Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

1. Завершеність математичних понять

У розвитку математики, як і всякої іншої науки, йде постійний процес вдосконалення та логічного обгрунтування понять. Поняття поступово набувають відповідну їм спільність, визначеність сенсу і звільняються від дефектів логічного порядку, які можуть складатися в їх самосуперечності або в незгоді з принципами теорії.

Найважливішою особливістю математичного поняття, яка відрізняє його від поняття емпіричного, є те, що у своїй еволюції воно неминуче досягає межі досконалості, який можна назвати стадією повної логічної коректності. Аналіз методології та реальної історії математики дозволяє стверджувати, що розвиток математичної теорії, будучи спрямованим на вирішення конкретних завдань, неминуче призводить до необхідної коригування будь-якого значимого для неї поняття і, в кінцевому підсумку, до повного визволення його від містяться в ньому логічних дефектів. Ми будемо говорити про принципову завершеності математичного поняття, маючи на увазі під цим те обставина, що математична практика неминуче і в кінцевий час доводить кожне математичне поняття до стадії повної логічної коректності.

Під логічної коректністю поняття треба розуміти тут дві речі, а саме, відсутність самосуперечності, тобто суперечать вимог в самому його визначенні, і відсутність неузгодженості закладених в ньому вимог з аксіомами теорії. Ми не припускаємо тут завершеності поняття в якому-небудь іншому сенсі, наприклад, себто спільності. Загальне поняття площі не може бути дано в поняттях елементарної геометрії і в цьому сенсі це поняття не досягає тут завершеності, хоча стосовно до площ простих фігур, воно використовується з повною визначеністю. Ми не пов'язуємо також з коректністю поняття ніяких вимог типу конструктивності або предикативности, бо й неконструктивні, і непредикативні визначення, в принципі, можуть володіти повною коректністю у зазначеному сенсі.

Наш загальний теза зводиться до того, що природний процес вдосконалення математичної теорії в кінцевий час призводить до усунення всіх протиріч, пов'язаних з її значущими поняттями. Ця теза аналогічний тези про завершеності докази і про завершеності системи аксіом і розкриває, таким чином, один з аспектів внутрішньої стабілізації математичного знання.

Загальна методологія науки завжди вказувала на системний характер теоретичних понять. «Окреме поняття, - писав Е. Кассирер, - ніколи не може бути виміряна і перевірено саме по собі; підтвердження воно отримує завжди лише як член цілого теоретичного комплексу» 8. Стосовно до математичного знанню ми можемо суттєво посилити це твердження. Ми повинні наполягати тут на повному обгрунтуванні поняття через його приналежність до системи.

Ми можемо підійти до обгрунтування цього положення на основі наміченої вище схеми формування завершеної аксіоматики. Кожне визначення, знову введене в математичну теорію, являє собою твердження про існування і є, насправді, додаванням нової аксіоми до вже існуючого безлічі аксіом.

Вводячи нове визначення, якщо його законність не доведена з точки зору аксіоматики, ми стоїмо перед обличчям виправдання деякої розширеної аксіоматики, тобто виправдання нової аксіоми як несуперечливої. Ми з'ясували, що таке виправдання здійснюється протягом історично обмеженого відрізка часу: визначення або відкидається як невідповідне теорії, або входить в теорію в якості органічного елемента її структури. Практична (функціональна) асиміляція поняття, включення його в значимі затвердження теорії може розумітися і як повне обгрунтування його коректності в сенсі неможливості пов'язаних з ним протиріч. Як і у випадку з доказом, ми маємо всі підстави вважати, що кожне поняття протягом деякого невизначеного, але кінцевого часу набуває повну коректність у рамках своєї теорії.

Завершеність математичного поняття може бути обгрунтована також виходячи з його кінцевої визначених. Математичне поняття, яке довело свою ефективність, має непереборні, логічно виправдане зміст і не може мати нескінченної кількості дефектів. Але це означає, що необхідно кінцеве число пізнавальних контекстів, кінцеве число завдань, що вирішуються з використанням цього поняття, для того, щоб виявити ці дефекти і підійти до його адекватному визначенню в рамках даної теорії.

