, The Axiomatic Method, North-Holland, Amsterdam, 1959; M. Bunge, Reviews of Modern Physics, 1967, vol. 39, p. 463; P. Suppes, Studies in the Methodology and Foundations of Science, D, Reidel, Dordrecht, 1969, атакувалися одна за однією і вирішувалися за допомогою будь-яких прийшли голову передумов, аби вони виглядали більш-менш придатними, нітрохи не піклуючись при цьому ні про логічному колі або про логічної несуперечності, не кажучи вже про умов гомогенності (приналежності до безлічі співставні елементів).

Система геометрії, викладена Евклидом в його Засадах, була вже не просто сукупністю обчислювальних рецептів (подібно до більшості шумерських і єгипетських математичних праць). Вона була чимось більшим, ніж просто величезним зібранням розділів математичного знання, будучи, ймовірно, першим у всіх відносинах закінченою теорією, винайденої людством.

Хоча аксіоматикою завжди захоплювалися як парадигмою формулювання теорій - і до такої міри, що Спіноза, Ньютон та багато інших намагалися сформулювати свої основні теорії як можна більш геометрично, тобто аксіоматично, - все ж аксіоматика була в основному не у справ аж до початку нашого сто летня. Вона була відроджена в свій час двома групами математиків: тими, хто почав усвідомлювати формальна подібність великої кількості різних теорій (так з'явилися концепції абстрактної теорії та її моделей), і тими, кого турбували пастки, приховані в інтуїтивних або евристичних формулюваннях деяких теорій - спочатку, математичних числень, а потім теорії множин. Аксіоматика знову була викликана до життя як інструмент уніфікації, прояснення і очищення.

Двома найбільш впливовими системами початкового періоду сучасної аксіоматики з'явилися, звичайно, аксіоматична переформулировка Д. ГІеано (1889) по-: тулатов Дедекинда для системи натуральних чисел і Підстави Геометрії Д. Гільберта (1899). Останній ІЕ тільки реабілітував метод Евкліда, але і реконструював його з точки зору більш суворого контролю * пекло передумовами і виведеними поняттями, і, крім їсего іншого, обійшовся без малюнків і креслень, ис-слюченіе яких змусило його сформулювати всі передумови в явній символічній формі. Метатеорію-гический урок Гільберта, абсолютно незалежно від його есновного математичного значення, полягає в ледве-що плекає. Не існує якоїсь остаточної си-: теми аксіом. Завжди в принципі можливі більш глибокі (більш суворі) рівні аксіоматізаціі1 (Гільберт, 1918).

Тепер більшість математиків розглядають аксіоматику як ідеальну форму для математичних Георій, зокрема в алгебрі. Її роль зростає і в інших областях математики. Ця форма ідеальна, але не досконала, і справа не тільки в тому, що (як це зрекрасно розумів вже Гільберт) кожен новий етап кає матеріал для побудови все більш досконалою аксіоматичної системи у сфері знання, але я в тому, що будь-яка змістовна теорія просто не йожет бути досконалою, навіть якщо вона і представлена іксіоматіческі. Справді, Гедель (1931) довів, гго всяка несуперечлива система аксіом, обхвати * аающая арифметику натуральних чисел, не може містити всі формули тій області, яку мають намір систематизувати. Будь-яка така система, якщо вона не-іротіворечіва, необхідно є неповною. (Якщо ж система несуперечлива і сповнена, то її не можна повністю аксіоматизована.) Справді, завжди можна побудувати більш потужну систему аксіом, яка охоплюватиме більше число тверджень, ніж попередня теорія. Але і в цьому випадку онгі буде непол-гой: досконалість, як бачимо, не може бути прирівняне и досяжному ідеалу. Урок Геделя щодо побудови теорій в двох словах можна висловити так: Чи не иожет бути ніякої досконалої системи аксіом. Все. и чому ми можемо і повинні прагнути.,-це будувати tee більш кращі системи аксіом.