Назвемо загальним (глобальним) обгрунтуванням поняття його введення в теорію на основі визнаних аксіом. Будемо називати поняття локально обгрунтованим, якщо воно прийнято тільки на основі своєї ефективності. Досить ясно, що в розвитку математичної теорії локальне обгрунтування передує глобальному й саме по собі може бути достатньою в сенсі строгості. Поняття арифметики, евклідової геометрії, теорії ймовірностей і т. п., зрозуміло, були суворими і до аксиоматизации цих теорій. Ми маємо підстави стверджувати, що можливо абсолютне логічне обгрунтування поняття виключно на основі його використання. Такого роду локальне і абсолютне обгрунтування реалізується через взаємодію даного поняття з суміжними поняттями в процесі вирішення конкретних завдань і не залежить від рівня логічної систематизації теорії в цілому.

Як приклад, що ілюструє рух поняття до повної коректності своїх внутрішніх визначень, можна розглянути розвиток поняття дісЬференціала в XVIII столітті. Початковий його розуміння, як уже сказано вище (це відноситься як до трактування Лейбніца, так і до трактування Ньютона), було мало прийнятним з точки зору строгості. Не було, по-перше, однозначного вирішення питання про те, чи слід розуміти цю величину більшою нуля або рівною нулю. Лейбніц схилявся до першого розуміння, в той час як Ейлер і деякі інші математики розвивали уявлення про диференціалі як про величину, що дорівнює нулю. Тривалий час диференціал ототожнювався з приростом функції, що привносив неясність і явну нестрогість в операції з цією величиною. Не було адекватного визначення межі і безперервності, що закривало шлях до повного теоретичного обгрунтування поняття диференціала і алгоритмів диференціального числення взагалі.

Однак рішення нових теоретичних проблем і прикладних завдань вело поступово, але неминуче до усунення всіх цих неясностей. Лангранж провів суворе розрізнення приросту функції і диференціала як головного збільшення. Даламбер, слідуючи Ньютону і Ейлера, зробив ясним для математиків та обставина, що при обчисленні диференціала ми маємо справу просто з граничним переходом і з ставленням функцій, яке може прагнути до будь-якого числа при зникаюче малих збільшеннях цих функцій. Стало ясно, що для суворого розуміння диференціала і алгоритму його обчислення слід уточнити інтуїтивне поняття межі і обгрунтувати коректні правила поводження з цим поняттям. Даламбер вже написав основні концептуальні рівності типу lim (a + b) = lima + lim6, але саме поняття межі залишалося невизначеним, розуміється на рівні інтуїтивної ясності. Коші завершив це прояснення основних понять аналізу допомогою формальної експлікації поняття межі, яке давало можливість доводити його існування і в тих випадках, в яких це не підтверджувалося безпосередній інтуїцією. Ми можемо сказати, що через півтора століття після своєї появи поняття диференціала придбало, нарешті, суворе визначення, що не піддається будь-якої подальшої коригуванню, що змінює його зміст.

Важливо відзначити, що еволюція поняття диференціала і інших понять аналізу, яка тривала протягом усього XVIII століття, не була результатом філософських роздумів про сутність математичної строгості. Хоча такого роду роздуми мали місце і були безсумнівно корисними для прояснення можливих шляхів виходу з труднощів (тут ми можемо вказати на доводи Лейбніца, на критику Дж. Берклі, на «Міркування» Л. Карно і багато інших методологічні підходи), можна з повною визначеністю стверджувати, що головним чинником, що визначив вдосконалення понять аналізу, була математична практика, застосування загальних принципів до вирішення конкретних завдань. Відомо наскільки важливу роль для прояснення поняття безперервності зіграла задача про що коливається струне9.