1 D. HUbert, Mathematischen Ann а 1 en, 1918, vol. 78, S. 405.

Отже, будь-яка дана конкретна система аксіом обмежена, але в той же час не існує будь-якого апріорного обмеження послідовності прогресивно поліпшуються систем аксіом. Аксіоматика є недосконалим, але кращим з наявних в нашому розпорядженні методом формулювання теорії, тому відмова від аксіоматики з причини її обмеженості аналогічний заклик відмовитися від продовження людського роду через недосконалість його представників. Ми вже не говоримо про те, що недосконалість є необхідна умова прогресу.

Інформація, релевантна " 2. Уроки Евкліда, Гільберта і Геделя "

1. 2. Захист фінітізма
   Метод абсолютного обгрунтування несуперечності формалізованої теорії реалізується для простих обчислень,-таких, як числення висловів, обчислення предикатів і абстрактна теорія груп, але він виявляється непридатним для основних теорій, з якими має справу математика. Нерозв'язною виявилася вже завдання обгрунтування несуперечності формалізму арифметики. Прийнято вважати, що причини
   
2. Оцінка програми Гільберта
   гильбертовськой школи пояснюється аж ніяк не недоліком винахідливості її представників; навпаки, ми знаємо тепер, що вони просунулися в цьому напрямку настільки далеко , наскільки це взагалі було можливо »119. Результати Геделя не виключають метаматематичних доказу несуперечності арифметики. Вони тільки виключають можливість такого доказу засобами самої
   
3. Джерела та література
   уроки / / Урок дає історія. - М., 1989. Неретіка Л.А. НЕП: ідеї, практика, уроки / / Історія СРСР. - 1992. - № 1. «Круглий стіл»: Радянський Союз у 20-ті роки / / Питання історії. - 1988. - №
   
4. Виявлення принципових кордонів програАлми формалізації математики Гільберта
   У 1931 р. була опублікована стаття 25-річного австрійського математика Курта Геделя (1906-1978) «Про нерозв'язних висловлюваннях Principia Mathematica і споріднених систем », яка до цих пір вважається однією з найвидатніших робіт в області обгрунтування математікі115. Стаття Геделя містить два результату. Спочатку Гедель доводить, що будь-яка формальна система типу Principia Mathematica,
   
5. Шляхи розширення метатеоріі
   Ми обговоримо тепер можливості формалістской програми обгрунтування математики, яка була запропонована Д. Гильбертом. Метою обгрунтування математики є тут не редукція до логіки або до арифметики, а обгрунтування несуперечності кожної теорії окремо. Оскільки ми прийняли, що таке розуміння обгрунтування математики є найбільш відповідним суті проблеми, то мова повинна йти
   
6. 9. Формалізація конгруентності
   У традиційному викладанні геометрія досі підноситься майже в тому ж вигляді, як вона була написана Евклидом. У самому строгому сенсі вона тільки частково є логічною системою, оскільки в ній користуються деякими емпіричними поня-тиями. Серед основних понять самим «фізичним» здається поняття «конгруентності». Традиційне визначення свідчить: дві фігури «конгруентний», якщо
   
7. Формалізм. Математика як створення формально несуперечливих конструкцій
   Треба погодитися, що стан, в якому ми знаходимося зараз відносно парадоксів, на тривалий час нестерпно. Подумайте; в математиці - цьому зразку достовірності та істинності - утворення понять і хід умовиводів, як їх всякий вивчає, викладає і застосовує; призводять до безглуздостей. Де ж шукати надійність і істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічку? Д.
   
8. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
   На початку 20-х рр.. XX в. німецький математик Давид Гільберт (1862-1943), підштовхуваний власними дослідженнями, а також суперечками з логицистами і інтуіціоністи, запропонував нову програму обгрунтування класичної математики, що отримала назву програма Гільберта. Інші назви цієї програми, прийняті в літературі, - теорія докази, метаматематика. Її метою були формалізація всієї
   
9. 1. Загальне розуміння проблеми обгрунтування
   евклідової геометрії, запропоновані Бельтрам-ми, Клейном і Пуанкаре. Д. Гільберт дав строгий доказ сводимости питання про несуперечності евклідової геометрії до несуперечності аріфметікі2. Відносні докази неминуче призводять до виділення теорій, відносне обгрунтування яких не є можливим. Для математики XX століття - це дві теорії, а саме арифметика і
   
10. Методика проведення занять в освітніх установах початкової та середньої професійної юридичної освіти
    уроки-лекції, уроки рішення « ключових завдань », уроки-консультації та залікові уроки. Для викладачів освітніх установ початкової та середньої професійної освіти може бути прийнятною система модульної побудови уроків з теми, уроки-пояснення нового матеріалу; уроки-семінари з поглибленою опрацюванням навчального матеріалу в процесі самостійної роботи учнів;
    
11. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
    Науковість позитивної теоретичної метафізики обумовлена не тільки реальним існуванням об'єктів, які вона описує. У ній є ефективна процедура обгрунтування необхідної істинності вихідних принципових положень, а також є можливість її несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів,
    
12. 4. Вихід за межі фінітізма
    гильбертовськой і геделевском розумінні, будучи разом з тим абсолютно коректними з точки зору своєї надійності. Положення про онтологічної істинності метатеоріі представляється обмеженим в тому відношенні, що воно вимагає її побудови тільки на основі аподиктичні очевидних тверджень. Гильбер Котовського метатеорія не цілком задовільна в цьому відношенні. Хоча спочатку
    
13. Джерела та література
    уроки. - М., 1985. Гевуркова Е. А., Колосков А. Г. Завдання для самостійної роботи з історії СРСР. XI клас. - М., 1991. Генцберг Л. Східна Європа між Гітлером і Сталіним / / Отеч-ственная історія. - 2001. - № 3. Донгаров А. Г., Пєскова Г. Н. СРСР і країни Прибалтики (серпень 1939 серпень 1940) / / Питання історії. - 1991. - № 1. Данилов В. Л. Ставка Верховного головнокомандувача. 1941 -
    
14. 1. Загальна характеристика програми
    гильбертовськой фінітізма. Вони можуть бути зведені до наступних положень: 1. Метатеорія є лінгвістичної теорією в тому сенсі, що вона має справу тільки зі знаковою структурою теорії і з перетвореннями, допустимими в цій структурі. Суворе метатеоретическое обгрунтування несуперечності теорії - це обгрунтування, що апелює тільки до синтаксису теорії і не використовує ніяких
    
15. 7. Поняття онтологічної спільності
    евклідова геометрія, є, з цієї точки зору, безсумнівно несуперечливими, оскільки принципи, на яких вони базуються, повністю детерміновані універсальної онтологією. Варіант переходу від аподиктической очевидності до логічної коректності ми вже використали в теорії докази. Ми виходили з того положення, що якщо всі кроки докази є аподиктичні
    
16. 5. Практична несуперечливість математичної теорії
      Дослідження внутрішньої логіки становлення математичної теорії дозволяє виділити деяку ступінь в її розвитку, яку можна назвати стадією практичної або істотної несуперечності. Дослідження цієї щаблі є важливим для розуміння рівня надійності звичайних математичних міркувань, з якими математик має справу в книгах, статтях і підручниках. Будемо називати
    
17. 1. Необхідність онтологічного обгрунтування
      евклідової геометрії і, нарешті, трансфінітні твердження, такі, як аксіома нескінченності і аксіома вибору. Аналіз онтологічного підстави математики дозволяє зрозуміти математичну нескінченність як особливу сутність, як необхідне уявлення предметної онтології і, таким чином, як уявлення настільки ж базове для математичного мислення, як і поняття натурального числа. Ми зрозуміли
    
18. 6. Неевклидова геометрія
      евклидову аксіому, то побудована на цій аксіомі геометрія називається евклідової геометрією. Якщо ж ми відкинемо аксіому Евкліда і замінимо її іншою аксіомою, то побудована на цій аксіомі геометрія називається неевклідової. Якщо відкинути аксіому Евкліда, то будуть дві можливості. Ця аксіома стверджує, що пряма лінія, яка має хоча б найменші відхилення від g '(рис. 18), з тією
    
19. Мета викладання літератури в середній ланці
      уроки літератури? -Q-Новоспеченому вчителю - словеснику набагато простіше давати уроки російської мови, ніж літератури: чітко позначені і предметне поле, і цілі. А у зв'язку з викладанням літератури виникають проблеми. Припустимо, набір досліджуваних творів задається програмою, але існує деяка розмитість в цілях викладання предмета: а) моральне виховання і вміння виокремлювати