Оформлена до середини XIX століття теорія, яку ми називаємо сьогодні математичним аналізом, є безумовно закінченою у своїй внутрішній структурі. Ця теорія є суворою в тому сенсі, що вона не схильна до зміни або коригування своїх понять через можливе введення в майбутньому якихось нових уявлень про суворість або через включення її в певний новий більш широкий контекст розгляду. Це не означає, що Коші і Вейер-Штрасс вказали абсолютний фундамент аналізу, що не вимагає поглиблення. Очевидно, що це не так, і подальший розвиток подій показав це з повною ясністю. Але безсумнівно й те, що аналіз як математична теорія придбав закінчені обриси і що будь-яке його майбутнє обгрунтування має рахуватися з його логічною структурою як з чимось безумовно даними і не допускає перебудови.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 1. Завершеність математичних понять "
  1. 1. Абстрактність системного підходу
    Системне обгрунтування математичної теорії незрівнянно більш абстрактно, ніж логічне. Всі програми логічного обгрунтування математики базуються на здійсненні тієї чи іншої редукції: або це редукція змісту математики до змісту арифметики, або це редукція математики до логіки, або, нарешті, редукція проблеми несуперечності теорії до несуперечності змістовної
  2. ГЛОСАРІЙ
    Адамецкі Кароль (1866 - 1933) - закінчив Технологічний інститут у Петербурзі; в лютому 1903, який на місяць раніше Ф. Тейлора, виступив з публічною доповіддю застосування наукового методу у виробництві (в Південно-російському центрі гірничометалургійної промисловості). Адаптація працівника (в управлінні персоналом) - процес пристосування працівника до нового місця роботи (при переході в нову фірму, на
  3. А. В. ЛогіновК історико-філософський ІНТЕРПРЕТАЦІЇ ТЕРМІНА "АНТРОПОЛОГІЯ"
    Слід відразу обмовитися, що в даній статті йде мова не про різноманітних навчаннях про людину, в яких не було недоліку, як на Заході, так і на Сході, а про історію самого терміна "антропологія" і про кристалізації, пов'язаної з цим терміном, науки про людину. Наука про людину, що з'явилася в Новий час (з XVIII в. - Мартін Бубер, наприклад, пов'язує заснування науки «антропологія» з Н.
  4. ЕВОЛЮЦІЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ
    Проблема еволюції духовного досвіду - це не стільки проблема вибудовування різних його форм в хронологічному порядку їх появи (що взагалі навряд чи можливо), скільки класифікація різних типів ставлення людини до духовної реальності, спадкоємність між якими повинна отримати поряд з логічним обосонованіем духовне пояснення. Типологізацію форм духовного досвіду можна
  5. 1. Теоретичні передумови формування філософсько-історичної концепції Вл. Соловйова
    Володимир Соловйов - найбільша фігура російської філософії та публіцистики II половини XIX століття. Він народився в м. Москві 16 січня 1853 в сім'ї найбільшого російського історика С.М. Соловйова, автора найвідомішого 29-томної праці «Історія Росії з найдавніших часів». Мати Вл. Соловйова, Поліксена Володимирівна, походила з українсько - польського роду і мала своїм предком чудового мислителя
  6. ЗМІНА ФОРМ ОРГАНІЗАЦІЇ ОСВІТНЬОГО ПРОЦЕСУ
    Орієнтація на розширення і активізацію самостійної пізнавальної діяльності учнів, на розвиток комунікативних навичок, на формування вміння робити усвідомлений і відповідальний вибір вимагає часткового виходу за рамки традиційної класно-урочної системи, за рамки переважно замкнутої шкільної системи освіти. Тому в якості варіанту вдосконалення процесу навчання
  7. ЗМІНА ФОРМ ДІАГНОСТИКИ ТА ОЦІНКИ ОСВІТНІХ РЕЗУЛЬТАТІВ ШКОЛЯРІВ
    Зміна оцінки досягнень учнів виходить з розуміння, що сучасний процес навчання не може бути монооценочним. З одного боку, він повинен припускати оцінку різних досягнень школяра (множинність об'єктів оцінки), з іншого боку, оцінка не може здійснюватися тільки учителем, в процес оцінювання повинні залучатися самі школярі (множинність суб'єктів оцінки).
  8. Картина світу давніх людей.
    Кожна епоха в історії людства відрізняється своїм особливим, неповторним ритмом життя , своїми цінностями, нормами і уявленнями про світ. Все це знаходиться в тісному взаємозв'язку з господарською діяльністю людини, рівнем розвитку його знань, методами забезпечення різноманітних потреб, відомими як спосіб ведення господарства. Вищеперелічене в комплексі формує світогляд
  9.  Онтологічні ідеї античних філософів
      Фалес з Мілі ™ і одухотворені світи. Першим в ряду давньогрецьких мислителів, піднімав онтологічні проблеми, якого Арістотель називав основоположником найбільш ранньої грецької філософії та науки, слід вважати Фалеса з Мілета (бл. 625 - бл. 547 рр.. До н. Е..). Його праці не збереглися, але ті ідеї, про які згадує Діоген Лаерт в книзі «Про життя, навчаннях і висловах
  10.  2. Метафізика у фокусі кантівської філософії
      Можна без перебільшення сказати, що метафізика є самий чутливий нерв філософії Канта, який він постійно торкався, вирішуючи ті чи інші пізнавальні завдання. Філософ ще до критичного 12 періоду зізнавався, що він "волею доль закоханий в метафізику". І що він далекий від того, щоб саму метафізику, розглянуту об'єктивно, вважати чимось незначним або зайвим і що з того
  11.  2. Аналіз чисто філософських систематизаций світу на предмет ідентифікації однієї з них у якості адекватної систематизації світу
      Як зазначено, до числа чисто філософських систематизаций світу належать моністичні, дуалістичні та плюралістичні філософські системи, що не містять теологічної передумови, Обясняется першоджерела світу існуванням Бога. Очевидно, що дуалістичні і плюралістичні філософські системи не задовольняють позначеному мною першому критерію достатньої обгрунтованості філософського зна-
  12.  «Механізм» вибору можливостей навколишнього світу і екологічний компонент соціальної установки
      Проаналізувавши докладно особливості екологічного підходу Дж. Гібсона і припустивши існування механізму екологічного компоненту в соціальній установці, ми повинні обгрунтувати способи аналізу та вилучення можливостей навколишнього світу механізмом екологічного компоненту. Цей компонент повинен мати здатність аналізу можливостей і вибору можливостей для формування соціальної
  13.  Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
      Є.Г. Плотникова, доктор педагогічних наук У процесі наукового пізнання, спрямованого на досягнення нових знань, виявляються загальні закономірності природи і характеру наукової діяльності, спеціальним вивченням яких займається методологія науки, тобто вчення про принципи побудови, форми, способи наукового пізнання та практичної перетворюючої діяльності. Методологія здійснює
  14.  Про гуманітарну ролі математичних дисциплін у сучасній гімназії
      І.М. Власова, вчитель математики-е--Q-В природно-науковій освіті намітилася чітка тенденція його гуманізації. Математична освіта несе в собі потужний гуманітарний потенціал, що дозволяє вирішувати світоглядні, естетичні, моральні завдання виховання особистості гімназиста. Можна виділити два аспекти реалізації гуманітарної спрямованості навчального процесу: гуманітарну
  15.  Класична німецька філософія.
      Під виразом "класична німецька філософія" прийнято розуміти розвиток філософської думки Німеччини кінця XVIII - першої третини XIX ст. Ця філософія була породженням і відображенням німецької дійсності даного періоду, в цей час відбувалося становлення капіталістичного способу виробництва. Для Німеччини того часу були характерні: 1. Економічна відсталість, що виражалося в
  16.  Політичне знання і політична наука
      Сама структура слова політологія вказує на те, що назва цієї наукової та навчальної дисципліни пов'язано з полісом - цілком конкретним політичним утворенням, відомим з античної історії. Багатий зміст вкладається в поняття логос - одну з головних категорій давньогрецької філософії, введену в науковий обіг Гераклітом (кінець VI - початок V ст. До н.е.). Мислитель визначив логос як